《2026初高衔接》[第十三讲]——函数的变换与分段作图_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》教师版

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夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
13
函数的变换与分段作图
函数的变换与分段作图
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
函数变换的方法
熟练掌握图象变换法则，准确推导
变换后函数解析式并能作图
直观想象、数学抽象
分段函数认识与作图
读懂分段函数，规范绘制分段图象，
求解单调性、最值问题
直观想象、逻辑推理
一函数的变换作图
此前我们已经梳理了函数的定义与基础性质，同时结合初中所学内容，对反比例函数、二次函数展开了更
深层次的拓展研究．步入高中，除各类基本初等函数外，函数图象变换也是核心知识点；依托图象变换，我们
能由基础函数推导出各式各样的函数图象．高中阶段要求熟练掌握四类图象变换：平移、伸缩、翻折、对称．
本节课我们重点讲解平移变换与翻折变换．
平移变换
将y = f(x) 在横方向向左右


平移a 个单位．可以得到新函数y = f(x ± a)．口诀：左加右减．
将y = f(x) 在纵方向向上下


平移b 个单位．可以得到新函数y = f(x) ± b．口诀：上加下减．
f(x)
O
x
y
f(x-1)
1
2
3 4
5
1
-1
f(x)
O
x
y
f(x)+1
1
2 3 4
1
-1
翻折变换
初中阶段我们学习了绝对值：a


=
a,
a≥0
-a ,
a<0

或
a


=
a,
a>0
-a,
a≤0

去绝对值原理：非负数的绝对值为它本身，负数的绝对值等于它的相反数．
由此我们可以对函数y = f(x)


与y = f( x


) 进行解读：
y = f(x)


=
f(x)，
f(x)≥0
-f(x)，
f(x)<0

y = f( x


) =
f(x)，
x≥0
f(-x)，
x<0

从图象角度，函数y = f(x) 翻折变换的通法为：
①y = f(x)


图象是将f(x) 在x 轴上方图象保留，将x 轴下方的图象作x 轴对称到x 轴上方后得到．
②y = f( x


) 图象是将f(x) 在y 轴右侧的图象保留，将y 轴右侧图象作y 轴对称到到y 轴左侧得到．
翻折变换的通用方法
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★★★☆☆)设函数f(x) = |x2- 2x|．
(1) 在区间[-1，4] 上画出函数f(x) 的图象；
(2) 方程f(x) = a 在区间[-1，4] 有两个不同的实数根，求a 的取值范围．
(3) 若对任意x1，x2∈[t，t + 1]，且x1≠x2，都有f(x1)- f(x2)
x1-x2
> 0 成立，试求实数t 的取值范围．
(1) 根据题意，函数图象如图所示
(2) ∵方程f(x) = a 在区间[-1，4] 有两个不同的实数根，
f(0) = f(2) = 0，f(1) = 1 且f(-1) = 3，f(4) = 8 ∴a = 0 或1 < a ≤3
(3) 依题意，对任意x1，x2∈[t，t + 1]，且x1≠x2，
都有f(x1)- f(x2)
x1-x2
> 0 成立可知：f(x) 在[t，t + 1] 上是增函数
∴t ≥2 或t≥0
t+1≤2

，解得0 ≤t ≤1
所以t ∈0，1


∪[2，+∞)
1
(★☆☆☆☆)请结合课堂内容，绘制下列函数的图象．
1


f x


= x2- 2x，绘制f x-1


2


绘制f x


= x-2


4
3
2
1
2
1
5
4
3
2
1
1
x
y
4
3
2
1
2
1
6
5
4
3
2
1
1
x
y
3


绘制f x


= x-2


+ 1
3


绘制f x


= 2x


- 1
4
3
2
1
2
1
6
5
4
3
2
1
x
y
3
2
1
2
1
6
5
4
3
2
1
1
x
y
5


绘制f x


= x2- 2 x


+ 1
6


绘制f(x) = x-1
x+1


5
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
y
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
x
y
8
7
6
5
4
3
2
1
2
1
6
5
4
3
2
1
x
y
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2
(★☆☆☆☆)函数y = |x2- x| 的单调递增区间是
( C )
A.
0, 1
2




