文档文本内容
第12 讲 双曲线重点题型全归纳
目 录
题型01 双曲线的轨迹方程
题型02 双曲线中的焦点三角形
题型03 双曲线中的距离最值问题
题型04 双曲线的渐近线
题型05 求双曲线的离心率
题型06 求双曲线离心率的范围
题型07 双曲线的标准方程
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 双曲线的轨迹方程
题型点拨
1、定义：在平面内与两个定点F _ 1、F _ 2的距离之差的绝对值等于正数2a的点的轨迹叫做双曲线，
其中0<2a<| F _ 1 F _ 2|．两个定点F _ 1、F _ 2称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为
| F _ 1 F _ 2|=2c．
2、注意
（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数a满足约束条件：
| PF _ 1|-| PF _ 2|=2a<| F _ 1 F _ 2|, a>0，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F _ 2的一
支；
若| PF _ 2|-| PF _ 1|=2a<| F _ 1 F _ 2|, a>0，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F _ 1的
一支；
（2）若常数a满足约束条件：¿| | PF _ 1|-| PF _ 2| ¿|=2a=| F _ 1 F _ 2|，
则动点轨迹是以F _ 1、F _ 2为端点的两条射线（包括端点）；
（3）若常数a满足约束条件：¿| | PF _ 1|-| PF _ 2| ¿|=2a>| F _ 1 F _ 2|，则动点轨迹不存
在；
（4）若常数a=0，则动点轨迹为线段F _ 1 F _ 2的垂直平分线．
【典例1】（25-26·四川绵阳）已知
，
，直线
相交于点
，且直线
与直线
的斜率之积为1，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26·上海·课堂例题）已知动圆P 与圆M：
，圆N：
均外切，
记圆心P 的运动轨迹为曲线C，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 双曲线中的焦点三角形
题型点拨
双曲线的焦点三角形
求双曲线中的焦点三角形
面积的方法
（1）** 错误的表达式 **根据双曲线的定义求出
；
** 错误的表达式 **利用余弦定理表示出
、
、
之间满足的关系式；
** 错误的表达式 **通过配方，利用整体的思想求出
的值；
** 错误的表达式 **利用公式
求得面积．
（2）利用公式
求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角
，则面积
，结论适用于选择或填空题．
【典例1】已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，以
为直径的圆与双曲线在第一三象限
､
的交点分别为
，则
的周长为（ ）
A．
B．8
C．
D．
【变式1】已知双曲线
的两个焦点分别为
，点
在双曲线上，且
，则
的周长为 ，面积为 .
题型3 双曲线中的距离最值问题
题型点拨
与
，
（
为双曲线上一点，
，
为双曲线的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用
平面几何知识，转化为三点共线问题求解．
【典例1】已知双曲线
的左焦点为
，点
在
的右支上，且
，则
的最小
值为（ ）
A．4
B．6
C．10
D．14
【变式1】（25-26·重庆）点
是双曲线
的左焦点，动点A 在双曲线右支上，直线
与直线
的交点为 B ，则
的最小值为 .
