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专题15 直线与圆的方程（考点练+模拟练）
一、填空题
1．（22-23 高三上·上海静安·期中）直线
的倾斜角为 .
【答案】
/
【分析】由斜率直接求出倾斜角.
【解析】由直线
可得：斜率为
.
设倾斜角为
，所以
，解得：
.
故答案为：
2．（22-23 高二上·上海青浦·阶段练习）直线
的一个法向量为 .
【答案】
(答案不唯一)
【分析】根据方程直接写出即可.
【解析】直线
的一个法向量为
所以直线
的一个法向量为
.
故答案为：
.(答案不唯一)
3．（23-24 高三下·上海·阶段练习）直线
与直线
平行，则
．
【答案】4
【分析】
由直线平行的性质列式求解即可，注意检验.
【解析】
1
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由题意知
，当
时，直线
与直线
平行，故
满足题意.
故答案为：4.
4．（2023·上海青浦·二模）过点
与直线
垂直的直线方程为 .
【答案】
【分析】设所求直线方程为
，将点
的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求
直线的方程.
【解析】设所求直线方程为
，将点
的坐标代入所求直线方程可得
，
解得
，
故所求直线方程为
.
故答案为：
.
5．（22-23 高三下·上海·阶段练习）平行直线
与
之间的距离为 ．
【答案】
【分析】直接由平行线的距离公式求解即可.
【解析】直线
即为
，
则平行直线
与
之间的距离为
.
故答案为：
6．（23-24 高二下·上海·期中）直线过点
，法向量为
，则的一般式方程为 .
【答案】
【分析】首先得到直线的方向向量，从而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式
即可.
2
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【解析】因为直线过点
，法向量为
，
所以直线的方向向量可取
，
所以直线的斜率
，
所以直线的方程为
，即
.
故答案为：
7．（22-23 高三下·上海浦东新·阶段练习）已知
，则
外接圆的方程为 ．
【答案】
【分析】把三个点代入圆的标准方程求解即可.
【解析】设
外接圆的方程为
，
则有
，解得
则
外接圆的方程为
.
故答案为：
.
8．（22-23 高三上·上海浦东新·期末）直线
与直线
所成夹角的余弦值等于
【答案】
【分析】先根据题意得到两直线的斜率，进而得到直线
的倾斜角为
，设直线
的倾斜角为
，则两直线的夹角为
，再由同角三角函数的基本关系及两角和差公式计算可得.
【解析】直线
，即
，则其斜率为
，倾斜角为
；
3
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直线
，即
，则其斜率
，
设直线
的倾斜角为
，则
，
又
，所以
，
所以
，
，而
，
所以两直线的夹角为
，
又因为
，
则
所以
，
故所求夹角的余弦值为
.
故答案为：
.
9．（2022·上海·模拟预测）已知方程组
有无穷解，则
的值为
【答案】4
【分析】依题意可得直线
与直线
重合，即可得到方程组，解得即可；
【解析】解：因为方程组
有无穷解，所以直线
与直线
重合，所以
且
，解得
；
故答案为：
4
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10．（21-22 高三下·上海闵行·开学考试）已知直线的参数方程为
，请写出的一个方向
向量 .
【答案】
（答案不唯一）
【分析】消去参数得到的普通方程，再根据方向向量的概念求解即可.
【解析】由
消去参数，得直线的普通方程为
，
所以直线的斜率为
，
故的一个方向向量为
(
均正确)，
故答案为：
（答案不唯一）
11．（21-22 高三上·上海浦东新·阶段练习）直线
与圆
相交所得的弦长为
___________．
【答案】
【分析】由题意首先写出圆的标准方程，然后利用弦长公式确定直线截圆所得的弦长即可
【解析】因为圆
即：
，
则圆心
到直线
的距离：
，
由弦长公式可得弦长为：
.
故答案为：
12．（2023·上海普陀·一模）设
．若直线
与曲线
仅有一个公共点，
则
．
【答案】
【分析】利用圆心到直线的距离等于圆
的半径可得出关于实数
的等式，即可解得实数
的值.
