指对幂比较大小、指对幂函数的实际应用、切线问题专项训练
1．（24-25 高二下·安徽蚌埠·期中）已知
ln 2
1
ln3
,
,
2
e
3
a
b
c
=
=
=
，则a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．c
a
b
<
<
B．a
c
b
<
<
C．a
b
c
<
<
D．b
a
c
<
<
2．（24-25 高三上·江西·期中）已知
2
1
ln 2,
cos2,
2
a
b
c
-
æ
ö
=
=
= ç
÷
è
ø
，则a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．c
a
b
>
>
B．a
c
b
>
>
C．b
c
a
>
>
D．b
a
c
>
>
3．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）设
1.2
1
2 ,
lg3,
ln 3
a
b
c
=
=
=
，则a
b
c
、、的大小顺序为（ ）
A．a
b
c
>
>
B．a
c
b
>
>
C．b
a
c
>
>
D．c
a
b
>
>
4．（24-25 高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数
3
2
2
,
log
,
x
f x
x g x
x
x h x
x
x
=
+
=
+
=
+
的零点分别为a，b，c，
则a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．a
b
c
>
>
B．b
c
a
>
>
C．c
a
b
>
>
D．b
a
c
>
>
5．（24-25 高三上·天津·阶段练习）三个数
0.2
0.4
0.4
4
,
3 ,
log
0.5
a
b
c
=
=
=
的大小顺序是（ ）
A．a
b
c
>
>
B．c
a
b
>
>
C．b
c
a
>
>
D．b
a
c
>
>
6．（23-24 高二下·四川成都·阶段练习）三个数
2
2lne
ln3
,
ln 2,
e
3
a
b
c
=
=
=
的大小顺序为（ ）
A．b
c
a
<
<
B．a
c
b
<
<
C．c
a
b
<
<
D．a
b
c
<
<
考点一
指对幂比较大小
7．（24-25 高一上·吉林长春·期末）已知
2
2
1
1
,
cos2,
log e
2
a
b
c
-
æ
ö
=
=
= ç
÷
è
ø
，则, ,
a b c 的大小顺序为（ ）
A．c
a
b
>
>
B．a
c
b
>
>
C．c
b
a
>
>
D．b
a
c
>
>
8．（2025·陕西宝鸡·二模）若2
3
log 3
a
b
=
=
，
3
ln 2
e
c =
，则实数a 、b 、c 的大小顺序为（ ）
A．a
b
c
>
>
B．a
c
b
>
>
C．b
c
a
>
>
D．b
a
c
>
>
9．（2025·天津南开·模拟预测）若2
3
log 9
a
b
=
=
，
2
3
ln
e
c =
，则实数a 、b 、c 的大小顺序为（ ）
A．a
b
c
>
>
B．a
c
b
>
>
C．b
c
a
>
>
D．b
a
c
>
>
10．（24-25 高一上·广东汕头·期中·多选）下列各式比较大小，正确的是（ ）
A．
3
5
>
2 2
5
B．
0.6
0.9
3
2
2
3
-
>
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
C．
0.2
4
0.6
2
<
D．
0.2
3
3
0.2
>
11．（24-25 高二上·广东广州·阶段练习·多选）下列公式比较大小，错误的是（ ）
A．
2.5
3
1.5
1.5
>
B．
2
4
3
3
1
2
2
-
æ ö >
ç ÷
è ø
C．
0.3
3.1
1.5
0.9
>
D．
2
3
log 3
log 4
<
1．（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生
活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数
1
min-
×
）与体重W（单位：Kg）的1
3 次方成反
比．若A、B 为两个睡眠中的恒温动物，A 的体重为2Kg、脉搏率为210 次
1
min-
×
，B 的脉搏率是70 次
1
min-
×
，
则B 的体重为（ ）
A．6Kg
B．8Kg
C．18Kg
D．54Kg
2．（2025·河南南阳·模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
0
0
n
G
L
L D
=
（D 为常数），其中L 表示
每一轮优化时使用的学习率，
0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，n 表示训练迭代轮数，
0
G 表示衰减速度．已
知某个指数衰减的学习率模型中
0
20
G =
，当
10
n =
时，学习率为0.25；当
30
n =
时，学习率为0.0625，则学习率
衰减到0.05 以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知lg 2
0.3
»
）
A．31
B．32
C．33
D．34
3．（2024·四川攀枝花·一模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在
神经网络优化中指数衰减的学习率模型为
0
0
G
G
L
L D
=
，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，
0L 表示初始学习
率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，
0
G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为
0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12 时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2 以下（不含0.2）所需的
训练选代轮数至少为（参考数据：lg 2
0.301
»
）（ ）
A．34
B．35
C．36
D．37
4．（2025·海南三亚·一模）夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教
