文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题15 导数与函数的极值、最值（十一大题型+模拟精练）
目录：
01 函数极值的辨析
02 求已知函数的极值
03 根据极值求参数
04 函数（导函数）图像与极值的关系
05 由导数求函数的最值
06 已知函数最值求参数
07 根据极值点求参数
08 由导数求函数的最大值（含参）
09 恒成立问题
10 零点问题
11 导数的综合应用
01 函数极值的辨析
1．（2024 高三·全国·专题练习）下列函数中，存在极值的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据极值的定义进行求解即可.
【解析】A：因为函数
是实数集上的增函数，所以函数
没有极值；
B：因为函数
是正实数集上的增函数，所以函数
没有极值；
C：因为函数
在区间
、
上是减函数，所以函数
没有极值；
D：因为
，所以该函数在
上是增函数，在
上是减函数，因此
是函
数的极小值点，符合题意，
故选：D
2．（2024 高三·全国·专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．若
在
上有极大值，则极大值一定是
上的最大值．
B．若
在
上有极小值，则极小值一定是
上的最小值．
C．若
在
上有极大值，则极大值一定是在
和
处取得．
D．若
在
上连续，则
在
上存在最大值和最小值．
【答案】D
【分析】根据极值和最值的定义逐一分析判断即可.
【解析】函数在
上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，故AB 错误；
函数
在
上的极值一定不会在端点处取得，故C 错误；
若
在
上连续，则
在
上存在最大值和最小值，故D 正确.
故选：D.
3．（2024 高三·全国·专题练习） 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.
【解析】由导函数f′(x)的图象知
在x＝－2 处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2 是极大值；
在x＝－1 处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1 是极小值；
在x＝－3 处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2 是极大值；
所以f(x)的极小值点的个数为1，
故选：A
【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.
4．（22-23 高二上·河南许昌·期末）函数
的导函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
为函数
的零点
B．
是函数
的最小值
C．函数
在
上单调递减
D．
为函数
的极大值点
【答案】C
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据
的图象，得到函数
的单调区间，结合函数的单调性，极值点和极值，以及零点的
概念，逐项判定，即可求解.
【解析】由
的图象，可得：
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
A 中，
是函数
的一个极大值点，不一定是函数的零点，所以A 不正确；
B 中，
是函数
一个极小值，不一定是函数
的最小值，所以B 错误；
C 中，函数
在
上单调递减，所以C 正确；
D 中，
为函数
的极小值点，所以D 错误.
故选：C.
02 求已知函数的极值
5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性，并求出
的极小值．
【答案】(1)
(2)
在
单调递减，在
和
单调递增；0.
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）欲求曲线在点
处的切线方程，只需求出斜率
和
的值，利用直线的点
斜式方程求解切线的方程；
（2）利用函数
的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可.
【解析】（1）当
时，
，
则
，
所以
，
又知
，
所以
在点
处的切线方程为
．
（2）因为
，
令
，
则
或
，
所以当
时，
，
当
或
时，
．
综上，
在
上单调递减，在
和
上单调递增；
所以
．
6．（23-24 高二下·湖南·期中）已知函数
为奇函数．
(1)求
的值；
(2)当
时，求
的单调区间和极值．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由已知结合奇函数的定义即可求解；
（2）先化简
的解析式，对其求导，结合导函数与单调性及极值的关系即可求解.
【解析】（1）定义域：
．
由已知：函数
为奇函数，所以
，
即
，解得
．
（2）由（1）得：
，
当
时，因为
，所以
．
令
，解得
．
变化情况如下表：
0
＋
单调递减
极小值
单调递增
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
因此
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
当
时，
有极小值，并且极小值为
，无极大值.
03 根据极值求参数
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
7．（22-23 高二下·北京·期中）若函数
恰好有两个极值，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数的导函数，利用函数
恰好有两个极值，说明导函数有两个不同的零点，从而求出a
的取值范围.
