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专题2.3函数的性质:单调性、奇偶性、对称性与周期性(解析版)_2027版高中《举一反三》同步讲义(数学)

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文档文本内容

专题2.3 函数的性质:单调性、奇偶性、对称性与周期性(举一反三
复习讲义)
【全国通用】
考点要求
(1)借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作
用和实际意义
(2)结合具体函数,了解奇偶性和对称性的概念和几何意义
(3)了解周期性的概念和几何意义
高考真题
考点
2024 年
2025 年
2026 年
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统计
函数的性质:
单调性、奇偶
性、对称性与
周期性
新课标I 卷:第6 题,
5 分
新课标Ⅱ卷:第8 题,
5 分
全国一卷:第5 题,5
分
全国二卷:第10 题,6
分
天津卷:第3 题,5 分
全国一卷:第19 题,
17 分
全国二卷:第8 题,5
分
上海卷(秋考):第5
题,4 分
上海卷(秋考):第
21 题,18 分
北京卷:第5 题,5 分
命题规律
分析
1、函数的性质:单调性、奇偶性、对称性与周期性
函数的性质是历年高考的重点、热点内容,从近三年的高考情况来看,
函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容,重点关注单调
性、奇偶性结合在一起进行考查,解题时要充分运用转化思想和数形结合思
想。题型主要以选择题、填空题为主,偶尔在解答题中渗透考查;对于选择
题和填空题部分,重点考查函数的单调性问题,以及求函数的最值、解不等
式、求参数范围等,难度较小;对于解答题部分,侧重考查函数新定义,试
题综合性强,考查难度较大。
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知识点1
函数的单调性
1.求函数的单调区间
求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.
2.函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法.
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(2)复合函数的单调性:函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循
“同增异减”的原则.
知识点2
函数的最值的求法
1.求函数最值的三种基本方法:
(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
2.复杂函数求最值:
对于较复杂函数,可运用导数,求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
知识点3
函数的奇偶性及其应用
1.函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式
(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2.函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数
或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题.
3.常见奇偶性函数模型
(1)奇函数:
①函数
1
( )
(
)
0
1
x
x
a
f x
m
x
a




(
)或函数
1
( )
(
)
1
x
x
a
f x
m a



.
②函数
( )
(
)
x
x
f x
a
a


.
③函数
2
( )
log
log (1
)
a
a
x
m
m
f x
x
m
x
m






或函数
2
( )
log
log (1
)
a
a
x
m
m
f x
x
m
x
m






④函数
2
( )
log (
1
)
a
f x
x
x


或函数
2
( )
log (
1
)
a
f x
x
x


.
(2)偶函数:
①函数
( )
(
)
x
x
f x
a
a


.
②函数
( )
log (
1)
2
mx
a
mx
f x
a



.
③函数
(|
|)
f
x
类型的一切函数.
④常数函数.
知识点4
函数的周期性与对称性的常用结论
1.函数的周期性常用结论(a 是不为0 的常数)
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(1)若f(x+a)=f(x),则T=a;
(2)若f(x+a)=f(x-a),则T=2a;
(3)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;
(4)若f(x+a)=
,则T=2a;
(5)若f(x+a)=
,则T=2a;
(6)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|(a≠b);
2.对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线
对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于点
对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点
对称.
3.函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数
( )
y
f x