5
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【解析】圆
的圆心坐标为
，半径为，由题意可得
，解得
.
故答案为：
.
13．（24-25 高三上·上海·阶段练习）平面点集
所构成区域的面积
为
【答案】
【分析】根据集合描述确定
轨迹内切于圆心为
，半径为5 的圆，外切于圆心为
，半径为3
的圆，即可求面积.
【解析】由题设
表示圆心为
，其在圆心为原点，半径为1 的圆上，
显然
轨迹是圆心在单位圆上，且半径为4 的圆，故点集与原点距离最远恒为5，最近恒为3，
所以
的轨迹为圆心为
，外径为5，内径为3 的圆环，
所以，平面点集所构成区域的面积为
.
故答案为：
14．（22-23 高三下·上海杨浦·阶段练习）已知定点
，圆
，M，N 为
上的动点，满足
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据垂径定理，可知弦MN 的中点P 满足
，从而利用圆的定义求得点P 的轨迹方程，再
利用数量积的运算律得
，从而利用点圆圆的位置关系求得
，即可得解.
6
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【解析】
设MN 的中点为P，则
，所以
，
由圆的定义知，点P 的轨迹为以O 为圆心，1 为半径的圆，其方程为
，
所以
，
又
，点P 在圆
上运动，所以
，所以
.
故答案为：
15．（2024·上海·三模）已知圆
，圆
，点M，N 分别是圆
、
圆
上的动点，点
为
上的动点，则
的最小值是 .
【答案】
【分析】作出示意图，
分别为
的半径，圆可得
，求
得圆
关于直线
的对称圆的方程为
，数形结合可求
.
【解析】作出示意图如图所示：
7
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由
，可得圆心
，半径
，
由
，可得圆心
，半径
，
由题意可得
，
易得圆
关于直线
的对称圆的方程为
，
，
当且仅当
三点共线时等号成立，
所以
.
故答案为：
.
16．（24-25 高三上·上海·阶段练习）已知圆
上任意一点
的取值与
无关，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先构造点到直线的距离的几何意义，转化为直线与圆的位置关系，即可求解.
【解析】设
，
故
可以看作点
到直线
8
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与直线
距离之和的5 倍，
的取值与
无关，
这个距离之和与点
在圆上的位置无关，
如图所示：可知直线
平移时，
点与直线
的距离之和均为
的距离，
即此时圆在两直线内部，
当直线
与圆相切时
化简得
，
解得
或
（舍去），
所以
.
故答案为：
二、单选题
17．（24-25 高三上·上海·期中）已知直线
，动直线
，则下列结
论正确的为（ ）
A．不存在
，使得
的倾斜角为
B．对任意的
，与
都不垂直
C．存在
，使得与
重合
D．对任意的
，与
都有公共点
【答案】D
【分析】通过斜率不存在即可得到倾斜角可以为
，首先讨论斜率是否存在，斜率存在的情况下两直线的
位置关系：斜率为乘积为
得到垂直关系；斜率相等得到平行（重合），反之即不成立.
9
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【解析】当
时，动直线
，此时倾斜角为
，故A 选项错误；
，当
时，显然与
都不垂直；当
时，
，
当
时，
，此时
，即存在
使得与
垂直，故B 选项错误；
，当
时，显然与
都不重合且有公共点；当
时，
，
当
，即
时，方程无解，即不存在
，使得与
平行，但有公共点；
故C 选项错误，D 选项正确；
故选：D.
18．（23-24 高二下·上海·期中）已知直线
与圆
，点
，则下列
说法错误的是（ ）
A．若点
在圆
上，则直线与圆
相切
B．若点
在圆
内，则直线与圆
相离
C．若点
在圆
外，则直线与圆
相离
D．若点
在直线上，则直线与圆
相切
【答案】C
【分析】利用点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系求解.
