专题4.5 三角恒等变换（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)会推导两角差的余弦公式
(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式
(3)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用
(4)能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，
并进行简单的恒等变换
高考真题
考点
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统计
三角恒等变
换
新课标I 卷：第4 题，
5 分
新课标Ⅱ卷：第13 题，
5 分
全国甲卷（文数）：第
9 题，5 分
全国甲卷（理数）：第
8 题，5 分
全国一卷：第11 题，6
分
全国二卷：第8 题，5
分
全国二卷：第7 题，5
分
全国二卷：第17 题
（1），6 分
北京卷：第16 题（1），
5 分
天津卷：第16 题（3），
5 分
命题规律
分析
1、三角恒等变换
三角恒等变换是三角函数的重要工具，是高考数学的热点、重点内容。
从近三年的高考情况来看，高考对三角恒等变换的考查较为稳定，考查内容、
频率、题型、难度均变化不大，主要有三大考查方向：①两角和与差的三角
函数公式与二倍角的化简求值；②辅助角公式统一函数名，研究三角函数的
性质；③三角恒等变换与三角函数、解三角形、平面向量的综合应用。
从近三年的高考考情来看，三角恒等变换在选择题、填空题、解答题中
都有考查，在选择题、填空题中主要考查：和差角公式、二倍角公式的直接
化简求值，辅助角公式的应用这两大方向，试题难度中等或偏下；在解答题
中三角恒等变换不会单独考查，三角恒等变换往往与三角函数、解三角形等
知识结合考查，此时试题难度中等，复习时需要同学学会熟练运用公式，灵
活变换。
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知识点1
两角和与差的三角函数公式
1．两角和与差的余弦公式
(1)两角差的余弦公式
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对于任意角α，β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
(2)两角和的余弦公式
对于任意角α，β有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
(3)两角和与差的余弦公式的记忆技巧
两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.
2．两角和与差的正弦公式
(1)两角和与差的正弦公式的结构特征
(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.
3．两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式的结构特征
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
知识点2
二倍角公式
1．二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
函数
公式
β=α
简记符号
正弦
sin2α =2sinαcosα
S(α+β)
S2α
余弦
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
C(α+β)
C2α
正切
T(α+β)
T2α
2．二倍角公式的变形应用
(1)倍角公式的逆用
①
：
，
，
.
②
：
.
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③
：
.
(2)配方变形
.
(3)因式分解变形
.
(4)升幂公式
；
.
知识点3
简单的三角恒等变换
1．辅助角公式
通过应用公式
[或
]将形如
asinα+bcosα (a,b 都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数
[或
].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三
角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
2．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为
突出.
常用的角的代换形式：
①α=(α+β)-β；
②α=β-(β-α)；
③
；
④
；
⑤
；
⑥
.
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要
特别注意的是“1”的代换.
知识点4
三角恒等变换的应用技巧
1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如
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和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓
展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
3．辅助角公式的运用技巧
对asinx+bcosx 化简时，辅助角的值如何求要清楚.
4．角的变换问题的解题策略：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所
求角”变成“已知角”.
(3)常见的角变换：
，
，
，
，
等.
知识点5
三角恒等变换几类问题的解题策略
1．给值求值型问题的解题思路
给值求值型问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出
相应角的三角函数值，代入即可.
2．给角求值型问题的解题思路
给角求值型问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之
间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而
得解.
3．给值求角型问题的解题思路
给值求角型问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4．三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为
f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解
决相关问题.
【方法技巧与总结】
1．
.
2．降幂公式：
，
.
3．
，
，
.