有两条对称轴x
a

,
(
)
x
b a
b


,则函数
( )
f x 是周期函数,且
2(
)
T
b
a


;
(2)若函数
( )
y
f x

的图象有两个对称中心( , ),( , )(
)
a c
b c a
b

,则函数
( )
y
f x

是周期函数,且
2(
)
T
b
a


;
(3)若函数
( )
y
f x

有一条对称轴x
a

和一个对称中心( ,0)(
)
b
a
b

,则函数
( )
y
f x

是周期函数,且
4(
)
T
b
a


.
【题型1
确定函数的单调性(区间)】
【例1】(2026·山西·模拟预测)函数�= |�−3|的单调递减区间为(
)
A.−∞, + ∞
B.3, + ∞
C.−∞, 3
D.−∞, −3
【答案】C
【解题思路】将函数用分段函数表示出来,进而求出其单调递减区间.
【解答过程】函数�= |�−3| = −�+ 3, �≤3
�−3, �> 3 ,则该函数在( −∞, 3]上单调递减,在[3, + ∞)上单调递增,
所以函数�= |�−3|的单调递减区间为( −∞, 3].
故选:C.
【变式1-1】(25-26 高一上·青海·期中)函数�=
�2 −5�+ 4的单调递减区间是(
)
A.
5
2 , + ∞
B.−∞, 1
C.[4, + ∞)
D.−∞,
5
2
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【答案】B
【解题思路】先确定函数的定义域,继而根据复合函数的单调性进行判断,即可得答案.
【解答过程】由题意知函数�=
�2 −5�+ 4满足�2 −5�+ 4 ≥0,解得�≤1 或�≥4,
即函数定义域为−∞, 1 ∪4, + ∞,
令�= �2 −5�+ 4,则�= �2 −5�+ 4 的图象开口向上,且对称轴为直线�=
5
2,
则�= �2 −5�+ 4 在−∞, 1 上单调递减,在4, + ∞上单调递增,
又�=
�在0, + ∞上单调递增,
故�=
�2 −5�+ 4的单调递减区间是−∞, 1 .
故选:B.
【变式1-2】(25-26 高一上·全国·课后作业)设��= �,��=−
1
�,则(
)
A.��+ ��在区间0, + ∞上单调递增
B.��+ ��在区间0, + ∞上单调递减
C.��−��在区间0, + ∞上单调递增
D.��−��在区间0, + ∞上单调递减
【答案】A
【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性,结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可.
【解答过程】因为函数��= �,��=−
1
�在区间0, + ∞上均单调递增,所以当�∈0, + ∞时,��+ ��
单调递增,所以A 正确,B 错误;
令ℎ�= ��−��= �+
1
�,任取0 < �1 < �2,
则ℎ�1 −ℎ�2 = �1 −�2 +
1
�1 −
1
�2 =
�1−�2
�1�2
�1�2 −1 ,�1 −�2 < 0,
当0 < �1 < �2 < 1 时,0 < �1�2 < 1,ℎ�1 −ℎ�2 > 0,故ℎ�在区间0,1 内单调递减;
当1 < �1 < �2时,�1�2 > 1,ℎ�1 −ℎ�2 < 0,故ℎ�在1, + ∞上单调递增,C 错误,D 错误.
故选:A.
【变式1-3】(25-26 高一上·广东深圳·期中)已知函数��= �−2 3 −�,则函数��的单调增区间是(
)
A.−∞, 2.5 和3, + ∞
B.−∞, 2.5
C.2,2.5 和3, + ∞
D.2,2.5
【答案】A
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【解题思路】讨论x 的取值范围,化简��,结合二次函数的单调性,即可确定答案.
【解答过程】由于函数��= �−2 3 −�,
当�≤3 时,�(�) = (�−2)(3 −�) =−�2 + 5�−6,
由于�(�) =−�2 + 5�−6 图象的对称轴为�=
5
2,则函数在−∞,
5
2 上单调递增,
当�> 3 时,�(�) = (�−2)(�−3) = �2 −5�+ 6,
由于�(�) = �2 −5�+ 6 图象的对称轴为�=
5
2,则函数在3, + ∞上单调递增,
故函数��= �−2 3 −�的单调增区间是−∞, 2.5 和3, + ∞.
故选:A.
【题型2
根据函数的单调性求参数】
【例2】(2026·广东茂名·一模)已知函数��=
�2 −6�+ 5在区间�, + ∞上单调递增,则�的取值范围
为(
)
A.−∞, 1
B.−∞, 3
C.3, + ∞
D.5, + ∞
【答案】D
【解题思路】求出函数的定义域,再根据复合函数的单调性求解即可.
【解答过程】由�2 −6�+ 5 ≥0,可得�≤1 或�≥5,
即函数�(�)的定义域为( −∞, 1] ∪[5, + ∞),
又因为�= �2 −6�+ 5 在[5, + ∞)上单调递增,在( −∞, 1]上单调递减,
�=
�在[0, + ∞)上单调递增,
由复合函数的单调性可知��=
�2 −6�+ 5在区间[5, + ∞)上单调递增,
�≥5.
故选:D.
【变式2-1】(2026·山西·二模)若函数�(�) =
�+
�
�在(0,2]上单调递减,则实数a 的取值范围是(
)
A.(0,2]
B.(0,4]
C.[2, + ∞)
D.[4, + ∞)
【答案】C
【解题思路】根据对勾函数的单调性,即可求解.
【解答过程】当�= 0 时,�(�) =
�+
�
�为单调递增函数,不符合题意,
当�< 0 时,�=
�, �=
�
�均为单调递增函数,故�(�) =
�+
�
�为单调递增函数,不符合题意,
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当�> 0 时,�(�) =
�+
�
�在�, + ∞单调递增,在0, �单调递减,
故�(�) =
�+
�
�在(0,2]上单调递减,则�≥2,
故选:C.
【变式2-2】(2026·甘肃白银·三模)“�> 0”是“函数��= �+ �在0, + ∞上单调递增”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】利用给定单调性求出�的取值范围,再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】函数�(�) = |�+ �| = −�−�, �<−�
�+ �, �≥−�,函数�(�)的单调递增区间是[ −�, + ∞),
由函数�(�)在0, + ∞上单调递增,得(0, + ∞) ⊆[ −�, + ∞),则−�≤0,因此�≥0,
所以“�> 0”是“函数��= �+ �在0, + ∞上单调递增”的充分不必要条件.
故选:A.
【变式2-3】(2026·安徽合肥·一模)若��=
��+ 1,�< 1
ln�+ 2�,�≥1
是R 上的增函数,则实数�的取值范围为(
)
A.1, + ∞
B.1, + ∞
C.2, + ∞
D.2, + ∞
【答案】B
【解题思路】分类讨论�< 1 及�≥1 的��的单调性,再注意分段函数的内部衔接点的大小关系,即可得到
�的取值范围.
【解答过程】当�< 1 时,若��= ��+ 1 为单调递增函数,则�> 0;
当�≥1 时,��= ln�+ 2�为单调递增函数,
若��是�上的增函数,需有�+ 1 ≤2�,解得�≥1.
故选:B.
【题型3
求函数的最值】
【例3】(2026·江西南昌·二模)已知函数�(�) =
�−�, �< 0
�+
4
�, �> 0 在定义域内有最小值,则实数�的取值范围是
(
)
A.−∞, 2
B.2, + ∞
C.−∞, 4
D.4, + ∞
【答案】D
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【解题思路】结合函数单调性及基本不等式求解即可.
【解答过程】当�> 0 时,��= �+
4
�≥2 �×
4
�= 4,当且仅当�= 2 时取等号.
当�< 0 时,��= �−�在−∞, 0 上单调递减,此时��的值域为�, + ∞,
因为��在定义域内有最小值,所以�≥4.
故实数�的取值范围为4, + ∞.
故选:D.
【变式3-1】(2026·湖南·模拟预测)已知函数��,则“∀�∈0, + ∞,��≥2”是“��在0, + ∞上的最
小值为2”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据充分、必要条件的判断方法,结合函数最小值的概念进行判断.
【解答过程】先判断充分性:若函数��在0, + ∞的最小值为3,
则“∀�∈0, + ∞,��≥2”成立,但“��在0, + ∞上的最小值为2”不成立,
所以“∀�∈0, + ∞,��≥2”不是“��在0, + ∞上的最小值为2”的充分条件.
再判断必要性:“��在0, + ∞上的最小值为2”时,可得“∀�∈0, + ∞,��≥2”成立,
所以“∀�∈0, + ∞,��≥2”是“��在0, + ∞上的最小值为2”的必要条件.
综上:“∀�∈0, + ∞,��≥2”是“��在0, + ∞上的最小值为2”的必要不充分条件.
故选:B.
【变式3-2】(25-26 高一上·辽宁锦州·期末)若函数��=
2�+�
�+1 在区间0,1 上的最大值为1,则实数�=(
)
A.0
B.1
C.2
D.0 或1
【答案】A
【解题思路】先分离变量�(�) =
2�+�
�+1 = 2 +
�−2
�+1,再由复合函数的单调性知,分类讨论即可.
【解答过程】函数�(�) =
2�+�
�+1 = 2 +
�−2
�+1,
当�= 2 时,��= 2,不满足函数��在区间0,1 上最大值为1,不符合题意;
当�> 2 时,函数�(�) =
2�+�
�+1 在区间[0,1]上单调递减,
所以最大值为�(0) = �= 1,不符合题意;
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当�< 2 时,函数�(�) =
2�+�
�+1 在区间[0,1]上单调递增,
所以最大值为�(1) =
2+�
2
= 1,解得�=0;
综上所述,实数�=0.
故选:A.
【变式3-3】(25-26 高一上·河北张家口·期末)函数��=
�
�+2在区间2,4 上的最大值、最小值分别为(
)
A.
3
5,
1
2
B.
2
3,
1
2
C.
2
3,
1
3
D.
3
5,
1
3
【答案】B
【解题思路】根据分式型函数的单调性进行求解即可.
【解答过程】��=
�
�+2 =
�+2−2
�+2 = 1 −
2
�+2,该函数在2,4 上单调递增,
所以��max = �4 =
4
4+2 =
2
3 , ��min = �2 =
2
2+2 =
1
2,
故选:B.
【题型4
函数单调性的应用:比较大小、解不等式】
【例4】(25-26 高一上·四川眉山·阶段检测)已知函数��的定义域为R,且它的图象关于�=−2 对称,当
�1 < �2 <−2 时,
��1 −��2
�1−�2
> 0 恒成立,设�= �−3 ,�= �0 ,�= �2 ,则�,�,�的大小关系为(
)
A.�< �< �
B.�< �< �
C.�< �< �
D.�< �< �
【答案】D
