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专题22 圆锥曲线轨迹全归纳
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题型一：定义法：圆型.........................................................................................................................................................1
题型二：椭圆定义型.............................................................................................................................................................2
题型三：双曲线定义型.........................................................................................................................................................3
题型四：抛物线定义型.........................................................................................................................................................4
题型五：直接设点型.............................................................................................................................................................4
题型六：相关点代入法.........................................................................................................................................................5
题型七：交轨法.....................................................................................................................................................................6
题型八：参数消参法.............................................................................................................................................................7
题型九：空间型：坐标法.....................................................................................................................................................8
题型十：空间型：截面型曲线轨迹...................................................................................................................................10
题型十一：空间型：双球圆锥型.......................................................................................................................................11
题型十二：立体几何定角型...............................................................................................................................................13
题型十三：复数中的轨迹...................................................................................................................................................14
题型一：定义法：圆型
1．（22-23 高三·四川绵阳·阶段练习）已知
，若过定点
的动直线
和过定点
的
动直线
交于点
（
与
，
不重合），则错误的是（ ）
A．
点的坐标为
B．点P 的轨迹方程
C．
D．
的最大值为
2．（2022 高三·全国·专题练习）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三·福建厦门·阶段练习）已知
，直线
，直线
，若
为
的交点，则
的最小值为（ ）
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，可直接写出所
求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.
平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．
(1) 若直线含参，参数在x 系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含想x=1
(2) 若直线含参，参数在y 的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1
(3) 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0 与y=-x 平行
1
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A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高三·福建莆田·阶段练习，多选）已知
，若过定点A 的动直线
和过定
点B 的动直线
交于点P（P 与A，B 不重合），则下列结论中正确的是（ ）
A．A 点的坐标为
B．点P 的轨迹方程
C．
D．
的最大值为
5．（22-23 高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
点的轨迹方程是
题型二：椭圆定义型
1．（20-21 高三·浙江金华·模拟）如图，
，等边
的边长为2，M 为BC 中点，G 为
的重心，B，C 分别在射线OP，OQ 上运动，记M 的轨迹为
，G 的轨迹为
，则（ ）
A．
为部分圆，
为部分椭圆 B．
为部分圆，
为线段
C．
为部分椭圆，
为线段 D．
为部分椭圆，
也为部分椭圆
2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）单位向量
，向量
满足
，若存在两个均满足此条件的向
量
，使得
，设
，
在起点为原点时，终点分别为
.则
的最大值
（ ）
A．
B．
C．4
D．2
3．（23-24 高三上·上海·模拟）设圆
和圆
是两个定圆，动圆
与这两个定圆都相切，则动圆
的圆心
的轨迹不可能是（ ）
A．
B．
平面内与两个定点F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆
的点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
2
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C．
D．
5．（23-24 高三·陕西榆林·模拟）已知点
，动点A 在圆M：
上运动，线段AN 的垂
直平分线交AM 于P 点，则P 的轨迹方程为 ；若动点Q 在圆
上运动，则
的最大
值为 .
题型三：双曲线定义型
1．（22-23 高三·江西·阶段练习）已知点
，点P 为圆
上
一点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
2．（21-22 高三·江苏南通·阶段练习）在矩形
中，
，
，把边AB 分成n 等份，在
的延长线上，以
的n 分之一为单位长度连续取点.过边AB 上各分点和点
作直线，过
延长线上的
对应分点和点A 作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P 满足的方程可能是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2018 高三上·全国·专题练习）已知定点
，
，
是圆
：
上任意一点，点
关于点
的对称点为
，线段
的中垂线与直线
相交于点
，则点
的轨迹是
