专题4.9 函数y=Asin(ωx+φ)（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω,φ,A 的意义，
了解参数的变化对函数图象的影响
(2)会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化
的数学模型
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
函数
y=Asin(ωx+φ)
北京卷：第8 题，5 分
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命题规律
分析
1、函数y=Asin(ωx+φ)
函数y=Asin(ωx+φ)是三角函数的重要内容，也是高考的热点内容。从近
三年的高考情况来看，高考对函数y=Asin(ωx+φ)的考查比较稳定，主要有两
大考查方向：①函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换；②由部分图象求函数的解析
式；试题主要以选择题、填空题的形式呈现，难度不大，复习时要学会掌握
三角函数的图象变换规律。
知识点1
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
1．函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图：用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z 取
来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法：由函数y=sin x 的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”
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与“先伸缩后平移”.
2．三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
3．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧
研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
知识点2
由部分图象确定函数解析式的解题方法
1．由部分图象确定函数解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A 比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，
常用如下两种方法：
(1)如果图象明确指出了周期T 的大小和“零点”坐标，那么由
即可求出ω；确定φ时，若能求出离
原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标
，则令
即可求出φ.
(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，
ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
知识点3
三角函数模型
1．函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意义
在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数
中的常数有关.
振幅
振幅A 是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离
周期
，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间
频率
，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数
相位
ωx+φ称为相位
初相
x =0 时的相位φ称为初相
2．三角函数模型
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问
题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【方法技巧与总结】
1．函数y=Asin(ωx+φ)+k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2．由y= sinωx 到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移
个单位长度而非φ个单位长度.
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【题型1
三角函数的图象变换】
【例1】（2026·陕西咸阳·一模）为了得到函数�= sin2�的图象，只需将函数�= sin 2�−
π
6 的图象（
）
A．向左平移
π
12个单位
B．向右平移
π
12个单位
C．向左平移
π
6个单位
D．向右平移
π
6个单位
【答案】A
【解题思路】根据三角函数的图象变换规则进行选择.
【解答过程】因为�= sin2�= sin 2 �+
π
12 −
π
6 ，
所以将�= sin 2�−
π
6 的图象向左平移
π
12个单位，可得函数�= sin2�的图象.
故选：A.
【变式1-1】（2026·四川眉山·二模）为了得到函数�= sin2�的图象，只需将函数�= sin 4�+
π
6 的图象上所
有的点（
）
A．先将横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再向右平移
π
12个单位长度
B．先将横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再向左平移
π
12个单位长度
C．先将横坐标缩短到原来的
1
2倍，纵坐标不变，再向左平移
π
12个单位长度
D．先将横坐标缩短到原来的
1
2倍，纵坐标不变，再向右平移
π
12个单位长度
【答案】A
【解题思路】根据三角函数的图象变换规则进行判断.
【解答过程】A 选项，先将横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到�= sin 2�+
π
6 ，
再向右平移
π
12个单位长度，得到�= sin 2 �−
π
12 +
π
6 = sin2�，A 正确；
B 选项，先将横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到�= sin 2�+
π
6 ，
再向左平移
π
12个单位长度，得到�= sin 2 �+
π
12 +
π
6 = sin 2�+
π
3 ，B 错误；
C 选项，先将横坐标缩短到原来的
1
2倍，纵坐标不变，得到�= sin 8�+
π
6 ，
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再向左平移
π
12个单位长度，得到�= sin 8 �+
π
12 +
π
6 = sin 8�+
5π
6 ，C 错误；
D 选项，先将横坐标缩短到原来的
1
2倍，纵坐标不变，得到�= sin 8�+
π
6 ，
再向右平移
π
12个单位长度，得到�= sin 8 �−
π
12 +
π
6 = sin 8�−
π
2 ，D 错误；
故选：A.
【变式1-2】（2026·湖北恩施·模拟预测）要得到函数�= sin 2�+
π
4 的图象，只要将函数�= cos 2�−
5π
6
的图象（
）
A．向右平移
7π
12个单位
B．向左平移
7π
12个单位
C．向右平移
7π
24个单位
D．向左平移
7π
24个单位
【答案】D
【解题思路】先利用诱导公式将�= cos(2�−
5π
6 )化成�= sin(2�−
π
3 )，再利用平移变换即得结果.
【解答过程】因为�= cos 2�−
5π
6
= cos(2�−
π
3 −
π
2 ) = sin 2�−
π
3 ，
由�= sin(2�−
π
3 )向左平移
7π
24，即得�= sin[2(�+
7π
24 ) −
π
3 ]=sin(2�+
π
4 ).
故选：D.
【变式1-3】（2026·湖南·模拟预测）函数�= sin 2�−
π
3 的图象可以由（
）
A．�= sin�的图象向右平移
π
6个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变）得
到
B．�= sin�的图象向左平移
π
3个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）得
到
C．�= sin�的图象上各点的横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变），再向右平移
π
6个单位长度得到
D．�= sin�的图象上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），再向左平移
π
3个单位长度得到
【答案】C
【解题思路】根据三角函数的变换规则一一判断即可.
【解答过程】对于A：将�= sin�的图象向右平移
π
6个单位长度得到�= sin �−
π
6 ，
再将�= sin �−
π
6 各点的横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变）得到�= sin 2�−
π
6 ，故A 错误；
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对于B：将�= sin�的图象向左平移
π
3个单位长度得到�= sin �+
π
3 ，
再将�= sin �+
π
3 各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）得到�= sin
1
2 �+
π
3 ，故B 错误；
对于C：�= sin�的图象上各点的横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变）得到�= sin2�，
再将�= sin2�向右平移
π
6个单位长度得到�= sin2 �−
π
6 = sin 2�−
π
3 ，故C 正确；
对于D：�= sin�的图象上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）得到�= sin
1
2 �，
再将�= sin
1
2 �向左平移
π
3个单位长度得到�= sin
1
2 �+
π
3 = sin
1
2 �+
π
6 ，故D 错误.
故选：C.
【题型2
求图象变化前（后）的解析式】
【例2】（2026·江西赣州·二模）将函数��= sin 2�+ �(0 < �< π)图象上的所有点向左平移
π
6个单位后，
得到的函数图象关于点
π
4 ,0 中心对称，则�=（
）
A．
5π
6
B．
2π
3
C．
π
3
D．
π
6
【答案】D
【解题思路】先求得平移后的函数解析式�= sin 2�+
π
3 + �(0 < �< π)，再结合对称中心求解即可.
【解答过程】函数��= sin 2�+ �(0 < �< π)图象上的所有点向左平移
π
6个单位得：
�= sin 2 �+
π
6 + �= sin 2�+
π
3 + �(0 < �< π)，
此函数图象关于点
π
4 , 0 中心对称，
所以2 ×
π
4 +
π
3 + �= �π,�∈�，即�=−
5π
6 + �π,�∈�，
因为0 < �< π，所以�= 1，�=
π
6.
故选：D.
【变式2-1】（2026·山东青岛·一模）把函数�= �(�)图像上所有点的横坐标扩大为原来的2 倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移
π
3个单位长度，得到函数�= sin�的图像，则�(�) =（
）
A．cos 2�−
π
6
B．sin 2�−
π
3
C．cos
1
2 �−
π
6
D．sin
1
2 �−
π
3
【答案】A
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【解题思路】根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可.
【解答过程】函数�= sin�的图像向左平移
π
3个单位长度，得到�= sin �+
π
3 .
所有点的横坐标缩小为原来的
1
2，纵坐标不变，得到�= sin 2�+
π
3 .