【解题思路】根据题意,得到函数��在( −∞, −2)上单调递增,再由��的图象关于�=−2 对称,求得�=
�−4 ,�= �−6 ,结合�−6 < �−4 < �−3 ,即可求解.
【解答过程】由函数��的定义域为R,当�1 < �2 <−2 时,
��1 −��2
�1−�2
> 0 恒成立,
可得函数��在( −∞, −2)上单调递增,
又由函数��的图象关于�=−2 对称,可得�= �0 = �−4 ,�= �2 = �−6 ,
则有�−6 < �−4 < �−3 ,即�< �< �.
故选:D.
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【变式4-1】(2026·陕西榆林·模拟预测)定义在�上的函数��满足∀�1, �2 ∈�,�1 ≠�2,都有
��2 −��1
�2−�1
> 0
成立,则不等式�−1 ⋅��−�4 −�
< 0 的解集为(
)
A.1,2
B.−∞, 1
C.2, + ∞
D.−∞, 0 ∪1,2
【答案】A
【解题思路】由题确定函数��的单调性,通过�> 1 和�< 1 两类情况讨论求解即可.
【解答过程】由题知函数��在�上单调递增,
当�> 1 时,不等式�−1 ⋅��−�4 −�
< 0 可化为��< �4 −�,即�< 4 −�,解得1 < �< 2;
当�< 1 时,不等式可化为��> �(4 −�) ,即�> 4 −�,此时无解.
综上,不等式�−1 ��−�4 −�
< 0 的解集为1,2 .
故选:A.
【变式4-2】(25-26 高一·江苏·寒假作业)已知定义在R 上的函数��满足:�−�+ ��= 0,
�2 −�= ��,且��在−1,1 内单调递增,则(
)
A.�8 < �5.5 < �−3
B.�8 > �5.5 > �−3
C.�8 > �−3 > �5.5
D.�8 < �−3 < �5.5
【答案】A
【解题思路】根据题意,可得函数��是周期为4 的函数,化简可得�8 = �0 ,�−3 = �1 ,�5.5 =
�0.5 ,根据函数单调性即可比较大小.
【解答过程】由题意,�−�+ ��= 0,则��=−�−�,
又�2 −�= ��,所以�2 −�=−�−�,变形可得�2 + �=−��,
用�+ 2 替换其中的�,可得�4 + �=−�2 + �,所以�4 + �= ��,
所以函数��的周期为4,
所以�8 = �2 × 4 + 0 = �0 ,�−3 = �−1 × 4 + 1 = �1 ,
�5.5 = �1 × 4 + 1.5 = �1.5 ,又�2 −�= ��,所以�5.5 = �1.5 = �0.5 ,
又函数��在−1,1 内单调递增,所以�1 > �0.5 > �0 ,
即�−3 > �5.5 > �8 .
故选:A.
【变式4-3】(2026·河北石家庄·三模)已知��是定义在�上的奇函数,当�1、�2 ∈0,  + ∞且�1 ≠�2时,
都有
�2��1 −�1��2
�1�2 �1−�2
> 0 成立,�2025 = 2025,则不等式��−�> 0 的解集为(
)
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A.−∞,  −2025 ∪2025,  + ∞
B.−2025, 0 ∪2025,  + ∞
C.−2025, 2025
D.−
1
2025 , 
1
2025
【答案】B
【解题思路】对
�2��1 −�1��2
�1�2 �1−�2
> 0 进行变形,得出函数��=
��
�的单调性,再利用函数的单调性和奇偶性解
不等式.
【解答过程】由
�2��1 −�1��2
�1�2 �1−�2
> 0 可得
��1
�1 −��2
�2
�1−�2
> 0,设函数��=
��
�,�∈0,  + ∞,
则��在0, + ∞上单调递增,
又因为��为定义在�上的奇函数,�−�=
�−�
−�= ��,所以��为偶函数,��在−∞, 0 上单调递减,
而不等式��−�> 0 ⇔��> 1 �> 0
��< 1 �< 0 ,
又因为�2025 = 2025,所以�2025 = �−2025 = 1,
所以不等式的解集为−2025, 0 ∪2025,  + ∞.
故选:B.
【题型5
函数的奇偶性及应用】
【例5】(2026·山东潍坊·三模)已知�> 1,函数��= ��+�−3�2−�,�∈�为奇函数,则�2 =(
)
A.13
B.24
C.80
D.240
【答案】D
【解题思路】根据奇函数的性质求出�的值,进而求解即可.
【解答过程】由��= ��+�−3�2−�= ��⋅��−3�2 ⋅�−�,
则�−�= ��−�−3�2+�= ��⋅�−�−3�2 ⋅��,
又函数��为�上的奇函数,则�−�=−��,
即��⋅�−�−3�2 ⋅��=−��⋅��+ 3�2 ⋅�−�对任意�∈�成立,
整理得��−3�2
��+ �−�= 0
所以��−3�2 = 0,即��−2 = 3,结合�> 1,解得�= 3,
所以��= 33+�−3 × 32−�,即�2 = 35 −3 × 30 = 240.
故选:D.
【变式5-1】(2026·四川成都·三模)已知奇函数��满足��+ 2 =−��,当�∈0,1 时,��= 4�+ �,
则�101.5 =(
)
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A.0
B.1
C.3
D.5
【答案】B
【解题思路】首先根据��+ 2 =−��可求出��的周期,再结合�0 = 0 可求出�值,结合周期性可将
�101.5 转化到自变量在区间0,1 上的函数值,根据奇函数的性质及已知解析式可求解.
【解答过程】因为函数��满足��+ 2 =−��,
所以��+ 4 =−��+ 2 = ��,即��是以4 为周期的函数.
由题意知奇函数��的自变量�可取0,所以�0 = 0.
又因为当�∈0,1 时,��= 4�+ �,所以�0 = 1 + �= 0,解得�=−1,
所以当�∈0,1 时,��= 4�−1,
所以�101.5 = �25 × 4 + 1.5 = �1.5 = �2 −0.5 =−�−0.5 = �0.5 = 40.5 −1 = 1 .
故选:B.
【变式5-2】(2026·天津北辰·三模)函数�(�) =
�cos2�
ln(�2+1)的图象大致是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解题思路】先根据函数奇偶性的定义与判断方法,求得��为奇函数,再结合�(1) < 0,即可得到答案.
【解答过程】由函数�(�) =
�cos2�
ln(�2+1),可得其定义域为( −∞, 0) ∪(0, + ∞),关于原点对称,
且满足�−�=
−�cos(−2�)
ln[(−�)2+1)] =−
�cos2�
ln(�2+1) =−��,
所以函数��为奇函数,图象关于原点对称,可排除B、D 选项;
又由�(1) =
cos2
ln(12+1) =
cos2
ln2 < 0,可排除C 选项,所以选项A 符合题意.
故选:A.
【变式5-3】(2026·安徽安庆·三模)定义在�上的偶函数��,当�≥0 时,��= e�,则满足�1 −2�< �3
的�的取值范围是(
)
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A.−1,2
B.−2,1
C.−1,2
D.−2,1
【答案】A
【解题思路】先利用偶函数性质求出函数在�上的分段表达式并明确其在0, + ∞上单调递增,再由单调性将
�1 −2�< �3 转化为1 −2�< 3,最后解绝对值不等式得到�的取值范围.
【解答过程】当�< 0 时,−�> 0,�−�= e−�,
又��是定义在�上的偶函数,所以��= �−�= e−�,
所以��=
e�, �≥0
e−�, �< 0 ,如图所示,
因为�1 −2�< �3 ,所以1 −2�< 3,解得−1 < �< 2,
所以满足�1 −2�< �3 的�的取值范围是−1,2 .
故选:A.
【题型6
函数的周期性及应用】
【例6】(2026·福建南平·二模)已知��是定义在�上且周期为4 的奇函数,当−2 < �< 0 时,��= e�,
则�2 + �ln2 =(
)
A.-2
B.−
1
2
C.
1
2
D.2
【答案】B
【解题思路】根据函数��的周期性和奇偶性即可求解.
【解答过程】已知��是定义在�上且周期为4 的奇函数,所以有��+ 4 = ��,
令�=−2,得�2 = �−2 ,
由于��是奇函数,有��=−�−�,所以�2 =−�−2 ,即2�2 = 0,解得�2 = 0,
当−2 < �< 0 时,��= e�,由于−1 <−ln2 < 0,所以�ln2 =−�−ln2 =−e−ln2 =−
1
2,
因此�2 + �ln2 = 0 −
1
2 =−
1
2,故B 正确.
故选:B.
【变式6-1】(2026·江西·模拟预测)已知�= ��是定义在�上周期为4 的奇函数,则�2 =(
)
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A.−1
B.0
C.1
D.2
【答案】B
【解题思路】根据周期性和奇偶性求解.
【解答过程】因为�= ��周期为4,所以�(�+ 4) = �(�),
令�=−2 ,得到�(2) = �( −2)
又因为�= ��是定义在�上的奇函数,所以�( −�) =−�(�),
令�= 2,即�( −2) =−�(2),
所以�(2) =−�(2),即2�(2) = 0,即�(2) = 0.
故选:B.
【变式6-2】(2026·江苏南通·模拟预测)已知函数��的定义域为R,且��−2 是奇函数,�2�−1 是偶
函数,则�2026 =(
)
A.−2
B.0
C.1
D.2
【答案】B
【解题思路】根据给定条件,利用奇偶函数的定义及周期函数的定义确定函数的周期,进而求出指定函数值.
【解答过程】函数�(�)的定义域为R,由�(2�−1)是偶函数,得�( −2�−1) = �(2�−1),
即�( −�−1) = �(�−1),则�( −�−2) = �(�),
由�(�−2)是奇函数,得�( −�−2) =−�(�−2),因此�(�) =−�(�−2),
则�(�+ 2) =−�(�) = �(�−2),因此�(�+ 4) = �(�),
函数�(�)是一个周期为4 的函数,且�( −2) = 0,
所以�(2026) = �(4 × 507 −2) = �( −2) = 0.
故选:B.
【变式6-3】
(2026·陕西安康·模拟预测)已知定义在�上的函数��的图象关于�=
3
2对称,且��+ ��+ 3 =
�2031 ,若�7 = 1,则
�=1
2026 ��
σ
=(
)
A.0
B.1
C.-1
D.-2
【答案】B
【解题思路】利用函数的周期性求解.
【解答过程】由��+ ��+ 3 = �2031 ,得��+ 3 + ��+ 6 = �2031 ,
两式相减:��+ 6 = ��,周期�= 6,
2031 = 338 × 6 + 3,
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原式:��+ ��+ 3 = �3 ,
令�= 0:�(0) + �(3) = �(3) ⟹�(0) = 0 ,
��关于�=
3
2对称,得��= �3 −�,
所以�3 = �0 = 0,因为��+ ��+ 3 = �3 ,得:��+ 3 =−��,
