函数与导数：指对幂比较大小、函数的实际应用、指对幂函数的零点问题专项训练
考点目录
指对幂比较大小
函数的实际应用
指对幂函数的零点问题
1．（25-26 高三上·天津河北·开学考试）设
3
log 8
a =
，
1.1
2
b =
，
5
log 8
c =
，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A．b
a
c
<
<
B．c
b
a
<
<
C．c
a
b
<
<
D．a
c
b
<
<
【答案】C
【详解】易知
27
8
125
<
<
，
所以
1.1
3
3
3
log
27
log 8
2
2
2
=
<
<
<
，
5
5
3
log
125
log 8
2
=
>
，
即
3
2
2
b
a
c
>
>
>
>
.
故选：C
2．（25-26 高三上·湖北荆州·开学考试）已知
2
ln 5
a =
，
3
2
b = -
，
e
c = -
，则（ ）
A．a
b
c
>
>
B．b
a
c
>
>
C．b
c
a
>
>
D．a
c
b
>
>
【答案】A
【详解】因为
2
3
9
2.25
2
4
æ
ö
-
=
=
ç
÷
è
ø
，
2
e
e
2.7
-
=
»
，2.25
2.7
<
且
3
0,
e
0
2
-
<
-
<
，
所以
e
3
2
-
> -
，即b
c
>
，
2
5
ln
ln
5
2
a =
= -
，
设函数
ln
1
f x
x
x
=
-
+ ，则
1
1
f
x
x
¢
=
- ，当
1
x > 时，
1
0
1,
0
f
x
x
¢
<
<
<
，
所以
f x 在
1,+¥ 上单调递减，所以，当
1
x > 时，
1
0
f x
f
<
=
，即ln
1
0,ln
1
x
x
x
x
-
+ <
<
- ，
当
5
2
x =
时，得
5
5
3
ln
1
2
2
2
<
- =
，所以
5
3
ln 2
2
-
> -
，即a
b
> ，
综上，a
b
c
>
>
，
故选：A.
3．（2025·浙江嘉兴·一模）若实数,x y 满足
2
2
log
log 3
log
log 2
y
x
x
y
+
=
+
，则下列结论不可能成立的是（ ）
考点一
指对幂比较大小
A．
2
1
x
y
<
<
B．
2
1
y
x
<
<
C．
2
0
1
y
x
<
<
<
D．
2
0
1
y
x
<
<
<
【答案】D
【详解】由
2
2
log
log 3
log
log 2
y
x
x
y
+
=
+
，得
2
2
log
log 2
log
log 3
x
y
x
y
-
=
-
，
由选项知只需要讨论
,
1,
x y
¥
Î
+
及
,
0,1
x yÎ
两种情况.
当
,
1,
x y
¥
Î
+
时，log 3
log 2
y
y
>
，
所以
2
2
2
log
log 2
log
log 3
log
log 2
x
y
y
x
y
y
-
=
-
<
-
，
因为函数
1
f t
t
t
= -
在
0, ¥
+
上单调递增，所以
2
2
log
log
x
y
<
，即1
x
y
<
<
，
得
2
1
x
y
<
<
成立，故A 正确；
又因为
2
3
log
log
y
y
>
，所以
2
2
3
log
log 2
log
log 3
log
log 3
x
y
y
x
y
y
-
=
-
>
-
，
即
2
3
2
3
log
log
log
>log
x
y
y
y
>
=
，得
1
x
y
>
> ，所以
2
1
x
y
>
> ，故B 正确；
当
,
0,1
x yÎ
时，log 3
log 2
0
y
y
<
<
，
所以
2
2
2
log
log 2
log
log 3
log
log 2
x
y
y
x
y
y
-
=
-
>
-
，
因为函数
1
f t
t
t
= -
在
,0
¥
-
上单调递增，
所以
2
2
log
log
x
y
>
，即0
1
y
x
<
<
< ，得
2
0
1
y
x
<
<
< 成立，故C 正确；
因为
2
3
log
log
0
y
y
<
<
，所以
2
2
3
log
log 2
log
log 3
log
log 3
x
y
y
x
y
y
-
=
-
<
-
，
所以
2
3
2
3
log
log
log
<log
x
y
y
y
<
=
，
得0
1
x
y
<
<
< ，即
2
0
1
x
y
<
<
< ，故D 错误，
故选：D.
4．（25-26 高三上·北京·阶段练习）已知10
2
a =
，10
5
b =
，则下列不成立的是（ ）
A．
1
4
ab <
B．
2
b
a
>
C．
2
2
1
2
a
b
+
>
D．
5
10
2
b
a =
【答案】D
【详解】因为10
2
1
a =
> ，故
0
a >
，同理
0
b >
.
由题设有10
10
2 5
a
b
´
=
´ ，故
1
a
b
+
= ，
而4
5
< ，故
2
10
10
a
b
<
即
2
b
a
a
>
>
，故B 必成立，
对于A，由基本不等式可得
2
1
2
4
a
b
ab
+
æ
ö
£
=
ç
÷
è
ø
，
而b
a
>
，故等号不可取，故
1
4
ab <
，故A 必成立；
对于C，
2
2
2
1
2
1
2
2
a
b
a
b
ab
ab
+
=
+
-
= -
>
，故C 必成立；
对于D，因为
2
0
b
a
>
>
，故
2
b
a >
，
2
100
10
10
b
a
a
a =
>
，
故
5
10
2
b
a =
不成立，故D 不成立.
故选：D.
5．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）设
1
3
a =
，
4
ln 3
b =
，
2
4
log 3
c =
则（ ）
A．b
c
a
<
<
B．c
b
a
<
<
C．b
a
c
<
<
D．a
b
c
<
<
【答案】C
【详解】因为
4
ln 3
b =
，
2
4
ln
4
3
log 3
ln 2
ln 2
b
c =
=
=
，
4
ln
0
3 >
，0
ln 2
1
<
< ，所以b
c
<
，
比较
1
3
a =
和
2
4
log 3
c =
，
1
3
3
2
2
1
log 2
log
2
3
a =
=
=
，
3
3
3
2
2
4
64
log
log
3
27
c
æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
，所以c
a
>
，
再比较
1
3
a =
，
4
ln 3
b =
，
1
3
3
1
ln e
ln
3
a
e
=
=
=
，
3
3
3
4
4
64
ln
ln
ln
3
3
27
b
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，所以a
b
> ，
故b
a
c
<
<
.
故选：C
6．（25-26 高三上·湖北·阶段练习）已知
2
2
a
a +
=
，
3
2
b
b +
=
，则
ba 与
a
b 的大小关系为（ ）
A．
b
a
a
b
<
B．
b
a
a
b
=
C．
b
a
a
b
>
D．不确定
【答案】C
【详解】令函数
( )
2
2, ( )
3
2
x
x
f x
x
g x
x
=
+
-
=
+
-
，
函数
2,
2x
y
x
y
=
-
=
在R 上都单调递增，则函数
( )
f x 在R 上单调递增，
同理函数( )
g x 在R 上单调递增，而
1
3
(
)
2
0,
(1)
1 0
2
2
f
f
=
-
=
，
( )
0
f a =
，
则1
1
2
a
<
< ；
1
3
(0)
1
0, ( )
3
0
2
2
g
g
= - <
=
-
>
，( )
0
g b =
，则
1
0
2
b
<
<
，
即
1
0
1
2
b
a
<
<
<
< ，所以
b
a
a
a
a
b
>
>
.
故选：C
7．（24-25 高二下·黑龙江·期末·多选）已知
6
7
log 7
log 6
m =
+
，且2
3
6
7
m
m
m
n
+
+
=
，
2
3
log 3
log 2
p =
+
，则（ ）
A．
2
m >
B．
2
n >
C．n
m
>
D．m
p
>
【答案】AB
【详解】对于A.