又�= sin 2�+
π
3 = cos 2�+
π
3 −
π
2 = cos 2�−
π
6 ，所以��= cos 2�−
π
6 .
故选：A.
【变式2-2】（2026·四川泸州·一模）把函数�= sin 2�+
π
3 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐
标不变，再把所得图象向右平移
π
3个单位长度，得到图象对应的解析式为（
）
A．�=−sin4�
B．�= sin �−
π
6
C．�= sin �+
2π
3
D．�= sin�
【答案】D
【解题思路】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终
得出函数解析式．
【解答过程】若把函数�= sin 2�+
π
3 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，
则需将�替换为
�
2，即�= sin 2 ⋅
�
2 +
π
3 = sin �+
π
3 ，
再把所得图象�= sin �+
π
3 向右平移
π
3个单位长度，则需将�替换为�−
π
3，
即�= sin
�−
π
3 +
π
3 = sin�，
∴最终得到的函数解析式为�= sin�，故D 正确．
故选：D．
【变式2-3】（2026·湖北襄阳·一模）把函数�= ��图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向左平移
�
3个单位长度，得到函数�= sin
�
2 −
�
12 的图象，则��=（
）
A．sin
�
2 −
7�
12
B．sin �+
�
4
C．sin 2�−
7�
12
D．sin �−
�
4
【答案】D
【解题思路】根据函数图像平移和伸缩的性质即可求解.
【解答过程】把函数�= sin
�
2 −
�
12 图象向右平移
�
3个单位长度，得到�= sin
�−π
3
2 −
�
12 = sin
1
2 �−
π
4 ，再将
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�= sin
1
2 �−
π
4 图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2倍，纵坐标不变，得到��= sin �−
�
4 .
故选：D.
【题型3
由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】
【例3】（2026·四川自贡·三模）已知函数��= �sin ��+ �
�> 0, �> 0, �<
π
2 的部分图象如图所示，
下列说法正确的是（
）
A．函数�= ��的图象关于直线�=−
π
6对称
B．函数�= ��的图象关于点−
5π
12 , 0 对称
C．函数�= ��在−
2π
3 , −
π
6 上单调递减
D．当�∈0,
π
4 时，��∈1,2
【答案】D
【解题思路】根据函数图象，求出函数�(�)的解析式，代入检验法可判断AB；根据正弦函数的单调性可判断
C，根据三角函数的值域可判断D.
【解答过程】由图知�= 2，
�
4 =
π
3 −
π
12 =
π
4，
所以�=
2π
�= π，解得�= 2，
�(�)过点
π
12 , 2 ，所以2sin(2 ×
π
12 + �) = 2，
即sin(
π
6 + �) = 1，又�<
π
2，所以�=
π
3，
所以�(�) = 2sin 2�+
π
3 ，
对于A：�( −
π
6 ) = 2sin −
π
3 +
π
3 = 0，
所以函数�= ��的图象关于点−
π
6 , 0 对称，故A 错误；
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对于B：�( −
5π
12 ) = 2sin −
5π
6 +
π
3 =−2，
所以函数�= ��的图象关于直线�=−
5π
12对称，故B 错误；
对于C：
π
2 + 2�π ≤2�+
π
3 ≤
3π
2 + 2�π, �∈Z，
π
6 + 2�π ≤2�≤
7π
6 + 2�π, �∈Z，
所以
π
12 + �π ≤�≤
7π
12 + �π, �∈Z，
取�=−1，得−
11π
12 ≤�≤−
5π
12，
函数�= ��在−
2π
3 , −
5π
12 上单调递减，故C 错误；
对于D：�∈0,
π
4 ，所以2�∈0,
π
2 ，所以2�+
π
3 ∈
π
3 ,
5π
6 ，
所以sin(2�+
π
3 ) ∈
1
2 , 1 ，所以�(�) ∈1,2 ，故D 正确.
故选：D.
【变式3-1】（25-26 高三上·广东佛山·期中）已知函数��= �sin ��+ �的图象如图所示，则��的表达
式可以为（
）
A．��= 2cos 2�−
π
6
B．��= 2cos 2�−
7π
6
C．��= sin 2�−
5π
3
D．��= 2sin �−
7π
12
【答案】A
【解题思路】根据振幅可确定�，根据周期可确定�，进而根据最高点
13π
12 ，2 确定�= −
13π
6 +
π
2 + 2�π,�∈Z，
代入��中化简即可求解.
【解答过程】由图可知：�= 2,
3
4 �=
13π
12 −
π
3 ⇒�= π ⇒�=
2π
�= 2,
��经过最高点
13π
12 ，2 ，故2 ×
13π
12 + �=
π
2 + 2�π,�∈Z,故�= −
13π
6 +
π
2 + 2�π,�∈Z，
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所以��= 2sin 2�−
13π
6 +
π
2 + 2�π = 2sin 2�−
π
6 +
π
2 = 2cos 2�−
π
6 ．
故选：A．
【变式3-2】（2026·广东·模拟预测）已知函数��= sin ��+ �的部分图象大致如图所示，则�π =（
）
A．0
B．
1
2
C．−
1
2
D．−
3
2
【答案】D
【解题思路】要解决这个问题，我们需要根据函数��= sin ��+ �的图象求出�和�，进而求出�π 的值.
【解答过程】因为��的图象过点0,
3
2 ，所以sin�=
3
2 ，
由图可知，点0,
3
2 在减区间内，所以�=
2π
3 + 2�π, �∈�．
因为��的图象过点
π
3 , 0 ，所以sin
π
3 �+
2π
3 + 2�π = sin
π
3 �+
2π
3
= 0，
由图可知，点
π
3 , 0 在减区间内，所以
π
3 �+
2π
3 = π + 2�π, �∈�，即�= 1 + 6�, �∈�．
因为
�
4 =
π
2 �>
π
3，所以�<
3
2，所以�= 1，
所以��= sin �+
2π
3 + 2�π = sin �+
2π
3 ，所以�π = sin π +
2π
3
=−sin
2π
3 =−
3
2 .
故选：D.
【变式3-3】（2026·天津红桥·一模）已知函数��= �sin ��+ �+ ��> 0, �> 0, �<
π
2 的部分图象如
图所示，则下列正确个数有（
）
①��关于点
π
6 , 3 对称；
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②��关于直线�=
π
3对称；
③��在区间
π
2 ,
5π
6 上单调递减；
④��在区间−
5π
12 ,
π
12 上的值域为1,3 ；
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【解题思路】先根据函数的图象确定函数的解析式，在逐项判断即可.
【解答过程】由函数的图象可知：�=
5−1
2 = 2，�=
5+1
2 = 3.
因为�0 = 2 ⇒2sin�+ 3 = 2 ⇒sin�=−
1
2，又�<
π
2，所以�=−
π
6.
因为�−
π
6 = 1 ⇒2sin −
�π
6 −
π
6 + 3 = 1 ⇒sin −
�π
6 −
π
6 =−1，
所以−
�π
6 −
π
6 =−
π
2 + 2�π，�∈Z.所以�= 2 −12�，�∈Z.
由图象可知：
�
2 >
π
6 ⇒�>
π
3，即
2π
�>
π
3 ⇒�< 6.
所以当�= 0 时，�= 2.
所以��= 2sin 2�−
π
6 + 3.
对①：因为�
π
6 = 2sin 2 ×
π
6 −
π
6 + 3 = 4，所以��的图象不关于
π
6 , 3 对称，①错误；
对②：因为�
π
3 = 2sin 2 ×
π
3 −
π
6 + 3 = 5，所以��的图象关于直线�=
π
3对称，②正确；
对③：当�∈
π
2 ,
5π
6 时，2�−
π
6 ∈
5π
6 ,
3π
2 ，因为�= sin�在
5π
6 ,
3π
2 上单调递减，所以函数��在
π
2 ,
5π
6 上单调
递减，③正确；
对④：当�∈−
5π
12 ,
π
12 时，2�−
π
6 ∈−π, 0 ，所以sin 2�−
π
6 ∈−1,0 ，所以��∈1,3 ，④正确.
