专题3.2 导数的概念及其意义、导数的运算（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
导数的定义及其应用】...............................................................................................................................1
【题型2
导数的运算】............................................................................................................................................... 2
【题型3
求曲线切线的斜率（倾斜角）】...............................................................................................................2
【题型4
求曲线的切线方程】...................................................................................................................................2
【题型5
与切线有关的参数问题】...........................................................................................................................3
【题型6
两条切线平行、垂直、公切线问题】.......................................................................................................3
【题型7
与切线有关的最值问题】...........................................................................................................................4
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
导数的定义及其应用】
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数��= 2�2 −1 的图象上一点(1,1)及邻近一点1 + Δ�, �1 + Δ�
，
则
Δ�
Δ�等于（
）
A．4
B．4 + 2Δ�
C．4 + 2 Δ�2
D．4x
2．（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移�（单位：cm）与时间�（单位：s）之间的关
系为�= 10sin
π
2 �，则当位移�= 6cm 时，弹簧振子的瞬时速度大小为（
）cm s.
A．4�
B．5�
C．6�
D．8�
3．（2026·上海徐汇·二模）若函数�= ��在�= �0处的切线方程为�= 2�−1，则
lim
ℎ→0
��0+ℎ−��0
ℎ
=__________.
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4．（2026·天津·一模）已知Δ�> 0,若函数�= �2在�0到�0 + Δ�之间的平均变化率为�1，在�0 −Δ�到�0的平
均变化为�2，则�1与�2的大小关系是__________. (填�1 > �2，�1 < �2或不确定)
【题型2
导数的运算】
5．（2026·河北·模拟预测）已知函数��=−e�+ �′ 1 ⋅�2，则�1 =（
）
A．0
B．1
C．e
D．−e
6．（2026·湖北·一模）下列求导运算正确的是（
）
A．(sin�)′ = cos�(a 为常数)
B．(sin2�)′ = 2cos2�
C．(3�)′ = 3�log3e
D．( �+ 1)′ =
2
�+1
7．（2026·四川巴中·模拟预测）已知��是定义在R 上的偶函数，且函数�′ �+ e−�也是偶函数，其中�′ �
表示函数��的导函数，则�′ �=（
）
A．
e�−e−�
2
B．
e�+e−�
2
C．e�−e−�
D．e�+ e−�
8．（2026·江西·一模）已知可导函数��的定义域为�，�′ �是��的导函数，且�2�−1 为偶函数�′ 2�+ 1
为奇函数，�′ 0 = 1，则�′ 2024 + �′ 2025 + �′ 2026 =（
）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
【题型3
求曲线切线的斜率（倾斜角）】
9．（25-26 高三上·河北邢台·阶段检测）曲线�= �−
1
�在点1,0 处的切线斜率是（
）
A．2
B．1
C．
1
2
D．0
10．（2026·福建·三模）若曲线�= ��+ e��在�= 0 处的切线的倾斜角为
3π
4 ，则�=（
）
A．
1
2
B．2
C．−
1
2
D．−2
11．（2026·福建福州·模拟预测）曲线�= ln �+ 1 在�= 0 处的切线的倾斜角为__________．
12．（2026·江苏宿迁·三模）曲线�= 2�在点0,1 处的切线的斜率是__________.