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
4．（20-21 高三·湖北武汉·模拟，多选）在平面直角坐标系
中，动点
与两个定点
和
连线的斜率之积等于
，记点
的轨迹为曲线
，直线：
与
交于
，
两点，则
平面内与两个定点F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定
点做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
3
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（ ）
A．
的方程为
B．
的离心率为
C．
的渐近线与圆
相切
D．满足
的直线有2 条
5．（24-25 高三·全国·模拟）过曲线
上一点
作圆
的两条切线，切点分别为
，若
，则曲线
的方程为 ．
题型四：抛物线定义型
1．（21-22 高三下·浙江·阶段练习）已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l
的垂线，垂足为Q，且
，动点P 的轨迹为C，已知圆M 过定点D（0，2），圆心M 在轨
迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A、B 两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，则
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．2
D．3
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知
是直线
上的一个动点，过点
作抛物线
的两
条切线
，
，切点分别为
，
，则
的重心
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（20-21 高三·广西南宁·模拟）抛物线：
的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·浙江·模拟预测，多选）已知曲线
上的点满足：到定点(1,0)与定直线
轴的距离的差为定值
，
其中，点
，
分别为曲线
上的两点，且点
恒在点
的右侧，则（ ）
A．若
，则曲线
的图象为一条抛物线
B．若
，则曲线
的方程为
C．当
时，对于任意的
，
，都有
D．当
时，对于任意的
，
，都有
5．（24-25 高三·全国·模拟）设
，点
在
轴上，点
在
轴上，且
，
，当点
在
轴上运动时，点
的轨迹方程为 ．
题型五：直接设点型
平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线
的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．
4
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1．（24-25 高三上·河北保定·阶段练习）已知曲线
：
，从
上任意一点
向
轴作垂线
段
，
为垂足，点
满足
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三·河南南阳·阶段练习）动点
与定点
的距离和
到定直线
的距离的
比是常数
，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三·江苏南通·阶段练习）已知等腰
底边两端点的坐标分别为
，
，则顶
点A 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·山东济南·开学考试，多选）在平面直角坐标系
中，已知点
，
，直
线
，
相交于点
，且它们的斜率之和是
.设动点
的轨迹为曲线
，则（ ）
A．曲线
关于原点对称
B．曲线
关于某条直线对称
C．若曲线
与直线
（
）无交点，则
5．（24-25 高三·江苏常州·阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线
上存在动点P
满足条件
，
，且
时，则实数k 的取值范围为 ．
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述
成含
的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．
（1）到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线．
（2）到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．
（3）平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．
求解过程：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点P(x , y)
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含x , y的代数式表示，
（5）检验：对某些特殊值应另外补充检验．
5
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题型六：相关点代入法
1．（22-23 高三·北京·阶段练习）设
为坐标原点，动点
在椭圆C：
上，过
作
轴的垂线，
垂足为
，点
满足
，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（21-22 高三·辽宁沈阳·模拟）设
为坐标原点，动点
在圆
上，过
作
轴的垂线，垂
足为
，点
满足
，则点
的轨迹方程为
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三·四川内江·模拟）已知面积为16 的正方形ABCD 的顶点A、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，O
为坐标原点，
，则动点P 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·河北唐山·阶段练习，多选）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，
到两个定点
，
距离之比是常数
（
，且
）的点
的轨迹是圆．若两定点
，
，
动点
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．点
的轨迹围成区域的面积为
B．点
的轨迹关于直线
对称
C．点
到原点的距离的最大值为6
D．
面积的最大值为
5．（20-21 高三·上海杨浦·模拟）已知△
的顶点
，若顶点
在抛物线
上移动，
则△
的重心的轨迹方程为 .
如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线
方程），则可以设出P(x , y),用(x , y)表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得
到动点P的轨迹方程.
第一步：设所求轨迹的点
，曲线上的动点
；
第二步：找出
与
的关系，由
表示
，即
；
第三步：
满足已知的曲线方程，将
代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍．
6
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题型七：交轨法
1．（2024 高三·全国·专题练习）设
是椭圆
与x 轴的两个交点，
是椭圆上垂直于
的弦的端点，则直线
与
交点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2014·四川·一模）过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
，
两点，分别过
，
作抛物线的
切线，
，则与
的交点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三·全国·单元测试，多选）已知
，
是椭圆
：
的左右顶点，过点
且斜率
不为零的直线与
交于
，
两点，
，
，
，
分别表示直线
，
，
，
的斜率，
则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．直线
与
的交点的轨迹方程是
4．（2022 高三·全国·专题练习）两条直线
和
的交点的轨迹方程是
5．（2022 高三·全国·专题练习）由圆外一定点
向圆
作割线，交圆周于
两点，求弦
中点的轨迹
6．（2022 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
上异于坐标原点O 的两不同动点
A、B 满足
，求
得重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程.
题型八：参数消参法
1. 所求点满足条件方程1
2. 所求点满足条件方程2
3. 动点是方程1、2 两轨迹方程，则满足两个轨迹所组成的方程组，通过两个方程选择适当
的技巧消去参数得到轨迹的普通方程
4. 参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵
活多变.