室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检
测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风t 分钟后教室内的二氧化碳浓度为
%
y
，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数
10
0
e
t
y
k
k
k
-
¥
¥
=
+
-
描述，
0k %是二氧化碳初始浓度，
0.03
k¥ =
，则该教室内的二氧化碳浓度不超过0.10% 需要的时间t 的最小整数值为（ ）
（参考数据：ln7
1.946,ln11
2.398
»
»
）
A．3
B．4
C．5
D．6
考点二
指对幂函数的实际应用
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单
位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情
况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳14元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳14
的半衰期为5730年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的80%.则该遗址大约距
今（ ）（lg2
0.3
»
）
A．1146年
B．1375年
C．1910年
D．2292 年
6．（24-25 高三下·福建厦门·阶段练习）已知某物种t 年后的种群数量y 近似满足函数模型：
1.4e 0.125
0 e
t
y
k
-
=
×
（
0
0
k >
，当
0
t =
时表示2025 年初的种群数量）．自2025 年初起，经过n 年后(
N)
nÎ
，当该物种的种群数量不足
2025 年初的10%时，n 的最小值为（参考数据：ln10
2.3026
»
）（ ）
A．17
B．18
C．19
D．20
7．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比
及信道带宽的关系，即
2
log
1
S
C
W
N
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø其中C 是信道容量，单位bps；W 为信道带宽，单位Hz；S
N 代表接收信
号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由
5MHz 扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps 提高至593Mbps，依据香
农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：
3.46
2
11
»
，
5.93
2
60.97
»
）
A．5
B．6
C．7
D．8
8．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
2
log
T
k
N
=
（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从
6
10 个单位增加到
9
1.024 10
´
个单位时，训练时间
增加20h；当训练数据量N 从
9
1.024 10
´
个单位增加到
9
4.096 10
´
个单位时，训练时间增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
9．（2025·重庆·二模·多选）从2024 年3 月1 日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每100 mL 血液中乙醇含量
大于或等于20 mg ，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于80mg 则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮
酒后，若其血液中的乙醇含量y （单位：mg / mL ）与酒后代谢时间x （单位：h ）的数量关系满足
2
4
4
1
x
y
x
=
+ ．则张师傅此次饮酒后（ ）
A．当代谢时间
0.5
x =
时，血液中的乙醇含量最低
B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间x 的增函数，然后是代谢时间x 的减函数
C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为
D．若执意驾车，饮酒后0.5 h 接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾
10．（2025·甘肃定西·模拟预测·多选）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中
进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强
2
W / cm
I
.但在
实际生活中，常用声音的声强级
dB
D
来度量，声强级
dB
D
与声强
2
W / cm
I
的关系近似满足
lg
D
a I
b
=
+
，经
过多次测定，得到如下数据：
声强
2
W / cm
I
11
10-
10
10-
m
声强级
dB
D
10
20
30
已知烟花的噪声的声强级一般在
90,100 ，其声强为
1I ；鞭炮的噪声的声强级一般在
100,110 ，其声强为
2I ；飞
机起飞时发动机的噪声的声强级一般在
135,145 ，其声强为
3I ，则（ ）
A．
110
b
a
-
=
B．
8
10
m
-
=
C．
2
1
1
100
10
I
<
<
D．
2
1 3
2
>
I I
I
11．（2025·广西·模拟预测·多选）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的
动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值
(1
)
a
a
a
x
S x
x
x
=
+
-
，
0,1
xÎ
，
0.