B. [1, +∞)
C.
0, 1
2




,[1, +∞)
D.
-∞,0


, 1
2 ,1




y = |x2- x| 其图象如右图所示，根据图象可得
函数的单调增区间为0，1
2




和[1，+∞) 故答案为：0，1
2




和[1，+∞)．
3
(★★☆☆☆)已知f(x) = x+1，x∈[-1，0)
x2+1，x∈[0，1]

，则下列选项错误的是
( D )
x
y
①
1
2
1
2
x
y
②
1
2
-1
1
x
y
③
1
2
1
-1
x
y
④
1
2
1
-1
A. ①是f(x - 1) 图像
B. ②是f(-x) 的图像
C. ③是f(|x|) 的图像
D. ④是|f(x)| 的图像
作f(x) 如图所示：f(x - 1) 的图象是由函数f(x) 的图象向右平移一个
单位1 长度得到的，A 正确；f(-x) 的图象与函数f(x) 的图象关于y 轴对称，B 正确；
对于f(|x|) 的图象，当x > 0 时，与f(x) 的图象相同，当x < 0 时，与f(x) 在[0，1]
上的图象关于y 轴对称，C 正确；
因为f(x) ≥0，所以|f(x)| 的图象与函数f(x) 的图象相同，D 不正确．故选：D．
4 (★★☆☆☆)已知f(x) = |x - a|，若函数f(x) 在区间(-∞，2] 上为减函数，则a 的取值范围是( C )
A. a ≥1
B. a > 1
C. a ≥2
D. a > 2
f(x) = |x - a| 有对称轴x = a，作出函数草图：
f(x)=|x-a|
x=a
x
y
2
可以记忆所有的y =
kx+b


均有对称轴，
其对称轴为x =- b
k ．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
由图象可知要使题意成立，则有：2 ≤a
5
(★★☆☆☆)若方程2|x - 1| = a 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是
( C )
A. (0，1)
B. [0，+∞)
C. (0，+∞)
D. (-∞，0]
令y = 2|x - 1|, 则函数的图象如下图所示：
由图可知，当a < 0 时，y = a 与y = 2|x - 1| 没有交点，即方程2|x - 1| = a 无解；
当a = 0 时，y = a 与y = 2|x - 1| 有一个交点，即方程2|x - 1| = a 有一解；
当a > 0 时，y = a 与y = 2|x - 1| 的图象有两个交点，即方程2|x - 1| = a 有两解：
故若方程2|x - 1| = a 有且仅有二解，则实数a 的取值范围是(0，+∞) 故选：C．
6
(★★☆☆☆)函数y = |4x - x2| 的图象与直线y = a 有四个不同公共点，则实数a 的取值范围是
( A )
A. (0,4)
B. [0,4]
C. (4, +∞)
D. (-∞,4)
函数y = |4x - x2| 的图象如下图所示：
由上图可知：当0 < a < 4 时，函数y = |4x - x2| 图象与函数y = a(a ∈R)
图象有四个公共点，故满足条件的a 的取值范围是(0，4) 故答案为：(0，4)
O
x
y
1
2 1
x
y
1
2
-1
1
O
x
y
1
2
x
y
4
4
131
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选择胜于努力，笃行成就未来
7
(多选•★★★☆☆)已知函数f(x) = x-1
x

，则表达正确的是
(
BC
)
A. 函数f(x) 的单调递减区间为(-∞，0)，(0，1)
B. (1，+∞) 为函数f(x) 的单调递增区间
C. 函数f(x) 有最小值，无最大值
D. 函数f(x) 满足f(x) + f(-x) =-2
作出f(x) = x-1
x

