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专题15 平面向量综合问题（精选高考模拟题）
目录
一、平面向量共线定理................................................1
二、平面向量数量积（含定值，最值，范围）............................5
三、平面向量的模（含定值，最值，范围）.............................12
四、平面向量夹角（含定值，最值，范围）.............................16
五、平面向量投影（投影向量）.......................................22
六、平面向量中的新文化，新定义题...................................25
一、平面向量共线定理
1．（2023·全国·模拟预测）如图，在
中，
，
，其中
，
，若AM
与BN 相交于点Q，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得
1
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，
因为Q，M，A 三点共线，由三点共线可得向量的线性表示中的系数之和为1，
所以
，
化简整理得
．
故选：C．
2．（多选）（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知在等边△
中，
，
为
的中点，
为
的中点，延长
交
占
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】如图，
，故A 正确；
设
，则
，
又
，
，
三点在一条直线上，故
，故
，
即
，
，
故
，故B 正确；
，故
，故C 错误；
，
2
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，
故
，故D 错误.
故选：AB.
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在
中，点
是
的中点，点
在
上，
且
，
，则
.
【答案】
【详解】依题意
，又点
在
上，且
，
所以
，所以
，解得
，
即
，
所以
，
又
，所以
，
，
所以
.
故答案为：
4．（2023·一模）在
中，已知
，
，
，
为线段
上的点，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为
，且
，
所以
，即
，
所以
，
3
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因为
，
所以
，
所以
，由
得
，
由
得
，
因为
，
所以
，即
，
由
及
得
，
设
，
，
因为
，
所以
，
，
所以
将
，
代入得，
，即
，
所以
，
因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，
故答案为：．
4
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5．（2023·天津河东·统考二模）如图，在
中，
，
，
为
上一点，且满足
，则
的值为 ；若
的面积为
，
的最小值为 .
【答案】
/
【详解】由题意得
，则
，
而
三点共线，得
，
，
，则
，
而
，得
，
由基本不等式得
，当且仅当
时等号成立，
故
，
的最小值为
，
故答案为：
；
5
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二、平面向量数量积（含定值，最值，范围）
1．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，正方形
的边长为2，点
，
，
分别是边
，
，
的中点，点
是线段
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．48
【答案】A
【详解】如图建立平面直角坐标系，则
、
、
、
，
设
，
，（
），则
，
所以
，
所以
，即
，
所以
，
，
所以
，
又
，所以当
时
取得最小值为
.
6
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故选：A
2．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知△ABC 是单位圆O 的内接三角形，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【详解】由圆O 是△ABC 的外接圆，且
，故
，
所以
，
，
则
，
仅当
时等号成立.
故选：A
7
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3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD 的边长为1，
，G 是菱形ABCD 内
一点，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【详解】在菱形ABCD，菱形ABCD 的边长为1，
，
所以
，
所以
，则
为等边三角形，因为
，
所以
，设点M 为BC 的中点，则
，所以
，
所以G，A，M 三点共线，所以AM 为BC 的中线，
所以
，
同理可得点AB，AC 的中线过点G，
所以点G 为
的重心，故
，
在等边
中，M 为BC 的中点，则
，
所以
.
故选：A
4．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1 的圆O 上有三个动点A，B，C，且
8
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，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，又
，所以
，所以
，
以
为原点，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系：
则
，
，设
，则
，
，
，
所以
，
设
，即
，
依题意直线
与圆有公共点，
所以
，得
，
所以
的最小值为
.
故选：A
5．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知
是半径为2，圆心角为
的扇形，点
分别在
上，且
，点
是圆弧
上的动点（包括端点），则
的最小值为
（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】如图，以
为原点，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系
则
，设
，则
，
所以
，
因为
，所以
，又
，则
，所以
，当
且仅当
时，等号成立
则
的最大值为，所以
的最大值为
，即
的最小值为
.
故选：A.