【解析】圆心
到直线的距离
，
若点
在圆
上， 则
，所以
， 则直线与圆
相切，故A 正确;
若点
在圆
内， 则
，所以
， 则直线与圆
相离，故B 正确；
若点
在圆
外， 则
，所以
， 则直线与圆
相交， 故C 错误；
若点
在直线上， 则
，即
，所以
直线与圆
相切，
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故D 正确，
故选：C．
19．（23-24 高二上·上海虹口·阶段练习）若
中，a，b，c 分别为三内角A，B，C 的对边，且
，则直线
与直线
（ ）
A．平行
B．重合
C．相交且垂直
D．相交且不垂直
【答案】B
【分析】根据对数的运算性质可得
，将两直线化为斜截式，求出对应的斜率，结合正弦定理
即可得出结果.
【解析】因为
，所以
均为正数，
由
，即
，
可得
，即
，
对于直线
，即
，
对于直线
，即
，
由正弦定理可得
，所以直线与直线
重合.
故选：B.
20．（24-25 高二上·上海·期中）已知动圆
的方程为
，其中
为常数，
，有下列两个命题：
①存在
，使圆
与圆
相切；
②对任意
，直线
上都存在点
，圆
上都存在两点
、
，使
.
则（ ）
A．①②都为真命题
B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题
D．①②都为假命题
【答案】C
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【分析】对于①，求得两圆的圆心距与两圆的半径，可得两圆总相交，可判断①；对于②，当
与圆
相切时，可得
，可判断②.
【解析】由
，可得圆心
，半径为
，
由
，可得
，半径
，
由
，所以
，
所以两圆相交，故不存在
，使圆
与圆
相切，
故①为假命题；
因为
，所以直线
过点
，
当
与圆
相切时，可得
，所以
，
所以对任意
，直线
上都存在点
，
圆
上都存在两点
、
，使
.故②正确.
故选：C.
【点睛】方法点睛：判断圆与圆的位置关系，常常求得两圆圆心之间的距离，并与半径和差之间的关系判
断.
三、解答题
21．（23-24 高二上·上海浦东新·阶段练习）已知直线
：
和圆
：
.
(1)求与直线
垂直且经过圆心的直线的一般方程；
(2)求与直线
平行且与圆
相切的直线的一般方程.
【答案】(1)
(2)
或
.
【分析】（1）待定系数法设出与直线
垂直的直线，代入圆心坐标计算即可得；
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（2）待定系数法设出与直线
平行的直线，借助与圆相切的性质计算即可得.
【解析】（1）设与直线
垂直的直线为
圆
可化为
，圆心为
，
又因为直线
经过圆心，所以
，即
，
故所求直线方程为
；
（2）设与直线
平行的直线为
.
又因为直线
与圆
相切，
所以圆心
到直线
的距离等于半径，
即
，
所以
，
或5，
故所求直线方程为
或
.
22．（23-24 高二下·上海·期中）数学家欧拉1765 年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角
形的外心垂心重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线
､
､
.已知
的顶点
，若其
欧拉线的方程为
，
(1)求三角形
外心
的坐标；
(2)求顶点
的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得
边的垂直平分线的所在的直线方程为
，结合题意联立方程求
解即可；
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（2）设
，根据题意结合重心坐标公式可得
，由外心可得
，联立方
程求解即可.
【解析】（1）由题意可知：
边的中点坐标为
，
，
边的垂直平分线的所在的直线方程为
，即
，
联立方程
，解得
所以
的外心
的坐标为
.
（2）设
，则
的重心为
，
代入欧拉线方程得
，整理得
，
由（1）可知：
的外心坐标为
，
可知
，则
，
整理得
，
联立方程
，解得
或
，
当
时，点B，C 重合，舍去，
所以顶点C 的坐标是
.
23．（23-24 高二下·上海闵行·期末）设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在
处发现了北偏东
的
海面
处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮
航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻
艇的航速是走私船航速的2 倍，
与相距约为20 海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直
角坐标系中，试问：
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(1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6 海里，那么走私船能被截获的点是哪些？
(2)设
，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），
相距最远是多少海里？
【答案】(1)走私船能被截获的点的轨迹是以
为圆心、4 为半径的圆.