【解析】因为
，所以
，
由函数
恰好有两个极值，得
有两个不相等的零点，
故方程
有两个不相等的实根，
则
，且
，解得
或
，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：D.
8．（2023·贵州遵义·三模）已知函数
在
处取得极值0，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据极值点的意义，列式求解.
【解析】
，
有
，得
，
所以
.
故选：B
9．（21-22 高三下·广西·阶段练习）已知函数
在其定义域的一个子区间
上有极值，则
实数a 的取值范围是（ ）
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由已知建立不等式，求解即可.
【解析】解：
，令
，即
，解得
，且
，
；
，
，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴
有极大值
，
∴
，
∴
，
故选：A.
04 函数（导函数）图像与极值的关系
10．（23-24 高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则下列说法错误
的是（ ）
A．函数
在
上单调递增
B．函数
至少有2 个极值点
C．函数
在
上单调递减
D．函数
在
处取得极大值
【答案】D
【分析】根据
的图象判断其符号，进而可知
的单调性和极值，结合选项分析判断即可.
【解析】由
的图象可知：当
或
时，
；当
时，
；
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可知
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
则函数
有且仅有两个极值点
，
结合选项可知：ABC 正确；D 错误；
故选：D.
11．（23-24 高二下·四川广元·期中）函数
的导函数
的图象如图所示，则下列判断中
正确的是（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递减
C．
在
上存在极小值点
D．
在
上有最大值
【答案】B
【分析】结合导数的符号与函数单调性、极值的关系，以及题图即可得解.
【解析】
时，
，
时，
，故
在
上不单调，A 选项错误；
时，
，故
在
上单调递减，B 选项正确；
时，
，故
在
上单调递减，无极值点，C 选项不正确；
时，
，
在
上单调递增，虽然确定了
的单调性，但没有
的解析式，
故无法确定
在
上是否有最大值，D 选项不正确．
故选：B．
05 由导数求函数的最值
12．（23-24 高二下·四川成都·期中）已知函数
，
，若
，则
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意，设
，则
，利用导数讨论函数
的性质求出
即可．
【解析】设
，则
，
所以
，
令
，则
，
令
，函数
单调递减，
令
，函数
单调递增，
所以
，
即
的最小值为
．
故选：A
13．（2024·江西鹰潭·二模）已知函数
，
，则下列命题不正确的是（ ）
A．
有且只有一个极值点
B．
在
上单调递增
C．存在实数
，使得
D．
有最小值
【答案】C
【分析】由条件可得函数
可以看作为函数
与函数
的复合函数，然后求导判断其单调
性与极值，即可得到结果.
【解析】由
得
，令
，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则函数
可以看作为函数
与函数
的复合函数，
因为
为增函数，所以
与
单调性、图象变换等基本一致，
，
由
得
，列表如下：
－
0
＋
由表知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
时，取得极小值（最小值）
，
所以
在
上单调递增，即B 正确；
在
时，取得唯一极值（极小值，也是最小值）
，即A、D 都正确，C 错误.
故选：C
14．（23-24 高二下·北京海淀·期中）关于函数
，下列结论错误的是（ ）
A．
的解集是
B．
是极小值，
是极大值
C．
没有最小值，也没有最大值
D．
有最大值，没有最小值
【答案】C
【分析】解不等式判断A；利用导数探讨函数
的极值、最值判断BCD.
【解析】函数
的定义域为R，
对于A，
，解得
，即
的解集是
，A 正确；
对于BCD，
，当
或
时，
，当
时，
，
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此
是极小值，
是极大值，B 正确；
显然当
时，
恒成立，当
时，
，
，
而当
时，函数
的值域为
，而
，因此
有最大值
，
没有最小值，C 错误，D 正确.
故选：C
06 已知函数最值求参数
15．（23-24 高二下·四川内江·阶段练习）已知
在区间
上有最小值，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求得
，得出函数
的单调性，结合题意，得到
，即可求解.
【解析】由函数
，可得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
要使得函数
在区间
上有最小值，
则满足
，即
，
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，可得
，即
，解得
，
所以
，即实数
的取值为
.