6
7
6
7
log 7
log 6
2 log 7 log 6
2
2
m
m
=
+
>
×
= \
>
Q
，故A 正确；
对于B. 由于( )
2
3
6
x
x
x
g x =
+
+
为R 上的增函数，
2
m >
∵
，
( )
(2)
g m
g
\
>
即
2
2
2
2
2
3
6
2
3
6
7
m
m
m
+
+
>
+
+
=
，所以
2
7
7
n >
， 即
2
n >
，故B 正确；
对于C.设
2
3
6
( )
( )
( )
( )
1
7
7
7
x
x
x
f x =
+
+
- ，显然
( )
f x 为R 上的减函数，
又
(2)
0
f
=
，
2
m >
∵
，
( )
(2)
0
f m
f
\
<
=
，即2
3
6
( )
( )
( )
1
0
7
7
7
m
m
m
+
+
- <
，
故2
3
6
7
m
m
m
m
+
+
<
，即7
7
n
m
<
，
n
m
\
<
，故C 错误；
对于D.先证明
2
k ³
且
Z
k
+
Î
时，( )
log (
1)
k
h k
k
=
+
是单调递减的。
2
(
1)
lg(
1)
lg(
2)
[lg(
1)]
lg
lg(
2)
( )
(
1)
log (
1)
log
(
2)
lg
lg(
1)
lg
lg(
1)
k
k
k
k
k
k
k
h k
h k
k
k
k
k
k
k
+
+
+
+
-
×
+
-
+
=
+
-
+
=
-
=
+
×
+
lg
(
2)
lg
lg(
2)
2 lg
lg(
2)
k
k
k
k
k
k
×
+
=
+
+
>
×
+
Q
，
2
lg
(
2)
[
]
lg
lg(
2)
2
k
k
k
k
×
+
\
>
×
+
，
这样
2
2
2
lg (
2)
(
1)
(
2)
2lg(
1)
lg (
2)
[lg(
1)]
[
]
lg
lg(
2)
2
k k
k
k k
k
k k
k
k
k
+
+
>
+
Þ
+
>
+
Þ
+
>
>
×
+
所以( )
(
1)
h k
h k
>
+
，故(2)
(6)
h
h
>
，即
2
6
log 3
log 7
>
设
1
( )
,(
1)
t x
x
x
x
=
+
>
，因为( )
t x 在(1,
)
+¥ 上递增，
2
6
log 3
log 7
1
>
>
所以
2
6
log 3
log 7
p
m
t
t
=
>
=
（
）（
）
,故D 错误
故选：AB.
8．（25-26 高三上·重庆·开学考试·多选）已知 0
1
a
b
c
<
<
<
< ，则（ ）
A．
b
c
a
a
<
B．log
log
c
c
b
a
a
b
>
C．4
5
4
5
a
b
b
a
-
-
+
>
+
D．ln
sin
sin
a
c
b
b <
-
【答案】BD
【详解】对于A，由于 0
1
a
b
c
<
<
<
< ，
x
y
a
=
在R 上为单调递减函数，可得
b
c
a
a
>
,故A 不正确；
对于B，由于 0
1
a
b
c
<
<
<
< ，则
logc
y
x
=
在
0,1 上单调递减，所以log
log
0
c
c
a
b
>
>
,由于0
a
b
<
<
,则
log
log
c
c
b
a
a
b
>
，B 正确；
对于C，令
4
5
x
x
f x
-
=
-
,则
f x 在R 上为单调递增函数，由于0
a
b
<
<
,所以4
5
4
5
a
a
b
b
-
-
-
<
-
,即
4
5
4
5
a
b
b
a
-
-
+
<
+
,故C 不正确；
对于D,由于 0
1
a
b
c
<
<
<
< ，则0
1
a
b
<
< ，所以ln
0
a
b <
,由于
sin
y
x
=
在
0,1 上单调递增，0
1
b
c
<
<
< ,所以
sin
sin
c
b
>
,即sin
sin
0
c
b
-
>
,故ln
sin
sin
a
c
b
b <
-
,
故选：BD
9．（25-26 高三上·黑龙江·开学考试·多选）若0
1
a
b
<
<
< ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
b
a
a
b
<
B．
b
a
a
b
a b
a b
<
C．
a
b
a
b
<
D．
1
a
b
a
b
+
>
【答案】ABD
【详解】对于A，因0
1
a
b
<
<
< ，
x
y
a
=
为减函数，
a
y
x
=
在(0,
)
+¥ 上为增函数，故
b
a
a
a
a
b
<
<
，故A 正确；
对于B，因
0
b
a
-
>
，则
b a
y
x -
=
在(0,
)
+¥ 上为增函数，又
1,
b
a >
故( )
1
b a
b
a
- > ，
因0
1
a
b
<
<
< ，则
b a
b a
b
a
-
-
>
，故得
b
a
a
b
a b
a b
<
，即B 正确；
对于C，法一：设
( )
ln (0
1)
f x
x
x
x
=
<
<
，由
1 ln
0
f
x
x
= +
=
¢
可得
1
e
x =
，
当
1
0
e
x
<
<
时，
( )
0
f
x
¢
<
，当
1
e
x >
时，
( )
0
f
x
¢
>
，故
( )
f x 在
1
0, e
æ
ö
ç
÷
è
ø 上递减，在1
( ,1)
e
上递增，所以当
1
0
e
a
b
<
<
<
时，
( )
( )
f a
f b
>
，即ln
ln
a
a
b
b
>
，可得
a
b
a
b
>
，故C 错误；
法二：举反例：取
1
1
,
4
2
a
b
=
=
，则
1
1
4
2
1
1
( )
( )
4
2
a
b
a
b
=
=
=
，故C 错误；
对于D，由C，当
( )
ln (0
1)
f x
x
x
x
=
<
<
时，可得
min
1
1
( )
( )
e
e
f x
f
=
= -
，
因0
1
a
b
<
<
< ，则
1
( )
ln
ln2
e
f a
a
a
=
³ -
> -
，可得
1
2
a
a >
，同理可得
1
2
b
b >
，故
1
a
b
a
b
+
> ，即D 正确.
故选：ABD.
10．（24-25 高一上·广东揭阳·期末）若
0.01
2
a =
，
2
1
log 3
b =
，
0.1
1.1
c
-
=
，则a ，b ，c 的大小关系为
（用“>”
连接）．
【答案】a
c
b
>
>
【详解】
0.01
0
2
2
1
a =
>
= ,
2
2
1
log
log
3
1
0
b =
<
=
,
0.1
0
1.1
1.1
1,
c
-
=
<
=
又
0.1
1.1
0
-
>
，
故0
1
c
<
< ，故a
c
b
>
>
，
故答案为：a
c
b
>
>
11．（24-25 高一上·重庆长寿·期末）已知
0.7
0.7
log
5,
ln 2,
5
a
b
c
=
=
=
，则
（写出, ,
a b c 的大小关系）
【答案】c
b
a
>
>
【详解】
0.7
log
5
0
a =
<
，0
ln 2
1
b
<
=
< ，
0.7
5
1
c =
> ，
所以c
b
a
>
>
.
故答案为：c
b
a
>
>
.
12．（24-25 高三下·浙江·开学考试）已知
10
3
10 10
a
b
=
=
，
，则a
b
，的大小关系为：a
.b （填> = <
，，）.
【答案】>
【详解】同时取e为底的对数，得
3
10
ln3
10ln3
ln10 10
ln
10
3ln 10
=
=
=
，
，
则转换为比较10ln3和3ln 10 的大小，
设
lnx
f x
x
=
，则
2
1 lnx
f
x
x
-
¢
=
，
当
e,
x
¥
Î
+
时，
0
f
x
¢
<
，即
f x 在
e, ¥
+
上单调递减，由3
10
<
，
所以ln3
ln 10
3
10
>
，则10ln3
3ln 10
>
，即
10
3
10 10
>
，
所以在数字
10
3
和10 10 中，更大的数字是
10
3
.
故答案为：>
13．（24-25 高二下·陕西西安·阶段练习）已知
lnπ
x =
，
5
log 2
y =
，
1
2
e
z
-
=
，则x ，y ，z 的大小关系为
．
【答案】y
z
x
<
<
【详解】
lnπ
lne
1
x =
>
= ，
5
5
1
log 2
log
5
2
y =
<
=
，
1
2
1
1
1
e
2
e
4
z
-
=
=
>
=
，
又
1
0
2
e
e
1
z
-
=
<
= ，所以
1
1
2
y
z
x
<
<
< <
．
故答案为：y
z
x
<
<
．
14．（24-25 高二下·甘肃张掖·期末）设
0.25
e
a =
，
1
4
b =
，
ln5
2ln 2
c =
-
，则a，b，c 的大小关系是
.（用
“< ”连接）
【答案】c
b
a
<
<
【详解】令函数
ex
f x
x
=
-
，则
e
1
x
f
x
¢
=
- ，
0
f
x
¢
>
在
0, ¥
+
恒成立，
所以函数
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，
所以
1
0
1
0
4
f
f
æ
ö >
= >
ç
÷
è
ø
，即
0.25
1
e
0
4
-
>
，所以
0.25
1
e
4
a
b
=
>
=
.