= 1- 1
x

的图象，
由图知A 错，B、C 正确，∵f(1) = 1-1
1

= 0，f(-1) = -1-1
-1

= 2
∴f(1) + f(-1) = 2，故D 错误．故选：BC．
8
(★★★☆☆)函数f(x) = x2+ 2a|x| +4a2- 1 的图象与x 轴有且只有一个交点，则实数a 的值为
( A )
A. 1
2
B. - 1
2
C. 1
D. 0
∵函数f(x) = x2+ 2a|x| +4a2- 1，
f(-x) = f(x)，∴f(x) 为偶函数，
∴y = f(x) 的图象关于y 轴对称，
由题意知f(x) = 0 只有x = 0 这一个零点，且a > 0
∴a = 1
2 ，故答案为1
2 ．
9
(★★★☆☆)函数f(x) = |x2- 1|，若实数a > b > 0，满足f(a) = f(b)，则ab 的取值范围是
( A )
A. (0,1)
B. [0,1]
C. (1, +∞)
D. (0, +∞)
作出函数f(x) 的图象，如图所示：a > b > 0，f(a) = f(b)
由图象可得1 - a2= b2- 1，0 < a < 1，1 < b <
2，
所以a2+ b2= 2，所以0 < ab < a2+b2
2
= 1，
当且仅当a = b 时等号成立，∴ab 的取值范围是(0，1)．
10 (★★★☆☆)设函数f(x) = 1- 1
x

．
(1) 作出函数f(x) = 1- 1
x

的图象；
(2) 当0 < a < b，f(a) = f(b) 时，求1
a + 1
b 的值；
(3) 若方程f(x) = m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．
(1) 先作出函数f(x) = 1 - 1
x (x > 0)
再将x 轴下方部分翻折到x 轴上方即可得到函数的图象．
如图所示
(2) 根据函数的图象，可知f(x) 在(0，1] 上是减函数，
而在(1，+∞) 上是增函数，由0 < a < b 且f(a) = f(b)
得0 < a < 1 < b，
∴1
a - 1 = 1 - 1
b ，∴1
a + 1
b = 2
(3) 构造函数y1= f(x)，y2= m，
由函数f (x) 的图象可知，当0 < m < 1 或1 < m 时方程
f(x) = m 有两个不相等的正根．
x
y
1
y=1
奇偶函数的零点定会成对出现，
当它存在奇数个零点时，意味
着它一定会过原点．在2024 年
高考中考过该知识点．在高一
函数学习中需要关注．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
x
y
2
-2
2
7
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
1
x
y
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11 (★★★★☆)已知函数f(x) = |2x - a| +a．
(1) 若不等式f(x) ≤6 的解集为{x| -2 ≤x ≤3}，求实数a 的值；
(2) 在(1) 的条件下，若存在实数n ∈0, 1
2


使得f(n) ≤m - f(-n) 成立，求实数m 的取值范围．
(1) ∵函数f(x) = |2x - a| +a，故不等式f(x) ≤6，
即
6-a≥0
a-6≤2x-a≤6-a

，求得a - 3 ≤x ≤3．
再根据不等式的解集为{x| -2 ≤x ≤3}，
可得a - 3 =-2，∴实数a = 1．
(2) 在(1) 的条件下，f(x) = |2x - 1| +1，
作出函数图象如下：∵f(n) ≤m - f(-n)，
即f(n) + f(-n) ≤m
由图可知：f(n) + f(-n) = 2f(0) = 4
∴m ≥4，故实数m 的取值范围是[4，+∞)．
12 (★★★★☆)已知f(x) = x2- 2ax + 5
(1) 当a = 3 时，作出函数|f(x)| 的图象，若关于x 的方程|f(x)| = m 有四个解，直接写出m 的取值范围；
(2) 若y = f(x) 的定义域和值域均为[1，a]，求实数a 的值；
(3) 若y = f(x) 是(-∞，2] 上的严格减函数，且对任意的x ∈[1，a + 1]，总有-4 ≤f(x) ≤1 成立，求实
数a 的取值范围．
(1)a = 3 时，f(x) = x2- 6x + 5，
画出函数y = |f(x)| 的图象，如图示：
若关于x 的方程|f(x)| = m 有四个解，m ∈(0，4)；
(2) ∵函数f(x) = x2- 2ax + 5(a > 1)，
∴f(x) 开口向上，对称轴为x = a > 1，∴f(x) 在[1，a] 是单调减函
数，∴f(x) 的最大值为f(1) = 6 - 2a，f(x) 的最小值为f(a) = 5 - a2
∴6 - 2a = a，且5 - a2= 1，∴a = 2．
(3) 函数f(x) = x2- 2ax + 5 = (x - a)2+ 5 - a2，
开口向上，对称轴为x = a，∵f(x) 在区间(-∞，2] 上是减函数，对称轴大于等于2，
∴a ≥2，a + 1 ≥3，f(x) 在(1，a) 上为减函数，在(a，a + 1) 上为增函数，
f(x) 在x = a 处取得最小值，f(x)min = f(a) = 5 - a2
f(x) 在x = 1 处取得最大值，f(x)max = f(1) = 6 - 2a
∴5 - a2≤f(x) ≤6 - 2a，∵对任意的x ∈[1，a + 1]，总-4 ≤f(x) ≤1，
∴
5-a2≥-4
6-2a≤1
5-a2<6-2a