故选：C.
【题型4
三角函数图象、性质的综合应用】
【例4】（2026·天津南开·二模）若把函数��= sin2�+ �cos2�的图象向左平移
π
3个单位后得到的是一个偶
函数，则��在区间−
π
12 ,
5π
12 上的最小值为（
）
A．−2
B．−
2 3
3
C．−1
D．0
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【答案】C
【解题思路】运用辅助角公式进行整理，然后平移，根据奇变偶不变，符号看象限求出辅助角，然后求得参
数�，最后求解最小值.
【解答过程】因为��= sin2�+ �cos2�=
1 + �2sin 2�+ �，其中tan�= �，
又因为函数��的图象向左平移
π
3个单位为偶函数，
即��+
π
3 =
1 + �2sin 2�+
2π
3 + �为偶函数，
所以
2π
3 + �=
π
2 + �π, �∈�，解得�=−
π
6 + �π, �∈�，
所以�= tan�= tan −
π
6 + �π = tan −
π
6 =−
3
3 ，
所以��=
2 3
3 sin 2�−
π
6 ，
当�∈−
π
12 ,
5π
12 ，即2�−
π
6 ∈−
π
3 ,
2π
3 ，所以sin 2�−
π
6 ∈−
3
2 , 1 .
所以��min =
2 3
3 × −
3
2
=−1.
故选：C.
【变式4-1】（2026·吉林白山·模拟预测）将函数��图像上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，
再将图像沿x 轴向左平移
π
6个单位长度，得到��= sin �+
π
3 ，则下列结论正确的是（
）
A．��的最小正周期为π
B．��在0,
π
4 上单调递减
C．��图像关于直线�=
π
12对称
D．��图像关于点
π
6 , 0 对称
【答案】A
【解题思路】利用逆向变换求出��的解析式，利用三角函数的周期公式、单调区间判断选项A、B，根据
对称轴与对称中心的性质判断C、D.
【解答过程】将��沿x 轴向右平移
π
6个单位长度，横坐标变为原来的
1
2，
可得��= sin(2�+
π
6 ).
选项A，�(�)的�= 2，最小正周期�=
2π
�= π，A 正确；
选项B，当�∈(0,
π
4 )时，2�+
π
6 ∈(
π
6 ,
2π
3 )，sin�在(
π
6 ,
π
2 )单调递增，
在(
π
2 ,
2π
3 )单调递减，故�(�)在(0,
π
4 )不是单调递减，B 错误；
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选项C，正弦函数对称轴处函数值为±1，代入�=
π
12：
�(
π
12 ) = sin 2 ⋅
π
12 +
π
6 = sin
π
3 =
3
2 ≠± 1，因此�=
π
12不是对称轴，C 错误；
选项D，正弦函数对称中心处函数值为0，代入�=
π
6：
�(
π
6 ) = sin 2 ⋅
π
6 +
π
6 = sin
π
2 = 1 ≠0，因此(
π
6 , 0)不是对称中心，D 错误.
故选：A．
【变式4-2】
（2026·四川绵阳·一模）函数��= sin ��+ �
�> 0,
π
2 < �< π 的最小正周期为π，且�
π
2
=−
3
2 .
(1)求��的解析式；
(2)将函数��的图象向右平移
π
6个单位后得到函数��的图象，求函数��在区间0,
π
2 上的值域.
【答案】(1)��= sin 2�+
2π
3
(2) −
3
2 , 1
【解题思路】（1）根据周期公式得�= 2，进而由�
π
2
=−
3
2 得sin�=
3
2 ，再根据
π
2 < �< π即可求得答案；
（2）根据函数图象平移得��= sin 2�+
π
3 ，再根据三角函数的性质求值域即可.
【解答过程】（1）解：因为函数��= sin ��+ �
�> 0,
π
2 < �< π 的最小正周期为π，
所以
2π
�= π，解得�= 2，
因为�
π
2
=−
3
2 ，
所以�
π
2
= sin π + �=−sin�=−
3
2 ，即sin�=
3
2 ，
因为
π
2 < �< π，所以�=
2π
3 ，
所以，��= sin 2�+
2π
3
（2）解：因为函数��的图象向右平移
π
6个单位后得到函数��的图象
所以��= sin 2 �−
π
6 +
2π
3
= sin 2�+
π
3 ，
因为�∈0,
π
2 ，所以2�+
π
3 ∈
π
3 ,
4π
3 ，
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所以，当2�+
π
3 =
π
2，即�=
π
12时，��有最大值1；
当2�+
π
3 =
4π
3 ，即�=
π
2时，��有最小值−
3
2 ；
所以，函数��在区间0,
π
2 上的值域为−
3
2 , 1 .
【变式4-3】（2026·辽宁大连·一模）已知函数�(�) = 2sin 2�+
π
6 + �，当�∈[0,π]时，�(�)的最小值为−1．
(1)求函数�(�)在区间[ −�, �]内的零点个数；
(2)将函数�(�)的图象向左平移
π
4个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到函数�(�)的图象，求�(�)的值
域和单调区间．
【答案】(1)4
(2)值域为[ −2,2]，递增区间为−
7π
12 + �π, −
π
12 + �π (�∈�)，递减区间为−
π
12 + �π,
5π
12 + �π (�∈�)
【解题思路】（1）先由给定区间的最小值确定参数m，再解三角函数零点个数即可；
（2）通过平移变换得到余弦函数，再使用整体代入法求得�(�)的值域与单调区间.
【解答过程】（1）函数�(�) = 2sin 2�+
π
6 + �，当�∈[0,π]时，2�+
π
6 ∈
π
6 ,
13π
6 ，
则当2�+
π
6 =
3π
2 ，即�=
2π
3 时，�(�)min =−2 + �，即−2 + �=−1，
解得�= 1，故�(�) = 2sin 2�+
π
6 + 1，
当�∈[ −π,π]时，2�+
π
6 ∈−
11π
6 ,
13π
6 ，由�(�) = 0，得sin 2�+
π
6 =−
1
2，
则2�+
π
6 ∈−
5π
6 , −
π
6 ,
7π
6 ,
11π
6
，所以�∈−
π
2 , −
π
6 ,
π
2 ,
5π
6 ，
因此函数�(�)在区间[ −�, �]内的零点个数为4．
（2）依题意，�(�) = ��+
π
4 −1 = 2sin 2 �+
π
4 +
π
6 + 1 −1 = 2cos 2�+
π
6 ，
因此函数�(�)的值域为[ −2,2]；
由−π + 2�π ≤2�+
π
6 ≤2�π，�∈�，解得−
7π
12 + �π ≤�≤−
π
12 + �π，�∈�，
由2�π ≤2�+
π
6 ≤π + 2�π，�∈�，解得−
π
12 + �π ≤�≤
5π
12 + �π，�∈�，
所以函数�(�)的单调递增区间为−
7π
12 + �π, −
π
12 + �π (�∈�)，
单调递减区间为−
π
12 + �π,
5π
12 + �π (�∈�)．
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【题型5
三角函数模型】
【例5】（2026·江西南昌·模拟预测）已知两个电流（单位：安）瞬时值与线圈旋转的时间�(单位：秒)的函
数解析式分别是�1 = 2sin(10π�−
π
6 ), �2 = 4sin(10π�+
π
6 )，记它们合成后的电流�= �1 + �2 = �(�)，则函数
�(�)的周期是（
）
A．
π
5
B．
2π
5
C．
1
5
D．
2
5
【答案】C
【解题思路】使用辅助角公式化简�(�)，再利用正弦型函数周期公式计算即可.