【题型1
两角和与差的三角函数公式】
【例1】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）若sin �+ �=
1
3，tan�+ tan�= 2，则cos�cos�=（
）
A．
1
12
B．
1
6
C．
1
3
D．
2
3
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【变式1-1】（2026·甘肃白银·三模）已知点1, −2 是角�终边上的一点，则tan �−
π
4 =（
）
A．
1
3
B．−
1
3
C．3
D．−3
【变式1-2】（2026·广东汕头·二模）tan19° + tan11° +
3
3 tan19°tan11°的值为（
）
A．
3
3
B．
2
2
C．1
D．3
【变式1-3】（2026·安徽·模拟预测）已知cos �−�= sin �+ �，且tan�tan�=
1
2，则tan �+ �=（
）
A．3
B．
1
3
C．−
1
3
D．-3
【题型2
二倍角公式】
【例2】（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知�为锐角，若cos�=
1
4，则sin2�=（
）
A．
15
8
B．
15
15
C．
15
16
D．
1
2
【变式2-1】（2026·云南·模拟预测）若tan�= 2，则cos2�=（
）
A．−
4
5
B．−
3
4
C．−
3
5
D．−
2
5
【变式2-2】（2026·辽宁朝阳·三模）已知sin �+
π
4 =
2
4 ，则sin2�=（
）
A．−
3
4
B．
3
4
C．−
1
4
D．
1
4
【变式2-3】（2026·湖南湘西·三模）已知cos �+ �= 2sin �−�,tan�=−
3
2，则tan2�=（
）
A．-4
B．−
8
15
C．
8
15
D．
16
15
【题型3
三角函数式的化简】
【例3】（2026·河北·模拟预测）化简：
cos40°
1+sin40° =（
）
A．tan25°
B．sin25°
C．tan65°
D．sin65°
【变式3-1】（2026·江西·一模）化简tan35° + tan100° + tan35°tan80° =（
）
A．tan65°
B．−tan65°
C．1
D．−1
【变式3-2】（25-26 高一下·江西南昌·期中）化简：
sin2�−2cos2�
sin �−π
4
=（
）
A．2 2cos�
B．2cos�
C．2sin�
D．sin�
【变式3-3】（2026·重庆·模拟预测）式子
2sin18° 3cos29°−sin29°−1
cos6°+ 3sin6°
化简的结果为（
）
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A．
1
2
B．1
C．2sin9°
D．2
【题型4
给角求值型问题】
【例4】（2026·湖南永州·模拟预测）
3tan10∘−1
sin10∘
的值为（
）
A．2
B．4
C．−2
D．−4
【变式4-1】（25-26 高一下·四川·期中）计算cos43°sin73° + sin223°cos287° =（
）
A．
1
2
B．
3
2
C．−
1
2
D．−
3
2
【变式4-2】（25-26 高三·全国·一轮复习）
3−4sin20°+8sin320°
2sin20°sin480°
=（
）
A．
2 3
3
B．
3
3
C．
2
3
D．2
【变式4-3】（2026 高三上·安徽六安·专题练习）
1
cos280° −
3
cos210° ⋅
1
cos20°=（
）
A．16
B．32
C．−16
D．−32
【题型5
给值求值型问题】
【例5】（2026·河南开封·模拟预测）已知�+ �=
3π
2 ，若tan�= tan �+
π
4 ，则tan2�=（
）
A．0
B．1
C．−
1
2
D．-1
【变式5-1】（2026·河南开封·模拟预测）已知cos �−�=
3
4，sin�sin�=
1
8，则cos 2�+ 2�=（
）
A．−
1
4
B．
1
4
C．−
1
2
D．
1
2
【变式5-2】
（2026·陕西榆林·模拟预测）若−
π
2 < �−�<
π
2 , 2cos�+ sin�=
2, 2sin�−cos�=−1，则cos �+
π
3 =（
）
A．
3−6
6
B．
6
6
C．
6
3
D．
3+ 6
6
【变式5-3】（2026·江苏南京·模拟预测）若sin �−�=
3
5，cos2�=−
3
5，且�, �都为锐角，则sin �+ �=
（
）
A．−
24
25
B．
13
25
C．
24
25
D．1
【题型6
给值求角型问题】
【例6】（25-26 高三上·湖北荆州·阶段检测）已知�, �∈0,π 且cos�=