�7 = �6 + 1 = �1 = 1,即�1 = 1
�4 = �1 + 3 =−�1 =−1,
�2 = �3 −1 = �1 = 1,
�5 = �2 + 3 =−�2 =−1,
�3 = 0, �6 = �0 = 0,
一个周期:�1 = 1, �2 = 1, �3 = 0, �4 =−1, �5 =−1, �6 = 0,
一个周期和:1 + 1 + 0 −1 −1 + 0 = 0,
2026 = 6 × 337 + 4,
�=1
2026 ��
σ
= 337 × 0 + �1 + �2 + �3 + �4
= 1.
故选:B.
【题型7
函数的对称性】
【例7】(2026·西藏日喀则·模拟预测)若曲线�= �−�log2 1 −
2
�关于直线�= �对称,则�−�=(
)
A.−2
B.2
C.0
D.1
【答案】C
【解题思路】先求出函数定义域,再根据对称性得出�= 1,再代入解析式得出�= 1,最后代回验证即可.
【解答过程】令��= �= �−�log2 1 −
2
�,由1 −
2
�> 0,得�> 2 或�< 0,故函数��的定义域为
−∞, 0 ∪2, + ∞.
由曲线关于直线�= �对称,得定义域关于直线�= �对称,则�=
0+2
2 = 1,
此时必有�−1 = �3 ,即−1 −�log23 = 3 −�log2
1
3,解得�= 1,
此时�2 −�= 1 −�log2 1 −
2
2−�= �−1 log2 1 −
2
�= ��,
因此函数��的图象关于直线�= 1 对称,即�= 1,�= 1 满足题意,故�−�= 0.
故选:C.
【变式7-1】(2026·山东聊城·模拟预测)已知定义在�上的函数��,��的图象分别关于点1,2 ,1,3
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对称,则下列点一定是函数ℎ�= ��+ ��的图象的对称中心是(
)
A.1,5
B.1,
5
2
C.1,1
D.2,5
【答案】A
【解题思路】由题意得,ℎ�+ ℎ2 −�= 10,即可得解.
【解答过程】由题意得,��+ �2 −�= 4,��+ �2 −�= 6,
则ℎ�+ ℎ2 −�= ��+ ��+ �2 −�+ �2 −�= 10,
则ℎ�= ��+ ��的图象的对称中心是1,5 ,
故选:A.
【变式7-2】(2026·湖北宜昌·二模)已知函数��= (�−�)3ln
�+�
�的图象关于直线�= 1 对称,则�+ �=(
)
A.2
B.0
C.−1
D.−2
【答案】C
【解题思路】求出函数��的定义域,利用对称性的特征可得�=−2,再利用�2 −�= ��求解�,最后得
到�+ �即可.
【解答过程】函数��= �−�3ln
�+�
�的定义域满足
�+�
�> 0,即��+ �> 0,
由函数��的图象关于直线�= 1 对称,得��的定义域关于�= 1 对称,
则��+ �> 0 的解集只能为−∞, 0 ∪2, + ∞,故�=−2.
由�2 −�= ��,得�−�3ln
�−2
�= 2 −�−�3ln
2−�−2
2−�,
故�−�3ln
�−2
�= �+ �−2 3ln
�−2
�,即得�−�3 = �+ �−2 3
则�−�= �+ �−2,解得�= 1,故�+ �=−1.
故选:C.
【变式7-3】(2026·甘肃兰州·模拟预测)已知函数��, ��的定义域均为�,�4 −�+ ��= 2,��的
图象关于直线�= 4 对称,�4 = 1,且��= �4 + �+ 3,则�19 + �24 + �25 =(
)
A.−9
B.−4
C.1
D.4
【答案】A
【解题思路】先由��= �4 + �+ 3 及�4 −�+ ��= 2 可得�4 + �+ �8 −�=−4,进而可得��
的一个对称中心6,  −2 ,再由��是轴对称可知函数是周期函数,从而根据周期及对称可得所求值.
【解答过程】因为��= �4 + �+ 3.所以�4 −�= �8 −�+ 3,
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又因为�4 −�+ ��= 2,所以�4 + �+ 3 + �8 −�+ 3 = 2,
即�4 + �+ �8 −�=−4,所以��的图象关于点6,  −2 对称,且�6 =−2.
又因为��的图象关于直线�= 4 对称,所以�8 −�= ��,且�4 + �+ �8 −�=−4
所以�4 + �+ ��=−4,则�8 + �+ ��+ 4 =−4,
所以�8 + �= ��,所以8 是函数��的一个周期.
所以�19 + �25 = �2 × 8 + 3 + �2 × 8 + 9
= �3 + �9
= �4 + −1
+ �8 −−1
=−4.
又因为�4 = 1, �4 + �8 =−4,所以�8 =−5.
所以�24 = �2 × 8 + 8 = �8 =−5,所以�19 + �24 + �25 =−4 −5 =−9.
故选:A.
【题型8
函数性质的综合应用】
【例8】
(2026·山东聊城·三模)已知函数��,��的定义域均为R,且��= ��−1 −1,��= �2 −�+
1,若��是偶函数,且�20 = 3,则�1 + �1 =(
)
A.4
B.5
C.6
D.7
【答案】D
【解题思路】联立两个函数关系式消去�(�),推导得出�(�)的对称轴,结合偶函数性质推出函数周期,利用
周期性和对称性求出�(1),再代入关系式求出�(1),最终计算目标值.
【解答过程】由�(�) = �(�−1) −1 得�(�) = �(�+ 1) + 1.
又因�(�) = �(2 −�) + 1,则有�(�+ 1) + 1 = �(2 −�) + 1,
即�(�+ 1) = �(2 −�),故函数�(�)的图象关于直线�=
3
2对称.
又�(�)是偶函数,其图象关于直线�= 0 对称.
故�(�)的一个周期为�= 2 ×
3
2 −0 = 3.
由�(20) = 3 得�(20) = �(3 × 6 + 2) = �(2) = 3.
在�(�+ 1) = �(2 −�)中令�= 0,得�(1) = �(2) = 3.
由�(�) = �(2 −�) + 1 得�(1) = �(1) + 1 = 4.
因此�(1) + �(1) = 3 + 4 = 7.
故选:D.
【变式8-1】(2026·湖南·三模)已知��是定义在�上的奇函数,�2�+ 2 的图象关于�=−
1
2对称,
�−1 =−3,则�985 =(
)
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A.0
B.−3
C.3
D.4
【答案】C
【解题思路】由奇函数定义可得�−�=−��,由对称性性质可得��+ 2 =−��,再证明函数��为周
期为4 的周期函数,结合周期性性质和奇函数性质求结论.
【解答过程】因为��是定义在�上的奇函数,
所以��=−�−�,
因为�2�+ 2 的图象关于�=−
1
2对称,
�2�+ 2 = �2 −1 −�+ 2 = �−2�,
令�= 2�可得,��+ 2 = �−�=−��,
所以��+ 4 =−��+ 2 = ��,故函数��的一个周期为4,
所以�985 = �1 =−�−1 = 3.
故选:C.
【变式8-2】
(2026·四川成都·三模)已知�= ��+ 1 是定义在R 上的周期为2 的偶函数,当�∈1,2 时,��=
log2�,设�= �
1
2 ,�= �
4
3 ,�= �−
5
4 ,则�, �, �的大小关系为(
)
A.�< �< �
B.�< �< �
C.�< �< �
D.�< �< �
【答案】D
【解题思路】根据题意,得到函数��的图象关于直线�= 1 对称,进而推得函数��也是周期等于2 的函
数,化简得到�= �
3
2 , �= �
4
3 , �= �
5
4 ,结合对数函数的单调性,即可求解.
【解答过程】因为�= ��+ 1 是定义在R 上的偶函数,可得��+ 1 = �−�+ 1 ,
所以函数��的图象关于直线�= 1 对称,则有��= �2 −�,
再由�= ��+ 1 是定义在R 上的周期为2 的函数,
可得函数��也是周期等于2 的函数,
所以�= �
1
2 = �2 −
1
2 = �
3
2 , �= �
4
3 , �= �−
5
4 = �
3
4 = �
5
4 ,
又因为�∈1, 2 时,��= log2�是增函数,可得�< �< �.
故选:D.
【变式8-3】(2026·吉林·三模)已知函数��的定义域为�,�2�+ 1 为偶函数,�
1
2 −2�为奇函数,则(
)
A.��为奇函数
B.��为偶函数
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C.��的最小正周期为4
D.��在1,2 上单调递增
【答案】B
【解题思路】通过对�2�+ 1 和�
1
2 −2�的平移换元,结合函数的奇偶性与周期性,转化出��自身的对
称轴和对称中心,进而推导出其奇偶性与周期性.
【解答过程】因为�2�+ 1 为偶函数,所以�−2�+1 = �2�+1 ,
将�替换为
�
2,则有�(1 −�) = �(1 + �)①,
因为�
1
2 −2�为奇函数,所以�
1
2 + 2�=−�
1
2 −2�,
将�替换为
�
2,则有�(
1
2 + �) =−�(
1
2 −�),
再将�替换为�−
1
2,则有�(�) =−�(1 −�)②,
将�替换为−�,则有�( −�) =−�(1 + �)③,
结合①③得�( −�) =−�(1 −�)④,
结合②④得�( −�) = �(�),因此�(�)为偶函数,选项A 错误,B 正确;
因为�(�) =−�(1 −�),结合偶函数,将�替换为�+ 1 得�(�+ 1) =−�( −�) =−�(�),
则�(�+ 2) =−�(�+ 1) =−−�(�) = �(�),即2 为�(�)的周期,选项C 错误,
对于D 选项,如�(�) =−cos(π�)满足偶函数且周期为2,
但不满足��在1,2 上单调递增.
故选:B.
【题型9
抽象函数的性质】
【例9】
(2026·甘肃·模拟预测)已知偶函数��满足:�2 �+ �2 �+ 2 = 4,且����+
1
2 > 0,若�2 < 0,
则�2025 =(
)
A.1
B.2
C.−
2
D.−1
【答案】C
【解题思路】用�代换�+ 2,可得�2 �+ 2 + �2 �+ 4 = 4,联立方程组,求得��+ 4 =± ��,结合函
数��为偶函数,且����+
1
2 > 0,得到��+ 4 = ��,可则��是周期为4 的函数,令�=−1,求
得�1 =−
2,结合�2025 = �(506 × 4 + 1) = �1 ,即可求解.
【解答过程】由�2 �+ �2 �+ 2 = 4,用�代换�+ 2,可得�2 �+ 2 + �2 �+ 4 = 4,
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联立方程组
�2 �+ �2 �+ 2 = 4
�2 �+ 2 + �2 �+ 4 = 4 ,可得�2 �+ 4 = �2 �,即��+ 4 =± ��,
又由函数��为偶函数,且����+
1
2 > 0,可得��与�(�+
1
2 )同号,
所以��+ 4 = ��,可得函数��是周期为4 的函数,
因为�2 < 0,�1 与�2 同号,则�1 < 0,
