专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数
(2)通过函数图象，理解导数的几何意义
(3)能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
导数的概念
及其意义、导
数的运算
新课标I 卷：第13 题，
5 分
新课标Ⅱ卷：第16 题，
15 分
全国甲卷（文数）：第
7 题，5 分
全国甲卷（理数）：第
6 题，5 分
全国一卷：第12 题，5
分
北京卷：第20 题，14
分
天津卷：第20 题，16
分
全国一卷：第4 题，5
分
全国二卷：第19 题，
17 分
上海卷（秋考）：第
19 题，14 分
北京卷：第20 题，14
分
天津卷：第20 题，16
分
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命题规律
分析
1、导数的概念及其意义、导数的运算
导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考
常考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，高考对本节内容考查相
对稳定，在选择题、填空题、解答题中都有考查，在选择题、填空题中主要
考查曲线的切线方程的求解，试题难度属中低档；在解答题中导数的几何意
义也经常会作为导数大题的一问进行考查，重点考查曲线的切线方程问题，
试题难度较大，复习时要加强这方面的训练。
知识点1
导数的概念
1．瞬时速度
(1)平均速度
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设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0 到
这段时间内的平均速度为
.
(2)瞬时速度
①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
②一般地，当∆t 无限趋近于0 时，
无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t 趋近于0 时，
的极限是v，
这时v 就是物体在t=t0 时的瞬时速度，即瞬时速度
.
2．函数的平均变化率
函数平均变化率的定义
对于函数y=f(x)，设自变量x 从x0 变化到x0+∆x，相应地，函数值y 就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x 的变化
量为∆x，y 的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值
，即
叫做函数y=f(x)从
x0 到x0+∆x 的平均变化率.
3．导函数的定义
从求函数y=f(x)在x=x0 处导数的过程可以看到，当x=x0 时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x 变化时，
y=f'(x) 就是x 的函数，我们称它为y=f(x) 的导函数( 简称导数).y=f(x) 的导函数有时也记作y' ，即
f'(x)=y'=
.
知识点2
切线问题及其解题策略
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x0 处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
3．与切线有关的参数问题的解题策略：
(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
4．公切线问题的解题思路
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把
两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切
可用判别式法.
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知识点3
导数的运算的方法技巧
1．导数的运算的方法技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
知识点4
复合函数的导数
1．复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)
和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
2．复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为
=
，即y 对x 的导数等于y 对u
的导数与u 对x 的导数的乘积.
3．求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
【题型1
导数的定义及其应用】
【例1】（2026·甘肃白银·三模）如果质点按规律��= 2�2 −�（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质
点在2s 末的瞬时速度为（
）
A．8 m/s
B．7m/s
C．6 m/s
D．5 m/s
【变式1-1】（2026·江苏盐城·三模）若�(�) = ln
2−�
e�，则lim
Δ�→0
�(1+Δ�)−�(1)
Δ�
=（
）
A．0
B．2
C．－2
D．－4
【变式1-2】（25-26 高二下·吉林·期末）函数�(�) = �2 + 2�在区间1,2 上的平均变化率为（
）
A．5
B．6
C．7
D．10
【变式1-3】（25-26 高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移�（单位：m）与时间�（单位：s）之
间的关系为：�= �2，则该质点在1, 1 + Δ�内的平均速度是（
）
A．2 + Δ�
B．2 −Δ�
C．−1 + 2Δ�
D．−2 + Δ�
【题型2
导数的运算】
【例2】（2026·河南新乡·三模）已知函数�(�) = 2�'(1)ln�+