(2)15 海里.
【分析】（1）设
，根据
得到方程，化简即可得到轨迹；
（2）设
，根据
化简得到轨迹，；利用
在圆
的内部，得到不等
式，转化为直线与圆的位置关系从而得到不等式，解出即可.
【解析】（1）由题意得
，设走私船能被截获的点为
，
则
，则
，
化简得
.
因此，走私船能被截获的点的轨迹是以
为圆心、4 为半径的圆.
（2）设走私船能被截获的点为
，则
，
由
，整理得
，
走私船能被截获的点的轨迹是以
为圆心、
为半径的圆，记为圆
.
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当
在圆
的内部，则
，
可变形为
，即
，
因此巡逻庭不能在圆
内部截获走私船.
分要保证巡逻艇在领海内捕获走私船，
圆
内部区域与直线
不相交，
则圆心
到直线的距离
，
所以
，
相距最远是15 海里.
24．（24-25 高二上·上海·阶段练习）已知圆
的圆心坐标为
，且该圆经过点
.
(1)若点
也在圆
上，且弦
长为8，求直线
的方程；
(2)直线交圆
于
、
两点，若直线
、
的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定
点坐标；
(3)直线交圆
于
、
两点，若直线
、
的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该
定值.
【答案】(1)
或
(2)
(3)证明见解析；定值为
【分析】（1）根据题意，求得圆
的方程为
，分类直线
的斜率不存在和斜率存在，结
合圆的弦长公式，即可求解；
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（2）当直线的斜率不存在时，根据直线
的斜率之积为
，求得
，联立方程组，此时
方程组无解；当直线的斜率存在时，设直线
，利用斜率公式，列出方程求得
，联立方程组，利用根与系数的关系，代入求得
，进而得
出直线过定点.
（3）设直线
，联立方程组，求得
，同理求得点
，求得
，即可得证.
【解析】（1）因为圆
的圆心坐标为
，且该圆经过点
，
可得
，即圆的半径为
，所以圆
的方程为
，
当直线
的斜率不存在时，此时直线
的方程为
，此时
，符合题意；
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
因为
，圆的半径为
，可得圆心到直线
的距离为，
由点到直线的距离公式，可得
，解得
，
所以直线
的方程为
，即
，
综上可得，直线
的方程为
或
.
（2）解：当直线的斜率不存在时，设
，
因为直线
的斜率之积为
，且
，
可得
，即
，
又因为点
在圆
上，可得
，
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联立方程组
，此时方程组无解，（舍去）；
当直线的斜率存在时，设直线
的方程为
，且
，
由
，
整理得
，
联立方程组
，整理得
，
所以
，
代入上式，可得
，
整理得
，所以直线的方程为
，
可得直线的方程为
，
联立方程组
，解得
，所以直线恒过定点
.
（3）解：设直线
，
联立方程组
，整理得
，
所以点
的坐标为
，
同理可得：点
的坐标为
，
所以
，所以直线的斜率为定值
.
25．（21-22 高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆
和圆
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.
(1)若圆
与圆
相交，求的取值范围；
(2)若直线
与圆
交于
，
两点，且
，求实数
的值；
(3)若
，设
为平面上的点，且满足：存在过点
的无穷多对互相垂直的直线和
，它们分别与圆
和圆
相交，且直线被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等，试求所有满足条件的点
的坐
标.
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到
，进而得到的取值范围；
（2）设
，
，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到
的取值范围，由韦达定理得到
和
，代入
，解出
的值；
（3）设
，由
分别写出与
的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根
据有无数多条直线，得到关于
的方程有无数多组解，从而解出
，即得到
的坐标.
【解析】（1）圆
的标准方程为
，则圆心
，
，
圆
的标准方程为
，则圆心
，
19
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，
圆
与圆
相交，
，即
，解得
，
的取值范围
.