6．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知在边长为3 的等边
中，
，则
．
【答案】6
【详解】如图，
10
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．
故答案为：6
7．（2023·河南开封·统考模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或
绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2 的扇形
，其中
，
，
，点
在
上，则
的最小值是 ．
【答案】
【详解】如下图，
，
若
为
中点，且
，则
，
则
，
要使其最小，只需
共线，
11
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此时，由图知此时
.
故答案为：
.
8．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）周长为4 的
，若
分别是
的对边，且
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为周长为4 的
，
分别是
的对边，且
，
所以
，
令
，
∴
，
∴
，解得
，
又∵
，∴
，∴
故
，又
在
上递减，
∴
，
12
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故答案为：
.
9．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）半径为的两圆
和圆
外切于点
，点
是圆
上一点，点
是
圆
上一点，则
的取值范围为 .
【答案】
【详解】设点
关于点
的对称点为
，则点
在圆
上，
所以，
，
因为
，
所以，
，
因为
，
当且仅当
、
同向且
、
反向时，
，
当
时，则
，所以，
，
所以，
，所以，
，
因为
，则
，
13
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故当
且四边形
为菱形时，
，
因此，
.
故答案为：
.
10．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，网格纸上小正方形的边长为1．从
，
，
，
四点中任取两个点作为向量
的始点和终点，则
的最大值为 ．
【答案】4
【详解】由题意可知：则
，
所以要使
取到最大值，即要求向量
在向量
上的投影最大，
由图形可知：当向量
时，向量
在向量
上的投影最大，
,在
中应用余弦定理，
14
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即
.
即
的最大值为
．
故答案为：
．
三、平面向量的模（含定值，最值，范围）
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知向量
，
，，满足
与互为相反向量，
，
，
，则
（ ）
A．2
B．7
C．
D．
【答案】D
【详解】
与互为相反向量，
，
得
两边平方得，
，
即
，①
又由
，在
两边同时点乘向量
，
得
，即
，②
联立①②，解得
.
故选：D.
2．（2023·云南曲靖·校考三模）设
为单位向量，
在
方向上的投影向量为
，则
（ ）
15
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A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【详解】因为
为单位向量，
在
方向上的投影向量为
，
所以
，则
，
所以
.
故选：C.
3．（2023·重庆·统考三模）已知
均为单位向量，且夹角为
，若向量满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】将向量
的起点平移到原点
，设向量
，
，
的终点分别为
，
则
，
，
由
得
，得
，
则点
在以
为直径的圆上，
因为
均为单位向量，且夹角为
，不妨设
，
，
则
，
，所以以
为直径的圆的圆心
，半径为
，
又
，所以
，
即
的最大值为
.
16
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故选：D
4．（2023·新疆·统考二模）已知向量
，
满足
，
，
（θ 为
与
的夹角），
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【详解】因为向量
，
满足
，
，
（θ 为
与
的夹角），
则
，
则
，
当且仅当
时取等号，
即
的最小值为1，即
的最小值为1.
故选：C.
5．（2023·江苏南通·三模）平面向量
，
满足，
，
，则
最大值是
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【详解】解：设向量
，
的夹角为
，
，
，
17
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，
，且
，
，
，
，
解可得，
，即
最大值是4．
故选B．
6．（2023·北京·北京二中校考模拟预测）已知
是边长为1 的正三角形，若点
满足
，则
的最小值为
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【详解】分析：以
为原点，以
为
轴，建立坐标系，可得
，
，利用配方法可得
的最小值.
详解：以
为原点，以
为
轴，建立坐标系，
为边长为的正三角形，
，
，
18
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，
，故选C.
7．（2023·吉林白山·统考一模）已知向量
，
的夹角为
，且
，则
的最小值
是 .
【答案】
【详解】
.
因为
,所以
，当且仅当
时取等号，
所以
,则
的最小值是
.
故答案为：
.
8．（2022·安徽滁州·校考模拟预测）.在正方形
中，
，
分别是边
上的动点，
当
时，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
以点A 为原点建立如图坐标系，
，
，即
19
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，而
，
当
时，
最小为
，当
或
时，
最大为2，
所以取值范围为
.