令函数
ln
1
g x
x
x
=
+
-
，则
1
1
1
g
x
x
¢
=
-
+
，
( )
0
g x
¢
<
在
0, ¥
+
恒成立，
所以函数
g x 在
0, ¥
+
上单调递减，所以
1
0
0
4
g
g
æ
ö <
=
ç
÷
è
ø
，即
5
1
ln
0
4
4
-
<
，
所以
5
1
ln5
2ln 2
ln 4
4
c
b
=
-
=
<
=
，综上，结论为c
b
a
<
<
.
故答案为：c
b
a
<
<
.
1．（2025·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
每户每年天然气用量
天然气价格
不超过
3
300m
2.98 元
3
/m
超过
3
300m 但不超过
3
480m 的部分
3.60 元
3
/m
超过
3
480m 的部分
4.50 元
3
/m
若某户居民一年的天然气费为2082 元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ）
A．
3
610m
B．
3
600m
C．
3
558.7m
D．
3
462.7m
【答案】B
【详解】设天然气使用量为
3
m
x
，天然气费为
f x 元，
则
2.98 ,0
300
3.6
300
894,300
480
4.5
480
1542,
480
x
x
f x
x
x
x
x
ì
£
£
ï
=
-
+
<
£
í
ï
-
+
>
î
，
由于
480
1542
2082
f
=
<
，则
480
x >
,
所以
4.5
480
1542
2082
x -
+
=
，
解得
600
x =
,
所以天然气使用量为
3
600m ，
故选：B.
2．（25-26 高三上·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系
192ekx
y =
，其中k 为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48 小时，则在30℃的保鲜时间是（ ）
A．20 小时
B．24 小时
C．28 小时
D．32 小时
【答案】B
【详解】由题意得
20
192e
48
k =
，即
20
1
e
4
k =
，其中
10
e
0
k >
，所以
10
1
e
2
k =
，
当
30
x =
时，
30
3
1
192
2
1
4
92e
2
k
y
æ
ö
=
´
=
ç
÷
è
ø
=
.
故选：B
3．（25-26 高三上·北京顺义·阶段练习）在声学中，声音的强度级（单位：dB）常用于描述声音的强弱.强度级L 计
考点二
函数的实际应用
算方式为：
0
10lg I
L
I
=
，其中I 是声音强度（单位：），
0I 是常数，表示人耳可听到的最小强度.设声源A 单独发声
时，产生的声音强度为
AI ，强度级为
A
L ；声源B 单独发声时，产生的声音强度为
BI ，强度级为
B
L ；且
2
B
A
I
I
=
.当
声源A
B
、同时发声时，产生的声音强度
A
B
I
I
I
=
+
总
；则此时的强度级
A
L
L
-
»
总
（ ）(lg 2
0.30,lg3
0.47)
»
»
A．0.47
B．1.7
C．3
D．4.7
【答案】D
【详解】由题意
0
10lg
A
A
L
I
I
=
，且
2
B
A
I
I
=
，
所以
0
0
0
0
3
10lg
10lg
10lg
10 lg
lg3
A
B
A
A
L
I
I
I
I
I
I
I
I
I
æ
ö
+
=
=
=
=
+
ç
÷
è
ø
总
总
0
0
10lg
10
10
.47
4 7
l 3
.
g
A
A
A
L
L
I
I
=
+
=
+
»
+
´
，
所以
4.7
A
L
L
-
»
总
.
故选：D
4．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前激情教育，某班主任根
据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间(30
100)
t
t
£ £
（单位：天）与增加总分数
( )
f t （单位：分）的函数模型
( )
1 lg(
1)
kP
f t
t
= +
+
，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”后的一模总分，
1
(50)
8
f
P
=
.
已知某学生在距离高考还有99 天的一模考试中总分为600 分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为
（ ）
（参考数据：lg51
1.71
»
，结果保留整数）
A．658
B．668
C．678
D．688
【答案】B
【详解】因为
1
(50)
8
f
P
=
，所以1 lg(50 1)
8
kP
P
=
+
+
，解得
1
lg51
2.71
0.33875
8
8
k
+
=
»
=
，
0.33875 600
0.33875 600
0.33875 600
(99)
68
1 lg(99 1)
1 lg100
3
f
´
´
´
=
=
=
»
+
+
+
，
所以估计此学生在高考中可能取得的总分为600
68
668
+
=
分.
故选：B.
5．（25-26 高三上·北京顺义·开学考试）古生物学家经常利用碳14 的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体
生存时，其体内的碳14 含量会保持在一定的水平，设为
0
N .当生物体死亡后，碳14 会发生衰变，且碳14 含量
N t 随时间t （单位：年）的变化规律满足
0e
t
N t
N
l
-
=
，其中l 是衰变常数.已知碳14 的半衰期约为5730 年，
即每经过5730 年，碳14 含量就会变为原来的
1
2 .现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14 含
量为
0
1
6 N .由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（ ）
（参考数据：ln2
0.69
»
，ln3
1.10
»
）
A．
9800,10000
B．
12800,13000
C．
13800,14000
D．
14800,15000
【答案】D
【详解】依题意，
5730
0
0
1
(5730)
e
2
N
N
N
l
-
=
=
，得
5730
1
e
2
l
-
=
，
两边同时取对数得，5730
ln 2
l
-
= -
，解得
ln 2
5730
=
l
，则
ln2
5730
0
( )
e
t
N t
N
-
=
，
令
0
1
( )
6
N t
N
=
，得
ln2
5730
1
e
6
t
-
=
，两边同时取对数得，
ln 2
ln6
5730 t
-
= -
，
所以
5730ln6
5730(ln 2
ln3)
5
)
0
730 1.1
5730
14864.78
(
ln 2
ln 2
0.6
148 0,15000
9
t
+
´
=
=
»
+
»
Î
.
故选：D
6．（25-26 高三上·江苏扬州·开学考试）倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态
环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的
废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为
0
1mg / L
P =
，首次净化后所排放的废水中含有
的污染物的浓度为
1
0.94mg / L
P =
，第n 次净化后所排放的废水中的污染物的浓度
0.5
*
0
0
1
3
,
n t
nP
P
P
P
t
n
+
=
-
-
´
Î
Î
R
N
（单位：mg / L ），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的
浓度不能超过0.04mg / L ，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为
（ ）
（参考数据：ln2
0.7,ln3
1.1
»
»
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【详解】因为
0
1mg / L
P =
，
1
0.94mg / L
P =
，
所以
0.5
0.94
1
1 0.94
3
t
+
= -
-
´
，解得
0.5
t = -
，
即
0.5
0.5
*
1 0.06 3
n
nP
n
-
= -
´
ÎN
，
设第n 次净化后企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过0.04mg / L ，
则
0.5
0.5
1 0.06 3
0.04
n-
-
´
£
，即
0.5
0.5
3
16
n-
³
，
3
0.5
0.5
log 16
n -
³
，
所以
3
8ln 2
67
8log 2 1
1
ln3
11
n ³
+ =
+ »
，
因为
*
nÎN ，所以废水净化的次数至少为7 次.
故选：D
7．（24-25 高二下·陕西·阶段练习·多选）生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该
生物种群的数量Q （单位：千只）与时间t （
0
t ³
，单位：年）的关系近似的符合
e
e
7
t
t
m
Q t =
+
，且在研究刚开始
时，该生物种群的数量为5000 只．则下列结论正确的是（ ）
A．该生物种群的数量逐年增加
B．该生物种群的数量不超过40000 只．
C．该生物种群数量的增长速度逐年减小
D．该生物种群数量的年增长量不超过10000 只
【答案】ABD
【详解】由题意可得，
0
5
Q
=
，解得
40
m =
，则
40e
280
40
e
7
e
7
t
t
t
Q t =
=
-
+
+
，
由在
0, ¥
+
上，函数
ex
y =
单调递增，函数
1
y
x
=
单调递减，则函数
Q t 单调递增，
由e
0
x >
，则
40
Q t <
，故AB 正确；
因为
2
2
40e
e
7
40e e
280e
280
49
e
7
e
7
e
14
e
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Q t
+
-
×
¢
=
=
=
+
+
+
+
，
所以易知函数
Q t
¢
在
0,ln 7 上单调递增，在
ln 7,+¥ 上单调递减，
故该生物种群数量的增长速度先增大后减小，故C 错误；
当
ln 7
t =
时，
Q t
¢
取最大值，最大值为
ln 7
10
Q¢
=
，
则该生物种群数量的年增长量不超过10000只，故D 正确.
故选：ABD.