（2）已知直线
与圆
交于
，
两点，设
，
，
联立
，得
，
所以
，得
，
解得
，因为
，所以
.
（3）
设点
坐标为
，直线、
的方程分别为：
，
，
即：
，
，
因为直线被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等且两圆半径相等，
由垂径定理得，圆心
到直线与
直线
的距离相等．
20
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故有：
，
化简得：
或
，
因为存在过点
的无穷多对互相垂直的直线和
，
所以关于
的方程有无穷多解，从而有
或
，
解得
或
，
所以点P 坐标为
或
．
一、填空题
1．（2024·上海长宁·二模）直线
与直线
的夹角大小为 ．
【答案】
/
【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最
后求出结果.
【解析】设直线
与直线
的倾斜角分别为
，
则
，且
，
所以
，
因为
，
所以
，即两条直线的夹角为
，
故答案为：
.
21
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2．（2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为
，且直线与直线
：
垂直，则
【答案】
【分析】根据题意，求得直线
的斜率，结合直线、
互相垂直算出的斜率，进而求出倾斜角
的大小．
【解析】直线
即
，斜率
，
因为直线、
互相垂直，所以直线的斜率
，
直线的倾斜角为
，则
，结合
，可知
．
故答案为：
．
3．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线
的倾斜角小
，则的斜率为
．
【答案】
【分析】根据直线
方程求出直线
斜率为
，由此确定直线
倾斜角
，结合已知条件求得直线倾
斜角为
，由此即可求得直线的斜率.
【解析】由直线
方程：
得
的倾斜角为
，
所以的倾斜角为
，即的斜率为
.
故答案为：
.
4．（2023·上海青浦·一模）已知向量
垂直于直线的法向量，过
、
分别作直线的
垂线，对应垂足为
和
，若
，则实数
的值为 ．
【答案】
【分析】
22
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为
在
上的投影向量，得到
，计算得到答案.
【解析】
为
在
上的投影向量，故
，
，
故
.
故答案为：
.
5．（2023·上海徐汇·一模）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为
米，有一个水
平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道．若该设备水平截面矩形的宽
为米，则该设备能水平通
过直角型过道的长
不超过 米．
【答案】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用直线
的方程求得设备的长
的表达式，再利用均值定理求得
的最小值，
进而得到该设备能水平通过直角型过道时
不超过的值.
【解析】分别以
所在直线为
轴建立平面直角坐标系如图，
则
，令
，
则直线
的方程为
，
则
在直线
的上方，且
到直线
的距离为1，
即
， 则
，
23
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整理得
，
设
，则
，
则
可化为
，
令
，则
，则
,
由
，得
，
又
在
上单调递增，
则
，
则
（当且仅当
时等号成立）
则该设备能水平通过直角型过道的长
不超过
米
故答案为：
24
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6．（2023·上海奉贤·一模）已知直线
和直线
，则曲线
上一动点
到直
线和直线
的距离之和的最小值是 ．
【答案】
/
【分析】先设出点
的坐标，表示出点
到直线和直线
的距离之和
；再利用几何意
义求解得出答案.
【解析】
设点
的坐标为
则动点
到直线的距离为
；动点
直线
的距离为
.
所以曲线
上一动点
到直线和直线
的距离之和为
令
，即
则
的几何意义是过点
的直线
在
轴上的截距.
因为点
在曲线
上.
所以当直线
与曲线
相切时有最值.
因为曲线
是以
圆心，为半径的圆.
则
，解得
或
25
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所以曲线
上一动点
到直线和直线
的距离之和的最小值为
.
故答案为：
7．（2023·上海·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到
两个定点
的距离之比为定值
的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为
阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点
在圆
上，若点
，点
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】
先利用阿氏圆定义设出
，由
得到
，利用
，即可求
出最小值.
【解析】设
，不妨取
，使得
，所以
，
整理得：
.
此方程与
为同一方程，所以
，解得：
，即
.
所以
（当且仅当P、B、C 三点共线时等号成立）
此时
.