5
5 ，cos �+ �=
2
10，则�−�=（
）
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A．
π
4
B．
3π
4
C．−
π
4
D．−
3π
4
【变式6-1】（25-26 高一下·江苏镇江·期末）已知�，�为锐角，tan�=
3
4，cos �+ �=−
2
10，则2�+ �的值
为（
）
A．
3π
4
B．π
C．
5π
4
D．
7π
4
【变式6-2】（2026·广东珠海·模拟预测）设�∈0,
π
2 ，�∈0,
π
2 ，且tan�+ tan�=
1
cos�，则（
）
A．3�−�=
π
2
B．2�−�=
π
2
C．3�+ �=
π
2
D．2�+ �=
π
2
【变式6-3】（25-26 高一下·江苏南京·阶段检测）若
π
4 < �< π < �<
3π
2 ，且cos �+ �=−
2
10，sin2�=
4
5，
则�−�=（
）
A．
π
4
B．
π
2
C．
3π
4
D．π
【题型7
辅助角公式及其应用】
【例7】（2026·山东威海·二模）设函数��=
3sin��−cos���> 0 ，若��= ��+ 2π ，且�= ��
的图象在0,
π
4 上存在对称轴，则�的最小值为（
）
A．
2
3
B．1
C．
8
3
D．3
【变式7-1】（2026·天津河西·三模）已知函数��= 2cos2
��
2
+
3sin ��−1(�> 0)，��图像的对称
中心到相邻的对称轴之间的距离为
π
4，则��在区间−
π
4 ,
π
6 上的最小值为（
）
A．−
3
B．−1
C．−
3
2
D．−2
【变式7-2】（2026·河北·模拟预测）�(�) = sin�+
2cos�在区间[0,π]上的值域为___________．
【变式7-3】（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数��=
3
2 cos4�−
3
2 sin4�+ sin�cos�−
1
2在区间−
π
6 , �
上有且仅有两个零点，则实数�的取值范围为___________．
【题型8
三角恒等变换与三角函数、解三角形综合】
【例8】（2026·江西赣州·二模）记△���的内角�, �, �的对边分别为�, �, �，满足cos�2 +
3cos�+ sin�=
3sin�sin�．
(1)若△���为等腰三角形，求�；
(2)若�=
π
4 , �=
2 �−1 ，求△���的面积．
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【变式8-1】（2026·四川眉山·模拟预测）已知向量�Ԧሬ= sin�,cos�, �Ԧሬ= cos�,
3sin �+
π
2
.设��= �Ԧሬ⋅�Ԧሬ.
(1)求函数�= ��的最小正周期；
(2)记△���的内角�, �, �所对的边分别是�, �, �，已知��=
3, �=
3, △���的面积为3，求�的长.
【变式8-2】（2026·山东潍坊·三模）记△���的内角�, �, �的对边分别为�, �, �，已知sin�=
3sin�sin�−
3cos�cos�．
(1)求�；
(2)若边��上的高为
3 21
7 ，�= 2，求�，�．
【变式8-3】（2026·陕西榆林·三模）已知函数��= 3cos�−
3sin�．
(1)若�∈−
π
6 ,
π
2 ，且��=
2 3
3 ，求sin�的值；
(2)将函数��的图象向右平移
π
3个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐
标不变），得到函数��的图象，求函数��在区间0,π 上的值域．
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一、单选题
1．（2026·陕西榆林·三模）已知tan �+
π
4 =
1
5，则sin2�=（
）
A．
12
13
B．−
12
13
C．
5
7
D．−
5
7
2．（2026·广西·模拟预测）角�的终边与单位圆的交点坐标为
1
2 ,
3
2 ，则cos �−
π
3 =（
）．
A．
1
2
B．
3
2
C．1
D．0
3．（2026·海南三亚·一模）已知
sin�
cos�−sin�=
1
2，则sin 2�+
π
4 =（
）
A．
2
10
B．
7 2
10
C．−
2
10
D．−
7 2
10
4．（2026·陕西咸阳·三模）已知cos
π
4 + �=−
4
5，且
3π
4 < �< π，则tan
7π
8 +
�
2 =(
)
A．2
B．3
C．−2
D．−3
5．（2026·山西忻州·模拟预测）已知tan�+ tan�= 2，且tan �+ �= 3，则tan�tan�=（