故选：D.
16．（23-24 高二下·四川遂宁·阶段练习）若函数
在区间
上存在
最值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.
【解析】
，
则当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
即
在
处取得最值，则有
，
解得
.
故选：C.
17．（23-24 高二下·湖北武汉·阶段练习）设函数
，若
，且
的最小值为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作出
的大致图象，令
，结合图象得到的范围，再将所求转化为关于的表
达式，构造函数
，利用导数即可得解.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】因为
，作出
的大致图象，如图，
令
，由图象可得
，
因为
，所以
，即
，
则
，
令
，
则
，令
，解得
，
当
，即
时，
，则
，
单调递减，
则
，解得
，符合；
当
，即
时，
当
时，
；当
时，
；
故
在
单调递减，在
单调递增，
则
，解得
，不符合；
综上，
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查双变量问题的函数与方程的应用，解决这种题的常见方法是利用换元法将变
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
量转化为只有1 个变量，注意利用数形结合考虑变量的取值范围.
07 根据极值点求参数
18．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）已知函数
的导函数
，若
是函数
的极大值点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析得导函数必有2 个零点，并且1 必为小的零点，据此列不等式求解.
【解析】令
，则
或
，
明显函数
在
上单调递增，且值域为
，
所以方程
必有根，设为
，
即
的根为
或
，
又
是函数
的极大值点，
则函数
在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增，
即
，所以
，得
.
故选：B.
19．（23-24 高三上·河南南阳·期末）若函数
有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】转化为
有两个变号零点，令
，求导，分
和
两种情
况，得到其单调性，极值和最值情况，从而得到不等式
，再构造函数
，求导得到其单调性，极值最值情况，求出答案.
【解析】由题意得
有两个变号零点，
令
，定义域为R，
则
，
当
时，
恒成立，
在R 上单调递增，不会有两个零点，舍去，
当
时，令
得，
，令
得，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
处取得极小值，也是最小值，
则
，即
，
令
，
，则
，
令
得
，令
得
，
在
上单调递增，在
单调递减，
故
在
处取得极大值，也是最大值，
又
，故
的解集为
，
此时当
趋向于负无穷时，
趋向于正无穷，
当
趋向于正无穷时，
趋向于正无穷，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
满足
有2 个变号零点.
故选：C
【点睛】结论点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值
符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，
注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数
零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，
都是需要思考的地方
20．（22-23 高三下·江西赣州·阶段练习）已知函数
存在两个极值点
，则
以下结论正确的为（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．
【答案】D
【分析】由题可得方程
有两个不相等的实数根
，构造函数
，利用导数研究函数
的性质画出函数的大致图象，然后结合条件逐项分析即得.
【解析】函数
的定义域为R，求导得
，由
，得
，显然
，
由函数
存在两个极值点
，得方程
，即
两个不相等的实数
根
，
于是函数
的图象与直线
有两个交点，且横坐标分别为
，
求导得
，由
得
，由
得
，
因此函数
在
，
上单调递减，在
上单调递增，且当
时，
，当
时，
，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
对于A，要使函数
存在两个极值点为
，则
，A 错误；
对于B，当
时，由函数
的图象知，
，B 错误；
对于C，若
，则
，得
，则
，C 错误；
对于D，由
，得
，又
，则
，
，有
，即
，因此
，D 正确．
故选：D
【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从
中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不
等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法
为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意
的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
08 由导数求函数的最大值（含参）
21．（23-24 高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，函数
在区间
上的最小值
．
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）当
时，求
，令
，
，求解即可；
（2）先求
，令
，在定义域
内解得
，讨论
的取值范围，通过判断函数
在
的单调性，即可求得最小值.
【解析】（1）当
时，
，
，
，
因为
，
，
所以当
时，解得
，
当
时，解得
，
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）函数
的定义域为
，
，
，
令
，得
或
（舍），
当
，即
时，
当
时，
，则
在
上单调递增，
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以函数
在区间
上的最小值为
，
当
，即
时，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以函数
在区间
上的最小值为
，
当
，即
时，
当
时，
，则
在
上单调递减，
所以函数
在区间
上的最小值为
，
综上
.