8．（24-25 高一下·江苏南京·期中·多选）某药物在人体内的血药浓度与时间有关，血药浓度C （单位：mg / L ）与
时间t （小时）的变化规律可近似表述为：
0e kt
C t
C
-
=
，其中
0
C 为初始血药浓度，k 为代谢速率常数，
C t 图象
如图所示，则（ ）
A．
ln2
k =
B．每小时血药浓度降低的数值相等
C．服药后6 小时，血药浓度降至初始值的1
64
D．服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低
【答案】ACD
【详解】将点
0
2, 4
C
æ
ö
ç
÷
è
ø 代入
0e kt
C t
C
-
=
中得，
2
0
0e
4
k
C
C
-
=
，得
ln2
k =
，故A 正确；
因
ln2
0
0
0
e
e
2
kt
t
t
C t
C
C
C
-
-
-
=
=
=
，
则当
1
t
D = 时，
1
1
0
0
0
1
2
2
2
t
t
t
C
C
C
C
C
C
t
t
C t
t
C t
- -
-
- -
D
=
+ D
-
=
-
= -
+
-
=
，
不是定值，故B 错误；
因
6
0
6
2
C
C
-
=
，则
6
0
6
1
2
64
C
C
-
=
=
，故C 正确；
由图象可知，服药后人体内的血药浓度随着时间的增加而降低，故D 正确.
故选：ACD
9．（2025·重庆·二模·多选）从2024 年3 月1 日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每100 mL 血液中乙醇含量
大于或等于20 mg ，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于80mg 则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮
酒后，若其血液中的乙醇含量y （单位：mg / mL ）与酒后代谢时间x （单位：h ）的数量关系满足
2
4
4
1
x
y
x
=
+ ．则张师傅此次饮酒后（ ）
A．当代谢时间
0.5
x =
时，血液中的乙醇含量最低
B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间x 的增函数，然后是代谢时间x 的减函数
C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为
D．若执意驾车，饮酒后0.5 h 接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾
【答案】BD
【详解】由题意可知：
0
x >
，则
2
4
1
0.25
4
1
x
y
x
x
x
=
=
+
+
，
由对勾函数可知：
0.25
y
x
x
=
+
在
0,0.5 内单调递减，在
0.5, ¥
+
内单调递增，
则
1
0.25
y
x
x
=
+
在
0,0.5 内单调递增，在
0.5, ¥
+
内单调递减，故B 正确；
当
0.5
x =
时，
1
0.25
y
x
x
=
+
取到最大值1，
即当代谢时间
0.5
x =
时，血液中的乙醇含量最高为1mg / mL ，
即每100 mL 血液中乙醇含量为100mg ，故A 错误；
因为100
80
>
，可知饮酒后0.5 h 接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾，故C 错误，D 正确；
故选：BD.
10．（2025·广西·模拟预测·多选）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的
动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值
(1
)
a
a
a
x
S x
x
x
=
+
-
，
0,1
xÎ
，
0.
a >
其中x 表示污染物浓
度，a 为设备灵敏度参数(a 越大，灵敏度越高) ，则（ ）
A．
S x 过定点1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
S x 在污染物浓度区间
0,1 上单调递增
C．
S x 关于
1
2
x =
对称
D．取定x 的值
1
(0
)
2
x
<
<
，灵敏度越高，监测值越大
【答案】AB
【详解】解：对于A，在
S x 中，令
1
2
x =
，则
1
( )
1
1
2
1
2
2
2 ( )
2
a
a
S æ
ö =
=
ç
÷
è
ø
´
，所以
S x 过定点1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，故A 正确；
对于B，因为
1
1
1
2
(1
)
1
[
(1
) ]
a
a
a
a
a
a
a
a
ax
x
x
x
ax
a
x
S
x
x
x
-
-
-
é
ù
é
ù
+
-
-
-
-
ë
û
ë
=
+
-
¢
û
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
[
(1
) ]
[
(1
) ]
[
(1
) ]
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a x
x
ax
x
ax
x
ax
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
-
é
ù
-
-
+
-
-
+ -
ë
û
=
=
=
+
-
+
-
+
-
则注意到当
0,1
xÎ
，
1
0
0
x
x
S
x
-
>
Þ
³
¢
，
则
S x 在
0,1 上单调递增，故B 正确；
对于C，由B 选项知
S x 为单调递增函数，故不存在对称轴，故C 错误；
对于D，以a 为自变量，设
S x 为
T a ，
则
2
ln
1
ln
1
ln 1
1
a
a
a
a
a
a
a
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
T
a
x
x
é
ù
+
-
-
+
-
-
ë
û
=
é
ù
+
-
ë
û
¢
2
1
ln 1
1
a
a
a
x
x
x
x
x
x
é
ù
-
æ
ö
ë
û
=
×
ç
÷
-
è
ø
é
ù
+
-
ë
û
，因为
0
a >
，故
2
[
1
]
0
[
(1
) ]
a
a
a
x
x
x
x
-
>
+
-
，
所以
T
a
¢
的正负取决于ln1
x
x
-
，当
2
1
0
1
1
0
1
0
1
2
0
1
x
x
x
x
x
x
x
-
ì
>
ïï
-
<
< Þ
Þ
<
<
í
-
ï
<
ï -
î
时
ln
0
1
x
x <
Þ
-
0
T
a
¢
<
，即当
1
0
2
x
<
<
时，随着a 的增大，
S x 减小，故D 错误
故选：AB.
11．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x 年
底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型
0
1
1 e-
=
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
px
N
y
N
y
，其中N 为饱和度，
0y 为初始值，p 为年
增长率．若该地区2024 年底的光伏太阳能板保有量约为20 万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10% ，
饱和度为1020 万块，那么2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量约
万块．
（结果四舍五入保留到整数，参考数据：
0.5
e
0.61
-
»
，
0.6
e
0.55
-
»
，
0.7
e
0.49
-
»
）
【答案】36
【详解】根据题意，所给模型中
0
20,
1020,
10%
0.1,
6
y
N
p
x
=
=
=
=
=
，
则2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量为
0.6
0.1 6
1020
1020
1020
1 50e
1
1 e
20
y
-
-
´
=
= +
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
，
因为
0.6
e
0.55
-
»
，所以
0.6
1020
1020
36
1 50e
1 50 0.55
y
-
=
»
»
+
+
´
，
所以2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量约36 万块.
故答案为：36.
12．（24-25 高一下·云南·期中）某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025 年1 月投入该
新产品的研发经费为20 万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025 年1 月
为第1 个月，第n （n
+
ÎN ）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40 万元，则n 的最小值是
（参考
数据：lg 2
0.301
»
，lg3
0.477
»
）
【答案】5
【详解】由题意可得
1
20
1
20%
40
n-
´
+
³
，则
1
1.2
2
n- ³
，所以
1 lg1.2
lg2
n -
³
，
所以
lg 2
lg 2
0.301
1
3.810
lg1.2
lg3
2lg 2 1
0.477
2 0.301 1
n - ³
=
=
»
+
-
+ ´
-
，所以
4.810
n ³
．
因为n
+
ÎN ，所以n 的最小值为5．
故答案为：5.
13．（2025·江苏南通·模拟预测）心理学家有时使用函数
1 e kt
L t
A
-
=
-
来测定在时间
min
t
内能够记忆的量L ，
其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率.假设一个学生有200 个单词要记忆，心理学家测定在5min 后该学生记忆
了20 个单词.该学生记忆38 个单词大约需要
min .
【答案】10
【详解】步骤一：根据已知条件求出记忆率k
已知函数
1 e kt
L t
A
-
=
-
，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率，t 表示时间（min），L 表示在时间t 内能够
记忆的量.
已知
200
A =
，当
5
t =
时，
20
L =
，将这些值代入函数
1 e kt
L t
A
-
=
-
中，可得：
5
20
200
1 e
k
-
=
´
-
，
可得：
5
20
1 e
200
k
-
= -
，即
5
0.1
1 e
k
-
= -
，可得：
5
e
0.9
k
-
=
，
两边同时取自然对数可得：
5
ln 0.9
k
lne-
=
可得：5
ln 0.9
k
-
=
，则
ln 0.9
5
k = -
.
步骤二：求出记忆38 个单词所需的时间t
当
38
L =
，
200
A =
，
ln 0.9
5
k = -
时，代入函数
1 e kt
L t
A
-
=
-
中，可得：
ln0.9
5
38
200
1 e
t
æ
ö
- -
ç
÷
è
ø
æ
ö
=
´
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
可得：
ln0.9
5
38
1 e
200
t
= -
，即
ln0.9
5
0.19
1 e
t
= -
，
可得：
ln0.9
5
e
0.81
t =
，两边同时取自然对数可得：
ln0.9
5
ln 0.81
t
lne
=
可得：ln0.9
ln0.81
5
t =
因为
2
ln0.81
ln0.9
2ln0.9
=
=
，所以ln0.9
2ln0.9
5
t =
，可得：
2
5
t =
，解得
10
t =
.