【题型4
求曲线的切线方程】
13．（2026·广东江门·模拟预测）曲线�=−e�+ 5�+ 2 在点0,1 处的切线方程为（
）
A．4�−�+ 1 = 0
B．4�−�−1 = 0
C．5�−�+ 1 = 0
D．5�−�−1 = 0
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14．（2026·四川绵阳·一模）曲线��= ln�−�在点1, �1
处的切线方程为（
）
A．�+ �= 0
B．�+ �−1 = 0
C．�−1 = 0
D．�+ 1 = 0
15．（2026·安徽·二模）已知��为奇函数，当�< 0 时，��= �+ sin�+ 1，则曲线�= ��在�=
π
2处的
切线方程是（
）
A．�+ �−�−2 = 0
B．�+ �−2 = 0
C．�−�+ 2 = 0
D．�−�= 0
16．（2026·河北·模拟预测）已知函数��= �3 −�+ 1，则��的图象在点1,1 处的切线方程是（
）
A．4�+ �−5 = 0
B．4�−�−3 = 0
C．2�+ �−3 = 0
D．2�−�−1 = 0
【题型5
与切线有关的参数问题】
17．（2026·江苏·模拟预测）若直线�= ��+ �是曲线�= e�+1的一条切线，则�=（
）
A．−e
B．
1
e
C．e
D．e2
18．（2026·云南·模拟预测）若函数��= ��3 + �
�∈�的图象与直线2�+ �+ �= 0 相切于点1, �1
，
则实数�=（
）
A．−2
B．2
C．−3
D．3
19．（2026·山东·模拟预测）若过点(1, �)可以作�= (�+ 1)e�的三条切线，则实数�的取值范围是（
）
A．( −4e−2, 0)
B．( −6e−3, 0)
C．( −6e−3, 2e)
D．(e, 2e)
20．（2026·河南许昌·三模）若直线�= �+ �与曲线�= ln(�+ �)相切，则�−�的值为（
）
A．1
B．
3
2
C．2
D．
5
2
【题型6
两条切线平行、垂直、公切线问题】
21．（2026·陕西·模拟预测）曲线�= e�−1与�= �2的公切线的条数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
22．（2026·湖南·三模）若直线�= ��+ 1（k 为常数）是曲线�= ln�+ 1 和曲线�= �e�+ 1 的公切线，则
实数a 的值为（
）
A．
1
e
B．
1
e2
C．1
D．e
23．（2026·广东肇庆·一模）已知曲线�= e�+ 1 在�= 0 处的切线也是曲线�= ln �+ 1 + �的切线，则
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�=___________.
24．（2026·新疆喀什·三模）若曲线�(�) =
�与曲线�(�) = �+ ln�存在公切线，则�的取值范围是
___________．
【题型7
与切线有关的最值问题】
25．（2026·河北秦皇岛·三模）若直线�同时是曲线�(�) = �e�(�> 1)和曲线�(�) = e�+ �的切线，则�斜率
的最小值为（
）
A．1
B．e
C．e2
D．2e
26．（2026·江苏南京·二模）已知�= �−�2 + �ln�−�+ 3 2 �∈R ，则�的最小值为（）
A．2
B．1
C．
2
2
D．
1
2
27．（2026·广东佛山·一模）若直线�= �+ �与曲线�= ln �+ �相切，则�2 + �2的最小值为（
）
A．
1
2
B．1
C．
3
2
D．2
28．（2026·四川德阳·二模）过点��0, �0 作曲线�= ln(�+ 1)的两条切线，记两切点分别为
��1, �1 , ��2, �2 , �1 ≠�2，若两条切线斜率之积为1，则
�0+1
�0+1的取值范围是（
）
A．(0,1)
B．0,1
C．1, + ∞
D．(1, + ∞)
一、单选题
1．（2026·甘肃金昌·模拟预测）函数��= e�ln�在�= 1 处的切线斜率为（
）
A．0
B．1
C．e
D．e + 1
2．（2026·云南昆明·模拟预测）若函数��= ��3 + �′ 1 e�+ �为奇函数，则�=（
）
A．−1
B．−
1
3
C．
2
3
D．
3
2
3．（2026·陕西宝鸡·三模）已知函数��的图象如图所示，若��= ��2 ，则下列数值排序正确的是（
）
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A．
1
2 �′ 1 < �′
1
2 < 2�′
1
4
B．2�′
1
4 < �′
1
2 <
1
2 �′ 1
C．�′
1
2 < 2�′
1
4 <
1
2 �′ 1
D．
1
2 �′ 1 < 2�′
1
4 < �′
1
2
4．（2026·四川成都·一模）函数��= �+ sin�的图象在点
π
2 , �
π
2
处的切线方程为（
）
A．�+ �−π −1 = 0
B．�+ �−1 = 0
C．�−�+ 1 = 0
D．�−�= 0
5．（2026·山东聊城·模拟预测）若曲线�= �2 + 5 在�= 2 处的切线与曲线�= ln�+ 3�+ �（�为常数）相
切，则�=（
）
A．3
B．0
C．2
D．1
6．（2026·甘肃白银·二模）已知函数�(�) = ln(�−1) + 1 在点(2,1)处的切线方程为（
）