，5
2 ≤a ≤3，综上：a 的取值范围[2，3]．
x
y
1
2
f(n)
f(-n)
-n
n
7
6
5
4
3
2
1
1
7
6
5
4
3
2
1
x
y
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选择胜于努力，笃行成就未来
二分段函数及其应用
高一阶段我们对于函数的作图要求相对简单．大部分都是对已知的函数进行变换或者分段，很多时候需要
借助函数的图象解决问题，在进行作图分析问题时，我们虽是作的函数草图，但还需注意以下一些细节和要
求，这些细节会影响由图得到的结论．
函数作图的一般步骤：
①确定函数的定义域；
②判定函数是否有奇偶性；
③确定函数的单调区间；
④确定函数的渐近线；
⑤确定函数的零点的位置．
函数作图的细节要求：
1 体现函数性质的特殊点需进行标注．
如:函数的最值点、最值变换后的对称点、函数零点、直线(曲线)所过的定点等等．
2 体现函数性质的特殊直线需用虚线标注。
如:函数的对称轴、图象变换后的对称轴、函数的渐近线、图象变换后的渐近线等等．
3 直角坐标系和直线用直尺作图，不要徒手画！！所作函数草图尽量使图象趋势与教学图象保持一
致，不要过于夸张，避免因作图不规范影响结论．
④分段函数作图首先做出分段线．第二步先计算分段点处的函数值是否相等，进而判断函数是连续还
是间断．第三步，在各自区间内分别做出函数图象．
函数作图的细节要求
2 (★★☆☆☆) 请作出f(x) = 2-x,
x≤1
-x2+4x-2,
x>1

图象．
①作出分段线：x = 1；
②分段线左右的各自区间内作图；
③计算分段点处的函数值：当x = 1 时，2 - x = 1；-x2 + 4x - 2 = 1，函数连续
④标注特殊点和线：二次函数对称轴x = 2，最值为2，零点2 +
2．
O
x
y
作分段线标注特殊点和线
计算分段点
处的函数值
2+
2
1
2
1
2
简化

O
x
y
2+
2
1
2
1
2
高中阶段，为便于研究方程、函数与不
等式三者间的内在联系，我们把函数图
象与x 轴交点的横坐标定义为函数的零
点，该零点同时也是对应方程的实数解．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
x
y
零点
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13 (★★☆☆☆)请作出下列函数图象，并且解决相关问题．
(1) f(x) =
2
x ,x≥2,
x2-3,x<2

, 若f(x) = k 有且只有三个不同的实根，则实数k 的取值范围．
函数草图如下：
若方程f(x) = k 有三个不相等的实数根
意味着两函数：y = f(x) 和y = k 有三个不同的交点
可知：则0 < k < 1
(2) f(x) = x2+1，x≥0
1，x<0