a >
其中x 表示污染物浓
度，a 为设备灵敏度参数(a 越大，灵敏度越高) ，则（ ）
A．
S x 过定点1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
S x 在污染物浓度区间
0,1 上单调递增
C．
S x 关于
1
2
x =
对称
D．取定x 的值
1
(0
)
2
x
<
<
，灵敏度越高，监测值越大
12．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x 年
底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型
0
1
1 e-
=
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
px
N
y
N
y
，其中N 为饱和度，
0y 为初始值，p 为年
增长率．若该地区2024 年底的光伏太阳能板保有量约为20 万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10% ，
饱和度为1020 万块，那么2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量约
万块．
（结果四舍五入保留到整数，参考数据：
0.5
e
0.61
-
»
，
0.6
e
0.55
-
»
，
0.7
e
0.49
-
»
）
13．（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积(
y 单位：
2)
m
与时间(t 单位：月) 的关系
近似表示为如图所示函数关系，已知第1 个月时，浮萍面积为
2
2m ，第5 个月时，浮萍面积就会超过
2
30m ，下列
函数模型：①
1(
0)
y
at
a
=
+
>
，②
2
1(
0)
y
bt
b
=
+
>
，③
(
0
1)
t
y
c c
c
=
>
¹
，
，④
log
1
1(
0
1)
d
y
t
d
d
=
+
+
>
¹
，
中，
最符合浮萍面积y 与时间t 关系的模型是
( 填写序号) ，若浮萍蔓延到
2
3m ，所经过的时间t =
.
14．（2025·江苏南通·模拟预测）心理学家有时使用函数
1 e kt
L t
A
-
=
-
来测定在时间
min
t
内能够记忆的量L ，
其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率.假设一个学生有200 个单词要记忆，心理学家测定在5min 后该学生记忆
了20 个单词.该学生记忆38 个单词大约需要
min .
15．（24-25 高一上·广西玉林·期末）为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读
名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间
0
150
x
x
£
£
（单位：分钟）的函数关系，
要求如下：
（i）函数的部分图象如图所示；
（ii）每天阅读时间为0 分钟时，当天得分为0 分；
（iii）每天阅读时间为30 分钟时，当天得分为50 分．
现有以下三个函数模型供选择：
15
2
1
(
0),
(
0),
log
2
(
0)
2
5
x
x
y
kx
m k
y
k
m k
y
k
m k
æ
ö
æ
ö
=
+
>
=
+
>
=
+
+
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
(1)选出你认为最符合要求的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)若学校要求每天的得分不少于75 分，则每天至少阅读多少分钟？
16．（24-25 高一上·福建南平·期末）某湖泊2024 年2 月底测得水草覆盖面积为48
2
m ，2024 年3 月底测得水草覆
盖面积为64
2
m ，水草覆盖面积y
2
m 与月份x 的关系有以下两个函数模型可供选择：①
2
(
0)
y
ax
b a
=
+
¹
；②
(
0,
1)
x
y
kc
k
c
=
>
>
.
(1)求两个函数模型的解析式；
(2)若2024 年1 月底测得水草覆盖面积为36
2
m ，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，请说明理由，并
估算至少到哪一年的几月底水草覆盖面积能达到1080
2
m ？
（参考数据：lg 2
0.30
»
，lg3
0.48
»
，lg7
0.85
»
）
17．（24-25 高一上·云南保山·期末）数控机床（Computer Numerical Control Machine Tools，简称CNC 机床）是一
种通过计算机程序控制，具有高精度、高效率的自动化机床，广泛应用于机械制造、汽车制造、航空制造等领
域．某机床厂今年年初用50 万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各
种支出费用总和t （单位：万元）与使用时间x （
*
xÎN ，
20
x £
，单位：年）之间满足函数关系式为：
2
4
t
x
x
=
+
．该机床每年的生产总收入为24 万元．设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．（盈利额等于总收入
减去购买成本及所有使用支出费用）．
(1)写出y 与x 之间的函数关系式；
(2)从第几年开始，该机床开始盈利？
(3)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为4%（固定资产使用1 年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对
该机床的处理方案有两种：
第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；