22．（2024·山西吕梁·二模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间和极值；
(2)求
在区间
上的最大值.
【答案】(1)单调递增区间是
，单调递减区间是
，极大值为
，没有极小值；
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式求出函数的单调区间与极值；
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）求出函数的导函数
，再分
、
、
、
四种情况讨论，
得到函数
在区间
上的单调性，即可求出函数
在区间
上的最大值.
【解析】（1）当
时，
，
则
，
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
故函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是
，
函数
的极大值为
，没有极小值.
（2）由题意得
.
若
，当
时，
，
在区间
上单调递增，
此时
的最大值为
；
若
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
此时
的最大值为
；
若
，则
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
此时
的最大值为
；
若
，则
，当
时，
，
在区间
上单调递增，
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
此时
的最大值为
.
综上可得，
.
09 恒成立问题
23．（2024·山东烟台·一模）已如曲线
在
处的切线与直线
垂直.
(1)求
的值；
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解，
（2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解.
【解析】（1）由于
的斜率为
，所以
，
又
,故
，解得
，
（2）由（1）知
，所以
，
故当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
故当
时，
取最小值
，
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
要使
恒成立，故
，解得
，
故
的取值范围为
24．（2024·湖北·模拟预测）已知函数
，
其中
为常数.
(1)过原点作
图象的切线，求直线的方程；
(2)若
，使
成立，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程；
（2）由题意，将其等价转化为
在
有解，即只需求
在
上的最小
值，利用导数分析推理即得
的最小值.
【解析】（1）
设切点坐标为
，则切线方程为
，
因为切线经过原点
，所以
，解得
，
所以切线的斜率为
，所以的方程为
.
（2）
，
，即
成立，
则得
在
有解，
故有
时，
.
令
，
，
，
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
得
；令
得
，
故
在
单调递减，
单调递增，
所以
，
则
，故
的最小值为
.
10 零点问题
25．（23-24 高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)求函数
在
上的零点个数.
【答案】(1)答案见解析
(2)2
【分析】（1）求导得到
，令
即可求解函数的单调区间；
（2）求导得到
，因无法轻易求得
的解，故根据导函数的性质将
的取值范围
分为
三段分别讨论，结合零点的存在性定理即可求解零点个数.
【解析】（1）∵
，故
，
令
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）因为
，
，
则
．
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
①当
时，因为
，
所以
在
上单调递减．所以
．
所以
在
上无零点．
②当
时，因为
单调递增，且
，
，
所以存在
，使
．
当
时，
；当
时，
．
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
．
所以
．设
，
，
由（1）知
在
上单调递减，在
上单调递增．
所以
．
所以
，得
．
所以
．所以
在
上存在一个零点．
所以
在
有2 个零点．
③当
时，
，
所以
在
上单调递增．因为
，所以
在
上无零点．
综上所述，
在
上的零点个数为2．
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有：
（1）分段处理：利用三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；
（2）高阶导数的应用：讨论端点（特殊点）与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清楚判断所讨论
区间的单调性是关键；
（3）关注三角函数的有界性与常用不等式放缩.
26．（22-23 高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数
．
(1)函数
在
处的切线与x 轴平行，求a 的值；
(2)若函数
有两个零点，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出导数代入得
即可求出
值；
（2）首先排除
的情况，在
时，根据
，解出范围，再利用零点存在性定理证明
此时有两个零点.
【解析】（1）
，则由题意得
，
解得
.
（2）
定义域为
，
，
令
，解得：
，
当
时，
在
上恒成立，
在
上单调递增；
则至多有一个零点，不符合题意;
当
时，若
时，
；若
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减；
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
若
有两个零点，则
，解得
.
因为
，且
，由零点存在定理可知，
存在
使得
，
又因为
，设
，
因为
，所以
在
单调递增，
故
，即
，
因为
，由零点存在定理可知，存在
，使得
.