1
�，则�′(1) =（
）
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A．2
B．−2
C．1
D．−1
【变式2-1】（2026·湖南常德·一模）已知函数��= e�−�' 1 �，则（
）
A．�1 =−
e
2
B．�' 1 =−
e
2
C．�2 = e2 −e
D．�' 2 = e2 −e
【变式2-2】（2026·福建泉州·三模）定义在�上的奇函数��，其导函数为�′(�)，当�> 1 时，��= �2，
则�′( −3) =（
）
A．−9
B．−6
C．6
D．9
【变式2-3】（2026·四川眉山·模拟预测）已知�= ��−2�是定义域为�的偶函数，��的导函数�′ �满足
�′ 1 + �= �′ 1 −�，则�′ 2026 =（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【题型3
求曲线切线的斜率（倾斜角）】
【例3】（25-26 高二上·江苏南通·期末）曲线�= ln 1 −�在�= 0 处的切线的倾斜角为（
）
A．30∘
B．45∘
C．135∘
D．150∘
【变式3-1】（2026·四川自贡·模拟预测）已知�( �) = �+ 1，则曲线�= �(�)在点(1, �(1))处的切线斜率为
（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
【变式3-2】（25-26 高三上·山西运城·期中）已知函数�= ��的部分图象如图所示，�′ �是函数��的导
函数，则（
）
A．�′ 2 < �′ 5 <
�4 −�2
2
B．�′ 2 <
�4 −�2
2
< �′ 5
C．�′ 2 > �′ 5 >
�4 −�2
2
D．�′ 2 >
�4 −�2
2
> �′ 5
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【变式3-3】（25-26 高二下·广东东莞·阶段检测）设点�是曲线�= �3 −
3�+
2
3上的任意一点，则曲线在点�
处切线的倾斜角�的取值范围为（
）
A．0,
π
2 ∪
5π
6 ,π
B．
2π
3 , π
C．[0,
π
2 ) ∪
2π
3 , π
D．
π
2 ,
5π
6
【题型4
求曲线的切线方程】
【例4】（2026·安徽·模拟预测）函数��= �2�−1 2的图象在点1,1 处的切线方程为（
）
A．�= 5�−4
B．�= 4�−3
C．�= 3�−2
D．�= 2�−1
【变式4-1】（2026·湖南长沙·二模）曲线�= �+ e�在点0,1 处的切线方程为（
）
A．3�−�+ 1 = 0
B．3�+ �−1 = 0
C．2�+ �−1 = 0
D．2�−�+ 1 = 0
【变式4-2】（2026·重庆北碚·模拟预测）已知关于�的函数��= �−2 e�−
�
3 �3 +
�+1
2
�2 −�, �∈R.
(1)当�= 0 时，求�(�)在�= 2 处的切线方程；
(2)若�≤e 且�> 0，求�(�)的极小值．
【变式4-3】（2026·安徽·模拟预测）已知函数��= e��−2�−1，�∈�．
(1)当�= 2 时，求曲线�= ��在点0, �0
处的切线方程；
(2)讨论函数��的单调性；
(3)若函数��有2 个不同的零点�1，�2，且�2 −�1 < 1,，求�的取值范围．
【题型5
与切线有关的参数问题】
【例5】（25-26 高二下·重庆·阶段检测）已知曲线�= ln�在�= 1 处的切线与曲线�= e�+ �相切，则�的值
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为（
）
A．2
B．−2
C．e
D．−e
【变式5-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）��= ��3 + ��+ ��≠0 在点0, �0
处的切线方程是�−�+
1 = 0，则�+ �=（
）
A．−2
B．0
C．1
D．2
【变式5-2】（2026·湖南·模拟预测）已知直线�: �= ��+ �与曲线�=
1
�+ ln�相切，则实数b 的取值范围是
（
）
A．1,2
B．−∞, 1
C．0, ln2
D．ln2, + ∞
【变式5-3】（25-26 高二下·湖北武汉·阶段检测）已知过点�(�, 0)可以作曲线�= (�−1)e�的两条切线，则
实数a 的取值范围是（
）
A．(1, + ∞)
B．( −∞, −3) ∪(1, + ∞)
C．( −∞, −e) ∪(2, + ∞)
D．( −∞, −2) ∪(2, + ∞)
【题型6
两条切线平行、垂直、公切线问题】
【例6】（2026·河南南阳·三模）已知函数�(�) = 2�e�与�(�) = ln�+ 1 存在公切线，则实数�的最小值为（
）
A．
1
e
B．
1
2e
C．
1
4e
D．
1
6e
【变式6-1】（25-26 高三上·江苏南通·期中）已知曲线�= �e2�在�= 0 处的切线与直线�+ �−1 = 0 垂直，
则�=（
）
A．
1
2
B．−
1
2
C．−1
D．1
【变式6-2】（2026·安徽·模拟预测）若曲线�= e�在点0,1 处的切线也是曲线�= ln(�+ �)的切线，则
�=____________．
【变式6-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线��= e�和��= ln�+ ��∈�有两条公切线，其中一
条为直线�: �= �+ 1，则另外一条公切线的方程为____________．
【题型7
与切线有关的最值问题】
【例7】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知点�为曲线�= �+
9
�上的动点，则点�到直线�+ �= 0 的距离的
最小值为（
）
A．3 2
B．6
C．
9 2
2
D．9
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【变式7-1】（2026·河南·二模）已知点��0, �0 是曲线�=