求满足不等式f(3 - x2) > f(2x) 的x 取值范围．
函数草图如下：
由函数图象可知：当x ≥0 时，f(x) 单增且f(x) ≥f(0) = 1，
若f(3 - x2) > f(2x)，则分如下两种情况：
①2x≤0
3-x2>0

⇒x ∈(- 3，0] ②2x>0
3-x2>2x

⇒x ∈(0，1)
综上所述，x 的取值范围为(- 3，1)，
(3)f(x) =
|3x-4|(x≤2)
2
x-1 (x>2)

，解不等式f(x) ≥1.
函数草图如下：
当x > 2 时，由f(x) ≥1 得，
x>2
2
x-1 ≥1

，解得2 < x ≤3，
当x ≤2 时，由f(x) ≥1 得，|3x - 4| ≥1，
即3x - 4 ≥1 或3x - 4 ≤-1，解得x ≤1 或x ≥5
3
则x ≤1 或5
3 ≤x ≤2．
综上，所求的范围是(-∞，1] ∪
5
3 ，3




14 (★☆☆☆☆)函数f(x) =
x2-1,x≥0,
1
x ,x<0,

若f(f(a)) =-1，则a =
( C )
A. 1 或-1
B. 1 或0
C. 1 或-1 或0
D. - 1 或0
当a < 0 时，f(a) = 1
a < 0，f(f(a)) = 1
1
a
= a =-1，a =-1，
当0 ≤a < 1 时，f(a) = a2 - 1 < 0，f(f(a)) =
1
a2-1 =-1，得a = 0，
当a ≥1 时，f(a) = a2 - 1 ≥0，f(f(a)) = (a2 - 1)2 - 1 =-1，得a = 1
O
x
y
y=k
f(x)
x=2
1
O
x
y
f(x)
1
x
y
f(x)
2
1
135
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选择胜于努力，笃行成就未来
15 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = x2+2x+1,x≤1
2x2-8x+10,x>1

，若函数g(x) = f(x) - a 恰有两个零点，则实数a
的取值范围是
( A )
A.
0,2


∪(4, +∞)
B.
2,4


C.
2,+∞


D.
0,+∞


g(x) = 0 ⇒f(x) - a = 0 ⇒f(x) = a，
作出f(x) 的图象：
如图y = f(x) 与y = a 的图象有两个交点时，
a ∈0,1


∪(4, +∞)．故选：A．
16 (★★☆☆☆)函数f(x) =
x2+2x,
x≤0
3x
x+1 ,
x>0

，y = f(x) - m 有两个不同的零点，则m 取值范围是( A )
A. (-1,3)
B. (-1，3]
C. (-1, +∞)
D. [-1，+∞)
依题意，函数f(x) 的图象与直线y = m 有两个交点，
而当x > 0 时，f(x) = 3(x+1)-3
x+1
= 3 -
3
x+1 < 3，
作出图象如下图所示，由图象可知，m ∈(-1,3)．
故选：A．
5
(高考题•★★★☆☆)已知函数f(x) =
2
x ,
x≥2
(x-1)3,
0<x<2

，若关于x 的方程f(x) = kx 有两个不同的
实根，则实数k 的取值范围是
( A )
A.
0, 1
2


B.
0,
2
4


∪
2
4 , 1
2


C.
2
4 ,+∞


D.
1
2 ,2 2




画出函数f(x) 和y = kx 的图象，
如图，点A(2,1)，由题意可得函数f(x) 的图象和直线y = kx 有2 个交点，
数形结合可得当直线的斜率k 满足0 < k < 1
2 时，
函数f(x) 的图象和直线y = kx 有2 个交点，故选：A．
6
(★★★☆☆)已知函数f(x) = |x - 2| +1，g(x) = kx，若方程f(x) = g(x) 有两个不相等的实根，则实
数k 的取值范围是
( A )
A.
1
2 ，1