综上可得
的取值范围是
.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用
，解出
的范围，再利用零点存在性定义证明
此时满足题意即可.
11 导数的综合应用
27．（2024·江苏·二模）已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
在区间
上有且只有一个极值点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）因为函数的定义域为
，当
时，
，将问题转化为当
时，
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，构造函数
，利用导数研究
的值域即可证明；
（2）求导
，令
，再求导
，利用放缩可知
，得到
在
单调递增，
，分类讨论
和
时
的正负，从而
确定是否有极值点以及极值点的个数.
【解析】（1）因为函数的定义域为
，当
时，
.
要证
，只需证：当
时，
.
令
，则
，
则
在
单调递增，
所以
，即
.
（2）
，
令
，
则
.
所以
在
单调递增，
，
①
时，
，
.
则
在
为增函数，
在
上无极值点，矛盾.
②当
时，
.由（1）知，
，
，则
，则
使
.
当
时，
，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，
，则
在
上单调递增.
因此，
在区间
上恰有一个极值点，
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
的取值范围为
.
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
28．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知函数
为
的极值点．
(1)求
的最小值；
(2)若关于
的方程
有且仅有两个实数解，求
的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）求出导函数，根据极值点的定义可得
，代入
，构造函数，利用导函数判断单
调性，然后利用函数的单调性求出最值即可
（2）由
，然后分离参数得
，设
，求出单调区间
和极值即可
【解析】（1）
，
依题意，
，所以
，
所以
，
设
，则
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
当
时，
取得最小值
，所以
的最小值为1；
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）由（1）可知，
，
令
，则
，
设
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
且
，
所以
．
29．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
恰有两个零点
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)若函数
，求证：
在
上单调递减；
(3)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，判断其单调性，根据函数
恰有两个零点列出不等式，求
得答案；
（2）写出
，利用其导数证明单调性即可；
（3）采用逆推分析的方法，将证明
成立，转化为证明
成立，继而根据
在
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
上单调递减，需证
，结合（2）的结论，即可证明．
【解析】（1）由题意得
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
当
时，
，
可取到负的无穷小值，
当
时，
，
也可取到负的无穷小值，
函数
恰有两个零点，则
，即
，
实数
的取值范围为
；
（2）
，
，
，令
，
，
，又
时有
，
，
在
上单调递增，
在
上单调递增，从而
，
在
上单调递减；
（3）由（1）知，
，要证
，
只需证
，
在
上单调递减，
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
只需证
，
，
只需证
，其中
，
只需证
，其中
，
由（2）知，当
时，
，
，
．
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）函数
的极小值点为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用导数判断单调性，进而可得极小值点.
【解析】因为
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减，故极小值点为2．
故选：A
2．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知
的一个极值点为
，若tan
，则实数a 的值
为（ ）
A．﹣3
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】由正弦函数的图像和极值点列方程求出实数a 的值.
【解析】函数
的图像连续，且
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以若
为
的一个极值点，由正弦函数的图像可得：
，解得：
.
而tan
，所以
，所以
.
故选：B
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数
在区间
上的最小值为1，则实数a 的值为
（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
【答案】D
【分析】先利用导函数研究函数的单调性及最值计算即可.
【解析】由题意可知：
，
所以当
时
，则
在
上单调递增，
所以
.
故选：D.
4．（2024·云南昆明·一模）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为增函数
B．
有两个零点
C．
的最大值为2e
D．
的图象关于
对称
【答案】D
【分析】利用导数讨论函数的单调性，结合选项依次计算，即可求解.
【解析】A：
，令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故A 错误；
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
B：由选项A 知，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，所以函数
在R 上没有零点，故B 错误；
C：由选项A 知，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即函数
的最小值为
，故C 错误；
D：
，所以函数
图象关于直线
对称，故D 正确.