7
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1．（20-21 高三·上海宝山·模拟）如图，设点
和
为抛物线
上除原点以外的两个动点，已
知
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
（原点除外）
B．
（原点除外）
C．
（原点除外）
D．
（原点除外）
2．（2022·河南南阳·三模）
和
是抛物线
上除去原点以外的两个动点，
是坐标原点且满足
，
，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，x 轴正半轴上从左至右四点A､B､C､D
横坐标依次为a-c､a､a+c､2a，y 轴上点M､N 纵坐标分别为m､-2m（m>0），设满足
的动点P
的轨迹为曲线E，满
的动点Q 的轨迹为曲线F，当动点Q 在y 轴正半轴上时，DQ 交曲线E 于
点P0（异于D），且OP0与BQ 交点恰好在曲线F 上，则a：c=（ ）
A．
B．
C．2
D．3
4．（2022 高三·全国·专题练习）设M 是椭圆C：
上的一点，P、Q、T 分别为M 关于y 轴、原点、
x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E，当M 沿椭圆C 运动时，
求动点E 的轨迹方程.
有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点
常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，截距或时间等）的制约，即动点坐标(x , y)中的x , y分别随另一
变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，进而通过消参
化为轨迹的普通方程F (x , y)=0.
（1）选择坐标系，设动点坐标
；
（2）分析轨迹的已知条件，选定参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）；
（3）建立参数方程；
（4）消去参数得到普通方程；
（5）讨论并判断轨迹．
解题步骤：
1 引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标
；
2.消去参数，得到关于
的方程，即为所求轨迹方程。
8
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题型九：空间型：坐标法
1．（2022·北京石景山·模拟）如图，正方体ABCD
A1B1C1D1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM
，
点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A1D1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的
轨迹是（ ）
A．圆
B．抛物线
C．双曲线
D．椭圆
2．（24-25 高三·重庆·阶段练习）如图，已知正方体
的棱长为2，
、
分别为线段
、
的中点，若点
为正方体表面上一动点，且满足
平面
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，已知
，
，
分别是棱
，
，
的中点，
为平面
上的动点，且直线
与直线
的夹角为
，则点
的轨迹长
度为（ ）
立体几何内的轨迹，，尝尝从以下方向切入
1. 建系，利用空间坐标系求出方程。
2. 通过转化，把空间关系转化为平面关系，把空间轨迹转化为平面轨迹求解。
9
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A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·吉林长春·阶段练习，多选）如图，在棱长为1 的正方体
中，
为
边
的中点，点
在底面ABCD 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．不存在点
，使得
B．不存在点
，使得
C．点
在棱
上，且
，若
，则点
的轨迹是圆
D．当
是正方形ABCD 的中心时，
为线段AB 上的动点，则
的最小值为
5．（24-25 高三·浙江·阶段练习）如图所示的试验装置中，两个正方形框架
、
的边长都是
，
且它们所在的平面互相垂直.长度为
的金属杆端点
在对角线
上移动，另一个端点
在正方形
内（含边界）移动，且始终保持
，则端点
的轨迹长度为 .
题型十：空间型：截面型曲线轨迹
1．（24-25 高三·湖北·阶段练习）动点
在棱长为3 的正方体
侧面
上，满足
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高一下·湖北武汉·模拟）已知棱长为4 的正方体
，点
是棱
的中点，点
是棱
的中点，动点
在正方形
（包括边界）内运动，且
平面
，则
的长度范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
10
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3．（23-24 高三·浙江宁波·模拟）已知正方体
的棱长为3，以
为球心，
为半径的球
面与正方体表面的交线记为曲线
，则曲线
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习，多选）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
平面
，
，
，
，已知点
在平面
上运动，点
在平面
上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．若点
到
的距离等于其到平面
的距离，则点
的轨迹为抛物线的一部分
B．若
，则点
的轨迹为圆的一部分
C．若
与
所成的角为30°，则点
的轨迹为椭圆的一部分
D．若
与平面
所成的角为30°，则点
的轨迹为双曲线的一部分
5．（24-25 高三上·河南·开学考试）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为正方
形，
，点
分别为
的中点，点
为
内的一个动点（包括边界），若
平面
，则点
的轨迹的长度为 .