B.
0，1
2


C. (1，2)
D. (2，+∞)
由题意作出函数f(x) 和函数g(x) 的图象如下：
g(x) 恒过0,0


，要使f(x) 和g(x) 有两个交点，
临界位置是g(x) 过2,1


和g(x) 与y = x - 1 平行，
数形结合可得1
2 < k < 1
故选：A．
O
x
y
y=a
f(x)
7
4
2
4
1
2
O
x
y
y=m
y= f(x)
-1
3
O
x
y
1
1
x=2
y=kx
x
y
1
2
136
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选择胜于努力，笃行成就未来
7
(★★★☆☆)已知函数f(x) =
(3a-1)x+4a，(x<1)
a
x ，(x≥1)

在R 上单调递减，则a 的取值范围为
( D )
A.
1
7 ，1



B.
0，1
3



C.
1
6 ，1



D.
1
6 ，1
3



∵f(x) 在R 上单调递减∴
3a-1<0
a>0
3a-1+4a≥a





，得1
6 ≤a < 1
3 ．∴a 的取值范围为
1
6 ，1
3



．
8
(★★★☆☆)函数f(x) =
a
x ，(x>1)
(2-3a)x+1，(x≤1)

是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是
( C )
A.
2
3 ，1


B.
3
4 ，1



C.
2
3 ，3
4



D.
2
3 ，+∞


f(x) 是R 上的减函数；∴
a>0
2-3a<0
a
1 ≤(2-3a)⋅1+1





得2
3 < a ≤3
4 ，∴a 取值范围是
2
3 ，3
4



．
9
(★★★★☆)设f(x) =
x2-(a2-5a+4)x+3a，(x<1)
2x+
2
x-1 +3，(x>1)

，若f(x) 的最小值为f(0)，则a 的值为( C )
A. 0
B. 1 或4
C. 1
D. 4
当x > 1 时，f(x) = 2x +
2
x-1 + 3 = 2 (x-1)+
1
x-1




+ 5 ≥4
(x-1)⋅
1
x-1 + 5 = 9，
当且仅当x - 1 =
1
x-1 ，即x = 2 时取等号；故当x < 1 时，f(x) 的最小值为f(0) = 3a，由二次函数的性
质可得，函数f(x) = x2- (a2- 5a + 4)x + 3a 的对称轴为x = a2-5a+4
2
= 0，
得a = 1 或a = 4，当a = 4 时最小值为12 > 9，不合题意，舍去．故a = 1．
10 (★★★★★)设a ∈R，函数f(x) = ax2-2x+1，x≤a
ax+1，x>a

，有最大值的一个充分不必要条件是
( A )
A. a ∈-1，- 1
2




B. a ∈- 1
2 ，0




C. a ∈[-1，0)
D. a ∈[-2，0)
①当a > 0 时，f(x) = ax2-2x+1，x≤a
ax+1，x>a

，当x →-∞或x →+∞时，f(x) →+∞，故f(x)
不存在最大值．②当a = 0 时，f(x) = -2x+1，x≤0
1，x>0

，f(x) 在定义域内的最小值为1，不存在最大值．
③当a < 0 时，若f(x) 存在最大值，则f(x) 在(-∞，a] 上的最大值大于等于a2+ 1，
二次函数f(x) = ax2 - 2x + 1 = a x- 1
a


2
+ 1 - 1
a ，在-∞，1
a



上为增函数，在
1
a ，+∞



上是减函
数，(i) 若a ≤-1，则a ≤1
a ，f(x) 在(-∞，a] 上的最大值为f(a) = a3- 2a + 1，
故a3- 2a + 1 ≥a2+ 1，整理得a(a + 1) (a - 2) ≥0，结合a ≤-1，解得a =-1；
(ii) 若-1 < a < 0，则1
a < a，f(x) 在(-∞，a] 上的最大值为f 1
a


= 1 - 1
a ，
故1 - 1
a ≥a2 + 1，即a3+1
a
≤0，该不等式在-1 < a < 0 时恒成立，故-1 < a < 0．
由(i) (ii)，可得-1 ≤a < 0．综上，f(x) 有最大值的充分必要条件是-1 ≤a < 0，即a ∈[-1，0)．
对照各选项，只有-1，- 1
2