故选：D
5．（2024·山东菏泽·模拟预测）若实数
满足
，则下列不等式错误的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，利用导数探讨最值可得
，再结合已知及不等式性质逐项判断即得.
【解析】对于A，令函数
，求导得
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上递增，在
上递减，
，即
，
而
，因此
，A 正确；
对于B，由
，得
，则
，
显然
，否则
，
，于是
，则
，B 错误；
对于C，由
，得
，C 正确；
对于D，
，即
，因此
，D 正确.
故选：B
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
6．（2023·浙江金华·模拟预测）在半径为
的实心球
中挖掉一个圆柱，再将该圆柱重新熔成一个球
，
则球
的表面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知求出球的半径，设圆柱的底面半径为，则高为
，写出圆柱的体积，利用
基本不等式求最值，即可得到满足条件的值,结合球的体积以及表面积公式即可求解.
【解析】由球的半径为
，如图，
设圆柱的底面半径为，则高为
，
．
当且仅当
，即
，
时，上式取等号,此时圆柱的体积为
，
（或者令
，当
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，故当
取最大值4，故当
时，
取最大值4）
要使熔成一个球
的表面积最大，则半径最大，则体积最大即可,
因此熔成的球
的体积也是
，故球
的半径为
,
所以球
的表面积为
故选：D．
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
7．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数
，若关于x 的方程
的不
同实数根的个数为6，则a 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】方程
因式分解得
，所以
或
，根据函数
的草图，判断
的解的个数，从而确定
解的个数，可得
的
取值范围.
【解析】当
时，
，由此可知
在
单调递减，
且当
时，
，在
上单调递增，
；
当
时，
在
单调递增，在
上单调递减，
，如图所示．
得
，即
或
，
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由
与
有两个交点，则
必有四个零点，
即
，得
.
故选：C
8．（2024·福建莆田·二模）对于函数
和
，及区间
，若存在实数
，使得
对任意
恒成立，则称
在区间
上“优于”
．有以下四个结论：
①
在区间
上“优于”
；
②
在区间
上“优于”
；
③
在区间
上“优于”
；
④若
在区间
上“优于”
，则
．
其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】对于①②：根据题意结合函数图象分析判断；对于③：构建函数
，
，利用导数判断函数单调性，可证
；对于④：根据
结
合公切线可得
，并检验.
【解析】对于①：若
在区间
上恒成立，
结合余弦函数的图象可知：
，
若
，此时
与
必有两个交点，
由图象可知：
不恒成立，
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即不存在实数
，使得
对任意
恒成立，故①错误；
对于②：对于
，
，
结合正切函数图象可知，不存在在实数
，使得
对任意
恒成立，故②错误；
对于③：构建
，
则
，
令
，解得
；
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
，即
；
构建
，
则
，
令
，解得
；
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，即
；
综上所述：
，
即存在实数
，使得
对任意
恒成立，
所以
在区间
上“优于”
，故③正确；
对于④：因为
，且
，
若
在区间
上“优于”
，
可知符合条件的直线
应为
在
处的公切线，
则
，可得
，则切线方程为
，
构建
在即
内恒成立，
可得
；
由③可知：
，可得
;
综上所述：
.
所以
符合题意，故④正确；
故选：B
【点睛】关键点点睛：对于③：通过构建函数证明
；
对于④：根据
，结合题意分析可得
，即可得
，注意检验.
二、多选题
9．（2024·贵州安顺·一模）设函数
，则（ ）
A．
有个极大值点
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
B．
有
个极小值点
C．
是
的极大值点
D．
是
的极小值点
【答案】ABD
【分析】求出函数的导函数
，即可得到函数的单调区间与极值点.
【解析】函数
的定义域为
，
且
，
所以当
或
时
，
当
或
时
，
所以
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
所以
在
处取得极小值，在
处取得极大值，在
处取得极小值.