【解答过程】�1 = 2sin(10π�−
π
6 ) = 2
3
2 sin10π�−
1
2 cos10π�=
3sin10π�−cos10π�，
�2 = 4sin(10π�+
π
6 ) = 4
3
2 sin10π�+
1
2 cos10π�= 2 3sin10π�+ 2cos10π�，
�(�) = �1 + �2 = 3 3sin10π�+ cos10π�=
3 3
2 + 12sin(10π�+ �) = 2 7sin(10π�+ �)，
其中tan�=
1
3 3 =
3
9 ，则�(�)的周期�=
2π
10π =
1
5.
故选：C.
【变式5-1】（25-26 高三上·湖南长沙·期末）某地区2024 年全年月平均温度�（单位：℃）与月份�之间近似
满足�= �sin
π
6 �+ �+ �
�> 0, −π < �< 0 .已知该地区2 月份的月平均温度为−1℃，全年月平均温度
最高的月份为6 月份，且平均温度为32℃，则该地区12 月份的平均温度为（
）
A．−12℃
B．−10℃
C．−9℃
D．−6℃
【答案】A
【解题思路】由题意可得6 ×
π
6 + �= 2�π +
π
2，可求得�=−
π
2，进而根据已知可得�+ �= 32，�−2�= 2，
可求得解析式，进而可求得�= 12 时的函数值，可得结论.
【解答过程】由题意可知，直线�= 6 是曲线�= �sin
π
6 �+ �+ �的一条对称轴，
所以6 ×
π
6 + �= 2�π +
π
2，�∈�，即�= 2�π −
π
2，�∈�.又−π < �< 0，
即�=−
π
2，所以�= �sin
π
6 �−
π
2 + �=−�cos
π
6 �+ �.
因为全年月平均温度的最大值为32℃，所以�+ �= 32①.
又当�= 2 时，�=−1，所以−�cos
π
6 × 2 + �=−1，所以�−2�= 2②.
由①②解得�= 22，�= 10，
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所以�=−22cos
π
6 �+ 10，则当�= 12 时，�=−22cos
π
6 × 12 + 10 =−12℃.
故选：A.
【变式5-2】（25-26 高一下·内蒙古包头·阶段检测）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为20 2m，圆心
角为
π
4的扇形空地���的内部修建一平行四边形观赛场地����，如图所示，则观赛场地的面积最大值为
_____________m2.
【答案】400
2 −1
【解题思路】如图，连接��，设∠���= �，可用�的三角函数值表示��，��，即可得到四边形����的面积，
再根据三角函数的值域的求法即可求解．
【解答过程】如图所示：
连接��，设∠���= �，作��⊥��，��⊥��，垂足分别为�, �．
根据平面几何知识可知，��= ��= ��，��= ��，��= ��．
所以��= 20 2sin�，��= ��−��= 20 2cos�−20 2sin�．
故四边形����的面积�也为四边形����的面积，
即有�= 20 2sin�× 20 2 cos�−sin�= 400 sin2�+ cos2�−1
= 400 2sin 2�+
π
4 −400，其中�∈0,
π
4 ．
所以当sin 2�+
π
4 = 1 即�=
π
8时，�max = 400
2 −1
m2．
故答案为：400
2 −1 ．
【变式5-3】（2026·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如�= �sin��的正弦
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型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本
音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于�= sin
80
�2 + ��+ sin
80
�2 −��的泛音是对应于�= sin
2�
5
的基本音的一个谐波，则正整数�的所有可能取值之和为__________.
【答案】12
【解题思路】由所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，可得到
�1
2�=
2
5�1
2�
�2
2�=
2
5�2
2�
，�1, �2 ∈Z，代入分析整数解，
可得到有限个正整数�的解，一一验证，即可得到符合条件的�.
【解答过程】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以
�1
2�=
2
5�1
2�
�2
2�=
2
5�2
2�
，�1, �2 ∈Z,
∴
80
�2 + �=
2
5 �1
80
�2 −�=
2
5 �2
1 ，两式相加得：
160
�2 =
2
5 �1 + �2 ，∴�2 ⋅�1 + �2 = 400 = 24 × 52，
又∵�1 + �2 ∈Z，且�∈N，�2 ∈N，∴�的可能值为：1，2，4，5，10，20，
一一代入1 式中能同时使�1，�2为整数的�值即为正解；
经检验：�的值为2 和10；
所以正整数�的所有可能取值之和为2 + 10 = 12.
故答案为：12.
【题型6
函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】
【例6】（2026·福建南平·二模）已知函数��=
3sin2�+ 2cos2�−1，将函数��的图象向左平移
π
6个单位
长度可得到函数��的图象，则下列结论正确的是（
）
A．函数��的最小正周期为2π
B．函数��的最大值为3
C．函数��是奇函数
D．函数��在区间0,
π
3 上单调递减
【答案】D
【解题思路】应用二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质判断A、B；再由图象
平移写出��，结合奇函数性质及整体法求区间单调性判断C、D.
【解答过程】由题意得��=
3sin2�+ 2cos2�−1 =
3sin2�+ cos2�= 2sin 2�+
π
6 ，
则��的最小正周期�=
2π
2 = π，最大值为2，故A，B 错误；
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将函数��的图象向左平移
π
6个单位长度可得到函数��的图象，
所以��= 2sin 2 �+
π
6 +
π
6 = 2sin 2�+
π
2 = 2cos2�，定义域为R，但�0 ≠0，故C 错误；
令2�π ≤2�≤π + 2�π, �∈Z，得�π ≤�≤
π
2 + �π, �∈Z，
因为0,
π
3 ⊆0,
π
2 ，所以函数��在区间0,
π
3 上单调递减，故D 正确，
故选：D．
【变式6-1】（2026·天津宝坻·三模）已知函数�(�) =
3sin2��+ cos2��(�> 0)的最小正周期为π，则下列
说法正确的是（
）
A．�= 2
B．将函数�(�)图象向左平移
π
6个单位长度，得到的函数图象恰好关于y 轴对称
C．�(�)关于点
π
6 , 0 对称
D．�(�)在区间−
π
4 ,
π
4 上的最大值为3
【答案】B
【解题思路】先利用辅助角公式化简函数解析式，结合周期公式求出�的值，再逐一验证各选项的正误．
【解答过程】对于A，�(�) = 2sin 2��+
π
6 ，由��的最小正周期为π得2�=
2π
π ，
则�= 1，故A 错误；
对于B，由�(�) = 2sin 2�+
π
6 ，将函数�(�)图象向左平移
π
6个单位长度，
得到�= ��+
π
6 = 2sin 2 �+
π
6 +
π
6 = 2sin 2�+
π
2 = 2cos2�，为偶函数，关于y 轴对称，故B 正确；
对于C，�(
π
6 ) = 2sin 2 ×
π
6 +
π
6 = 2sin
π
2 = 2 ≠0，
则�(�)不关于点
π
6 , 0 对称，故C 错误；
对于D，当�∈−
π
4 ,
π
4 时，2�+
π
6 ∈−
π
3 ,
2π
3 ，则sin 2�+
π
6 ∈−
3
2 , 1 ，即2sin 2�+
π
6 ∈−
3, 2 ，
故�(�)的最大值为2，故D 错误．
故选：B．
【变式6-2】（2026·广东·模拟预测）已知函数��= sin2��+ 2 3cos2��−
3(�> 0)的部分图象如图所示．
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(1)求��的解析式；
(2)把��的图象向右平移
π
12个单位长度，得到函数��，求使��≥−1 成立的�的取值集合．
【答案】(1)��= 2sin 2�+
π
3
(2) �−
π
6 + �π ≤�≤
π
2 + �π
�∈�
【解题思路】（1）首先根据恒等变换公式化简函数解析式，再通过函数过点
7π
6 ,
3 求出�的值，进而求解
出函数解析式；
（2）通过三角函数图像变化求解��的解析式，再通过整体代换的方法求解三角函数不等式即可.