是[-1，0) 的真子集，故选A
137
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选择胜于努力，笃行成就未来
11 (原创•★★★★☆)函数f(x) 满足条件：f(x) = 4-|4x-8|，1≤x≤3
|x-4|，x>3

．
(1) 请作出函数f(x) 的图象．
(2) 函数h(x) = f(x) - m 有三个不同的零点，求m 的范围．
作出函数图象如下：
令h(x) = f(x) - m = 0 f(x) = m
在坐标系中画出函数y = f(x) 与y = m 的图象
要使h(x) 有三个零点，即y = f(x) 与y = m 的图象有三个交点．
由图可知：此时m ∈1,4


∪0


(3) (培优生选做) 函数h(x) = f(x) - mx + 1 有三个不同的零点，求m 的范围．
令h(x) = f(x) - mx + 1 = 0 f(x) = mx - 1
在坐标系中画出函数y = f(x) 与y = mx - 1 的图象，
要使h(x) 有三个零点，即y = f(x) 与y = mx - 1 的图象有三个交点
∵y = mx - 1，令x = 0 y =-1 直线过定点(0, -1) 含参直线过定点
。
5
4
3
2
1
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
1
x
y
平行临界
符合题意
的有界区
①当y = mx - 1 与y = x - 4(x > 4) 平行时，y = mx - 1 与y = f(x) 处在两个交点三个交点的临界位置, 此时m0
= 1，直线y = mx - 1 刚好经过（1,0），显然过了此位置，直线向下偏移时，y = mx - 1 与y = f(x) 只有两个交点。
②当y = mx - 1 直线经过（3,1）时，y = mx - 1 与y = f(x) 恰好处在两个交点和三个交点的临界位置，
此时，m1= 2
3 ;
③当y = mx - 1 直线经过（3,0）时，y = mx - 1 与y = f(x) 恰好处在两个交点和三个交点的临界位置，
此时，m2= 1
3 ; 要使题意成立，只需直线在有界区内变化即可，此时m ∈
1
3 , 2
3



5
4
3
2
1
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
1
x
y
y=m
138
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1 (★☆☆☆☆)函数f(x) = |2x - 1| -1 + a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为
( C )
A.
-∞，3
2


B.
1
2 ，+∞


C. (-∞，1)
D. (1，+∞)
因为绝对值具有非负性，要使它存在两个点，只需要a 减一大于零即可．
综上a 的取值范围为(-∞，1) 故选：C．
2 (多选•★★☆☆☆)设函数f(x) = ||x| -1|，下列关于函数f(x) 的叙述正确的是
(
BC
)
A. f(x) 的单调递增区间是(-1，0) ∪(1，+∞)
B. f(x) 在(-∞，1] 没有最大值
C. f(x) 是偶函数
D. f(x) 的零点是(-1，0) 和(1，0)
先作出函数y = x

的图象，再向下平移1 个单位得到y = x

- 1 的图象，再利用上下翻折
变换得到f(x) = ||x| -1| 的图象，如图所示，A，f(x) 的单调递增区间是(-1，0) 和(1，+∞)，单调区间之间
不能用并集，故A 错误；B：当x →-∞时，f(x) →+∞，所以在(-∞，1] 上没有最大值，故B 正确，C：
f(x) 的图象关于y 轴对称，所以是偶函数，故C 正确；D，f(x) 的零点是-1 和1，零点是方程等于0 的根，不
是点，故D 错误．故选：BC．
3 (多选•★★★☆☆)已知函数f(x) = |x| -x2，则下列说法正确的是
(
AD
)
A. f(x) 的最大值为1
4
B. f(x) 在(-1，0) 上是增函数
C. f(x) > 0 的解集为(-1，1)
D. f(x) + 2x ≥0 的解集为[0，3]
f(-x) = | -x| - (-x)2= f(x)，故f(x) 是偶函数，
x ≥0 时，f(x) =-x2+ x，开口向下，对称轴是x = 1
2 ，
在0，1
2