故选：ABD
10．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
在
上递增
B．若
为奇函数，则
C．若
是
的极值点，则
D．若
和
都是
的零点，
在
上具有单调性，则
的取值集合为
【答案】BCD
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】用整体思想结合正弦函数的单调性判断A；由奇函数
即可判断B；根据已知条件计算出
即可判断C；由已知求出
范围，即可判断D．
【解析】对于A，
，当
时，
，
因为
时
单调递减，
时，
单调递增，故A 错误；
对于B，若
为奇函数，则
，则
，又
，所以
，故B 正确；
对于C，当
时，
，则
，
又
是
的极值点，所以
，即
，又
，则
，经检验
为
的极值点，
故
，故C 正确；
对于D，由
和
都是
的零点得，
，
两式相减得
，
由
在
上具有单调性且
和
都是
的零点得，
，
解得
，所以
的取值集合为
，故D 正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：对于D 选项中求
的范围，一是根据
和
是
的零点得出
，二
是结合在
具有单调性，即区间左端点为零点，得出
.
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
11．（2024·广东广州·模拟预测）设函数
，则（ ）
A．函数
的单调递增区间为
B．函数
有极小值且极小值为
C．若方程
有两个不等实根，则实数
的取值范围为
D．经过坐标原点的曲线
的切线方程为
【答案】ACD
【分析】利用导数研究函数
的单调性，结合极值、方程的根与函数图象交点个数之间的关系和导数的
几何意义，依次判断选项即可.
【解析】对A：由题意可知
的定义域为
，
，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，故A 正确；
对B：当
时，
取得极大值为
，故B 错误；
对C：由上分析可作出
的图象，要使方程
有两个不等实根，
只需要
与
有两个交点，由图可知，
，
所以实数
的取值范围为
，故C 正确.
42
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
对D：设曲线
在
处的切线经过坐标原点，
则切线斜率
，得
，解得
，
所以切线斜率
，所以切线方程为
，故D 正确.
故选：ACD
三、填空题
12．（2023·广东汕头·一模）函数
的一个极值点为1，则
的极大值是 ．
【答案】4
【分析】由极值点定义得到
，求出
，进而得到
或
时，
，
时，
，得到函数单调性和极大值.
【解析】
定义域为R，
，由题意得，
，解得
，
故
，
令
，解得
，
令
得，
或
，
单调递增，
43
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
得，
，
单调递减，
故
在
处取得极大值，极大值为
.
故答案为：4
13．（2024·全国·模拟预测）方程
有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围为
．
【答案】
【分析】分离参数，构造函数
，利用导数研究其单调性与最值，作出函数大致图象，数形
结合计算即可.
【解析】由题意，得方程
有两个不相等的实数根．
令
，则
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减．所以当
时，
取最大值
．
作出函数
的大致图象，如图．
由图可知，当
时，直线
与函数
的图像有两个交点，
即方程
有两个不相等的实数根，所以实数
的取值范围为
．
故答案为：
.
44
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
14．（2024·重庆·模拟预测）若函数
的图象与函数
的图象有三个不同的公共点，
则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】依题意关于
的方程
恰有三个不等实数根，令
，利用导数说明函数的单
调性，求出函数的最大值，令
，则
（
且
），令
（
且
），依题意可得
与
有两个交点，且其中一个交点的横坐标小于
，另一个交
点的横坐标位于
之间，即可求出参数的取值范围.
【解析】令
，则
，即
，
依题意关于
的方程
恰有三个不等实数根，
令
，则
，所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，当
时
，当
时
，
所以
，
令
，则
（
且
），
则
（
且
），
45
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
（
且
），
因为
在定义域
上单调递增，
在
，
上单调递增，
所以
在
，
上单调递增，
又
，
，
要使关于
的方程
恰有三个不等实数根，
则
与
有两个交点，且其中一个交点的横坐标小于
，另一个交点的横坐标位于
之间，
则
，解得
，
综上可得实数
的取值范围为
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将函数的公共点问题转化为方程的解，从而转化为常数函数的定
函数的交点问题.
四、解答题
15．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数
，当
时，
取得极值
．
(1)求
的解析式；
(2)求
在区间
上的最值．
【答案】(1)
(2)
的最小值为
，最大值为.