令�=−1,可得�2 −1 + �2 1 = 2�2 1 = 4,所以�1 =−
2,
则�2025 = �(506 × 4 + 1) = �1 =−
2.
故选:C.
【变式9-1】(2026·河南·模拟预测)已知��是定义在�上的奇函数,且对任意�, �,都有��+ ��= ��+
�+ �,则�=(
)
A.2
B.1
C.0
D.−1
【答案】C
【解题思路】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解.
【解答过程】令�=−�,则��+ �−�= �0 + �,
因为��是定义在�上的奇函数,
所以��+ �−�= 0, �0 = 0,则�= 0.
故选:C.
【变式9-2】
(2026·辽宁抚顺·一模)已知定义域为��≠0 的函数��满足��+ ���+ ��
= ����,
�1 = 2,且当�∈0, + ∞时,��> 0 恒成立,则下列结论正确的是(
)
A.�
2
3 = 6
B.�2�= 2��
C.��为奇函数
D.��在区间0, + ∞是单调递增函数
【答案】C
【解题思路】赋值法可判断A,利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC,由函数的特例可判断D.
【解答过程】令�= �=
1
3,则�
2
3
�
1
3 + �
1
3
= �
1
3 �
1
3 ,
所以2�
2
3 �
1
3 = �2
1
3 ,因为当�∈0, + ∞时,��> 0,
所以2�
2
3 = �
1
3 ,
令�=
2
3 ,�=
1
3,所以�1
�
2
3 + �
1
3
= �
2
3 �
1
3 ,
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即2 �
2
3 + 2�
2
3
= 2�2
2
3 ,解得:�
2
3 = 3,故A 错误;
由题意,函数��的定义域为( −∞, 0) ∪(0, + ∞),关于原点对称,
令�=−2�,则��−2���+ �−2�
= ���−2�,即�−���+ �−2�
= ���−2�
令−�代换�, �,则�−�−��−�+ �−�
= �−��−�,即2�−2��−�= �−��−�,
所以2�−2�= �−�,令−�代换�,所以2�2�= ��,故B 错误;
由将2�−2�= �−�代入�−���+ �−2�
= ���−2�,
可得�−�
��+
�−�
2
= ��
�−�
2 ,化简可得�−�=−��,
所以�(�)为奇函数,故C 正确;
令�= �= 1,则�2 �1 + �1
= �1 �1 ,解得:�2 = 1,�1 = 2 > �2 = 1,故D 错误.
故选:C.
【变式9-3】(2026·陕西安康·模拟预测)已知函数��的定义域为�,函数��= �1 + �−1 + �为偶函
数,函数��= �2 + 3�−1 为奇函数,则下列说法错误的是(
)
A.函数��的一个对称中心为2,1
B.�0 =−1
C.函数��为周期函数,且一个周期为4
D.�1 + �2 + �3 + �4 = 6
【答案】C
【解题思路】对于A,由�(�)为奇函数,则�( −�) =−�(�),再将��= �2 + 3�−1 代入化简可求出对
称中心;对于B,由选项A 可得�(2) = 1,再由�(�)为偶函数可得�(1 + �) −�(1 −�) = 2�,令�= 1 可求
出�(0);对于C,由��的图象关于点(2,1)对称,结合�(0) =−1 求出�(4)进行判断;对于D,利用赋值法
求解判断.
【解答过程】对于A,因为��= �2 + 3�−1 为奇函数,
所以�( −�) =−�(�),即�(2 −3�) −1 =−[�(2 + 3�) −1],
所以�(2 −3�) + �(2 + 3�) = 2,所以�(2 −�) + �(2 + �) = 2,
所以函数��的图象关于点(2,1)对称,所以A 正确,
对于B,在�(2 −�) + �(2 + �) = 2 中,令�= 0,得2�(2) = 2,得�(2) = 1,
因为函数��= �1 + �−1 + �为偶函数,所以�( −�) = �(�),
所以�1 −�−1 −�= �1 + �−1 + �,
所以�(1 + �) −�(1 −�) = 2�,
令�= 1,则�(2) −�(0) = 2,所以1 −�(0) = 2,得�(0) =−1,所以B 正确,
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对于C,因为函数��的图象关于点(2,1)对称,�(0) =−1,
所以�(4) = 3,所以�(0) ≠�(4),
所以4 不是��的周期,所以C 错误,
对于D,在�(2 −�) + �(2 + �) = 2 中令�= 1,则�(1) + �(3) = 2,
令�= 2,则�(0) + �(4) = 2,因为�(0) =−1,所以�(4) = 3,
因为�(2) = 1,所以�1 + �2 + �3 + �4 = 6,所以D 正确,
故选:C.
【题型10
函数新定义】
【例10】(2026·甘肃定西·模拟预测)若定义在�上的函数��满足对任意�, �∈�均有��+ �= ���2 −
�+ �2 −���,则称��为“�−2 函数”.已知��为“�−2 函数”,且�2 = 1,�−1 < 0,则�0 +
�47 =(
)
A.−
2
2
B.0
C.
2
2
D.1
【答案】A
【解题思路】由新定义赋值得��的图象关于直线�= 2 对称,进一步赋值得��为奇函数,��是周期为8
的周期函数,故只需求出�−1 的值即可.
【解答过程】令�= �= 0,则�0 = �0 �2 + �2 �0 = 2�2 �0 = 2�0 ,所以�0 = 0;
令�= 2,则��+ 2 = ���0 + �2 −��2 = �2 −�,
所以��的图象关于直线�= 2 对称;
令�=−�,则�0 = ���2 + �+ �2 −��−�= ��+ �−��2 + �= 0,
因为�2 + �= 0 不恒成立,所以��+ �−�= 0 恒成立,所以��为奇函数,
所以��+ 4 = �−�=−��,所以��+ 8 =−��+ 4 = ��,
所以��是周期为8 的周期函数,令�= 1, �= 1,则�2 = 2[�1 ]2 = 1,
解得�1 =±
2
2 ,又�−1 < 0, ��为奇函数,所以�−1 =−�1 =−
2
2 ,
所以�0 + �47 = 0 + �6 × 8 −1 = �−1 =−
2
2 .
故选:A.
【变式10-1】(2026·上海闵行·一模)如果“若�,则�”和“若�,则�”中有且仅有一个真命题,称�与�具有“�-
关系”.已知函数�= �(�)的定义域为�,�: �= �(�)为偶函数,则�与下列选项中的�具有“�-关系”的为
(
)
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A.�:对任意�∈�都有−�(�) ≥�(�)
B.�:对任意�∈�都有�( −�) ≥�(�)
C.�:对任意�∈�都有�( −�) = �(�)
D.�:对任意�∈�都有�( −�) = �(|�|)
【答案】C
【解题思路】由�: �= �(�)为偶函数,得�( −�) = �(�),结合“�-关系”的定义可得出答案.
【解答过程】由�: �= �(�)为偶函数,得�( −�) = �(�)
对于选项A:“�⇒�”为假命题,“�⇒�”也为假命题,故A 错误;
对于选项B∶由�( −�) = �(�)得�( −�) ≥�(�)成立,故“�⇒�”为真命题,
而由�( −�) ≥�(�)对任意�∈�恒成立,将�替换为−�,得�(�) ≥�( −�)对任意�∈�恒成立,
从而�( −�) = �(�)成立,所以“�⇒�”也为真命题,故B 错误;
对于选项C:当�(�) =−1 时,�( −�) =−1,�( −�) = 1,此时�( −�) = |�(�)|不成立,只有�(�)非负的
情况下�( −�) = �(�) 才会成立,即“�⇒�”为假命题,
而由�:�( −�) = |�(�)|,用−�替换�得�(�) = |�( −�)|,又因�( −�) = |�(�)| ≥0,故|�( −�)| = �( −�),
所以�(�) = �( −�)成立,
所以“�⇒�”为真命题,故C 正确;
对于选项D:“�⇒�”为真命题,
由于由�( −�) = �(|�|),用−�替换�得�(�) = �(| −�|) = �(|�|),故�( −�) = �(�),
所以“�⇒�”也为真命题,故D 错误;
故选:C.
【变式10-2】
(2026·上海·三模)设�, �∈R,对于定义域为D 的函数�= ��与�= ��,ℎ�= ���+ ���,
若函数�= ℎ�是区间D 上的单调函数,则称�= ��与�= ��在区间D 上满足“性质��, �”.
(1)设�= 2, + ∞,��= �2,��= �,若�= ��与�= ��在区间D 上满足“性质�1, �”,求t 的取
值范围;
(2)设�> 0,�= 0,1 ,��= �,��=−
3
2�.若�= ��与�= ��在区间D 上满足“性质��, �”,求
�
�
的取值范围;
(3)设�= R,若对任意s、t,函数�= ��与�= ��在R 上都满足“性质��, �”.求证:存在不全为零的
实数A、B,使得函数�= ���+ ���为常值函数.
【答案】(1)�≥−4;
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(2) −∞, −
2
3 ∪0, + ∞;
(3)证明见解析
【解题思路】(1)先求出ℎ�,根据单调可得对称轴的位置关系,故可求参数的取值范围;
(2)依据单调性定义可得2�+
3�
�1�2 ≥0 在0,1 上恒成立,其中�1, �2 ∈0,1 , �1 < �2,据此可求
�
�的取值范围;
(3)利用性质��, �对任意s、t 成立,先取1,0 和0,1 知��与��均单调,假设不存在不全为零的实数
A、B 使得函数�= ���+ ���为常值函数,则存在两点使��与��的增量比值不同,从而可构造s、t
使ℎ(�)在两点处单调性相反,产生矛盾,因此必存在线性组合为常值函数.
【解答过程】(1)因为��= �2,��= �在区间D 上满足“性质�1, �”,
故ℎ�= �2 + ��在�= 2, + ∞上为单调函数,
因为ℎ�为开口向上的抛物线,对称轴为�=−
�
2,故−
�
2 ≤2,即�≥−4.
(2)由题设有ℎ�= ��−
3�
2�在0,1 上为单调函数,
设任意�1, �2 ∈0,1 ,�1 < �2,
则ℎ�1 −ℎ�2 = ��1 −�2 −
3�
2
1
�1 −
1
�2 = �1 −�2
2��1�2+3�
2�1�2 ,
因为�1, �2 ∈0,1 ,�1 < �2,故�1 −�2 < 0,�1�2 ∈0,1 ,
而ℎ�为0,1 上的单调函数,
故2��1�2 + 3�≥0 在0,1 上恒成立或2��1�2 + 3�≤0 在0,1 上恒成立,
而0 < �1�2 < 1,�> 0,故3�≥0 或2�+ 3�≤0,故
�
�≥0 或
�
�≤−
2
3.
(3)若函数�= ��为常值函数,取�, �= 1,0 ;
同理,若函数�= ��是常值函数,取�, �= 0,1 ;
因此,以下考虑函数�= ��与�= ��都不为常值函数的情况.