故该学生记忆38 个单词大约需要10min.
故答案为：10.
14．（24-25 高二下·北京·期中）Logistic 增长模型描述了受资源限制的种群增长规律，广泛应用于生物学等领
域．该模型的数学表达式为
1
0
0
1
e rt
M
P t
M
P P-
-
= +
-
，其中
( )
P t 表示t 时刻的种群数量，M 为环境的最大承载容量
（种群数量的上限），
0P 为初始时刻的种群数量，r 为种群的内禀增长率（与繁殖率，死亡率相关），
0
r >
．
①若
0
1
1,
2
2
M
P
r
=
=
=
，则初始时刻生物种群的增长速度是
；
②若
0
2
M
P <
，则当种群数量达到环境的最大承载容量一半时，生物种群的增长速度是
．（用M，r 表示）
【答案】
1
4
4
Mr
【详解】对于①，对
1
0
0
( )
1 (
)
e rt
M
P t
M
P P-
-
= +
-
求导来得到种群增长速度的表达式．
令
1
0
0
(
)
e rt
u
M
P P-
-
=
-
，则
( )
1
M
P t
u
=
+
．
根据复合函数求导法则，先对
( )
P t 关于u 求导，
2
( )
(1
)
M
P u
u
¢
= -
+
；再对u 关于t 求导，
1
0
0
(
)
(
)e rt
u
M
P P
r
-
-
¢ =
-
-
．
那么
1
0
0
1
2
0
0
(
)
e
( )
( )
(1 (
)
e
)
rt
rt
Mr M
P P
P t
P u
u
M
P P
-
-
-
-
-
¢
¢
¢
=
×
=
+
-
．
然后将
0
1
2
M
P =
= （即
2
M =
），
1
2
r =
，
0
t =
代入增长速度表达式：
当
0
t =
时，
0
e
e
1
rt
-
=
= ．
把
2
M =
，
0
1
P = ，
1
2
r =
代入
( )
P t
¢
得：
1
1
2
1
2 (2 1) 1
1
1
2
(0)
(1 (2 1) 1
1)
4
P
-
-
´ ´
-
´
´
¢
=
=
+
-
´
´
故初始时刻生物种群的增长速度是1
4 ．
对于②，当种群数量达到环境的最大承载容量一半时，即
( )
2
M
P t =
．
把
( )
2
M
P t =
代入
1
0
0
( )
1 (
)
e rt
M
P t
M
P P-
-
= +
-
可得：
1
0
0
2
1 (
)
e rt
M
M
M
P P-
-
= +
-
．
两边同时约去M 得：
1
0
0
1
1
2
1 (
)
e rt
M
P P-
-
= +
-
．
则
1
0
0
1
(
)
e
2
rt
M
P P-
-
+
-
=
，即
1
0
0
(
)
e
1
rt
M
P P-
-
-
= ．
把
1
0
0
(
)
e
1
rt
M
P P-
-
-
= 代入种群增长速度表达式
1
0
0
1
2
0
0
(
)
e
( )
(1
(
)
e
)
rt
rt
Mr M
P P
P t
M
P P
-
-
-
-
-
¢
=
+
-
：
此时
2
1
( )
(1 1)
4
Mr
Mr
P t
´
¢
=
=
+
．
所以当种群数量达到环境的最大承载容量一半时，生物种群的增长速度是4
Mr ．
故答案为：1
4 ；4
Mr .
15．（24-25 高三上·福建漳州·阶段练习）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5 个月，预测上市初期
和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数：
①
· x
f x
pq
＝
；②
2
1
f x
px
qx
＝
＋＋；③
2
f x
x x
q
p
＝
－
＋（以上三式中
,p q 均为常数，且
1
q >
）.
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数（不必说明理由）？
(2)若
0
4,
2
6
f
f
＝
＝.求出所选函数
f x 的解析式（注：函数定义域是
0,5 ，其中
0
x＝表示8 月1 日，
1
x＝表
示9 月1 日，以此类推）.
(3)在（2）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你
预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.
【答案】(1)选模拟函数
2
f x
x x
q
p
＝
－
＋
(2)f（x）＝x3－6x2＋9x＋4（0≤x≤5）
(3)9月、10月
【详解】（1）因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中
应选模拟函数
2
f x
x x
q
p
＝
－
＋.
（2）对于
2
f x
x x
q
p
＝
－
＋，
由
0
4
2
6
f
f
=
=
，
，可得
4
p＝，
2
2
1
q
－
＝.
又
1
q >
，所以
3
q＝，
所以
3
2
6
9
4 0
5
f x
x
x
x
x
£
£
＝－
＋
＋
.
（3）因为
3
2
6
9
4 0
5
f x
x
x
x
x
£
£
＝－
＋
＋
，
所以
2
3
12
9
f
x
x
x
¢
＝
－
＋，
令
0
f
x
¢
<
，得1
3
x
<
<
.
所以函数
f x 在
1,3 内单调递减，
所以可以预测这种海鲜将在9 月、10 月两个月内价格下跌.
16．（25-26 高三上·广东中山·阶段练习）我国某企业计划在2025 年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，
生产此款手机全年需投入固定成本250 万元，且年产量x （单位：千部）与另投入成本
( )
R x （单位：万元）的关
系式为
2
10
100
750,0
40
10000
701
8700,
40
x
x
x
R x
x
x
x
ì
+
+
<
<
ï
= í
+
-
³
ïî
，由市场调研知，每部手机售价为0.7 万元，且全年内生产的手机当年
能全部销售完.
(1)求2025 年的利润
( )
W x （单位：万元）关于年产量x （单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）；
(2)当2025 年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
2
10
600
1000,0
40
( )
10000
(
)
8450,
40
x
x
x
W x
x
x
x
ì-
+
-
<
<
ï
= í-
+
+
³
ïî
；
(2)当2025 年年产量为100 千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250 万元.
【详解】（1）当0
40
x
<
<
时，
2
2
( )
700
(10
100
750)
250
10
600
1000
W x
x
x
x
x
x
=
-
+
+
-
= -
+
-
，
当
40
x ³
时，
10000
10000
( )
700
(701
8700)
250
(
)
8450
W x
x
x
x
x
x
=
-
+
-
-
= -
+
+
，
所以
2
10
600
1000,0
40
( )
10000
(
)
8450,
40
x
x
x
W x
x
x
x
ì-
+
-
<
<
ï
= í-
+
+
³
ïî
.
（2）当0
40
x
<
<
时，
2
2
( )
10
600
1000
10(
30)
8000
W x
x
x
x
= -
+
-
= -
-
+
，
当
30
x =
时，
max
( )
8000
W x
=
万元，
当
40
x ³
时，
10000
10000
( )
(
)
8450
8450
2
8250
W x
x
x
x
x
= -
+
+
£
-
×
=
，当且仅当
10000
x
x
=
，即
100
x =
时等号成立，
max
( )
8250
W x
=
万元.
即当2025 年年产量为100 千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250 万元.
1．（24-25 高二下·云南·期末）设函数
lg
f x
x
=
，则函数
f x 的零点所在的区间为（ ）
A．
0,2
B．
1,2
C．
2,3
D．
3,4
【答案】A
【详解】令
0
f x =
，可得lg
0
x =
，所以
0
10
1
0,2
x =
= Î
.
故选：A.
2．（25-26 高三上·上海杨浦·开学考试）下列函数中，在区间
0, ¥
+
上是严格增函数且在区间
0, ¥
+
上存在零点
的是（ ）
A．
e
1
x
y =
-
B．
2
y
x
=
-
C．
1
2
log
1
y
x
= -
+
D．
2
1
1
y
x
= -
+
【答案】D
【详解】对于A，令
( )
e
1
x
f x =
- ，且使e
1
0
x - = ，解得
0
x =
，
得到
( )
f x 在区间
0, ¥
+
上不存在零点，故A 错误，
对于B，令( )
2
h x
x
=
-
，而(1)
2
1
1
h
=
-
= ，(4)
2
4
0
h
=
-
=
，
得到(4)
(1)
h
h
<
，则( )
h x 在区间
0, ¥
+
上不可能是严格增函数，故B 错误，
对于C，令
1
2
( )
log
1
t x
x
= -
+
，且使
1
2
log
1
0
x
-
+
=
，解得
0
x =
，
得到( )
t x 在区间
0, ¥
+
上不存在零点，故C 错误，
对于D，令
2
( )
1
1
= -
+
g x
x
，
2
( )
n x
x
= -
，
由反比例函数性质得( )
n x 在区间
0, ¥
+
上单调递增，
则( )
g x 在区间
0, ¥
+
上单调递增，可得( )
g x 在区间
0, ¥
+
上是严格增函数，
令
2
1
1
0
x
-
+ =
，解得
1
x = ，符合题意，故D 正确.