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
26
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8．（2019·上海嘉定·三模）已知平面直角坐标系中两点
、
，
为原点，有
.设
、
、
是平面曲线
上任意三点，则
的最大值为
【答案】20.
【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得
，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可
得出
的最大值.
【解析】将圆的方程化为标准方程得
，圆心坐标为
，半径长为
，
，
由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，
所以，当四边形
为正方形时，
取最大值，此时正方形的边长为
，
所以，
，故答案为
.
【点睛】本题考查圆的几何性质，考查圆内接四边形面积的最值问题，解题时要充分利用题中代数式的几
何意义，利用数形结合思想进行转化，另外了解圆内接四边形中正方形的面积最大这一结论的应用.
二、单选题
9．（2023·上海嘉定·一模）直线倾斜角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直线倾斜角的定义进行判断即可.
【解析】当直线与横轴平行时，直线的倾斜角是
，
因此直线倾斜角的取值范围为
，
故选：C
27
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10．（2023·上海浦东新·模拟预测）设点
满足
，则“
”是“
为定值”的（ ）.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据几何意义，将所求式转化为点到直线的距离，进而研究图像求解.
【解析】若
为定值，
即点
到直线
两条直线距离之和为定值，
显然，这两条直线平行，如图，
所以当点
在与这两条直线平行的直线上时，此时直线
满足
且
，
即
，且
，
为定值，
所以“
”是“
为定值”的必要不充分条件.
故选：B
11．（2018·上海虹口·二模）直线
与圆
交于
，
两点，且
，过点
，
分别作的垂线与
轴交于点
，
，是
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
28
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【分析】先由题意，得到
为圆
的直径，直线
过圆心
，得出直线的方程，再
由垂直关系，得到
与
都是等腰直角三角形，进而求出
，即可得出结果.
【解析】
为圆
的直径，
所以直线
过圆心
，
所以
，则直线的方程为
，
由题意，
，
，
因此
，
的斜率均为，倾斜角
，
即
与
都是等腰直角三角形，
所以
因此
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，属于常考题型.
12．（2024·上海·三模）设集合
，点P 的坐标为
，满足“对任意
，都有
”的点P 构成的图形为
，满足“存在
，使得
”的点P 构成的图形为
．对于下述两个结论：①
为正方形以及该正方形
内部区域；②
的面积大于32．以下说法正确的为（ ）．
A．①、②都正确
B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确
D．①、②都不正确
【答案】C
【分析】先确定
所表达的意义，了解满足该条件的点
的轨迹，再求
点轨迹
区域的面积，可以得到问题的答案.
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【解析】因为
，表示除原点外的平面内的所有点.
，
所以
表示到直线
和
的距离之和不大于4 的点.
如图：
易知直线
和
垂直，
则
，
.
当
时，
.
因为
，所以
.
因为
要求存在，所以
是以原点为圆心，半径为
的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），
因为
要求存在，所以
是以原点为圆心，半径在
范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除
外），故①不正确；
当
时，存在
使得
，故②正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件
转化成
，
借助点到直线的距离公式，明确
点坐标满足的条件.
30
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三、解答题
13．（2017·上海浦东新·三模）已知直线
为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在原
点
处发现了北偏东
海面上
处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮
航行，以
便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2 倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方
向逃窜.
（1）如果走私船和巡逻船相距6 海里，求走私船能被截获的点的轨迹；
（2）若
与公海的最近距离20 海里，要保证在领海内捕获走私船，则
，
之间的最远距离是多少海里？
【答案】（1）以
为圆心，以4 为半径的圆；（2）
海里
【分析】（1）在平面直角坐标系中，设走私船能被截获的点的坐标为
，根据
可得
的
轨迹.
（2）先求出的值，再设
，类似于（1）中求轨迹的方法可求
的轨迹，该轨迹与直线至多
有一个公共点，从而可得
的取值范围.
【解析】（1）如图，
因为
，故
，设走私船能被截获的点的坐标为
，
则
，所以
，
整理得到
，所以
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆.