题型十一：空间型：双球圆锥型
1．（2023·辽宁阜新·模拟预测）比利时数学家丹德林( Germinal Dandelin)发现：在圆锥内放两个大小不同
且不相切的球使得它们与圆锥的侧面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截线是椭圆．这个
结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为20，底面半径为4 的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧
面均相切．若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱侧面所得的截线为一个椭圆，则该椭圆的短轴长
为（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
2．（19-20 高三·河南·阶段练习）比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相
切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是
椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2 的圆柱体内放球，球与圆柱底面
及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三·浙江宁波·模拟）如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何
的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，极具
创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于
、
，在截口曲线上任取一点
，过
作圆锥的母线，分别与两个球切于
、
，由球和圆的几何性质，可
以知道，
，
，于是
，由
、
的产生方法可知，它们之间的距
离
是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以
、
为焦点的椭圆.如图2，一个半径为1 的球放在桌面
上，桌面上方有一点光源
，则球在桌面上的投影是椭圆，已知
是椭圆的长轴，
垂直于桌面且与
球相切，
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·山东日照·一模，多选）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截
口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥
12
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的侧面、截面相切，截面分别与球
，球
切于点E，F（E，F 是截口椭圆C 的焦点）．设图中球
，
球
的半径分别为4 和1，球心距
，则（ ）
A．椭圆C 的中心不在直线
上
B．
C．直线
与椭圆C 所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C 的离心率为
5．（2020·吉林·模拟预测）如图（1），在圆锥内放两个大小不同且不相切的球,使得它们分别与圆锥的侧
面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到截口曲线是椭圆.理由如下：如图（2），若两个
球分别与截面相切于点
，在得到的截口曲线上任取一点
，过点
作圆锥母线，分别与两球相切于点
，由球与圆的几何性质，得
，
，所以
，且
，由椭圆定义知截口曲线是椭圆，切点
为焦点.这个结论在圆柱中也适用，如图（3），在一
个高为
，底面半径为
的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此
平面截圆柱所得的截口曲线也为一个椭圆，则该椭圆的离心率为 .
题型十二：立体几何定角型
1．（20-21 高三·浙江宁波·模拟）如图，在棱长为1 的正方体
中，点M 是底面正方形
的中心，点P 是底面
所在平面内的一个动点，且满足
，则动点P 的轨迹为
（ ）
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A．圆
B．抛物线
C．双曲线
D．椭圆
2．（19-20 高三·安徽黄山·模拟）如图所示正方体
中，设
是底面正方形
所在平面
内的一个动点，且满足直线
与直线
所成的角等于
，则以下说法正确的是（ ）
A．点
的轨迹是圆
B．点
的轨迹是椭圆
C．点
的轨迹是双曲线
D．点
的轨迹是抛物线
3．（22-23 高三·江西南昌·模拟）已知
是平面
的斜线段，
为斜足，若
与平面
成
角，过定
点
的动直线与斜线
成
角，且交
于点
，则动点
的轨迹是
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
4．（21-22 高三·江苏南京·阶段练习，多选）如图，在棱长为1 的正方体ABCD—
中，E 为侧面
的中心，F 是棱
的中点，若点P 为线段
上的动点，N 为ABCD 所在平面内的动点，则下列
说法正确的是（ ）
A．
·
的最小值为
B．若
，则平面PAC 截正方体所得截面的面积为
C．若
与AB 所成的角为
，则N 点的轨迹为双曲线
D．若正方体绕
旋转θ 角度后与其自身重合，则θ 的最小值是
5．（22-23 高三下·广东佛山·阶段练习）在棱长为1 的正方体
中，点
是底面
内的
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动点，
，则动点
的轨迹的面积为 ，动线段
的轨迹所形成几何体的体积是
.
题型十三：复数中的轨迹
1．（2025·广东·模拟预测）设复数z 满足
，z 在复平面内对应的点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数
在复平面内表示一个圆周，则
在复平面内表
示的点构成的形状为：（ ）.
A．圆周
B．椭圆周
C．双曲线的一部分
D．线段
3．（24-25 高三上·河北邯郸·开学考试）已知复数
，复数
满足
，则（ ）
A．
B．复数
在复平面内所对应的点的坐标是
C．
D．复数
在复平面内所对应的点为
，则
4．（24-25 高三·安徽马鞍山·阶段练习，多选）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．复数
，则
在复平面内对应的点位于第一象限
B．若复数
，则
C．若复数
满足
，则
D．若复数
满足
，则复数
对应的点所构成的图形面积为
5．（24-25 高三上·全国·自主招生）复数
满足
，则
.
复数中的轨迹，基本是转化为解析几何来求
1、利用复数的模运算转化
2、利用复数的几何意义
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