）
A．−
1
3
B．
1
3
C．
2
3
D．
4
3
6．（2026·吉林延边·二模）在△���中，角�、�、�的对边分别为�、�、�，满足�cos�−cos�= �+ �cos�，
若sin�=
1
3，则cos �+ �的值为（
）
A．
7
3
B．
7
9
C．−
7
3
D．−
7
9
7．（2026·陕西西安·三模）已知函数��= sin��+
3cos��−
3 �> 0 在0,π 上有三个零点，则�的取
值范围是（
）
A．2, + ∞
B．
7
3 , + ∞
C．2,
7
3
D．2,
7
3
8．（2026·福建南平·二模）已知函数��=
3sin2�+ 2cos2�−1，将函数��的图象向左平移
π
6个单位长
度可得到函数��的图象，则下列结论正确的是（
）
A．函数��的最小正周期为2π
B．函数��的最大值为3
C．函数��是奇函数
D．函数��在区间0,
π
3 上单调递减
二、多选题
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）下列计算结果正确的是（
）
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A．sin75° + cos75° =
6
2
B．tan10° + tan50° + tan10°tan50°tan60° = 2 3
C．
1+tan15°
1−tan15° +
2tan15°
tan45°+tan15°tan165° =
4 3
3
D．
1+tan415°
1−tan415° =
3
2
10．（2026·安徽滁州·三模）已知�∈
π
2 ,π ，�∈0,
π
2 ，且cos2�=
7
25，tan�=
12
5 ，则（
）
A．tan�=−
3
4
B．sin�−cos�=−
1
5
C．sin �+ �=−
33
65
D．
sin2�+4cos2�
sin2�−4cos2�=
1
5
11．（2026·山东·模拟预测）已知函数��= sin ��−
π
6 −cos��0 < �< 3 的一个零点是
π
6，函数��=
��+
π
6 ，则（
）
A．��在区间0,
π
4 上的值域为−
3
2 ,
1
2
B．��=
3sin2�
C．若方程��= ��的相邻的两根分别为�，�，则�−�=
π
2
D．函数ℎ�= �
�
2 −
π
12 + ��+
π
4
的最大值为2 3
三、填空题
12．（2026·河北秦皇岛·一模）已知sin �+
π
6 = cos�，则tan2�= __________.
13．（2026·浙江·二模）已知
cos2�
1+sin2�=
1
2，则tan2�=__________.
14．（2026·山东·模拟预测）若函数��= sin �+ �+ cos �+ �为偶函数，则�的最小值为___________.
四、解答题
15．
（2026·河北秦皇岛·二模）在△���中，内角�, �, �所对的边分别为�, �, �，且3�sin �+ �−�cos�−�=
0.
(1)求�；
(2)若�= 2，�=
7，�为��的中点，求��的长.
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16．（2026·广西·模拟预测）在三角形ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且�sin�+
3�cos�= 0．
(1)求角A；
(2)若�= 2 3，cos�=
21
7 ，求边c 的长．
17．（2026·重庆万州·三模）已知函数��= 2 3sin�cos −�−cos2�.
(1)求曲线�= ��的对称轴方程；
(2)若关于x 的方程���+ 1 = 0 (�> 0)在[0, �]上恰有2 个解，求a 的取值范围.
18．（2026·四川成都·模拟预测）已知�Ԧሬ=
3sin�, −cos�，�Ԧሬ= cos�, cos�，��= �Ԧሬ⋅�Ԧሬ．
(1)求函数��的解析式及最小正周期；
(2)设△���的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若��=
1
2且�=
3，求△���周长的最大值．
19．（2026·广东广州·三模）已知函数��= sin ��+ �
�> 0, �<
π
2 ，满足对于任意实数�，都有��≤
�
π
12 恒成立，且函数��相邻两个零点的距离是
π
2.
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(1)求��的解析式和单调递增区间；
(2)若�0 ∈
π
12 ,
π
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