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专题15 导数的概念及运算
知
识
梳
理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题
型
归
类
题型一：导数的概念
题型二：导数的运算
题型三：求切线方程
题型四：求参数的值(范围)
题型五：导数与函数图象
题型六：与两曲线的公切线有关的问题
培
优
训
练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强
化
测
试
单选题：共8 题
多选题：共4 题
填空题：共4 题
解答题：共6 题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
【考点预测】
1.导数的概念
(1)如果当Δx→0 时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可
导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f ′( x 0)或y ′| x＝x0，即f′
(x0)＝
＝
.
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x 变化时，y＝f′(x)就是x 的函数，我们称它为y＝f(x)
的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝
lim
Δx →0 ¿.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的
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切线方程为y －
f ( x 0) ＝
f ′( x 0)( x －
x 0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αx
α － 1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－
sin
__x
f(x)＝ax(a＞0 且a≠1)
f′(x)＝a x ln __a
f(x)＝ex
f′(x)＝e x
f(x)＝logax(a＞0 且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
[f(x)±g(x)]′＝f ′( x )±
g ′( x ) ；
[f(x)g(x)]′＝f ′( x ) g ( x ) ＋
f ( x ) g ′( x ) ；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf ′( x ) .
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y 可以表示成x 的函数，那么
称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f ( g ( x )) .
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′· u x′，即y 对x 的导
数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
【常用结论】
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.
2.′＝－(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′
(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
【方法技巧】
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
4.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点
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斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x＝x0.
5.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，
要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
6.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出
参数：
(1)切点处的导数是切线的斜率；
(2)切点在切线上，故满足切线方程；
(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
7.利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
二、【题型归类】
【题型一】导数的概念
【典例1】已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1 到x＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)根据(1)中的计算，当Δx 越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化
趋势？
【典例2】利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x 在x＝2 处的导数.
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【典例3】已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：
(1) lim；
(2)lim.
【题型二】导数的运算
【典例1】(多选)下列求导运算正确的是( )
A.′＝－
B．(x2ex)′＝2x＋ex
C.′＝－sin
D.′＝1＋
【典例2】函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f ＝________.
【典例3】已知函数f′(x)＝exsin x＋excos x，则f(2 021)－f(0)等于( )
A．e2 021cos 2 021
B．e2 021sin 2 021
C.
D．e
【题型三】求切线方程
【典例1】曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为__________．
【典例2】已知函数f(x)＝xln x，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l 的方程
为______________．
【典例3】已知曲线y＝x3＋.
(1)求满足斜率为1 的曲线的切线方程；
(2)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(3)求曲线过点P(2，4)的切线方程．
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【题型四】求参数的值(范围)
【典例1】直线y＝kx＋1 与曲线f(x)＝aln x＋b 相切于点P(1,2)，则2a＋b 等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【典例2】已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l 与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图
象的切点为(1，f(1))，则m＝________.
【典例3】过定点P(1，e)作曲线y＝aex(a>0)的切线，恰有2 条，则实数a 的取值范围是________．
【题型五】导数与函数图象
【典例1】已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，
则该函数的图象是( )
【典例2】已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2 是曲线y＝f(x)在x＝3 处的切线，令g(x)
＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝______.
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【典例3】已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2 是曲线y＝f(x)在x＝3 处的切线，令g(x)
＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于( )
A．－1 B．0 C．2 D．4
【题型六】与两曲线的公切线有关的问题
【典例1】已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直线l 与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直
线l 与g(x)的图象也相切，则a 等于( )
A．0 B．－1 C．3 D．－1 或3
【典例2】若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a 的取值范围为________．
【典例3】若f(x)＝ln x 与g(x)＝x2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y＝x 平行的公共切线，则a
等于( )
A．1 B．2 C．3 D．3 或－1
三、【培优训练】
【训练一】若曲线y＝sin 2x＋cos2x 在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1－x2|的最
小值为( )
A. B. C. D．π
【训练二】已知曲线C1：y＝ex＋m，C2：y＝x2，若恰好存在两条直线l1，l2与C1，C2都相切，则实
数m 的取值范围是____________．
【训练三】给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″
(x)＝0 有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝5x＋4sin x－cos x
的“拐点”是M(x0，f(x0))，则点M( )
A．在直线y＝－5x 上
B．在直线y＝5x 上
C．在直线y＝－4x 上
D．在直线y＝4x 上
【训练四】已知函数f(x)＝|ex－1|，x1<0，x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1，f(x1))和点B(x2，f(x2))处
的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，N 两点，则的取值范围是________.
【训练五】已知函数f(x)＝x－.
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(1)求曲线f(x)过点(0，－3)的切线方程；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0 和直线y＝x 所围成的三角形的面积为定值，
并求此定值．
【训练六】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(1)直线l 在点P(x0，y0)处与曲线C 相切；(2)曲
线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C.下列命题正确的是
________(写出所有正确命题的编号)．
①直线l：y＝0 在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3
②直线l：x＝－1 在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2
③直线l：y＝x 在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sinx
④直线l：y＝x 在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tanx
⑤直线l：y＝x－1 在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝lnx
四、【强化测试】
【单选题】
1. 下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(5x)′＝5xlog5x
D．(x2cos x)′＝－2xsin x
2. 曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l 的方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．2x＋y－3＝0
C．3x＋y＋2＝0
D．3x＋y－4＝0
3. 已知函数f(x)＝x2＋cos x，则其导函数f′(x)的图象大致是( )
4. 设点P 是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α 的取值范围为( )
A.
∪
B.
C.
∪
D.
5. 已知函数f(x)可导，则lim 等于( )
A．f′(x)
B．f′(2)
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C．f(x)
D．f(2)
6. 如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2 是曲线y＝f(x)在x＝3 处的切线，令g(x)＝xf(x)，
g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1
B．0
C．3
D．4
7. 在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26
B．29
C．212
D．215
8. 设曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲线C 上一点M(1，－4)处的切线记为l，则切线l 与曲线
C 的公共点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【多选题】
9. 若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y 轴对称，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝3cos x
B．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝x＋
D．f(x)＝ex＋x
10. 已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．f′(3)>f′(2)
B．f′(3)<f′(2)
C．f(3)－f(2)>f′(3)
D．f(3)－f(2)<f′(2)
11. 已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．
下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x
D．f(x)＝tan x
12. 已知曲线f(x)＝x3－x2＋ax－1 上存在两条斜率为3 的不同切线，且切点的横坐标都大于零，
则实数a 的取值可能为( )
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A.
B．3
C.
D.
【填空题】
13. 设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________．
14. 若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1 的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x 轴，则t＝________，
切线方程为________．
15. 已知曲线y＝＋在x＝1 处的切线l 与直线2x＋3y＝0 垂直，则实数a 的值为________．
16. 定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)＝x，h(x)＝ln x，
φ(x)＝cos x 的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ 的大小关系是
【解答题】
17. 求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；
(2)y＝sin(1－2cos2)；
(3)y＝.
18. 已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b 的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．
19. 设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0 和直线y＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定
值.
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20. f(x)＝ax－，g(x)＝lnx，x＞0，常数a∈R.
(1)求曲线y＝g(x)在点P(1，g(1))处的切线l.
(2)是否存在常数a，使(1)中的切线l 也是曲线y＝f(x)的一条切线，若存在，求出a 的值；若不存
在，请说明理由．
21. 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e 为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；
(2)当a＝1 时，若直线l：y＝kx－1 与曲线y＝f(x)相切，求l 的方程．
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22. 已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标.
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