题型4 双曲线的渐近线
题型点拨
双曲线渐近线求法
（1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右
边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程．
（2）依据条件求出
，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程．
（3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于
的等
式，进而求出渐近线的斜率，从而得解．
【典例1】（25-26·河北邯郸）已知双曲线
（
）的两条渐近线的夹角的正切值为
，则
该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【变式1】设
，
分别为双曲线
的左、右焦点，过
且斜率为
的直线与
的右支交于点
，与
的左支交于点
，点
满足
，
，则双曲线
的渐近线方程
为 ．
题型5 求双曲线的离心率
题型点拨
求双曲线离心率的常用方法
（1）利用
求：若可求得
，则直接利用
得解；
（2）利用
求：若已知
，则直接利用
得解；
（3）利用方程求：若得到的是关于
的齐次式方程，即
（
为常数，且
），则转化为关于
的方程
求解．
【典例1】（25-26·江苏宿迁）已知双曲线
的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁ 的直
线与双曲线的左支相交于A，B 两点，且
则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知双曲线
（
，
）的左，右焦点分别为
，
，过
的直线与其右支
交于
，
两点，若
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
题型6 求双曲线离心率的范围
题型点拨
1、不等式法求离心率范围
（1）利用双曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解；
（2）利用双曲线的性质，如:双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距
离的范围等，建立不等(等式组)求解；
（3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解；
（4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本
不等式建立不等关系进行求解；
2、函数法求离心率的范围
（1）根据题干条件，如双曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系
式；
（2）结合双曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；
（3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围．
3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关
知识，进行求解即可．
【典例1】（25-26·浙江）设椭圆
：
与双曲线
：
的离心率分别为
，
，且双曲线
的渐近线的斜率小于
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知
是双曲线
的左、右焦点，以
为圆心，
为半径的圆与双曲线的
一条渐近线交于
两点，若
，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
题型7 双曲线的标准方程
题型点拨
1、待定系数法求双曲线标准方程
2、由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程
，当
时表示双曲线；
当
时表示焦点在
轴上的双曲线；
当
时表示焦点在
轴上的双曲线.
（2）对于方程
，当
时表示双曲线；
当
时表示焦点在
轴上的双曲线；
当
时表示焦点在
轴上的双曲线.
（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形
式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。
【典例1】已知双曲线经过点
，则其标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【变式1】（25-26·天津）已知双曲线
的右焦点为
，点
在双曲线的渐近线上，
是边长为
的等边三角形(
为原点)，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
强化训练（共10 题）
1．（25-26·河南南阳）已知
为曲线
上任意一点，
，
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，过点
和
的直线与双曲线
在第一象限交于点P，若
的面积是
的3 倍，则C 的渐近线斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26·云南西双版纳）设
为双曲线
的左右焦点，
为坐标原点，
为
的一条渐近线上一点，且
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26·河南周口）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过点
且倾斜角为
的直线与双曲线
交于第一象限的点
，延长
至
使得
，若
的面积为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26·黑龙江鸡西）已知双曲线C：
分别为双曲线的左、右焦点，
是
双曲线右支上一点.连接
交双曲线C 左支于点
，若
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，则
双曲线C 的离心率是（ ）
A．
B．2
C．
D．5
6．（25-26·上海青浦）双曲线
的左右两个焦点为
，
，第二象限内的一点P 在双曲线上，且
，则三角形
的面积是 ．
7．（25-26·江西宜春）过原点的直线与双曲线
的左、右两支分别交于M，N 两
点，若以线段MN 为直径的圆过C 的右焦点F，且
，则C 的渐近线方程为 ．
8．（25-26·上海·课堂例题）已知P 为圆C：
上任意一点，
．若线段
的垂直平
分线交直线
于点Q，则点Q 的轨迹方程为 ．
9．已知
，
分别是双曲线
的左、右焦点，过点
且与双曲线的一条渐近线平
行的直线交另一条渐近线于点
，若
为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ．
10．（25-26·湖北）已知双曲线的方程为
，点
，
是其左右焦点，
是圆
上
的一点，点
在双曲线的右支上，则
的最小值是 ．
知识小测（共5 题）
1．（25-26·广西钦州）若离心率为
的双曲线与椭圆
的焦点相同，则双曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．相距1600m 的两个哨所
，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是
，在
哨所
听到的爆炸声的时间比在
哨所听到时迟
．若以
所在直线为
轴，以线段
的中垂线为
轴，则爆
炸点所在曲线的方程可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26·北京怀柔）“
”是“方程
表示焦点在
轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（25-26·陕西西安）设点A，B 的坐标分别为
，
，直线
，
相交于点M，且它们的斜
率之积是
，则动点M 的轨迹方程为 ．
5．（25-26·重庆）已知双曲线
两条渐近线的夹角为60°，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