46
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）利用极值定义可求得
，可得解析式；
（2）利用导函数判断出函数
在区间
上的单调性，比较端点处的值可得结论.
【解析】（1）依题意可得
，
又当
时，
取得极值
，所以
，即
；
解得
；
所以
；
（2）由（1）可知
，
令
，可得
或
，
当
变化时，
的变化情况如下表所示：
单调递增
单调递
减
单调递增
因此，在区间
上，
的最小值为
，最大值为.
16．（2024·河南·三模）已知函数
，且
在
处的切线方程是
．
(1)求实数
，
的值；
(2)求函数
的单调区间和极值．
【答案】(1)
，
47
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)单调递减区间为
，单调递增区间为
，极小值为
，无极大值
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得
，利用导数求出函数的单调区间，从而求出极值.
【解析】（1）因为
，所以
，
又
在
处的切线方程为
，
所以
，
，
解得
，
．
（2）由（1）可得
定义域为
，则
，
当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，
则
在
处取得极小值，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
因此极小值为
，无极大值．
17．（2024·江苏南京·二模）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，若
在区间
上的最小值为
，求a 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，分别求出
及
，即可写出切线方程；
48
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）计算出
，令
，解得
或
，分类讨论
的范围，得出
的单调性，由
在区
间
上的最小值为
，列出方程求解即可．
【解析】（1）当
时，
，则
，
，所以
，
所以曲线
在
处的切线方程为：
，即
．
（2）
，令
，解得
或
，
当
时，
时，
，则
在
上单调递减，
所以
，考虑
，
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以
的极大值为
，所以由
得
；
当
时，
时，
，则
在
上单调递减，
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，则
，不合题意；
当
时，
时，
，则
在
上单调递减，
所以
，不合题意；
综上，
．
18．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知函数
，（为自然对数的底数）．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若不等式
对任意
恒成立，求实数
的最大值．
49
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出
，即可写出切线方程；
（2）首先求出
，再由辅助角公式及
得出
，即可得出
的值域，根据值域分析即
可求解．
【解析】（1）函数
，
，则
，
，
，
所以曲线
在
处的切点坐标为
，切线斜率为0，
故切线方程为
．
（2）
，
因为
，所以
，
则
，所以
，
所以函数
在
上单调递减．
，
，
所以函数
的值域为
．
若不等式
对任意
恒成立，
50
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则实数
的最小值为
，
所以实数
的最大值为
．
19．（2024·山东·模拟预测）法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，将其
推广到高次方程，并在其著作《论方程的识别与订正》中正式发表，后来人们把这个关系称为韦达定理，
即如果
是关于x 的实系数一元n 次方程
在复数集
C 内的n 个根，则
试运用韦达定理解决下列问题：
(1)已知
，
，
，求
的最小值；
(2)已知
，关于x 的方程
有三个实数根，其中至少有一个实效根在区
间
内，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）构造函数
求导
，根据函数的单调性求解极值，即可得
，进而可求解，
51
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）根据韦达定理可得
，即可表达出
，进而化简可得
，即
可根据
，利用不等式求解.
【解析】（1）根据韦达定理可设
是
的三个实数根，
令
，
当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，此时
单调递减，
故
的极大值为
极小值为
由于
不可能相等，否则
，与
矛盾，
故
有两个或者三个零点，则
且
，故
，
由
，结合
，
，
所以
由
，
所以
，
则
，
故
的最小值为
，
（2）设方程的三个实数根分别为
，其中
，
52
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由韦达定理可得
，
由
和
，得
，当且仅当
时等号成立，
又
，故
，
，即
，
由
，得
，
因此
，当且仅当
时等号成立，
由
和
可得
，
结合
可得
，
由于
以及
，
故
，
当
时，且
时等号成立，此时
，符合
，
综上可知
的最大值为4，
【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：
（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.
（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方
法时要关注代数式和积关系的转化.
（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线
性规划来处理.
53
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
54