A．�+ �+ 1 = 0 B．�−�+ 1 = 0
C．�−�−1 = 0
D．�+ �−1 = 0
7．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数��=
ln�
�+�，曲线�= ��在点1, �1
处的切线与直线2�−�= 0
平行，则实数�的值为（
）
A．−
1
2
B．−
1
4
C．
1
2
D．1
8．（2026·湖南长沙·模拟预测）若曲线�= e�+�与�= ln �+ �+ 1 有公共的切线，则�−�的最大值为（
）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
二、填空题
9．（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数��= �4 + ��2 + 2025，若�′ −2 = 5，则�′ 2 =___________．
10．（2026·四川巴中·三模）已知函数�(�) = �−3ln�(�> 0)，若函数�= �(�)在点(1, �(1))处的切线方程
为___________.
11．（2026·吉林长春·模拟预测）若函数��= �2 + ��+ 1 e�在�= 0 处的切线与直线2�−�+ 2 = 0 平
行，则实数�=___________.
12．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）设�≠0，若曲线��= �ln �−1 在点2, �2
处的切线也是曲线��=
e��−2的切线，则�=___________．
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一、单选题
1．（2026·宁夏石嘴山·三模）已知函数�(�) = ��2 + 1(�> 0), �(�) = ln�，若曲线�= �(�)与�= �(�)有两
条公切线，则�的取值范围是（
）
A．(0,
1
2e3 )
B．(
1
2e3 ,
1
2e )
C．(
1
2e3 , + ∞)
D．(
1
2e , + ∞)
2．（2026·山东聊城·三模）已知��是定义域为R 的可导函数，设其导函数为��．若��+ 1 −2�为偶
函数，且��= �4 −�，则
�=1
20 ��
σ
=（
）
A．60
B．40
C．20
D．8
3．（2026·全国·一模）函数�(�) = 4�sin�cos�过原点的切线条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2026·陕西汉中·模拟预测）已知��1, �1 , ��2, �2 为曲线�= e�上两个不同的点，曲线�= e�在点�, �
处的切线相交于点��0, �0 ，且这两条切线的斜率之积为1，则
�0+1
�0 −
�2
4 的最小值为（
）
A．
ln2
2
B．
2
2
C．e
D．
ln2
4
二、解答题
5．（2026·浙江·模拟预测）已知函数��=
e�
�−
1
�−ln�（e 为自然对数的底数，e ≈2.71828）
(1)求��在�= 1 处的切线方程；
(2)求��的最小值；
(3)若对任意�∈0, + ∞，不等式��≥��+ 1 恒成立，求实数�的取值范围.（�表示不超过实数�的最
大整数）
6．（2026·陕西渭南·三模）已知函数��= e��−1 −��．
(1)当�= 1 时，曲线�= ��的一条切线方程为�= �+ �，求实数�的值；
(2)求函数��的单调区间；
(3)若对任意�> 0，��+ ��−ln
�
�≥�恒成立，求实数�的最小值．
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7．（2026·山东济宁·三模）设函数��= �ln �+ 1 + �e�−1．
(1)当�= 1 时，求��在点1, �1
处的切线方程；
(2)若函数��存在零点�1，且�1 > 0．
（ⅰ）求实数�的取值范围；
（ⅱ）设�0为��的极值点，证明：2�0 > �1．
8．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数��= �2 −��ln�，其中�∈�．
(1)当�= e 时，求曲线�= ��在点1, �1
处的切线方程；
(2)若��≥0 在区间0, + ∞上恒成立，求�的取值范围；
(3)若��在区间0, + ∞上存在两个零点�1, �2，证明：ln�1 ⋅ln�2 < 1．
一、单选题
1．（2026·全国一卷·高考真题）曲线�= 5�+ 8ln�在点(1,5)处的切线方程为（
）
A．�= 3�+ 2
B．�= 5�
C．�= 8�−3
D．�= 13�−8
2．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数��=
e�+2sin�
1+�2 ，则曲线�= ��在点0,1 处的切线与两坐标轴所围
成的三角形的面积为（
）
A．
1
6
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
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二、填空题
3．（2025·全国一卷·高考真题）若直线�= 2�+ 5 是曲线�= e�+ �+ �的一条切线，则�=_________.