故答案为：
四、平面向量夹角（含定值，最值，范围）
1．（2022·全国·深圳中学校联考模拟预测）平面向量
，
满足
，且
，则
与
夹角的
正弦值的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】如图所示：设
，
，则
，设
，
，
，
，
当
，即
时等号成立，故
，
当
最小时，
最大，
故
与
夹角的正弦值的最大值为
.
20
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故选：B
2．（2022·全国·高一专题练习）已知在
中，
，
，动点
位于线段
上，当
取得最小值时，向量
与
的夹角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：以
所在的直线为
轴，以
为原点，建立平面直角坐标系，
则
，
，
，设点
，
，
设向量
与
的夹角为
，
，
可得
，
故当
时，
的最小值为
，
此时，
，
，
则
，
，
故选：B．
21
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3．（2022·高一课时练习）设
均是非零向量，且
，若关于
的方程
有实根，
则
与
的夹角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为关于
的方程
有实根，
所以
，所以
，
因为
均是非零向量，且
，
所以
，
因为
，
所以
，
故选：B.
4．（2022 春·浙江金华·高一校考阶段练习）如图，在
中，已知
，
，
，
，
，线段
和
交于点
，则
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
22
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【详解】方法一：以
为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系，
由题意知：
，
，
，
，
，
，
，
方法二：设
，
，
，
，
又
，
，
，
，
故选：A．
5．（2022·四川成都·成都七中校考模拟预测）若
是夹角为
的两个单位向量，则
与
的夹角大小为 .
【答案】
/
23
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【详解】
是夹角为
的两个单位向量，则
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：
6．（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考二模）已知平面向量
满足
，
则
与
夹角的最大值为 .
【答案】
/
【详解】因为
，
，
∴
，即
，
∴
，又
，
∴
，
∴
，
∴
，
当且仅当
时取等号，
又
，
24
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所以
与
夹角的最大值为
.
故答案为：
.
7．（2022·四川南充·统考三模）如图所示，在
中，
，
，
，
，
，CN 与BM 交于点P，则
的值为 ．
【答案】
【详解】如图，以点A 为坐标原点，AB，AC 分别为x,y 轴建立平面直角坐标系，根据题意可知
.
于是
，
，联立
，则
.
25
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所以
.
故答案为：
.
8．（2022 春·浙江宁波·高一校联考期中）在
中，已知
，
，
，
边上的
中线为
，
为
三等分点，满足
，连接
，
与
相交于点
，则
的余弦
值为 .
【答案】
/
【详解】以点
为坐标原点，
的方向为
轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
由题意可得
、
、
、
、
，
所以，
，
，
则
，
，
所以，
.
故答案为：
.
26
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五、平面向量投影（投影向量）
1．（2022·安徽·校联考二模）已知单位向量
满足
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意知：
，
，
，
，
在
上的投影向量为
.
故选：C.
2．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知平面向量
，
满足
，
，
，则
在
上的投影为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】B
【详解】
，
，
解得
，
所以
在
上的投影为
，
故选：B
3．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）如图，在
中，已知
，
，
，BC、AC 边上的两条中线AM、BN 相交于点P，则
在
上的投影为（ ）
27
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
由于
是三角形的中线，所以
是三角形
的重心，
所以
,
则
，
，
，
.
所以
在
上的投影为
.
故选：A
4．（2022·新疆克拉玛依·统考三模）设
，
是两个非零向量，
，
，过
的起点
和终点
，分别作
所在直线的垂线，垂足分别为
，
，得到
，则
叫做向量
在向量
上的投影向
28
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量.如下图，已知扇形
的半径为1，以
为坐标原点建立平面直角坐标系，
，
，
则弧
的中点
的坐标为 ；向量
在
上的投影向量为 .
【答案】
【详解】由已知，
，
，所以
，
所以
，因为点
为弧
的中点，所以
，
扇形
的半径为1，所以弧
满足的曲线参数方程为
，
所以中点
的坐标为
，所以
的坐标为
，
，
，
向量
在
上的投影为
，
因为
，所以向量
在
上的投影向量为
.