（2）因为
与公海的最近距离20 海里，故
，因
，故
.
故直线
，
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设
，故
，设走私船能被截获的点的坐标为
，
则
，故
，
整理得到
，
故
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆.
由题设可知，该圆的圆心在直线下方且圆与直线至多有一个公共点，
故
，解得
，
故
，
之间的最远距离是
海里.
【点睛】本题考查圆中的轨迹问题-阿波罗尼斯圆以及直线与圆的位置关系，所谓阿波罗尼斯圆，即平面中
到两个定点的距离之比为
的动点的轨迹，解题中注意“两定一动比确定”的特征，本题为综
合题，有一定的难度.
14．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知
，函数
的图象为曲线
.
、
是
上的两
点，
在第一象限，
在第二象限.设点
、
.
(1)若
到
和到直线
的距离相等，求
的值；
(2)已知
，证明：
为定值，并求出此定值（用
表示）；
(3)设
，且直线
、
的斜率之和为
.求原点
到直线
距离的取值范围.
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【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）根据函数表达式可设
，结合两点间距离公式可得
，整理即
可求解；
（2）设
，
，则可得到
，
，由平行关系可得
，
整理即可证明；
（3）设直线
、
的斜率分别为
、
（
），代入函数表达式可得
，
的坐标，即可得到直
线
的表达式，利用点到直线距离公式，进而求解.
【解析】（1）设
（
），由题意，
.
而
，由
知，
，故
.
（2）设
，
（
，
），则
，
，
故由
，得
，即
，
由于
，故
，
所以
为定值.
（3）由题，设直线
、
的斜率分别为
、
（
），
则
，
，
故直线
的方程为
，
设
，则
，
所以
到直线
距离为
，
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当
时，
，故
.
15．（18-19 高一下·江苏无锡·期中）已知圆C：（x+1）
2+y2＝a（a＞0），定点A（m，0），B（0，n），
其中m，n 为正实数．
(1)当a＝m＝n＝3 时，判断直线AB 与圆C 的位置关系；
(2)当a＝4 时，若对于圆C 上任意一点P 均有PA＝λPO 成立（O 为坐标原点），求实数m，λ 的值；
(3)当m＝2，n＝4 时，对于线段AB 上的任意一点P，若在圆C 上都存在不同的两点M，N，使得点M 是线
段PN 的中点，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)相离
(2)m＝3，λ＝2
(3)
【分析】（1）把a＝m＝n＝3 分别代入圆与直线方程，由圆心到直线的距离,即可判断直线与圆的位置关系；
（2）设点P（x，y），由PA＝λPO，得
，结合
，化简
得
，由P 为圆C 上任意一点，列式求得实数m，λ 的值；
（3）求出直线方程，由点
的坐标得到点
的坐标，将点M，N 的坐标代入圆C 的方程，利用方程有
解，以及直线
与圆
相离，即可求解a 的范围．
【解析】（1）当a＝3 时，圆心为
，半径为
，
当m＝n＝3 时，直线AB 方程为
，
∴圆心到直线距离为
，
∵
，∴直线与圆相离；
（2）设点P（x，y），则
，
，
∵PA＝λPO，∴
，
34
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即
，
由
得，
，∴
，
代入得，
，
化简得
，
∵P 为圆C 上任意一点，∴
，
又m，λ＞0，解得m＝3，λ＝2；
（3）直线AB 的方程为
，设
，N（x，y），
∵点M 是线段PN 的中点，
，
又M，N 都在圆C：（x+1）
2+y2＝a 上，
，
即
．
∵关于x，y 的方程组有解，即以（﹣1，0）为圆心，
为半径的圆与以
为圆心，
为半
径的圆有公共点，
∴
，
又P 为线段AB 上的任意一点，∴
对所有
成立．
而
在[0，2]上的值域为
，
∴
，即
．
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根据题意可知线段AB 与圆C 无公共点，∴
，则
．
故实数a 的取值范围为
．
36