分别取�, �= 1,0 和0,1 ,可以得到函数�= ��与�= ��,
不妨设函数�= ��与�= ��都是增函数(否则,若函数�= ��为减函数,将−��替换为��).由于
函数�= ��与�= ��都不为常值函数,
因此存在�1 < �2,使得��2 > ��1 且��2 > ��1 ,
令��2 −��1 = ���2 −��1
,其中�> 0.
首先证明:对任意�3 > �1都有��3 −��1 = ���3 −��1
.
反证法:假设存在�3 > �1使得��3 −��1 = ���3 −��1
,其中�≠�且�≠0,
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不妨设�> �,取�=−
�+�
2 ,�= 1,对于函数ℎ�= ���+ ���= ��−
�+�
2 ��,
则ℎ�2 −ℎ�1 = ��2 −��1 −
�+�
2
��2 −��1
< ��2 −��1 −���2 −��1
= 0,
ℎ�3 −ℎ�1 = ��3 −��1 −
�+�
2
��3 −��1
> ��3 −��1 −���3 −��1
= 0,
因此ℎ�2 < ℎ�1 ,ℎ�3 > ℎ�1 ,与�= ℎ�是单调函数矛盾.
同理可以证明对任意�3 ≤�1都有��3 −��1 = ���3 −��1
,
因此,对任意�∈R,��−��1 = ���−��1
,
所以ℎ�=−���+ ��= ��1 −���1 = �为常值函数,
取�, �= −�, 1 ,则A、B 不全为零,且�= ���+ ���为常值函数.得证.
【变式10-3】(2026·上海杨浦·模拟预测)定义:若定义域为R 的连续函数��满足对任意�1,�2 ∈R,当
�1 <�2 时,都有��1 <��2 ,则称函数��为“绝对值严格增函数”.
(1)若��为“绝对值严格增函数”,试判断��是否可能具有周期性;
(2)求证:��= ��为“绝对值严格增函数”是��= ln �−1 +
2��2−1
�−1
始终在ℎ�= 2�+ 3 图像上方的充
要条件;
(3)若“绝对值严格增函数”��的值域为�, 1 且在0, ﹢∞上为严格增函数,试讨论��的奇偶性.
【答案】(1)不可能
(2)证明见解析
(3)当�∈0,1 时,��为偶函数;当�=−1 时,��为奇函数
【解题思路】第(1)问可用反证法,取0 与周期的整数倍作比较即可.
第(2)问先由定义得到��= ��为“绝对值严格增函数”等价于�> 1,再将��> ℎ�化为关于�= �−1
的不等式,结合ln�≥1 −
1
�与特殊点�= 1 即可证明两者等价.
第(3)问先利用定义与连续性证明对任意�≥0 都有�−�
= ��,再结合值域与��在0, + ∞上的单
调性分类讨论:当�∈0,1 时,函数值恒非负,从而为偶函数;当�< 0 时,再用反证法证明�(�)的零点
与奇偶情况.
【解答过程】(1)不可能.
假设��具有周期性,设�> 0 是它的一个周期,则对任意正整数�,都有���= �0 .
由于0 < ��,而��为“绝对值严格增函数”,所以�0
< ���.又���
= �0 ,矛盾.
因此��不可能具有周期性.
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(2)先证��= ��为“绝对值严格增函数”等价于�> 1.
若�> 1,当�1 < �2 时,有��1 < ��2 ,即��1
< ��2 ,所以��= ��为“绝对值严格增函数”.
反之,若��= ��为“绝对值严格增函数”,有��
= ��,取�1 = 0, �2 = 1,则1 = �0 < �1 = �,
所以�> 1.
再证��始终在ℎ�图像上方等价于�> 1.
当�> 1 时,��> ℎ�等价于ln �−1 +
2��2−1
�−1
> 2�+ 3.
令�= �−1,则�> 0,且�= �+ 1,于是上式等价于ln�+
2��+1 2−1
�
> 2�+ 5,
进一步化简得ln�+ 2�−2 �+
2�−1
�
+ 4�−5 > 0.
若�> 1,由ln�≥1 −
1
�,
可得ln�+ 2�−2 �+
2�−1
�
+ 4�−5 ≥1 −
1
�+ 2�−2 �+
2�−1
�
+ 4�−5 = 2 �−1
�+
1
�+ 2 > 0.
所以��> ℎ�恒成立.
反之,若��始终在ℎ�图像上方,则ln�+ 2�−2 �+
2�−1
�
+ 4�−5 > 0 对任意�> 0 恒成立.
取�= 1,得0 + 2�−2 + 2�−1 + 4�−5 > 0,化简得8�−8 > 0,所以�> 1.
综上,��= ��为“绝对值严格增函数”是��= ln �−1 +
2��2−1
�−1 始终在ℎ�= 2�+ 3 图像上方的充要条
件.
(3)设��= ��, ��= �−�,其中�≥0.由于��为“绝对值严格增函数”,
当0 ≤�1 < �2时,有��1 < ��2 , ��1 < ��2 , ��1 < ��2 , ��1 < ��2 .
于是max ��1 , ��1
< min ��2 , ��2
.
固定�≥0,令�1 = �, �2 = �+ �,其中�> 0,再令�→0+,
由连续性可得max ��, ��
≤min ��, ��
,
故��= ��,即对任意�≥0,都有�−�
= ��.
下面分类讨论.
当�∈0,1 时,��的值域为�, 1 ⊆[0,1),故对任意�∈ℝ,都有��≥0.
于是由�−�
= ��可得�−�= ��,所以��为偶函数.
当�< 0 时,由值域为[�, 1]知��既取负值又取正值.
又��连续,所以存在�0 ∈ℝ,使得��0 = 0,存在�1 < 0,�(�1) < 0.
若�0 ≠0,则由0 < �0 可得�0
< ��0
= 0,矛盾.
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故�0 = 0,且0 是��的唯一零点.
因为��在0, + ∞上为严格增函数,且�0 = 0,所以当�> 0 时,��> 0.
若存在�2 < 0, �(�2) > 0,则在�1与�2之间存在�3 < 0,�(�3) = 0,
与0 是��的唯一零点矛盾,则�< 0 时,�(�) < 0.
则�( −�) =−�(�),即�(�)是奇函数,值域关于原点对称,故�=−1.
综上,当�∈0,1 时,��为偶函数;当�=−1 时,��为奇函数.
一、单选题
1.(2026·山东·模拟预测)已知定义在�上的函数�(�)满足:�(�+ 1)为奇函数,且�(0) = 2,则�(2) =(
)
A.-2
B.0
C.1
D.2
【答案】A
【解题思路】由�(�+ 1)为奇函数,得�( −�+ 1) =−�(�+ 1),令�= 1 即可求解.
【解答过程】由�(�+ 1)为奇函数,得�( −�+ 1) =−�(�+ 1),
令�= 1,得�( −1 + 1) =−�(1 + 1),
得�(0) =−�(2),由�(0) = 2,
得�(2) =−2.
故选:A.
2.(25-26 高一上·重庆·期末)函数��= ��2 −�−1 �−2 在区间−∞, 2 上是增函数,则实数�的取值
范围是(
)
A.−
1
3 , 0
B.−
1
3 , + ∞
C.−∞, −
1
3
D.−
1
3 , 0
【答案】D
【解题思路】根据给定条件,按�是否为0 分类,利用二次函数单调性列式求解.
【解答过程】当�= 0 时,�(�) = �−2 在( −∞, 2]上单调递增,符合题意,则�= 0;
当�≠0 时,由函数�(�)在( −∞, 2]上是增函数,得�< 0 且
�−1
2�≥2,解得−
1
3 ≤�< 0,
所以实数�的取值范围是[ −
1
3 , 0].
故选:D.
3.(2026·云南·模拟预测)函数��=
�
2�, �> 1
3 −2�, �≤1
是R 上的严格减函数,则实数�的取值范围是(
)
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A.−∞, 0
B.−∞, 2
C.0,2
D.0, + ∞
【答案】C
【解题思路】分段函数是R 上的减函数,需要保证在各个区间段是减函数,并且满足在分段点处,断点左边
在断点处的函数值要不小于右支函数在断点处的极限值.
【解答过程】因为��是R 上的严格减函数,故
当�> 1 时,
�
2�必须严格单调递减,故
�
2 > 0,解得�> 0;
当�≤1 时,3 −2�,因为−2 < 0,故3 −2�单调递减;
分段点为�= 1,�1 = 3 −2 = 1,当�→1+时,��→
�
2,
故3 −2 ≥
�
2,解得�≤2;
综上,实数�的取值范围是0,2 .
故选:C.
4.(2026·云南曲靖·二模)已知定义域为�的函数�(�)满足�(�) = �(4 −�),且对任意�1,�2 ∈( −∞, 2],
当�1 ≠�2时,都有
��1 −��2
�1−�2
< 0,则(
)
A.�(2) < �( −3) < �(4)
B.�(2) < �(4) < �( −3)
C.�(4) < �(2) < �( −3)
D.�(4) < �( −3) < �(2)
【答案】B
【解题思路】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性,再由单调性判断函数值的大小.
【解答过程】由�(�) = �(4 −�)得函数�(�)的图象关于�= 2 对称,
根据已知及单调性的定义,知�(�)在( −∞, 2]上为减函数,
所以�(�)在[2, + ∞)上为增函数,
∵�( −3) = �4 −−3
= �(7),且2 < 4 < 7,
∴�(2) < �(4) < �( −3).
故选:B.
5.(2026·北京西城·二模)已知函数��在�上单调递增,设��= �−�−��,则函数��是(
)
A.奇函数,且在�上单调递增
B.偶函数,且在�上单调递增
C.奇函数,且在�上单调递减
D.偶函数,且在�上单调递减
【答案】C
【解题思路】先根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性,再根据函数单调性的性质判断函数的单调性
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【解答过程】因为�(�) = �( −�) −�(�),其定义域为�,关于原点对称,
所以�( −�) = �(�) −�( −�) =−�( −�) −�(�) =−�(�),
所以�(�) 是奇函数,排除选项B 和D;
因为�(�)在�上单调递增,则�( −�)在�上单调递减, 那么−�(�)在�上单调递减,
因为两个减函数的和是减函数,所以�(�) = �( −�) −�(�) = �( −�) + [ −�(�)]在�上单调递减,
综上,函数�(�)是奇函数,且在ℝ上单调递减,所以C 正确.
故选:C.
6.(2026·山西大同·三模)已知��是定义在�上的奇函数,函数��= �−1 ��的图象关于点1,0 对
称,且满足
�=1
26 ��
σ
= 2 ,则�−1 =(
)
A.−4
B.−2
C.2
D.4
【答案】D
【解题思路】先根据��的对称性得出��= �2 −�,结合奇偶性得出4 是��的一个周期,再结合周期
性可得�1 = 2,即可得结果.
【解答过程】因为函数��= �−1 ��的图象关于点1,0 对称,
则��=−�2 −�,即�−1 ��= �−1 �2 −�,