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线�= e�+ �在点(0,1)处的切线也是曲线�= ln(�+ 1) + �的切线，则
�=__________.
三、解答题
5．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数��= �e�+ ��+ �，曲线�= ��在点0, �0
处的切线方程为�=
−2�+ 1．
(1)求�，�；
(2)当�> 0 时，��+ �−��> �，求�的取值范围；
(3)当�> 0 时，��+ �+ ��−�> 2��，求�的最小值．
6．（2026·天津·高考真题）已知�(�) = e�−
2
3 sin�．
(1)求曲线�= �(�)在点(0, �(0))处的切线方程；
(2)当�∈−
1
3 , + ∞时，证明�(�) ≥1 +
�
3；
(3)求实数�的最大可能值，使得�(
1
1 ) ⋅�(
1
2 ) ⋅�(
1
3 )⋯�(
1
�) ≥(�+ 1)�对任意的�∈N∗都成立．
7．（2026·北京·高考真题）设函数��= �2 + ��−4e��−1 �∈�，曲线�= ��在点−1, �−1
处的切
线方程为4�+ e2�+ e2 + 8 = 0．
(1)求�，�的值；
(2)求��的极值点个数；
(3)求�= ��−1 �> 0 与��交点个数．
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8．（2026·上海·高考真题）已知�∈R，函数��= �2 + ��+ 3，��= 4�+
1
�2．
(1)已知�1 = 4，求��+
1
�2 > ��的解集；
(2)已知�≠0，�1是��在点0,3 处的切线，�2是过点0,3 且垂直于�1的直线，��与�1、�2在第一象限内均
无公共点，求�的取值范围．
9．（2026·上海·高考真题）已知函数��= sin ��+ �
�> 0,0 < �< π .
(1)当�= 2，�
π
12 = 0，求函数��在�= 0 处的切线方程；
(2)若函数��的最小正周期为3π，且��=
2
2 在�∈0,2026π 上恰好有1351 个解，求�的取值范围.
10．（2025·天津·高考真题）已知函数�(�) = ��−(ln�)2
(1)�= 1 时，求�(�)在点(1, �(1))处的切线方程；
(2)�(�)有3 个零点，�1, �2, �3且�1 < �2 < �3 .
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明ln�2 −ln�1 ⋅ln�3 <
4e
e−1．
11．（2025·北京·高考真题）已知函数�(�)的定义域是−1, + ∞, �0 = 0，导函数�′ �=
ln 1+�
1+�，设�1是曲
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线�= ��在点�(�, �(�))(�≠0)处的切线．
(1)求�′(�)的最大值；
(2)当−1 < �< 0 时，证明：除切点A 外，曲线�= �(�)在直线�1的上方；
(3)设过点A 的直线�2与直线�1垂直，�1，�2与x 轴交点的横坐标分别是�1，�2，若�> 0，求
2�−�2−�1
�2−�1 的取值范
围．
12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数�(�) = e�−��−�3．
(1)当�= 1 时，求曲线�= �(�)在点1, �(1) 处的切线方程；
(2)若�(�)有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
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