【解答过程】（1）��= sin2��+ 2 3cos2��−
3 = sin2��+
3cos2��= 2sin 2��+
π
3 ，
由图知，��过点
7π
6 ,
3 ，即2sin
7π
3 �+
π
3 =
3，则sin
7π
3 �+
π
3 =
3
2 ，
由图得，
7π
3 �+
π
3 =
2π
3 + 2π，解得�= 1．
所以��= 2sin 2�+
π
3 ．
（2）由题得，��= 2sin 2 �−
π
12 +
π
3 = 2sin 2�+
π
6 ，
由��≥−1，得2sin 2�+
π
6 ≥−1，则sin 2�+
π
6 ≥−
1
2，
所以−
π
6 + 2�π ≤2�+
π
6 ≤
7π
6 + 2�π, �∈�，
解得−
π
6 + �π ≤�≤
π
2 + �π, �∈�，
因此，使��≥−1 成立的�的取值集合是�−
π
6 + �π ≤�≤
π
2 + �π
�∈�．
【变式6-3】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知��= sin �+
π
6 + sin �−
π
6 + cos�+ �的最大值为3.
(1)求常数�的值；
(2)将函数�= ��的图象向右平移
π
3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数�= ��的图象，求��
的单调递增区间.
【答案】(1)1
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(2) −
π
3 + 2�π,
2π
3 + 2�π
�∈Z
【解题思路】（1）根据两角和差的正弦公式及辅助角公式对�= ��进行化简，结合正弦型函数的最值求解
即可.
（2）根据图形的平移变换得到��的解析式，结合正弦型函数的单调性求解即可.
【解答过程】（1）��= sin �+
π
6 + sin �−
π
6 + cos�+ �=
3
2 sin�+
1
2 cos�+
3
2 sin�−
1
2 cos�+ cos�+ �
=
3sin�+ cos�+ �= 2
3
2 sin�+
1
2 cos�+ �= 2sin �+
π
6 + �.
又sin �+
π
6 ∈−1,1 ，所以��= 2sin �+
π
6 + �的最大值为2 + �，
所以2 + �= 3，解得�= 1.
（2）由（1）知，��= 2sin �+
π
6 + 1.
函数�= ��的图象向右平移
π
3个单位长度得到�= 2sin �−
π
3 +
π
6 + 1 = 2sin �−
π
6 + 1.
再向下平移1 个单位长度得到函数�= ��的图象，所以��= 2sin �−
π
6 .
令−
π
2 + 2�π ≤�−
π
6 ≤
π
2 + 2�π，�∈Z，则−
π
3 + 2�π ≤�≤
2π
3 + 2�π，�∈Z，
所以��的单调递增区间为−
π
3 + 2�π,
2π
3 + 2�π
�∈Z .
一、单选题
1．（2026·江苏·三模）已知曲线�= ��向右平移
π
6个单位长度得到曲线�= cos�，则��=（
）
A．cos �−
π
6
B．−cos �−
π
6
C．sin �−
π
3
D．−sin �−
π
3
【答案】D
【解题思路】由函数平移方法及诱导公式即可求解．
【解答过程】由题得，��= cos �+
π
6 = cos �−
π
3 +
π
2 =−sin �−
π
3 ．
故选：D.
2．（2026·陕西西安·三模）将函数��= sin 2�+
π
3 的图象向右平移��> 0 个单位长度，所得图象关于
原点对称，则�的最小值为（
）
A．
2π
3
B．
π
4
C．
π
6
D．
π
3
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【答案】C
【解题思路】先根据平移变换的原则得到平移后的函数解析式，再根据对称性求出�即可.
【解答过程】将��的图象向右平移�个单位长度后，
得到函数��= sin 2 �−�+
π
3 = sin 2�+
π
3 −2�的图象，
因为所得图象关于原点对称，即��是奇函数，
所以
π
3 −2�= �π, �∈Z，所以�=
π
6 −
�π
2 ，�∈Z，
因为�> 0，所以�的最小值为
π
6．
故选：C.
3．（2026·云南·模拟预测）将函数��= sin2�图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得
到函数��的图象，则��的最小正周期为（
）
A．
π
2
B．2π
C．π
D．4π
【答案】B
【解题思路】由三角函数图象变换知识可得��= sin�，据此可得答案.
【解答过程】将��= sin2�图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，得到��，
则��= sin2
�
2 = sin�，��的最小正周期为2π.
故选：B.
4．（2026·江苏淮安·模拟预测）函数�(�) = �cos(��+ �)（�> 0，�> 0，�<
π
2）的部分图象如图所示．将
函数�= �(�)的图象向右平移
π
12个单位长度得到函数�= �(�)的图象，则�(
π
12 ) = （
）
A．
1
2
B．
2
2
C．1
D．2
【答案】B
【解题思路】由图象确定振幅、周期和相位，写出函数解析式，根据平移规则得到新函数解析式，代入自变
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量计算即得结果.
【解答过程】由图象可知，�=
2，图象与�轴交点坐标为(
5π
12 , 0)，与之相邻的最高点坐标为(
π
6 ,
2)，
所以
�
4 =
5π
12 −
π
6 =
π
4，所以
2π
4�=
π
4，解得�= 2，
将(
π
6 ,
2)代入，得2cos(
π
6 × 2 + �) =
2，
所以
π
3 + �= 2�π ，所以�=−
π
3 + 2�π,�∈�，又因为�<
π
2，所以�=−
π
3，
所以��=
2cos(2�−
π
3 )，
将函数�= �(�)的图象向右平移
π
12个单位长度得到函数�= �(�)的图象，
所以�(�) ==
2cos 2 �−
π
12 −
π
3 =
2sin2�，所以�(
π
12 ) =
2 × sin
π
6 =
2
2 .
故选：B.
5．（2026·山东济宁·三模）已知函数��= sin ��+ �
�> 0, �<
π
2 的部分图象如图所示，将��的图
象向右平行移动
π
6个单位长度得到函数��的图象，设函数��的最小正周期为�，则（
）
A．�= 2π，�
π
3 =
3
2
B．�= π，�
π
3 =
3
2
C．�= 2π，�
π
3
= 1
D．�= π，�
π
3 = 1
【答案】D
【解题思路】先根据图象的已知点坐标求出�(�)的解析式，根据平移变换求出�(�)的解析式即可判断
【解答过程】由题意可得，�(0) =
1
2，得sin�=
1
2，所以�=
π
6 + 2�π , �∈Z，
又因为�<
π
2，所以当�= 0 时，�=
π
6，函数��= sin ��+
π
6
�> 0 ；
由�(
π
6 ) = 1，得sin
π
6 �+ �= 1，所以�×
π
6 +
π
6 =
π
2 + 2�π, �∈Z，�×
π
6 =
π
3 + 2�π, �∈Z，
即�= 2 + 12�, �∈Z，又
�
4 =
2π
4�>
π
6，所以0 < �< 3，
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当�= 0 时，�= 2，所以函数��= sin 2�+
π
6 ；
将��的图象向右平行移动
π
6个单位长度，得函数��= ��−
π
6 = sin 2 �−
π
6 +
π
6 = sin 2�−
π
6 ，
所以�=
2π
2 = π，�
π
3
= sin 2 ×
π
3 −
π
6 = sin
π
2 = 1.