当�≠1 时,则��= �2 −�,
且�1 = �2 −1 ,可知��= �2 −�对任意�∈�恒成立,
又因为��是定义在�上的奇函数,则�0 = 0,��=−�−�,
可得�2 −�=−�−�,即�2 + �=−��,
则�4 + �=−�2 + �,得�4 + �= ��,可知4 是��的一个周期,
�2 = �2 + 0 =−�0 = 0,��+ �2 + �= 0,
所以�1 + �2 + �3 + �4 = �1 + �3 + �2 + �4 = 0 + 0 = 0,
所以
�=1
26 ��
σ
= 6 �1 + �2 + �3 + �4
+ �1 + �2 = �1 ,
又因为
�=1
26 ��
σ
= 2,即�1 = 2,可得�−1 =−�1 =−2,
所以�−1 = −1 −1 �−1 =−2 × −2 = 4.
故选:D.
7.
(25-26 高一上·广东深圳·开学考试)已知定义在R 上的函数��满足:�−�+ ��= 0,�2 −�= ��,
且��在−1,1 内单调递增,则(
)
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A.�8 < �5.5 < �−3
B.�8 > �5.5 > �−3
C.�8 > �−3 > �5.5
D.�8 < �−3 < �5.5
【答案】A
【解题思路】根据题意,可得函数��是周期为4 的函数,化简可得�8 = �0 ,�−3 = �1 ,�5.5 =
�0.5 ,根据函数单调性即可比较大小.
【解答过程】由题意,�−�+ ��= 0,则��=−�−�,
又�2 −�= ��,所以�2 −�=−�−�,变形可得�2 + �=−��,
用�+ 2 替换其中的�,可得�4 + �=−�2 + �,所以�4 + �= ��,
所以函数��的周期为4,
所以�8 = �2 × 4 + 0 = �0 ,�−3 = �−1 × 4 + 1 = �1 ,
�5.5 = �1 × 4 + 1.5 = �1.5 ,又�2 −�= ��,所以�5.5 = �1.5 = �0.5 ,
又函数��在−1,1 内单调递增,所以�1 > �0.5 > �0 ,
即�−3 > �5.5 > �8 .
故选:A.
8.(2026·甘肃张掖·二模)已知定义在�上的函数��和��满足��+ 1 −��+ 4 =−1,��+ �1 −
�= 3,若��是偶函数,且�0 = 3,则
�=1
18 ��+ 1
σ
=(
)
A.34
B.36
C.38
D.40
【答案】C
【解题思路】利用递推关系式及函数的奇偶性得出��的周期,再由赋值法求�1 , �2 , �3 , �4 的值即可.
【解答过程】因为��是偶函数,��+ �1 −�= 3,
所以��+ ��−1 = 3,所以��+ 2 + ��+ 1 = 3,
又��+ 1 −��+ 4 =−1,两式相减可得��+ 2 + ��+ 4 = 4,
所以可得��+ ��+ 2 = 4,两式相减可得��+ 4 −��= 0,
即��+ 4 = ��,所以函数��的周期�= 4,
由��+ �1 −�= 3,令�= 1,可得�1 + �0 = 3,所以�1 = 0,
由��+ ��+ 2 = 4,令�= 1,可得�1 + �3 = 4,所以�3 = 4,
由��+ 1 −��+ 4 =−1,令�=−2,可得�−1 −�2 =−1,
由��+ �1 −�= 3,令�= 2,可得�2 + �−1 = 3,两式相减可得�2 = 2,
由��+ ��+ 2 = 4,令�= 2,可得�4 = 2,
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故一个周期中�1 + �2 + �3 + �4 = 8,
所以
�=1
18 ��+ 1
σ
= 4 × 8 + �18 + �19 = 32 + �2 + �3 = 38.
故选:C.
二、多选题
9.(2026·河南南阳·模拟预测)已知函数�(�)满足�(1) =−10,�(�)�(�) = 10�(�+ �) + 10�(�−�),则
(
)
A.�(0) = 20
B.�(2) = 10
C.�(�)为偶函数
D.�(�) = �(�+ 3)
【答案】ACD
【解题思路】对于A:令�= 1, �= 0 后计算即可判断;对于B:令�= 1, �= 1 后计算即可判断;对于C:
令�= �和�=−�,后计算即可判断;对于D:令�= 1,−�(�) = �(�+ 1) + �(�−1),用�替换为�+ 1,
化简后得��−1 = ��+ 2 ,可判断.
【解答过程】对于A:令�= 1, �= 0,则�1 �0 = 10�1 + 10�1 = 20�1 ,
又�1 =−10,所以�0 = 20,故A 正确;
对于B:令�= 1, �= 1,则�1 �1 = 10�2 + 10�0 ,
即−10 2 = 10�2 + 10 × 20,所以�2 =−10,故B 错误;
对于C:令�= �,则�(�)�(�) = 10�(2�) + 10�(0),
令�=−�,则�(�)�( −�) = 10�(0) + 10�(2�),
所以��= �−�,则�(�)为偶函数,C 正确;
对于D:令�= 1,则�(�)�(1) = 10�(�+ 1) + 10�(�−1),
即−�(�) = �(�+ 1) + �(�−1),
将上式中的�替换为�+ 1,得−�(�+ 1) = �(�+ 2) + �(�),
上述两式消去��+ 1 ,得��−1 = ��+ 2 ,
即�(�) = �(�+ 3),D 正确.
故选:ACD.
10.(2026·陕西西安·三模)已知定义在�上的奇函数��满足对任意实数�,都有��+ 2 = �−�,且当�∈
0,1 时,��= 2�,则(
)
A.��是周期为4 的周期函数
B.�1 + �2 + �3 + ⋯+ �2026 = 2
C.��在1,2 上单调递增
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D.��的图象关于直线�= 1 对称
【答案】ABD
【解题思路】对于A 选项,因为��是奇函数,由��+ 2 = �−�判断函数周期;对于B 选项,由��的
周期为4,分别求解�1 ,�2 ,�3 ,�4 即可;对于C 选项,由函数对称求解即可;对于D 选项,由函
数对称的定义求解即可;
【解答过程】因为��是奇函数,所以�−�=−��.因为��+ 2 = �−�,所以�(�+ 2)=−��,
所以��+ 4 = �
�+ 2 + 2 =−��+ 2 = ��,因此��是周期为4 的周期函数,故A 正确.
因为�∈0,1 时,��= 2�,所以�1 = 2,所以�3 = �−1 =−�1 =−2.
因为��是定义在�上的奇函数,
所以�0 = 0.因为��的周期为4,所以�4 = 0.因为��+ 2 = �−�,所以�2 =−�0 = 0,
所以�2026 = �4 × 506 + 2 = �2 = 0,所以�1 + �2 + �3 + ⋯+ �2026 = �1 + �2 = 2,故
B 正确.
因为��+ 2 = �−�,所以�
�−1 + 2 = �−�−1
,即�1 + �= �1 −�,
所以��的图象关于直线�= 1 对称,故D 正确.
当�∈1,2 时,2 −�∈0,1 ,因为�∈0,1 时,��= 2�,所以�2 −�= 2 2 −�= 4 −2�,
因为��的图象关于直线�= 1 对称,所以��= �2 −�= 4 −2�,在1,2 上单调递减,故C 错误.
故选:ABD.
11.(2026·河南濮阳·一模)已知函数�(�)的定义域为�,且��+ ���−�= �2 �−�2 �, �(1) = 2,
�(3�−1)为偶函数,则(
)
A.�(�)为偶函数
B.�(0) = 0
C.�(2 + �) =−�(2 −�)
D.
�=1
2026 �(�)
σ
= 2
【答案】BCD
【解题思路】令�= �= 0 判断B;令�= 0 以及�=−�得出��为奇函数判断A;根据��的对称性可得出
周期性,结合对称性和周期性可判断C;利用周期性和对称性求出函数值�1 , �2 , �3 , �4 判断D.
【解答过程】令�= �= 0,则�(0)�(0) = �2(0) −�2(0),故�2(0) = 0,则�(0) = 0,故B 正确;
令�= 0,则���−�= �2 0 −�2 �=−�2 �,
则���−�+ ��
= 0,则��= 0 或�−�+ ��= 0,
令�=−�,则�0 �2�= �2 �−�2 −�,则�2 �= �2 −�,
若��= 0,则�−�= 0,也满足�−�+ ��= 0,
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故��为奇函数,故A 错误;
因为�(3�−1)为偶函数,所以��的对称轴为�=−1,则��= �−�−2 ,
因为��为奇函数,所以�−�−2 =−��+ 2 ,则��=−��+ 2 ,
则��+ 2 =−��+ 4 ,故��= ��+ 4 ,即4 是��的一个周期,
则�(2 + �) = �(2 + �−4) = �(�−2) =−�(2 −�),故C 正确;
因为��=−��+ 2 ,所以�3 =−�1 =−2,�2 =−�0 = 0;
因为��= ��+ 4 ,所以�4 = �0 = 0,
�=1
2026
�(�)
෍
= 506 �1 + �2 + �3 + �4
+ �1 + �2
= 506 × 2 + 0 −2 + 0 + 2 + 0 = 2,故D 正确.
故选:BCD.
三、填空题
12.(2026·河南·模拟预测)已知函数��的定义域为�,若��+ 2 =−��,�3 =−3,则
�2025 =__________.
【答案】3
【解题思路】先得到��的一个周期为4,所以�2025 = �1 ,又�3 =−3,��+ 2 =−��,从而求
出�1 = 3,得到答案.
【解答过程】��+ 2 =−��,则��+ 4 =−��+ 2 ,故��+ 4 = ��,
所以��的一个周期为4,所以�2025 = �506 × 4 + 1 = �1 ,
又��+ 2 =−��中,令�= 1 得�3 =−�1 =−3,
故�1 = 3,则�2025 = 3.
故答案为:3.
13.(2026·全国·模拟预测)已知函数�(�)是定义域为R 的奇函数.设�(�) = �(�−1) + 1,若�(�)在(0, + ∞)
的最小值为2,则�(�)在( −∞, 1)的最大值为__________.
【答案】−1
【解题思路】根据奇函数图象的对称性,判断在对称区间内的最值情况,根据图象的平移法则,求出平移后
函数在给定区间上的最值.
【解答过程】因为�(�)是定义域为R 的奇函数,由�(�)在(0, + ∞)的最小值为2,得�(�)在( −∞, 0)的最大值
为−2,
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因为�(�) = �(�−1) + 1,所以�(�)的图象是由�(�)的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位后得到,
故�(�)在( −∞, 1)的最大值为−2 + 1 =−1.
故答案为:−1.
14.(2026·青海·模拟预测)已知�(�)是定义在(�−5,4�)上的偶函数,对任意的�1,�2 ∈[0,4�),当�1 ≠�2
时,