第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出．
以总获利为选取方案的依据，研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．（总获利= 盈利额+ 机床剩余价值）
（参考数据：
2
1.414
»
，
7
0.96
0.751
»
，
8
0.96
0.721
»
，
9
0.96
0.693
»
，
10
0.96
0.665
»
）
1．（24-25 高二下·北京西城·期中）下列函数中，图象存在与x 轴平行的切线的是（ ）
A．y
x
=
B．y
x
=
C．
ln
y
x
x
=
+
D．
ex
y
x
=
2．（24-25 高二下·北京延庆·期末）下列函数中，图象存在与x 轴平行的切线的是（ ）
A．
2
y
x
x
=
+
B．y
x
=
C．
ln
y
x
x
=
-
D．
cos
2
y
x
x
=
+
3．（24-25 高二下·河南·期末）若曲线
ln
=
+
f x
x
a 在
1
x = 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为2，则a 的值为
（ ）
A．1 或3
B．3
C．3 或1
-
D．1
-
4．（24-25 高二下·广东·阶段练习）过点
, 2
P t
t
-
作曲线
3
2
y
x
= -
的切线，若切线有3 条，则t 的取值范围是（ ）
A．
, 1
1,
-¥ -
È
+¥
B．
1,1
-
C．
,1
-¥
D．
, 1
¥
-
-
5．（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线
4
y
x
=
的一条切线1l 与直线2l ：4
20
0
x
y
-
-
=
平行，则1l 与2l 之间的距离为
（ ）
A．17
B．2 17
C．5
D．10
6．（24-25 高二下·广东深圳·期末）设曲线
ln(
),(
0)
y
ax
a
=
>
在x
a
=
处的切线与
2
1
0
x
y
+
+ =
垂直，则a =（ ）
A．
2
2
B．2
C．
1
2
D．2
考点三
切线问题
7．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知直线
3
2
y
x
a
=
+
是函数
ln
y
x
x
=
+
在某点处的切线，则实数a 的值为
（ ）
A．1
B．-1
C．
1
2
D．
1
2
-
8．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线y
kx
=
是函数
ln
1
y
x
x
=
+ 的图象的一条切线，则实数k 的值为（ ）
A．1
B．1
-
C．e
D．1
e
9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设
0
a ¹
，若曲线
ln
1
f x
a
x
=
-
在点
2
2
f,
处的切线也是曲线
2
eax
g x
-
=
的
切线，则a = ．
10．（24-25 高二下·贵州六盘水·阶段练习）过原点引
ex
y
t
=
+ 的切线，若切线斜率为1
e ，则t =
．
11．（2025·吉林长春·模拟预测）若函数
2
1 ex
f x
x
ax
=
+
+
在
0
x =
处的切线与直线2
2
0
x
y
-
+
=
平行，则实数
a =
.
12．（24-25 高二下·安徽合肥·期末）若直线
2
1
y
x
=
-
是曲线
ln
y
x
x
a
=
+
+
的切线，则a =
.
13．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知函数
sin
f x
x
=
，
2
ax
g x
a
x
a
=
Î
+
R ．
(1)当
4
a =
时，求
g x 在
0,4 上的值域；
(2)证明：曲线
y
f x
=
与
y
g x
=
在点
0,0 处存在公切线.
14．（24-25 高二下·湖北黄冈·期末）已知函数
( )
e ( sin
cos ),
x
f x
a
x
x a
=
+
ÎR .
(1)当
1
a = 时，求
( )
f x 在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上的值域；
(2)若曲线
( )
y
f x
=
在点(0,
(0))
f
处的切线与坐标轴围成的图形面积为1
6 ，求a 的值.
15．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知函数
e
0
x
f x
a
a
=
¹
，
2
1
2
g x
x
=
．
(1)当
2
a = - 时，求曲线
f x 与
g x 的公切线的方程；
(2)若
y
f x
g x
=
-
有两个极值点
1
x 和
2x ，且
2
1
2
x
x
³
，求实数a 的取值范围．
16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
ln
1,
e
1
x
f x
x
g x
=
+
=
- .
(1)求曲线
y
f x
=
与
y
g x
=
的公切线的条数；
(2)若
2
2
0,
1,
,
1
1
a
x
f x
a g x
a
a
¥
>
" Î - +
+
£
+
-
+ ，求a 的取值范围.
17．（24-25 高三下·山西晋中·阶段练习）已知函数
( )
ln
f x
x
mx
=
-
，
2
1
1
( )
2
2
g x
x
=
-
.
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
0
m =
，求曲线
( )
y
f x
=
与曲线
( )
y
g x
=
的公切线；
(3)已知( )
( )
( )
h x
f x
g x
=
+
，若( )
h x 的两个极值点为
1
x ，
2
2
2
1
2
(
e
)
x
x
x
x
<
<
，求
1
2
(
)
(
)
h x
h x
-
的取值范围.