故选：D
3．（25-26 高三上·北京顺义·开学考试）已知函数
e
1
1
e
1
2
x
x
f x
x
=
-
-
+
，则函数
f x 所有零点之和为（ ）
A．2
-
B．0
C．2
D．4
考点三
指对幂函数的零点问题
【答案】B
【详解】由题意知
0
x ¹
，
2
2
2
2
e
e
1
e
1
e
1
0
e
1
e
1
x
x
x
x
x
x
x
e
f
x
x
x
+
-
×
=
+
=
+
>
+
+
¢
，
所以
f x 在
,0
¥
-
和
0, ¥
+
上单调递增，
又因为
2
2
e
2
1
0
e
1
f
=
- <
+
，当x ® +¥ 时，
1
2
f x ®
，所以
f x 在
2, ¥
+
上必存在唯一的零点，
因为
e
1
1
e
1
1
e
1
1
0
e
1
2
e
1
2
e
1
e
1
x
x
x
x
x
x
x
f x
f
x
x
x
-
-
+
-
=
-
-
+
+
-
=
+
- =
+
+
+
+
，
所以
f x 为奇函数，则
f x 在
, 2
¥
-
-
上必存在唯一的零点，
根据奇函数图象的对称性，可知
f x 的所有零点之和为0 .
故选：B
4．（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）已知关于x 的方程
e
1
x
a
x
=
+
恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围是
（ ）
A．( 2,
)
- +¥
B．(0,
)
+¥
C．
2
1
(
,0)
e
-
D．(
,1)
-¥
【答案】C
【详解】由题意知
1
x ¹ - ，所以方程
e
1
x
a
x
=
+
变形为：
=e
1
x
a
x +
，
1
x ¹ -
.
设函数
=e
1
x
f x
x +
，
1
x ¹ -
.
则关于x 的方程
e
1
x
a
x
=
+
恰有两个互异的实数解的问题转化为直线y
a
=
与函数
( )
y
f x
=
的图象有两个不同的交
点，
由
( )
(e ) (
1)
e (
1)
x
x
f
x
x
x
¢
¢
¢
=
+
+
+
e (
1)
e
e (
2)
x
x
x
x
x
=
+
+
=
+
，
当
2
x < - 时，由
2
0
x +
<
，e
0
x >
，此时
0
f
x
¢
<
，所以函数
f x 在
, 2
¥
-
-
上单调递减，
当
2
x > - 且
1
x ¹ - 时，由
2
0
x +
>
，e
0
x >
，此时
0
f
x
¢
>
，所以函数
f x 在
2, 1
-
-
和
1, ¥
- +
上单调递增.
所以函数在
2
x = - 处有极小值
2
2
1
2
e
2 1
e
f
-
-
=
- +
= -
，也即函数
f x 的最小值.
当x ® -¥ 时，
1
x + ® -¥ ，e
0
x ®
，且
1
0
x + <
，e
0
x >
.所以
( )
e (
1)
0
x
f x
x
=
+
®
且
( )
e (
1)
0
x
f x
x
=
+
<
.
当x 从左侧
1
x ® - 时，
1
0
x + ®
且
1
0
x + <
，
1
e
e
x
-
®
.所以函数
( )
e (
1)
0
x
f x
x
=
+
®
且
( )
e (
1)
0
x
f x
x
=
+
<
.
当x 从右侧
1
x ® - 时，
1
0
x + ®
且
1
0
x + >
，
1
e
e
x
-
®
.所以函数
( )
e (
1)
0
x
f x
x
=
+
®
且
( )
e (
1)
0
x
f x
x
=
+
>
.
当x ® +¥ ，
1
x + ® +¥ ，ex ® +¥，所以函数
( )
e (
1)
x
f x
x
=
+
® +¥，
所以函数
( )
e (
1)
x
f x
x
=
+
大致图象如图所示：
由图可知，y
a
=
与函数
e (
1)
x
f x
x
=
+
的图象有两个不同的交点，得
2
1
0
e
a
-
<
<
.
故a 的取值范围是
2
1
(
,0)
e
-
.
故选：C.
5．（2024·安徽合肥·模拟预测·多选）已知函数
3
2
0
log
0
x
x
f x
x
x
ì
+
£
ï
= í
>
ïî
，
，
，若关于 x 方程
f x
t
= 有四个不同的
解
1
2
3
4
,
,
,
x x
x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
<
<
<
，则
4
1
2
2
3
4
1
x
x
x
x x -
+
的可能取值为（ ）
A．2
B．8
C．16
D．32
【答案】BCD
【详解】画出函数
3
3
3
2,
2
2 ,
0
2, 2
0
( )
log
,
0
log
,0
1
log
,
1
x
x
x
x
x
x
f x
x x
x
x
x x
- -
< -
ì
ï
ì
+
£
+
- £
£
ï
ï
=
=
í
í
>
-
<
<
ïî
ï
ï
³
î
的图象，如图所示：
因为方程
f x
t
= 有四个不同的解
1
x ，
2x ，
3x ，
4x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
<
<
<
，
所以0
2
t
< £
，且
1
2
3
4
0
2
1
x
x
x
x
- <
<
<
<
<
<
，
由
0
x £
时，
( )
2
f x
x
=
+
，则
1
x 与
2x 的中点横坐标为2
- ，即：
1
2
4
x
x
+
= - ，
当
0
x >
时，
3
3
4
3
log
log
x
x
=
，则
3
3
3
4
log
log
x
x
-
=
，所以
3 4 1
x x = ，
又
4
3
log
2
x £
，则
4
1
9
x
<
£
，
因为
2
4
4
4
1
2
3
4
4
3
4
1
4
4
5
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x x -
+
+
=
+
=
=
，
则
4
5
5
45
x
<
£
，所以BCD 符合.
故选：BCD.
6．（24-25 高一上·云南昆明·阶段练习·多选）已知函数
1
3
1 ,
0,
ln ,
0,
x
x
f x
x x
+
ì
-
£
ï
= í
>
ïî
函数
g x
f x
m
=
-
有四个不同的零
点
1
2
3
4
,
,
,
x x
x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
<
<
<
，则（ ）
A．m 的取值范围是
0 2,
B．
1
2
2
3
3
3
x
x
+
=
C．
3
4
2x
x
+
的最小值是2 2
D．m 越大，
3
4
x
x
+
的值越大
【答案】BCD
【详解】对于选项A:画出
f x 的大致图象，由图可知0
1
m
<
< ，则A 错误.
对于选项B：因为
1
2
3
4
x
x
x
x
<
<
<
，所以
1
2
1
1
3
4
3
1 3
1
0,ln
ln
0
+
+
- +
- =
+
=
x
x
x
x
，
所以
1
3x
2
3
4
2
3
,
1
3
x
x x
+
=
= ，则B 正确.
对于选项C：由图可知
3
1
1
e
x
<
< ，所以
3
4
3
3
1
2
2
2 2
x
x
x
x
+
=
+
³
，
当且仅当
3
4
2 ,
2
2
=
=
x
x
时，等号成立，则C 正确.
对于选项D：
3
4
3
3
1
y
x
x
x
x
=
+
=
+
在1 ,1
e
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减.
因为m 越大，
3x 越小，所以
3
4
x
x
+
的值越大，则D 正确.
