关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题23 同构与双变量问题
知识梳理
方法技巧
题型归类
题型一：地位同等同构型
题型二：指对跨阶同构型
题型三：零点同构型
题型四：转化为同源函数解决
题型五：与函数单调性有关的双变量问题
题型六：与极值点有关的双变量问题
题型七：整体代换
题型八：构造一元函数求解双变量问题
题型九：构造具体函数解决双变量问题
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
强化测试
共8 题
一、【知识梳理】
【方法技巧】
1.含有地位同等的两个变量x1，x2或x，y 或a，b 的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，
等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性解决.
2.对于一个指数、直线、对数三阶的问题可以通过跨阶函数的同构，转化为两阶问题解决，
通常在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中应用跨阶同构来快速解题.跨阶同构
需要构造一个母函数，即外层函数，这个母函数需要满足：①指对跨阶，②单调性和最值易
求.
3.为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需要对指对式进行“改头换面”，常用的方法
有：x＝eln x，xex＝eln x＋x，x2ex＝e2ln x＋x，＝e－ln x＋x，ln x＋ln a＝ln(ax)，ln x－1＝ln ，有时也
需要对两边同时加、乘某式等.
4.指对跨阶同构的基本模式有：
(1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式：
①同左：aea≤bln b⇔aea≤(ln b)eln b，构造函数f(x)＝xex；
②同右：aea≤bln b⇔ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x；
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
③两边同取自然对数：a＋ln a≤ln b＋ln(ln b)，构造函数f(x)＝x＋ln x.
(2)商型：<，一般也有三种同构方式：
①同左：<⇔<，构造函数f(x)＝；
②同右：<⇔<，构造函数f(x)＝；
③两边同取自然对数：a－ln a<ln b－ln(ln b)，构造函数f(x)＝x－ln x.
(3)和差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左：ea±a>b±ln b⇔ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x；
②同右：ea±a>b±ln b⇔ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x.
5.与函数单调性有关的双变量问题，此类问题一般是给出含有x1, x2,f (x1),f (x2)的不等式,若能
通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求
解.
常见结论：
(1)若对任意x1, x2∈D,当x1≠x2时恒有f (x1)−f (x2)
x1−x2
>0,则y = f (x)在D 上是增函数；
(2)若对任意x1, x2∈D,当x1≠x2时恒有f (x1)−f (x2)
x1−x2
>k,则y = f (x)−kx在D 上是增函数；
(3)若对任意x1, x2∈D,当x1≠x2时恒有f (x1)−f (x2)
x1−x2
>
k
x1 x2
,则y = f (x)+ k
x
在D 上是增函数；
(4)若对任意x1, x2∈D,当x1≠x2时恒有f (x1)−f (x2)
x1−x2
> x1+ x2,则y = f (x)−x
2在D 上是增函数.
6.与极值点有关的双变量问题
与极值点x1, x2有关的双变量问题,一般是根据x1, x2是方程f
' (x)=0的两个根,确定x1, x2的关系,再
通过消元转化为只含有x1或x2的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为x1, x2的
齐次式,然后转化为关于
x2
x1
的函数.
7.与零点有关的双变量问题
与函数零点x1, x2有关的双变量问题,一般是根据x1, x2是方程f (x)=0的两个根,确定x1, x2的关系,
再通过消元转化为只含有x1或x2的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为x1, x2
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的齐次式,然后转化为关于
x2
x1
的函数,有时也可转化为关于x1−x2的函数,若函数中含有参数,可
考虑把参数消去,或转化为以参数为自变量的函数.
8.独立双变量,各自构造一元函数
此类问题一般是给出两个独立变量,通过变形,构造两个函数,再利用导数知识求解.
9.构造一元函数求解双变量问题
当两个以上的变元或是两个量的确定关系在解题过程中反复出现.通过变量的四则运算后,把整
体处理为一个变量,从而达到消元的目的.
二、【题型归类】
【题型一】地位同等同构型
【典例1】若0＜x1＜x2＜a，都有x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2成立，则a 的最大值为( )
A.
B.1
C.e
D.2e
【典例2】若对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1＜x2，＜2，则m 的最小值是( )
A.e2
B.e
C.1
D.