递增，在
1
2 ，+∞


递减，最大值是f 1
2


= 1
4 ，
结合图象可知A 正确，B 错误；由于f(0) = 0，f(1) = 0，f(-1) = 0，
结合函数的单调性和奇偶性画出函数的图象，如图示：
故f(x) > 0 的解集是(-1，0) ∪(0，1)，故C 错误；
f(x) + 2x = -x2+3x，x≥0
-x2+x，x<0

，画出函数的图象如图示：
由图象得不等式的解集是[0，3]，故D 正确；故选：AD．
4 (★★★☆☆)设函数f(x) = -ax+1，x<a
(x-2)2，x≥a

，若f(x) 存在最小值，则a 的最大值为
( A )
A. 1
B. - 1
C.
2
2
D. -
2
2
当a < 0 时，f(x) 在(-∞，a) 上单调递增，此时f(x) 无最小值，不合题意；
当a = 0 时，f(x) = 1，x<0
(x-2)2，x≥0

，当x ≥0 时，f(x)min = f(2) = 0，又x < 0 时，f(x) = 1，
∴f(x) 存在最小值0，满足题意；当0 < a < 2 时，f(x) 在(-∞，a)，(a，2) 上单调递减，在(2，+∞)
上单调递增，若f(x) 存在最小值，则-a2+ 1 ≥f(2) = 0，解得-1 ≤a ≤1，∴0 < a ≤1；
当a ≥2 时，f(x) 在(-∞，a) 上单调递减，在(a，+∞) 上单调递增，
若f(x) 存在最小值，则-a2+ 1 ≥f(a) = (a - 2)2，不等式无解；综上，a ∈[0，1]，则a 的最大值为1．
3
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
y
f x


+2x
139
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选择胜于努力，笃行成就未来
5 (★★☆☆☆) 已知函数f(x) = |x - 1| 且f(a) = f(b)．
(1) 作出f(x) 的图象，求a，b 之间的关系；
(2) 求ab 的取值范围．
(1) ∵函数f(x) = |x - 1| 且f(a) = f(b)，
∴a - 1 = b - 1，或a - 1 =- (b - 1)，
化简可得a = b，或a + b = 2．
(2) 当a = b 时，ab = a2≥0，
当a + b = 2 时，b = 2 - a，
ab = a(2 - a) =-a2+ 2a =- (a - 1)2+ 1 ≤1，
故要求的ab 的取值范围为[0，+∞) 或(-∞，-1]．
6 (★★☆☆☆) 已知函数f(x) = x2- 2|x| -3．
(1) 作出f(x) 的图象，并写出f(x) 的单调区间；
(2) 讨论方程x2- 2|x| -3 = k 的解的个数，并说明相应的k 的取值范围．
(1) 函数f(x) = x2- 2|x| -3 图象如图
函数f(x) 的单调增区间为(-1，0)，(1，+∞)，
单调减区间为(-∞，-1)，(0，1)；
(2) 考查函数y1= x2- 2|x| -3 与y2= k 图象交点的个数．
根据图象可得：
k >-3 或k =-4 时，方程x2- 2|x| -3 = k 有两个解；
k =-3 时，方程x2- 2|x| -3 = k 有三个解；
-4 < k <-3 时，方程x2- 2|x| -3 = k 有四个解；
k <-4 时，方程x2- 2|x| -3 = k 无解．
7 (★★★☆☆)已知函数f(x) = |x - m| +2m．
(1) 若函数f(x) 为偶函数，求m 的值；
(2) 若f(x) ≥2 对一切x ∈R 恒成立，试求m 的取值范围．
(1) ∵f(x) 为偶函数，
∴对于x ∈R，有f(-x) = f(x)，
∴| -x - m| +2m = |x - m| +2m，∴m = 0
(2) ∵f(x) = |x - m| +2m = x+m，x≥m
-x+3m

，
∴函数f(x) 在(-∞，m] 上递减，在[m，+∞) 上递增，
∴f(x)min = f(m) = 2m，
要f(x) ≥2 对一切x ∈R 恒成立，
只要2m ≥2，即m ≥11．
5
4
3
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
2
1
x
y
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
y