故选：D.
6．（2026·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水
轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于
川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒
车的轴心O 距离水面的高度为2m.在筒车转动的一圈内，盛水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为（
）
A．9 秒
B．12 秒
C．15 秒
D．20 秒
【答案】D
【解题思路】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.
【解答过程】假设�, �, �所在直线垂直于水面，且��= 4 米，如下示意图，
由已知可得��= ��= 2, ��= ��1 = 4，
所以cos∠�1��=
��
��1 =
1
2 ⇒∠�1��= 60°，处在劣弧�1�1
Ⴃ时高度不低于4 米，
转动的角速度为
360°
60 = 6°/每秒，
所以水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为
120
6 = 20 秒，
故选：D.
7．（2026·重庆·三模）已知函数�= ��的图象是由函数��= sin 2�+
π
6 的图象向左移动
π
6个单位长度得
到，则下列命题正确的是（
）
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A．��= sin 2�+
π
3
B．�=
π
4是��的一条对称轴
C．��在−π, 0 单调递增
D．�= ��⋅��+
π
4 是奇函数
【答案】D
【解题思路】A 选项，利用“左加右减”进行计算；
B 选项，利用余弦函数的对称轴进行求解；
C 选项，将区间代入函数，看是否满足递增区间的需求；
D 选项，先判断定义域是否关于原点对称，再利用ℎ−�=−ℎ�，验证奇偶性.
【解答过程】函数��= sin 2�+
π
6 的图象向左移动
π
6个单位长度，
得到新的函数为：�= ��= sin 2 �+
π
6 +
π
6 = sin 2�+
π
2 = cos2�.
A 选项，��= sin 2�+
π
2 ，所以A 选项错误；
B 选项，��= cos2�，令2�= �π，得：�=
�π
2 ，其中�∈�，
所以�=
π
4不是��的一条对称轴，所以B 选项错误；
C 选项，�∈−π, 0 ，则2�∈−2π, 0 ，
�= ��= cos2�在该区间上不单调，所以C 选项错误；
D 选项，�= ��⋅��+
π
4 = cos2�× cos2 �+
π
4
=−sin2�cos2�=−
1
2 sin4�，
对函数�= ℎ�=−
1
2 sin4�而言，�∈�，
且ℎ−�=−
1
2 sin −4�=
1
2 sin4�=−ℎ�，
所以�= ℎ�=−
1
2 sin4�是奇函数，所以D 选项正确.
故选：D.
8．（2026·天津北辰·二模）已知函数��= �sin ��+ �，�> 0, �> 0, �<
π
2 的部分图象如图所示，
给出下列命题：
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①��的图象关于直线�=−
7π
12对称
②��的图象关于点−
π
3 , 0 对称
③将函数�=
3sin2�−cos2�的图象向左平移
π
3个单位得到函数��的图象
④若方程��= �在
π
6 ,
3π
4 上有两个不相等的实数根，则m 的范围是( −2, −1)
则上述命题中正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【解题思路】对于AB，代入选项的�的值并依据正弦函数的图象性质判断即可，对于C，由图象变换结合辅
助角公式即可求解，对于D，使用整体代入法结合图象的交点个数即可求解.
【解答过程】由题意得�= 2，最小正周期�满足
�
4 =
π
3 −
π
12 =
π
4，即�= π，
则π =
2π
�，即�= 2，
代入
π
12 , 2 得2sin 2 ⋅
π
12 + �= 2，即sin
π
6 + �= 1，
由此可得
π
6 + �=
π
2 + 2�π, �∈Z，解得�=
π
3 + 2�π，
因为�<
π
2，令�= 0，则�=
π
3，
综上，�(�) = 2sin 2�+
π
3 ，
对于①，若�=−
7π
12为对称轴，则�( −
7π
12 ) = 2 或�( −
7π
12 ) =−2，
代入�=−
7π
12得�( −
7π
12 ) = 2sin 2 −
7π
12 +
π
3 = 2sin −
5π
6
=−1，
因为−1 ≠2 或−1 ≠2，故①错误；
对于②，若��的图象关于点−
π
3 , 0 对称，则�( −
π
3 ) = 0，
代入�=−
π
3得�( −
π
3 ) = 2sin 2 −
π
3 +
π
3 = 2sin −
π
3 =−
3，
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因为−
3 ≠0，故②错误；
对于③，设�(�) =
3sin2�−cos2�= 2
3
2 sin2�−
1
2 cos2�= 2sin 2�−
π
6 ，
则�(�+
π
3 ) = 2sin 2 �+
π
3 −
π
6 = 2sin 2�+
π
2 = 2cos2�≠�(�)，故③错误；
对于④，若�∈
π
6 ,
3π
4 ，则2�+
π
3 ∈
2π
3 ,
11π
6 ，设�= 2�+
π
3，�∈
2π
3 ,
11π
6 ，
��= 2sin 2�+
π
3 = �，即sin�=
�
2，
则�=
�
2与�= sin�在
2π
3 ,
11π
6 上有两个交点，
即−1 <
�
2 ≤−
1
2，解得−2 < �≤−1，故④错误.
所以有0 个命题正确.
故选：A.
二、多选题
9．
（2026·辽宁朝阳·模拟预测）函数��= �sin ��+ �
�> 0, �> 0, �<
π
2 的部分图象如图所示.则（
）
A．�= 2
B．图象关于�=
5
6 π轴对称
C．��在
3
2 π, 2π 内单调递增
D．��的图象可由�= 2sin2�的图象向左平移
π
6个单位长度得到
【答案】AD
【解题思路】根据图象特征及所过点确定函数解析式，结合三角函数的性质判断选项ABC，根据三角函数平
移变换判断选项D.
【解答过程】由图像可知，函数最小值为−2，且�> 0，因此�= 2.
由图可得：函数过点( −
π
6 , 0)和(0,
3)，代入�(�) = 2sin(��+ �)得：
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�(0) = 2sin�=
3 ⇒sin�=
3
2 ，结合|�| <
π
2，得�=
π
3；
�( −
π
6 ) = 2sin −
�π
6 +
π
3 = 0，结合五点法作图可得−
�π
6 +
π
3 = 2�π，解得�=−12�+ 2，
由
�
4 >
π
6，�> 0 可得
2π
�>
π
6，0 < �< 3，
所以当�= 0 时，�= 2
故�(�) = 2sin 2�+
π
3 ，A 正确.
选项B：代入�=
5π
6 ，得�
5π
6
= 2sin 2 ×
5π
6 +
π
3 = 2sin2π = 0，
函数关于
5π
6 , 0 中心对称，B 错误.
选项C：令−
π
2 + 2�π < 2�+
π
3 <
π
2 + 2�π(�∈�)，
解得：单调递增区间为−
5π
12 + �π,
π
12 + �π (�∈�).
当�= 2 时，增区间为
19π
12 ,
25π
12 ，而
3π
2 , 2π =
18π
12 ,
24π
12 ，区间包含递减部分
18π
12 ,
19π
12 ，因此�(�)在该区间
不是单调递增，C 错误.
选项D：�= 2sin2�向左平移
π
6个单位，
可得�= 2sin 2 �+
π
6
= 2sin 2�+
π
3 = �(�)，D 正确.
故选：AD.