故答案为：
；
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5．（2022·上海黄浦·统考二模）已知向量
、
，若
，
，向量
在
方向上的投影数量的
取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为
，
，设
、
所成角为
，
向量
在
方向上的投影数量为：
，
因为
，所以
，所以
.
故答案为:
。
6．（2022·河南·校联考模拟预测）已知向量
，
满足
，
，
.
(1)求
与
的夹角
；
(2)求
在
上的投影向量的模.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，即
，
又
，
，所以
，即
，解得
.
所以
.因为
，所以
.
（2）因为
，所以
，
30
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所以
在
上的投影向量的模为
.
六、平面向量中的新文化，新定义题
1．（2022·四川成都·双流中学校考模拟预测）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何
问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当
三角形的三个角均小于
时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角
；当三角形有一内角大于或
等于
时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在
中，已知
，
，且点M 在AB 线段上，且满足
,若点P 为
的费马点，则
（ ）
A．﹣1
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为在
中，
，
，
所以由余弦定理可得
，
由正弦定理可得
，即
，
又B 为锐角，所以
，
31
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设
，则
，
即
，解得
，即
，
所以
，则
，
又
，
则
为锐角，由于
，故
，
所以
的三个内角均小于
，
则P 为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角
；
所以
，
所以
，
所以
，
故选：C．
2．（2022·河南·校联考模拟预测）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自
古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B 是圆O 上的两点，若
，
32
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则
（ ）
A．4
B．8
C．
D．16
【答案】B
【分析】由平面向量数量积的定义结合圆的性质特征求解即可
【详解】由题意可得
.
故选：B
3．（2022·四川乐山·统考三模）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易
侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD 的一端P 在垂直于
水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D 与塔柱上的点O 都在桥面同一侧的水平直线上.已知
，
，
，
.根据物理学知识得
，则
（ ）
A．28m
B．20m
C．31m
D．22m
【答案】D
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
∽
，
所以
，所以
，
因为
，
，
33
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所以
，
设
，
分别为
的中点，
因为
，
所以
，
所以
为
的中点，
因为
，
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
故选：D
4．（多选）（2022·重庆·统考模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551 年明代嘉靖年间，
明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌
折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．
古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携
袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1 为荣昌折扇，其平面图为图2 的扇形
COD，其中
，动点P 在
上（含端点），连接OP 交扇形OAB 的弧
于点
Q，且
，则下列说法正确的是（ ）
34
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图1 图2
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．
【答案】ABD
【详解】如图，作
,分别以
为x,y 轴建立平面直角坐标系，
则
,
设
，则
,
由
可得
，且
，
若
，则
，
解得
，（负值舍去），故
，A 正确；
若
，则
，
，故B 正确；
35
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，
由于
，故
，故
，故C 错误；
由于
，
故
，而
，
故
，故D 正确，
故选：ABD
5．（2022·青海海东·统考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.
在2022 年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗
花（如图1）.已知正方形
的边长为2，中心为
，四个半圆的圆心均为正方形
各边的中点
（如图2），若
在
的中点，则
.
【答案】8
【详解】方法一：
图3
36
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如图3，取
中点为
，连结
，显然
过
点.
易知，
，
，
则
，
，
.
所以，
.
图4
如图4，延长
交
于
，易知
是
的中点，且
.
则
，
，
在
中，
，
.
所以，
.
所以，
.
故答案为：8.
方法二：
37
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图5
取
中点为
，连结
，显然
过
点.
易知，
，
，
如图5，取
中点为
，显然
，
，
.
在
中，
，
.
又
为
中点，则
.
所以，
.
故答案为：8.
6．（2022·全国·校联考模拟预测）赵爽是我国古代数学家大约在公元222 年，他为《周髀算经》一书作序
时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4 个全等的直角三角形再加
上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3 个全等的三角形与中
间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设
，若
，则可以推出
.
38
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【答案】
【详解】设
，则
如图
由题可知：
，
由
所以
，则
所以
，
又
所以
所以
即
所以
又
39
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所以
所以
故答案为：
40