ln�
�上的动点，则�0 −�0 的最小值为（
）
A．1
B．2
C．2
D．2 2
【变式7-2】（2026·辽宁辽阳·二模）函数��=
1
2 ln�图象上一点�到直线�=
�
2的最短距离为（
）
A．2
B．
2
2
C．
5
5
D．
5 2−2ln2
5
【变式7-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数��= �2 + �ln�的图象有两条与直线�= 2�平行的切线，
且切点坐标分别为��1, ��1
，��2, ��2
，则�1
2 + �2
2的取值范围是（
）
A．−∞,
1
2
B．
1
2 , + ∞
C．0,
1
2
D．
1
2 , 1
一、单选题
1．（2026·辽宁大连·模拟预测）曲线�= 2ln�−
�3
6 + e 的一条切线斜率为
3
2，则切点的横坐标为（
）
A．
1
2
B．1
C．
3
2
D．2
2．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数��= 2�−1 3�′ 1 −
1
�，则�′ 1 的值为（
）
A．−
1
5
B．
1
5
C．−5
D．5
3．（2026·山东青岛·二模）已知直线�= �−2 与曲线�= ln�+ �相切，则�的值为（
）
A．1
B．0
C．−1
D．−2
4．（2026·江苏镇江·一模）设lim
Δ�→0
�2+Δ�−�2
Δ�
=−1，则曲线�= ��在点2, �2
处的切线的斜率为（
）
A．−1
B．−4
C．1
D．4
5．（2026·辽宁辽阳·一模）曲线�=
�3
�+2在点−1, −1 处的切线方程为（
）
A．4�+ �+ 5 = 0 B．4�−�+ 3 = 0
C．8�+ �+ 9 = 0
D．8�−�+ 7 = 0
6．（2026·山西忻州·模拟预测）设函数��=
1
2 �2 + ln�−
3�，则曲线�= ��在点
3, �
3
处的切线
的倾斜角为（
）
A．
π
6
B．
π
3
C．
2π
3
D．
5π
6
7．（2026·云南·模拟预测）曲线�= e�+ ��在点(0,1)处的切线与直线2�+ 4�+ 3 = 0 垂直，则实数�=
（
）
A．−1
B．1
C．−2
D．2
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8．（2026·重庆·二模）若经过点0, −2 的直线�既与曲线�= ln�相切，也与曲线�= e�−��∈R 相切，则
�=（
）
A．
1
e
B．1
C．2
D．e
二、多选题
9．（2026·安徽宿州·一模）设函数�(�) = �3 −3�2，则（
）
A．�(�)在�= 1 处的切线方程为�=−3�+ 1
B．�= 2 是�(�)的极大值点
C．当−1 ≤�≤1 时，−4 ≤�(�) ≤−2
D．�(2 −�) + �(�) =−4
10．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知定义在�上的偶函数��满足�0 = 2，�3 −�+ ��= 1，设��
在�上的导函数为��，则（
）
A．�2026 = 0
B．��−6 = ��
C．�
3
2 =
1
2
D．
�=1
2027 �(�)
σ
= 1012
11．（2026·陕西榆林·二模）已知两曲线�= ln�与�= ��2 +
1
2 �> 0 存在两条公切线，则实数�的取值可
能是（
）
A．
1
2e2
B．
1
e2
C．
1
e
D．1
三、填空题
12．（2026·上海·三模）已知��= �ln�+ �+ ln4，则lim
ℎ→0
�2+ℎ−�2
ℎ
=____________．
13．（2026·安徽六安·模拟预测）已知函数�(�) = �−4ln�(�> 0)，若函数�= �(�)在点(1, �(1))处的切线
方程为____________．
14．（2026·陕西榆林·三模）已知直线�= �是函数��= �+ �e�和函数��= ln�+ �图象的公切线，则
2�+ 3�=____________.
四、解答题
15．（2026·云南·三模）已知函数��= cos�+ ��2在�=
π
2处的切线的斜率为1.
(1)求�的值；
(2)当�∈−
π
2 ,
π
2 时，求��的极值.
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16．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数��= �2 + ��+ �ln�在�= 1 处取得极小值−2．
(1)求实数�，�的值；
(2)若��的切线过点0, �，求�的最大值．
17．（2026·北京·三模）设函数��= e��+ �2 −��，其中�∈�．
(1)当�= 1 时，求曲线�= ��在点0, �0
处的切线方程；
(2)求证：��≥0；
(3)若对于任意�1，�2 ∈−1,1 ，都有��1 −��2
≤e −1，求m 的取值范围．
18．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数��= e�−1 �−
1
3 ��3 −2e��∈�.
(1)若�= 0，求曲线�= ��在�= 1 处的切线方程.
(2)当�> 0 时，设�′ �为函数��的导函数.
（i）讨论函数�′ �的单调性；
（ii）令��= e�−ln�+ �2 −�，若对任意�∈0, + ∞，不等式�′ �+ ��≥0 恒成立，求实数�的取值范
围.
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19．（2026·河南周口·三模）已知函数��= �−
1
�−�ln�.
(1)当�= 2 时，求曲线�= ��在点1, �1
处的切线方程；
(2)讨论��的零点个数；
(3)若��有3 个零点�1，�2，�3 �1 < �2 < �3 ，证明：�1 + �2 + �3 > 3.
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