10．（2026·云南·三模）将函数��= sin 3�+ �
�<
π
2 的图象向左平移
π
6个单位得到函数��的图象，
若��的图象与��的图象关于�轴对称，则下列说法正确的有（
）
A．�=
π
4
B．��=−cos 3�+
π
4
C．�=
π
4是��的一条对称轴
D．对任意的�∈−
π
4 ,
π
12 ，都存在�∈−
π
4 ,
π
12 ，使得��= ��
【答案】ACD
【解题思路】由正弦函数与余弦函数的性质求解即可.
【解答过程】对于A，根据题意得，��= sin 3 �+
π
6 + �= cos 3�+ �，
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因为��的图象与��的图象关于�轴对称，所以��= �−�，
即sin 3�+ �= cos −3�+ �= cos(3�−�) = sin 3�−�+
π
2 ，
可得3�+ �= 3�−�+
π
2 + 2�π �∈Z 或3�+ �+ 3�−�+
π
2 = 2�π + π �∈Z ，
因�∈R,则得�=
π
4 + �π �∈Z ，又因�<
π
2，所以�=
π
4，故A 正确；
对于B，由A 得�=
π
4，所以��= cos 3�+
π
4 ，故B 错误；
对于C，由3�+
π
4 = �π �∈�，可得�=−
π
12 +
�π
3 �∈�，当�= 1 时，�=
π
4，故C 正确；
对于D，当�∈−
π
4 ,
π
12 时，3�+
π
4 ∈−
π
2 ,
π
2 ，此时��∈0,1 ，
而当�∈−
π
4 ,
π
12 时，3�+
π
4 ∈−
π
2 ,
π
2 ，此时�(�) = sin (3�+
�
4 ) ∈−1,1
所以��
�∈−
π
4 ,
π
12
⊆��
�∈−
π
4 ,
π
12
，故D 正确.
故选：ACD.
11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数��= sin2�，��=
3
2 sin�−
1
2 cos�，则下列说法正确的是（
）
A．��的图象关于直线�=
π
3对称
B．��的图象关于点
π
6 , 0 对称
C．将��的图象向右平移
π
6个单位长度后，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标
不变），得到函数��的图象
D．��的图象与��的图象在0,2π 内有4 个交点
【答案】BD
【解题思路】利用辅助角公式得��= sin �−
π
6 ，对A 和B，利用正弦函数的性质，代入检验，即可求解；
对C，利用图象的平移变换，即可求解；对D，在同坐标系中作出两函数的图象，数形结合，即可求解.
【解答过程】对于A，由题意知��=
3
2 sin�−
1
2 cos�= sin �−
π
6 ，
因为�
π
3 = sin
π
3 −
π
6 = sin
π
6 ≠± 1，故�=
π
3不是��的对称轴，所以A 错误，
对于B，因为�
π
6
= sin
π
6 −
π
6 = 0，故��的图象关于点
π
6 , 0 对称，所以B 正确，
对于C，将��的图象向右平移
π
6个单位长度后，得到�= sin2 �−
π
6 = sin 2�−
π
3 ，
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再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数�= sin �−
π
3 ，故C 错误，
对于D，在同坐标系中，作出��与��在0,2π 内的图象，
由图可知��的图象与��的图象在0,2π 内有4 个交点，故D 正确．
故选：BD.
三、填空题
12．（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数��= 3sin 2�+ �
�<
π
2 的图象向右平移
π
6个单位长度后，
得到函数��的图象，若��是偶函数，则�为__________．
【答案】−
π
6
【解题思路】利用给定的图象变换求出�(�)的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得．
【解答过程】依题意，�(�) = ��−
π
6 = 3sin 2�−
π
3 + �，
由�(�)是偶函数，得−
π
3 + �= �π +
π
2 , �∈Z，�= �π +
5π
6 , �∈Z，
而|�| <
π
2，则�=−1, �=−
π
6．
故答案为：−
π
6．
13．（2026·上海浦东新·模拟预测）把函数�= cos�图象上所有点的横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变），
再将图象上所有的点向右平移
π
6个单位长度，得到函数�= ��的图像，则��=__________.
【答案】cos 2�−
π
3
【解题思路】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案.
【解答过程】函数�= cos�图象上所有点的横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变），可得�= cos2�，
再将图象上所有的点向右平移
π
6个单位长度，可得�= cos2 �−
π
6 = cos 2�−
π
3 ，
即��= cos 2�−
π
3 .
故答案为：cos 2�−
π
3 .
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14．（2026·宁夏·一模）函数�(�) = �sin ��+ �
�> 0, �> 0, |�| <
π
2 的部分图象如图所示，将�(�)的图
象向左平移
π
3个单位长度后得到的函数的解析式为__________．
【答案】�= 3sin 2�+
5π
6
【解题思路】根据最值可得�= 3，代入点0,
3
2 可得�=
π
6，代入点
5π
12 , 0 结合函数周期性可得�= 2，即可
得函数�(�)的解析式，结合函数图象变换运算求解.
【解答过程】由图可知：�= 3，则��= 3sin ��+ �，
因为函数�(�)的图象过点0,
3
2 ，则�0 = 3sin�=
3
2，即sin�=
1
2，
且−
π
2 < �<
π
2，则�=
π
6，可得��= 3sin ��+
π
6 ，
又因为函数�(�)的图象过点
5π
12 , 0 ，则�
5π
12
= 3sin
5π
12 �+
π
6 = 0，即sin
5π
12 �+
π
6 = 0，
设函数�(�)的最小正周期为�，则
�
2 >
5π
12，即�>
5π
6 ，
且�> 0，则
2π
�>
5π
6 ，解得0 < �<
12
5 ，
则
π
6 <
5π
12 �+
π
6 <
7π
6 ，可得
5π
12 �+
π
6 = π，解得�= 2，所以��= 3sin 2�+
π
6 .
将�(�)的图象向左平移
π
3个单位长度后得到的函数的解析式为�= 3sin 2 �+
π
3 +
π
6 = 3sin 2�+
5π
6 .
故答案为：�= 3sin 2�+
5π
6 .
四、解答题
15．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数��=
1
2 sin ��+ �
�> 0, �<
π
2 的最小正周期为π，�
π
3 = 0.
(1)求�和�；
(2)若将��的图象向左平移
π
6个单位长度，得到��的图象，求��在−
π
3 , −
π
8 的最小值.
【答案】(1)�= 2，�=
π
3
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(2)0
【解题思路】（1）利用三角函数周期公式求�，代入已知点结合�的取值范围求解�；
（2）根据图象平移规则得到�(�)解析式，结合正弦函数性质求解即可.
【解答过程】（1）已知函数�(�)最小正周期�= π，�> 0，
由�=
2π
�，得π =
2π
�，解得�= 2，
将(
π
3 , 0) 代入�(�) =
1
2 sin (2�+ �) ，得
1
2 sin(2 ×
π
3 + �) = 0 ，即sin(
2π
3 + �) = 0，
因此
2π
3 + �= �π ，�∈�，即�= �π −
2π
3 ，�∈�，
又|�| <
π
2，令�= 1，得�= π −
2π
3 =
π
3，满足条件，
故�= 2，�=
π
3；
（2）由（1）知�(�) =
1
2 sin(2�+
π
3 )，
将�(�)图象向左平移
π
6个单位长度，
得�(�) = �(�+
π
6 ) =
1
2 sin 2(�+
π
6 ) +
π
3 =
1
2 sin(2�+
2π
3 )，
当�∈−
π
3 , −
π
8
时，2�+
2π
3 ∈0,
5π
12 ，
由正弦函数性质可知，当2�+
2π
3 = 0，即�=−
π
3时，函数�(�)有最小值，
所以�(�)在−
π
3 , −
π
8 的最小值为�(�)min = �( −
π
3 ) = 0.