故选：BCD
7．（24-25 高一上·重庆沙坪坝·期末·多选）已知函数
2
2
,
1
log
1 ,
1
x
x
f x
x
x
ì
-
£
ï
= í
-
>
ïî
，且关于x 的方程
f x
a
=
恰有四
个不同的根，从小到大依次为
1
2
3
4
,
,
,
x x
x x ，则（ ）
A．
1,2
aÎ
B．
1
2
3
4
4
x
x
x
x
+
+
+
最小值为9
C．
0
f
f x
f x
-
=
恰有6 个不同的根D．
k
$
，使得
f
f x
k
=
恰有8 个不同的根
【答案】ABD
【详解】
f x 图像如下，
可知
1,2
aÎ
时，与y
a
=
恰有四个不同交点，所以A 正确：
由对称性可知
1
2
0
x
x
+
=
，而
2
3
2
4
log
1
log
1
x
x
-
= -
-
，所以
3
4
1
1
1
x
x
-
-
= ，
则
3
4
1
1
1
x
x
+
= ，所以
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
4
1
1
4
4
4 1
9
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
æ
ö
+
=
+
+
=
+ +
+
³
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
3
4
3 ,
3,
1
2
x
x
a
=
=
= 时等号成立，B 成立：
对于
0
f
f x
f x
-
=
，令
t
f x
=
，
则
f t
t
= 有两个不同根，
1
2
1,
1,2
t
t
=
Î
，
1
2
,
f x
t
f x
t
=
=
各有四个不同根，共有八个不同根，所以C 错误；
对于D，令
,
t
f x
f t
k
=
=
在
2
k =
时有三个根：
1
2
3
0,
1,2 ,
2
t
t
t
=
Î
>
，
而
0
f x =
有2 个不同根，
2
f x
t
=
有4 个不同根，
3
f x
t
=
有2 个不同根，
共8 个，所以D 正确．
故选：ABD.
8．（24-25 高二上·贵州毕节·阶段练习·多选）已知函数
ln ,0
e
1
2,
e
e
x
x
g x
x
x
ì
<
£
ï
= í-
+
>
ïî
（其中e为自然对数的底数），若实数
1
x ，
2x ，
3x 存在并能满足
1
2
3
g x
g x
g x
=
=
，且
1
2
3
x
x
x
<
<
，则下列说法正确的有（ ）
A．
g x 在
0,1 和
e,+¥ 上单调递减
B．
g x 的值域为
0,+¥
C．
1
2
3
x x x 的取值范围是
e,2e
D．
1
0,1
g x Î
【答案】ACD
【详解】作出函数( )
g x 的图象，如图，设
1
2
3
(
)
(
)
(
)
g x
g x
g x
m
=
=
=
，则直线y
m
=
与( )
g x 的图象有三个交点，
对A，由图象知A 正确，
对B，当
2e
x >
时，
1
( )
2
0
e
g x
x
= -
+
<
，B 错；
对C，( )
0
g x =
Þ
1
x = 或
2e
x =
，
因为
1
2
3
x
x
x
<
<
，所以
1
2
ln
ln
x
x
-
=
，从而
1
2
1
x x = ，又
3
e
2e
x
<
<
，
所以
1
2
3
e
2e
x x x
<
<
，C 正确，
对D，由图可知 0
1
m
<
< ，即
1
(
)
(0,1)
g x Î
，D 正确，
故选：ACD．
9．（24-25 高一上·浙江·阶段练习·多选）关于函数
3
1
x
f x =
-
，实数
1
x ，
2x 满足
1
2
x
x
<
，且
1
2
f x
f x
m
=
=
，
则下列结论正确的是（ ）
A．0
1
m
<
<
B．
1
2
1
x
x < -
C．若
1
0
2
m
<
<
，则
1
2
1
2
x
x
+
< -
D．若
6
1
3
m
<
< ，则
1
2
1
x
x
+
< -
【答案】ABD
【详解】因为
3
1,
0
3
1
1 3 ,
0
x
x
x
x
f x
x
ì
-
³
=
-
= í -
<
î
，
当
0
x ³
时3
1
x ³ ，则
0
f x ³
，
当
0
x <
时0
3
1
x
<
< ，则
0
1
f x
<
< ，所以
f x 的图象如下所示：
对于A，因为实数
1
x ，
2x 满足
1
2
x
x
<
，且
1
2
f x
f x
m
=
=
，
即y
m
=
与
y
f x
=
的图象有两个交点，
由图可知0
1
m
<
< ，故A 正确；
对于B，因为
1
2
x
x
<
，所以
1
2
0
x
x
<
<
，所以
1
2
1 3
3
1
x
x
-
=
- ，
所以
2
1
2
1
2
1
3
3
2
3
2 3
3
2
x
x
x
x
x
x
+
³
=
+
=
×
，当且仅当
2
1
3
3
x
x
=
，即
2
1
x
x
=
时等号成立，
因为
1
2
x
x
<
，所以等号不成立，即
1
2
3
1
x
x
+
< ，
则
1
2
0
3
3
x
x
+
<
，所以
1
2
0
x
x
+
<
，即
1
2
x
x
< -
，
因为
2
0
x >
，所以
1
2
1
x
x < - ，故B 正确；
对于C，当
1
0
2
m
<
<
时，则
2
3
1
x
m
- =
，即
2
3
1
x
m
= +
，又
1
1 3x
m
-
=
，即
1
3
1
x
m
= -
，
所以
1
2
1
2
2
3
3
3
1
1
1
x
x
x
x
m
m
m
+
×
=
=
+
-
= -
，即
2
1
2
3
log
1
x
x
m
+
=
-
，
又
1
0
2
m
<
<
，所以
2
1
0
4
m
<
<
，所以
2
3
1
1
4
m
< -
< ，
则
2
3
3
3
3
log
log
1
log 1
4
m
<
-
<
，又
1
2
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
log
log
log
log
log 3
4
5
2
3 3
3
-
>
>
=
=
= -
，
所以
2
3
1
log
1
0
2
m
-
<
-
<
，所以
2
1
2
3
1
log
1
,0
2
x
x
m
æ
ö
+
=
-
Î -
ç
÷
è
ø ，即
1
2
1
0
2
x
x
-
<
+
<
，故C 错误；
对于D，由C 选项知
2
1
2
3
log
1
x
x
m
+
=
-
，所以当
6
1
3
m
<
< 时，
所以
2
2
1
3
m
<
< ，所以
2
1
0
1
3
m
< -
<
，所以
2
3
3
1
log
1
log
1
3
m
-
<
= - ，
即
1
2
1
x
x
+
< - ，故D 正确．
故选：ABD．
10．（25-26 高三上·湖北恩施·开学考试·多选）已知函数
e ,
0
( )
ln
1,
0
x x
f x
x
x
ì
£
= í
+
>
î
，方程
( ( ))
f f x
m
=
有三个不同的实根
1
x ，
2x ，
3x ，则（ ）
A．方程
( )
f x
m
=
有两个不同的实根
B．
[1,e]
mÎ
C．
1
m - 是方程
( ( ))
f f x
m
=
的一个根
D．
1
2
3
1
e
e
x
x
x
+
+
<
+
【答案】ACD
【详解】令
( )
t
f x
=
，考虑
f t
m
=
的解.
f t 的图象如图所示：
对于A，因为
f
f
x
m
é
ù =
ë
û
有3 个不同的解，故
f t
m
=
有两个不同的解1
2
,
t t ，
且1
0
t £
，
2
0
1
t
<
£ ，故A 正确.
对于B，由A 的分析可得0
1
m
<
£ ，故B 错误.
对于C，由A 的分析结合图象可得：
1
2
e
ln
1
t
m
t
=
=
+ 有两个不同的解，
故
2
1
ln
0
m
t
- =
£
且
1
1
e
1
0
t
m - =
- £
，故
1
1
1
e
1 ln e
m
m
f
f m
f
m
-
-
-
=
= +
=
，
故
1
m - 是方程
( ( ))
f f x
m
=
的一个根，故C 正确.
对于D，由A 的分析可得
2
f x
t
=
有两个不同的解，不妨设为
1
2
,
x x ，
1
f x
t
=
有唯一解，不妨设为
3x ，
则
1
2
2
e
ln
1
x
x
t
=
+ =
，
3
1
ln
1
x
t
+ =
，故
2
1
1
1
1
2
2
3
ln ,
e
,
e
t
t
x
t
x
x
-
-
=
=
=
，
故
2
1
1
1
1
2
3
2
ln
e
e
t
t
x
x
x
t
-
-
+
+
=
+
+
，
而
1
2
e
ln
1
t
m
t
=
=
+ 即
1
1
2
ln
,
em
t
m t
-
=
=
，
所以
1
1
e
1
ln
1
e
1
1
2
3
1
e
e
1
e
e
m
m
m
m
x
x
x
m
m
-
-
-
-
-
+
+
=
- +
+
=
- +
+
，
记
1
e
1
1
e
e
( )
m
g
m
m
m
- -
=
- +
+
，则
1
e
1
1
1
1
e
e
0
( )
e
m
m
g m
- -
-
¢
´
+
= +
>
，
故
g m 在(0,1]上单调递增，故
1
1
( )
(1)
e
1
e
e
g m
g
-
-
£
=
+ <
+ ，D 正确.
故选：ACD.