【典例3】若0<x1<x2<1，则( )
A.ex2－ex1>ln x2－ln x1
B.e x1－e x2>ln x2－ln x1
C.x2e x1>x1e x2
D.x2e x1<x1e x2
【题型二】指对跨阶同构型
【典例1】设实数
，若对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的取值
范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【典例2】已知
，不等式
对任意的实数
恒成立，则实数
的最小值为
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【典例3】已知函数
和
有相同的最小值．
（1）求；
（2）证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左
到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【题型三】零点同构型
【典例1】已知函数f(x)＝xex－a(x＋ln x)有两个零点，则实数a 的取值范围是________.
【典例2】已知x0是函数f(x)＝x2ex－2＋ln x－2 的零点，则e2－x0＋ln x0＝________.
【典例3】已知f(x)＝xln x＋x2＋1，若关于x 的方程xex－a＝f(x)－x2＋ax－1 有两个不同的实数
解，求a 的取值范围.
【题型四】转化为同源函数解决
【典例1】已知函数f(x)＝ln x－ax＋1，其中a 为实常数.对于函数图象上任意不同的两点
A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，直线AB 的斜率为k，若x1＋x2＋k＞0 恒成立，求a 的取值范围.
【典例2】已知函数f(x)＝aln x＋x2，在其图象上任取两个不同的点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＞
x2)，总能使得＞2，则实数a 的取值范围为( )
A.(1，＋∞)
B.[1，＋∞)
C.(1，2)
D.[1，2]
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【题型五】与函数单调性有关的双变量问题
【典例1】已知函数f ( x)= ln x +a x
2−3 x.
(1)若函数f ( x)的图像在点(1,f (1))处的切线方程为
，求函数f ( x)的极小值；
(2)若a=1，对于任意x1, x2∈[1,5]，当x1< x2时，不等式f (x1)−f (x2)> m(x2−x1)
x1⋅x2
恒成立，求实
数m的取值范围．
【题型六】与极值点有关的双变量问题
【典例1】设函数f (x)= x
2−x +a ln x (a>0)．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若f (x)存在两个极值点x1，x2，证明：
f (x1)−f (x2)
x1−x2
>4 a−1
2．
【题型七】整体代换
【典例1】设a∈R，函数f(x)＝ln x－ax，若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证：ln x1＋ln x2＞
2.
【题型八】构造一元函数求解双变量问题
【典例1】已知函数f (x)=e
x ln (1+ x)．
(1)求曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)设g(x)= f
' (x)，讨论函数g(x)在[0,+ ∞)上的单调性；
(3)证明：对任意的s,t ∈(0,+ ∞)，有f (s+t )>f (s)+ f (t )．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【题型九】构造具体函数解决双变量问题
【典例1】已知函数f(x)＝x(1－ln x).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a，b 为两个不相等的正数，且bln a－aln b＝a－b，证明：2<＋<e.
三、【培优训练】
【训练一】已知函数f(x)＝－x＋aln x.
(1)试讨论函数f(x)的单调性；
(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，且x2>x1，设g(x)＝f(x1)－f(x2)－(a－2)(x1－x2)，证明：g(x)>0.
【训练二】已知函数f(x)＝2aln(x＋1)－x－1，g(x)＝ex－2ax.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，f(x)＋g(x)≥0 恒成立，求实数a 的取值范围.
【训练三】已知f(x)＝2x＋1－eax(a∈R).若x1，x2为方程f(x)＝1 的两个相异的实根，求证：x1
＋x2＞.
四、【强化测试】
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1. 已知函数f(x)＝2ax＋bx－1－2ln x(a∈R).当x＞y＞e－1 时，求证：exln(y＋1)＞eyln(x＋1).
2. 已知函数f(x)＝ex－aln x(其中a 为参数)，若对任意x∈(0，＋∞)，不等式f(x)>aln a 恒成
立，则正实数a 的取值范围是________.
3. 已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.a＞0，设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1
＋x2＜2.
4. 已知f(x)＝aex－1－ln x＋ln a，若f(x)≥1，求a 的取值范围.
5. 设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x，g(x)＝2aln x－4x＋b，其中a＞0，b∈R.已知a＞2，且
方程f(x)＝g(x)在(1，＋∞)上有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′＞0.
6. 已知函数f(x)＝x－ln x，
(1)求函数f(x)的单调性；
(2)当x＞，证明：≥e＋1；
(3)若不等式x＋aln x＋≥xa对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a 的最小值.
7. 已知函数f(x)＝ln x＋－x－2a＋1.若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)＜0.
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
8. 若不等式e(m－1)x＋3mxex≥3exln x＋7xex对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围
是________.
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
9