16．（2026·广东广州·三模）函数��= �sin ��+ �（�> 0，�> 0，0 < �< π）在一个周期内的图象
如图所示，
(1)求函数��的解析式；
(2)设函数��= ��+ ��−
π
3 ，求��的值域和单调区间．
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【答案】(1)��= 2sin 2�+
2π
3
(2) −2,2 ，单调增区间为−
5π
12 + �π,
π
12 + �π , �∈Z，单调减区间为
π
12 + �π,
7π
12 + �π , �∈Z
【解题思路】（1）根据图象求振幅、周期，由公式求出�，代入点求出�即可得出函数解析式；
（2）化简��，由正弦函数性质求函数的��值域，由正弦函数单调性求出函数��的单调区间.
【解答过程】（1）由题意可知，�= 2，
又因为函数��的最小正周期为�= 2 ×
5π
12 −−
π
12
= π，�> 0，
所以�=
2π
�=
2π
�= 2，此时��= 2sin 2�+ �，
由�
5π
12
= 2sin 2 ×
5π
12 + �=−2，可得sin
5π
6 + �=−1，
因为0 < �< π，所以
5π
6 <
5π
6 + �<
11π
6 ，所以
5π
6 + �=
3π
2 ，解得�=
2π
3 ，
所以函数��的解析式为��= 2sin 2�+
2π
3 ．
（2）因为��−
π
3 = 2sin 2 �−
π
3 +
2π
3
= 2sin2�．
所以��= ��+ ��−
�
3 = 2sin 2�+
2π
3
+ 2sin2�．
化简得��= sin2�+
3cos2�= 2sin 2�+
π
3 .
所以函数��的值域为−2,2 ．
令−
π
2 + 2�π ≤2�+
π
3 ≤
π
2 + 2�π，解得−
5π
12 + �π ≤�≤
π
12 + �π, �∈Z，
令
π
2 + 2�π ≤2�+
π
3 ≤
3π
2 + 2�π，解得
π
12 + �π ≤�≤
7π
12 + �π, �∈Z．
所以函数��的单调增区间为−
5π
12 + �π,
π
12 + �π , �∈Z，
单调减区间为
π
12 + �π,
7π
12 + �π , �∈Z.
17．（2026·海南儋州·一模）已知函数��= �sin ��+ �
�> 0, �> 0, �<
π
2 的部分图象如图所示．
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(1)求函数��的解析式及其图象的对称轴方程；
(2)若函数��的图象可由函数��的图象上所有的点向右平移
π
4个单位得到，求当�∈0,
5π
12 时，函数��
的值域．
【答案】(1)�(�) = 2sin 2�+
π
3 ，对称轴方程为�=
�π
2 +
π
12 , �∈Z
(2)[ −1,2]
【解题思路】（1）根据函数图象可求出函数��的解析式，利用正弦函数的对称性可求其对称轴；
（2）利用图象变换可求得��的解析式，利用换元法求解��的值域.
【解答过程】（1）设函数��的最小正周期为T，
由题意可得，�= 2, �= 4 ×
π
3 −
π
12 = π =
2π
�，故�= 2，
所以�(�) = 2sin 2�+ �．
因为2 ×
π
12 + �= 2�π +
π
2 , �∈Z，
所以�= 2�π +
π
3 , �∈Z，又|�| <
π
2，所以�=
π
3，
所以�(�) = 2sin 2�+
π
3 ．
由2�+
π
3 = �π +
π
2 , �∈Z，得�=
�π
2 +
π
12 , �∈Z，
所以函数��的对称轴方程为�=
�π
2 +
π
12 , �∈Z．
（2）由题意得，�(�) = 2sin 2 �−
π
4 +
π
3 = 2sin 2�−
π
6 ．
当0 ≤�≤
5π
12时，−
π
6 ≤2�−
π
6 ≤
2π
3 ，所以−
1
2 ≤sin 2�−
π
6 ≤1，
所以−1 ≤�(�) ≤2，即�(�)的值域为[ −1,2]．
18．（2026·陕西榆林·三模）已知函数��= 3cos�−
3sin�．
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(1)若�∈−
π
6 ,
π
2 ，且��=
2 3
3 ，求sin�的值；
(2)将函数��的图象向右平移
π
3个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐
标不变），得到函数��的图象，求函数��在区间0,π 上的值域．
【答案】(1)
2 6−1
6
(2)
3，2 3
【解题思路】（1）利用辅助角公式化简��，得到cos �+
π
6 =
1
3，结合角的范围求出sin �+
π
6 =
2 2
3 ，
利用两角差的正弦公式代入求解即可.
（2）根据图像平移变换得到��，结合余弦型函数性质求值域即可.
【解答过程】（1）由题意知��= 3cos�−
3sin�= 2 3cos �+
π
6 ，
令��= 2 3cos �+
π
6 =
2 3
3 ，所以cos �+
π
6 =
1
3，
又�∈−
π
6 ，
π
2 ，所以�+
π
6 ∈0，
2π
3 ，
所以sin �+
π
6 =
1 −cos2 �+
π
6 =
2 2
3 ，
所以sin�= sin �+
π
6 −
π
6 = sin �+
π
6 cos
π
6 −cos �+
π
6 sin
π
6 =
2 2
3 ×
3
2 −
1
3 ×
1
2 =
2 6−1
6
．
（2）将函数��的图象向右平移
π
3个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵
坐标不变），得到��= 2 3cos
1
2 �−
π
6 ，
当�∈0,π 时，
1
2 �−
π
6 ∈−
π
6 ，
π
3 ，
所以cos
1
2 �−
π
6 ∈
1
2 ，1 ，2 3cos
1
2 �−
π
6 ∈
3，2 3 ，
即��的值域为
3，2 3 ．
19．（2026·陕西商洛·二模）已知函数��= 3sin ��−
π
6 （�> 0）图象的相邻两对称轴之间的距离为
π
2.
(1)求�；
(2)将函数��的图象向左平移
π
4个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标缩小为原来的
1
3（横坐标不变），
得到函数��的图象，若��−�< 1 在−
π
3 ,
π
6 上恒成立，求实数�的取值范围.
【答案】(1)�= 2
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(2) 0,1 −
3
2
【解题思路】（1）由相邻两对称轴之间的距离求得周期，根据周期的计算公式求得�；
（2）由（1）得��的解析式，根据图象变换法则得��的解析式，从而求得��在−
π
3 ,
π
6 上的取值范围，
再根据不等式��−�< 1 在−
π
3 ,
π
6 上恒成立，求得实数�的取值范围.
【解答过程】（1）因为��的图象相邻两对称轴间的距离为
π
2，
所以函数��的周期为2 ×
π
2 = π，即
2π
�= π，解得�= 2.
（2）由（1）知��= 3sin 2�−
π
6 ，
由题意知，��=
1
3 ��+
π
4 =
1
3 × 3sin 2 �+
π
4 −
π
6 = sin 2�+
π
3 ，
当�∈−
π
3 ,
π
6 时，−
π
3 ≤2�+
π
3 ≤
2π
3 ，−
3
2 ≤sin 2�+
π
3 ≤1，即−
3
2 ≤��≤1.
由��−�< 1 在−
π
3 ,
π
6 上恒成立，
得�−1 < ��< �+ 1 在−
π
3 ,
π
6 上恒成立.
所以�−1 <−
3
2
�+ 1 > 1
，解得0 < �< 1 −
3
2 .
故实数�的取值范围为0,1 −
3
2 .
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