�2
2+1 ��1 −�1
2+1 ��2
�1−�2
> 0 恒成立.若�(1) = 4,则关于�的不等式�(�−�) > 2�2 −4�+ 4 的解集为
__________.
【答案】( −3,0) ∪(2,5)
【解题思路】根据题意求出�,接着由题设得到
��1
�1
2+1 <
��2
�2
2+1,令��=
��
�2+1,得到��为偶函数,且在[0,4)
上递增,在( −4,0)上单减,结合�1 = 2,把不等式转化为��−1 > �1 ,得到不等式组,即可求解.
【解答过程】因为��是定义在(�−5,4�)上的偶函数,所以�−5 + 4�= 0,解得�= 1,
�1, �2 ∈[0,4),且�1 < �2,则�1 −�2 < 0,
又因为
�2
2+1 ��1 −�1
2+1 ��2
�1−�2
> 0,所以�2
2 + 1 ��1 −�1
2 + 1 ��2 < 0,
所以�2
2 + 1 ⋅��1 < �1
2 + 1 ⋅��2 ,则
��1
�1
2+1 <
��2
�2
2+1,
令��=
��
�2+1,则
�(�1)−�(�2)
�1−�2
> 0,故�(�)在0,4 上单调递增,
因为��为( −4,4)上的偶函数,所以��为( −4,4)上的偶函数,
所以��在[0,4)上单调递增,在( −4,0)上单调递减,
又因为�1 =
�1
2 = 2,所以��−�> 2�2 −4�+ 4,即为
��−1
�−1 2+1 > 2,
即��−1 > �1 ,则
�−1 > 1
−4 < �−1 < 4 或
�−1 <−1
−4 < �−1 < 4 ,
解得2 < �< 5 或−3 < �< 0,
所以不等式的解集为−3,0 ∪2,5 .
故答案为:( −3,0) ∪(2,5).
四、解答题
15.(2026·四川绵阳·一模)设函数��= ��+ �.
(1)若�= 2,写出函数��的单调区间;
(2)当�∈1,2 时,��≤2,求实数�的取值范围.
【答案】(1)�(�)的单调递减区间为( −2, −1),单调递增区间为( −∞, −2)、( −1, + ∞).
(2)−2 2 ≤�≤−1.
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【解题思路】(1)将函数式改写为��= −(�+ 1)2 + 1, �≤−2
(�+ 1)2 −1, �>−2 ,结合二次函数的性质确定单调区间;
(2)由题设,问题化为�∈1,2 上( −�−
2
�)max ≤�≤( −�+
2
�)min,利用对勾函数及复合函数的性质判断
相关函数的区间单调性,进而求最值,即可得.
【解答过程】(1)由题设��= ��+ 2 = −�2 −2�, �≤−2
�2 + 2�, �>−2 ,即��= −(�+ 1)2 + 1, �≤−2
(�+ 1)2 −1, �>−2 ,
所以�(�)在( −∞, −2)上单调递增,在( −2, −1)上单调递减,在( −1, + ∞)上单调递增,
所以�(�)的单调递减区间为( −2, −1),单调递增区间为( −∞, −2)、( −1, + ∞).
(2)由题设,在�∈1,2 上��+ �≤2 恒成立,则−
2
�≤�+ �≤
2
�⇔−�−
2
�≤�≤−�+
2
�恒成立,
所以,只需( −�−
2
�)max ≤�≤( −�+
2
�)min,
由�=−�−
2
�在[1,
2)上单调递增,在( 2, 2]上单调递减,故( −�−
2
�)max =−2 2,
由�=−�+
2
�在1,2 上单调递减,故( −�+
2
�)min =−1,
所以−2 2 ≤�≤−1.
16.(25-26 高三·全国·一轮复习)已知函数��是定义在�上的奇函数,且它的图象关于直线�= 1 对称.
(1)求证:��是周期为4 的周期函数;
(2)若��=
�(0 < �≤1),求�∈−5, −4 时,函数��的解析式.
【答案】(1)证明见解析
(2)��=−
−�−4
【解题思路】(1)利用函数对称以及奇函数的性质证明.
(2)通过函数��的周期性以及奇函数性质求解.
【解答过程】(1)证:因为��关于直线�= 1 对称,所以��+ 1 = �1 −�,进而��+ 2 = �−�.
因为��是定义在�上的奇函数,�−�=−��,所以��+ 2 =−��.
因此��+ 4 =−��+ 2 = ��.
即��是周期为4 的周期函数.
(2)由函数��是定义在�上的奇函数,有�0 = 0.
当�∈−1,0 时,−�∈0,1 ,��=−�−�=−
−�,�0 = 0 符合式子,
故�∈−1,0 时,��=−
−�.
�∈−5, −4 时,�+ 4 ∈−1,0 ,��= ��+ 4 =−
−�−4.
从而,�∈−5, −4 时,函数��=−
−�−4.
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17.(25-26 高一上·上海·阶段检测)设�= ��是定义在R 上的奇函数,且对于任意的实数�,恒有��+ 3 =
−��.当�∈0,3 时,��= �2 −3�.
(1)求证:�= ��是周期函数,并指出其最小正周期;
(2)求方程��=−2 在区间−12,12 上解的个数.
【答案】(1)证明过程见解析,最小正周期为6;
(2)8
【解题思路】(1)根据��+ 3 =−��,得到��+ 6 = ��,故�= ��是一个周期为6 的周期函数,
并结合奇偶性得到最小正周期为6;
(2)�∈0,3 上,��=−2 有2 个解,结合函数的周期性和奇偶性,可知在6,9 ,−6, −3 ,−12, −9
上,各有2 个解,画出函数图象,数形结合得到答案.
【解答过程】(1)因为��+ 3 =−��,所以��+ 6 =−��+ 3 =−−��
= ��,
故�= ��是一个周期为6 的周期函数,
又�∈0,3 时,��= �2 −3�,
故当�∈−3,0 时,−�∈0,3 ,则�−�= −�2 −3· −�= �2 + 3�,
�= ��是定义在R 上的奇函数,故��=−�−�=−�2 −3�,
显然在�∈−3,3 上,�= ��的图象无周期性,
综上,�= ��的最小正周期为6;
(2)当�∈0,3 时,��= �2 −3�= �−
3
2
2
−
9
4 ∈−
9
4 , 0 ,
令��=−2,则有2 个根,故��=−2 在�∈0,3 上有2 个解,
结合函数的周期性和奇偶性,可知在6,9 ,−6, −3 ,−12, −9 上,各有2 个解,
画出函数在�∈−12,12 上的图象如下:
由于�= ��与�=−2 有8 个交点,故��=−2 在−12,12 上共有8 个解.
18.(25-26 高一上·天津·阶段检测)已知��=
2��
�2+4在定义域2�, �+ 3 上为奇函数,且�
1
2 =
2
17.
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(1)求�,�的值;
(2)判断并证明函数��在定义域内的单调性;
(3)若��2 −3 + �1 −�< 0,求实数�的取值范围.
【答案】(1)�=
1
2,�=−1
(2)�(�)在−2,2 上单调递增,证明见解析
(3)[1,2)
【解题思路】(1)根据奇函数定义域关于原点对称,可得b 值,将点坐标代入,可得a 值.
(2)由(1)得��的解析式,利用定义法,按照取值,作差,整理,定号,得结论的步骤,即可得证
(3)根据��的奇偶性和单调性,结合定义域,可得不等式组,即可求得答案.
【解答过程】(1)因为��=
2��
�2+4在定义域2�, �+ 3 上为奇函数,
所以2�+ �+ 3 = 0,解得�=−1,
又�
1
2 =
2
17,所以
�
1
4+4 =
2
17,解得�=
1
2.
(2)由(1)得�(�) =
�
�2+4,�∈−2,2 ,
则�(�)在−2,2 上单调递增,证明如下:
任取�1, �2 ∈−2,2 ,且�1 < �2,
则�(�1) −�(�2) =
�1
�12+4 −
�2
�22+4 =
�1 �22+4 −�2 �12+4
�12+4
�22+4
=
�1−�2
4−�1�2
�12+4
�22+4 ,
因为−2 ≤�1 < �2 ≤2,
所以�1 −�2 < 0,4 −�1�2 > 0, �12 + 4 > 0, �22 + 4 > 0,
所以�(�1) −�(�2) < 0,即�(�1) < �(�2),
所以�(�) =
�
�2+4在−2,2 上单调递增
(3)因为�(�)在−2,2 上单调递增,且为奇函数,
由��2 −3 + �1 −�< 0,得��2 −3 <−�1 −�= �(�−1),
所以
�2 −3 < �−1
−2 ≤�2 −3 ≤2
−2 ≤1 −�≤2
,解得1 ≤�< 2.
19.(25-26 高一下·上海闵行·期中)已知定义域为�的函数�= ��为偶函数,它的图像是连续的曲线.任
取�∈�,定义��= ���≥��
.
(1)已知��= �4,求�2;
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(2)若任取�∈�,都有�+ 2π ∈��,求证:函数�= ��,�∈�为周期函数;
(3)若任取�∈�,只要存在�∈��、�∈��且�≠�,都有�, �⊆��.试判断函数�= ��在−∞, 0 上的
单调性(填写“增函数”“严格增函数”“减函数”“严格减函数”“既存在严格增区间也存在严格减区间”之一),
并证明你的结论.
【答案】(1)�2 = ( −∞, −2] ∪[2, + ∞).
(2)证明见解析
(3)增函数;证明见解析
【解题思路】(1)根据题意列不等式求解即可;
(2)取�= �,得�(�+ 2�) ≥�(�),取�=−�,得�( −�+ 2�) ≥�( −�),结合偶函数性质和不等式性质
推出�(�+ 2�) = �(�),从而证明函数为周期函数;
(3)采用反证法结合定义证明即可.
【解答过程】(1)已知�(�) = �4,�= 2,则�(�) = �(2) = 24 = 16,�2 = {�∣�4 ≥16},
解得�≤−2 或�≥2,故�2 = ( −∞, −2] ∪[2, + ∞).
(2)已知�(�)是偶函数,故对任意�∈R,�( −�) = �(�),
由题知任取�∈�,都有�+ 2π ∈��,故对任意�∈R,�(�+ 2�) ≥�(�),
取�= �,得�(�+ 2�) ≥�(�) ①;
取�=−�,得�( −�+ 2�) ≥�( −�),即�(2�−�) = �(�−2�) ≥�( −�) = �(�),
整理得�(�−2�) ≥�(�),令�= �−2�,则�= �+ 2�,代入得�(�) ≥�(�+ 2�) ②,
结合①②可得对任意�∈R,�(�+ 2�) = �(�),故�(�)是以2�为周期的周期函数,得证.
(3)假设�(�)在( −∞, 0]上不是增函数,则存在�1 < �2 ≤0, ��1 > ��2 ,
取�= �1, −�=−�1,而��= {�|�(�) ≥�(�1)},由定义知�= �1 ∈��,
而��为偶函数,故��1 = �−�1 ,故−�=−�1 ∈��,可知�1, −�1 ⊆��,
而�1 < �2 ≤0,故�2 ∈��,根据题干定义可知��= ���≥��
,故��2 ≥��= ��1 ,与假设矛盾,
因此假设不成立,
故�(�)在( −∞, 0]上是增函数.
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