11．（2025·河南·模拟预测）已知函数
2
log
1 0
4
3
4
x
x
f x
x
x
ì
-
<
£
ï
= í
-
>
ïî
，
，
，
存在
1
2
3
0
x
x
x
<
<
<
，使得
1
2
3
(
)
(
)
(
)
f x
f x
f x
=
=
，
则
1
2
3
x x x 的取值范围是
.
【答案】(16,36)
【详解】作出函数的图象，设
1
2
3
(
)
(
)
(
)
=
=
=
f x
f x
f x
k ，依题意，0
1
k
<
< ，
且
2
1
2
2
1 log
log
1
x
x
k
-
=
- =
，
3
3
x
k
-
=
，解得
1
2
4
x x =
，
2
3
(3
)
x
k
=
-
，
故
2
1
2
3
4(
3)
x x x
k
=
-
，因函数
2
4(
3)
k -
在( 0, 1) 上单调递减，故
1
2
3
16
36
x x x
<
<
，
即
1
2
3
x x x 的取值范围是(16,36) .
故答案为：(16,36) .
12．（24-25 高一上·北京房山·期末）已知函数
2
2
,
1,
( )
log
,
1.
x
x
f x
x x
ì
£
= í
>
î
若
( )
2
f x =
，则x =
；若
( )
f x
m
=
有三个不
同的实根
1
2
3
,
,
x x
x ，且满足
1
2
3
x
x
x
<
<
，则
2024
1
2
3
(
)
x
x m
x
+
+
的取值范围是
．
【答案】
2,4
-
(1,2]
【详解】
2
2
x =
得
2
x = -
（2 舍去），
2
log
2
x =
得
4
x =
，因此
( )
2
f x =
的解为
2
-
和4；
再作函数
( )
y
f x
=
的图象，作直线y
m
=
，由图象可知0
1
m
<
£ 时，
( )
f x
m
=
有三个解
1
2
3
,
,
x x
x ，当
1
2
3
x
x
x
<
<
时，
1
2
0
x
x
+
=
，
2
log
1
2
x
x
= Þ
=
，因此
3
1
2
<
£
x
，
所以
2024
1
2
3
3
(
)
(1,2]
x
x m
x
x
+
+
=
Î
，
故答案为：
2,4
-
；(1,2]．
13．（24-25 高三上·陕西商洛·期末）已知函数
2
6ln ,
0,
( )
6 ,
0.
x x
f x
mx
x x
>
ì
= í
+
<
î
若关于a 的方程
( )
(
)
f a
f
a
=
-
恰有四个不同的
解，则正数m 的取值范围为
．
【答案】(0,6)
【详解】由方程
f a
f
a
=
-
，则当
0
a >
时，可得
2
6ln
6
a
ma
a
=
-
；当
0
a <
时，可得
2
6ln
6
a
ma
a
-
=
+
，
则可得关于x 的方程
2
6ln
6
x
mx
x
=
-
有两个不等的正根，关于x 的方程
2
6ln
6
x
mx
x
-
=
+
有两个不等的负根，
即函数
2
( )
6ln
6
h x
x
mx
x
=
-
+
恰好有两个零点，函数
2
6ln
6
g x
x
mx
x
=
-
-
-
恰好有两个零点，
由
g x
h
x
=
-
，则只需研究函数
2
( )
6ln
6
h x
x
mx
x
=
-
+
恰好有两个零点即可，
求导可得
2
6
2
6
6
( )
2
6
mx
x
h x
mx
x
x
-
-
¢
=
-
+
= -
，
令
2
( )
2
6
6(
0)
g x
mx
x
x
=
-
-
>
，因为2
0
m >
，且
3
(0)
6
0,
0
2
g
x
m
= - <
=
>
，
所以( )
g x 在(0,
)
+¥ 上有一个零点，记为
0x ．
当
0
0,
x
x
Î
时，( )
0
g x <
，
( )
0
h x
¢
>
；当
0,
x
x
¥
Î
+
时，( )
0
g x >
，
( )
0
h x
¢
<
．
所以( )
h x 在
0
0, x
上单调递增，在
0,
x
¥
+
上单调递减，
当
0
x ®
或x ® +¥ 时，( )
0
h x <
，则
0
0
h x
>
，即
2
0
0
0
6ln
6
0
x
mx
x
-
+
>
．
因为
2
0
0
0
2
6
6
0
g x
mx
x
=
-
-
=
，所以
2
0
0
3
3
mx
x
=
+ ，则
0
0
2ln
1
0
x
x
+
- >
．
因为函数( )
2ln
1
t x
x
x
=
+
- 在(0,
)
+¥ 上单调递增，且(1)
0
t
=
，
所以
0
1
x > ，则
0
1
0
1
x
<
< ，由
2
0
0
2
6
6
0
mx
x
-
-
=
，
得
2
2
0
0
0
1
3
1
1
3
3
3
2
4
m
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，又
0
1
0
1
x
<
< ，
所以0
6
m
<
<
．
故答案为：
0,6 .
14．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数
2
1,
0
ln
,
0
x
x
f x
x x
ì
+
£
ï
= í
>
ïî
，若函数
y
f af
x
=
所有零点的乘积为1，则实
数a 的取值范围是 .
【答案】
1
0,
1,
2
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
U
【详解】当
0
x £
时，可得
2
1
1,2
x
f x =
+ Î
；
当
0
x >
时，可得
ln
0
f x
x
=
³
，当且仅当
1
x = 时，等号成立，
即函数
f x 有且仅有1 个零点1，
若函数
y
f af
x
=
有零点，则
1
af x = ，
显然
0
a ¹
，可得
1
f x
a
=
，
假设方程
1
ln
,
0
x
x
a
=
>
有根，可知方程
1
ln
,
0
x
x
a
=
>
有两个不相等根，
设为
1
2
,
x x ，且
1
2
0
1
x
x
<
< <
，
则
1
2
ln
ln
x
x
=
，可得
1
2
1
2
ln
ln
ln
0
x
x
x x
+
=
=
，即
1
2
1
x x = ，
假设方程
1
2
1
,
0
x
x
a
+ =
£
有根，可知方程
1
2
1
,
0
x
x
a
+ =
£
有且仅有1 个根，设为
3
0
x £
，
结合题意可知：方程
1
ln
,
0
x
x
a
=
>
有根，方程
1
2
1
,
0
x
x
a
+ =
£
无根，
即
1
y
a
=
与
,
0
y
f x
x
=
£
无交点，与
,
0
y
f x
x
=
>
有2 个交点，
结合图象可知：
1
0
1
a
<
£ 或1
2
a >
，解得
1
a ³ 或
1
0
2
a
<
<
，
所以实数a 的取值范围是
1
0,
1,
2
¥
æ
öÈ
+
ç
÷
è
ø
.
故答案为：
1
0,
1,
2
¥
æ
öÈ
+
ç
÷
è
ø
.
15．（25-26 高二上·广东深圳·开学考试）已知函数
2
2
x
x
f x
a
-
=
+
×
（a 为常数，aÎR ）．
(1)当a 取何值时，函数
f x 为奇函数；
(2)当
1
a = 时，若方程
2
3
f
x
k f x
-
×
=
在
0,1
xÎ
上有实根，求实数k 的取值范围．
【答案】(1)
1
a = -
(2)
1 1
,
2 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û
【详解】（1）若
f x 为奇函数，则
0
f x
f
x
+
-
=
，
即
2
2
2
2
1
2
2
0
x
x
x
x
x
x
a
a
a
-
-
-
+
×
+
+
×
=
+
+
=
，
2
0
x >
Q
，2
0
x
- >
，
1
0
a
\ + =
，解得：
1
a = - .
（2）当
1
a = 时，
2
2
x
x
f x
-
=
+
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
f
x
-
-
=
+
=
+
-
，
2
2
2
f
x
k f x
f x
k f x
\
-
×
=
-
×
-
é
ù
ë
û
，
当
0,1
xÎ
时，
2
1,2
x Î
，又
1
y
x
x
=
+
在
1,2 上单调递增，
\当
0,1
xÎ
时，
1
5
2
2
2
2,
2
2
x
x
x
x
f x
-
é
ù
=
+
=
+
Îê
ú
ë
û ，
令
t
f x
=
，则方程
2
2
3
t
kt
-
-
=
在
5
2, 2
t
é
ù
Îê
ú
ë
û 上有实根，
2
5
5
t
k
t
t
t
-
\
=
= -
在
5
2, 2
t
é
ù
Îê
ú
ë
û 上有实根，又
5
y
t
t
= -
在
5
2, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，
5
1 1
,
2 2
t
t
é
ù
\ -
Î -
ê
ú
ë
û ，
1 1
,
2 2
k
é
ù
\ Î -
ê
ú
ë
û .
