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专题17 圆锥曲线离心率问题精妙解法
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................12
题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
12
题型二：焦点三角形顶角范围与离心率
17
题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题
21
题型四：椭圆与双曲线的4a 通径体
26
题型五：椭圆与双曲线的4a 直角体
31
题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
36
题型七：双曲线的4a 底边等腰三角形
40
题型八：焦点到渐近线距离为b
44
题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
49
题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
53
题型十一：渐近线平行线与面积问题
56
重难点突破：数形结合转化长度角度
62
1
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关于椭圆或双曲线的离心率，以及与双曲线的渐近线相关的问题，通常以选择或填空题的形式出现，
其难度属于中等水平。
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
离心率
掌握求解，理解
应用。
2024 年甲卷第5 题，5 分
2024 年I 卷第12 题，5 分
2023 年I 卷第5、16 题，10 分
2023 年甲卷第9 题，5 分
2022 年甲卷第10 题，5 分
2022 年浙江卷第16 题，4 分
2021 年甲卷第5 题，5 分
2021 年天津卷第8 题，5 分
离心率问题是高考
数学的必考内容，主要
考查圆锥曲线的概念和
几何性质。在二轮复习
中，应掌握其基本性质
和常规处理方法，特别
是要从挖掘椭圆和双曲
线的几何性质入手，以
应对考试中的相关问
题。
2
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3
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求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．
为椭圆
的左、右焦点，
为椭圆
上的任意一点，
；
为双曲线
的左、右焦点，
为双曲线
上的任一点，
．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．
为椭圆
的左、右焦点，
为椭圆上的动点，
若
，则椭圆离心率的取值范围为
．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
4
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1．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线
的左右焦点分别为
，过
作平行于
轴的直线交C 于A，B 两点，若
，则C 的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题可知
三点横坐标相等，设
在第一象限，将
代入
得
，即
，故
，
，
又
，得
，解得
，代入
得
，
故
，即
，所以
.
故答案为：
2．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．
5
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点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为 ．
【答案】
/
【解析】方法一：
依题意，设
，则
，
在
中，
，则
，故
或
（舍去），
所以
，
，则
，
故
，
所以在
中，
，整理得
，
故
.
方法二:
依题意，得
，令
，
因为
，所以
，则
，
又
，所以
，则
，
6
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又点
在
上，则
，整理得
，则
，
所以
，即
，
整理得
，则
，解得
或
，
又
，所以
或
（舍去），故
.
故答案为：
.
3．（2023 年北京高考数学真题）已知双曲线C 的焦点为
和
，离心率为
，则C 的方程为
．
【答案】
【解析】令双曲线
的实半轴、虚半轴长分别为
，显然双曲线
的中心为原点，焦点在x 轴上，其半
焦距
，
由双曲线
的离心率为
，得
，解得
，则
，
所以双曲线
的方程为
.
故答案为：
4．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆
的离心率分别为
．
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
7
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【解析】由
，得
，因此
，而
，所以
.
故选：A
5．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆
的左顶点为A，点P，Q 均在C
上，且关于y 轴对称．若直线
的斜率之积为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】[方法一]：设而不求
设
，则
则由
得：
，
由
，得
，
所以
，即
，
所以椭圆
的离心率
，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故
，
由椭圆第三定义得：
，
故
8
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所以椭圆
的离心率
，故选A.
6．（多选题）（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C 的两个焦点为
，以C 的实轴为直径
的圆记为D，过
作D 的切线与C 交于M，N 两点，且
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在
轴，设过
作圆
的切线切点为B，
所以
，因为
，所以
在双曲线的左支，
，
，
，设
，由即
，则
，
9
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选A
情况二
若M、N 在双曲线的两支，因为
，所以
在双曲线的右支，
所以
，
，
，设
，
由
，即
，则
，
所以
，即
，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
10
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过
且与圆相切的一条直线为
，
两交点都在左支,
，
，
则
，
特值双曲线
，
过
且与圆相切的一条直线为
，
两交点在左右两支，
在右支，
，
，
则
，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在
轴，设过
作圆
的切线切点为
，
若
分别在左右支，
因为
，且
，所以
在双曲线的右支，
又
，
，
，
设
，
，
在
中，有
，
11
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故
即
，
所以
，
而
，
，
，故
，
代入整理得到
，即
，
所以双曲线的离心率
若
均在左支上，
同理有
，其中
为钝角，故
，
故
即
，
代入
，
，
，整理得到：
，
12
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故
，故
，
故选：AC.
13
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题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
【典例1-1】已知椭圆
上一点
，它关于原点的对称点为
，点
为椭圆右焦点，且
满足
，设
，且
，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为
，连接
，
则四边形
为矩形，
则
，
所以
，
在
中，由
，
得
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
14
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所以
.
故选：B.
【典例1-2】已知椭圆C：
上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F 为椭圆的右焦
点，且
，
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设椭圆的左焦点为
，
因为
，所以根据椭圆的对称性可知：四边形
为矩形，
所以
，
在
中，
，
根据椭圆定义可知：
，
15
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所以
，
所以
，
，所以
，
所以离心率为
故选：B．
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
椭圆：
e=
1
sinα+cosα =
1
√2sin(α+ π
4 )
，根据α 范围求解值域．
双曲线：
e=
1
cosα−sinα =
1
√2cos(α+ π
4 )
，根据α 范围求解值域．
【变式1-1】设
是双曲线
在第一象限内的点，
为其右焦点，点
关于原点
的
对称点为
，且
，
，则双曲线
的离心率的取值范围是（ ）
16
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设双曲线的左焦点为
，设
，
则根据题意得
，
则双曲线的离心率为
，
令
，
易知
在
单调递增，
且
，
则
，即
.
故选：C.
【变式1-2】双曲线
（
，
）左支上一点
关于原点的对称点为点
为其右焦点，若
，设
，且
，则离心率e 的可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【解析】设双曲线的左焦点为
，则
，
因为双曲线左支上一点
关于原点的对称点为点
为其右焦点，
，
所以由双曲线的对称性可得四边形
为矩形，
所以
，
因为
，
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
所以双曲线的离心率的范围为
，
故选：D
1．已知双曲线
右支上非顶点的一点A 关于原点的对称点为
为双曲线的右焦点，
若
，设
，且
，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
18
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为
，连接
，
，
因为
，则四边形
为矩形，
所以
，
则
，
．
．
．
即
，
则
，
因为
，则
，
可得
，即
，
所以
，
即双曲线离心率的取值范围是
，
故选：C．
19
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题型二：焦点三角形顶角范围与离心率
【典例2-1】已知点
分别是椭圆
的左、右焦点，点
是椭圆上的一个动点，
若使得满足
是直角三角形的动点
恰好有6 个，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，椭圆的最大张角为
，所以
，所以
，所以
，
故选：C．
【典例2-2】已知
为椭圆
上一动点，
、
分别为该椭圆的左、右焦点，
为短轴
一端点，如果
长度的最大值为
，则使
为直角三角形的点
共有（ ）个
A．8 个
B．4 个或6 个
C．6 个或8 个
D．4 个或8 个
【答案】B
【解析】当
为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点
有2 个；
当
为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点
有2 个；
因为
为短轴一端点，令
，
长度的最大值为
，
椭圆
，
所以说明椭圆与圆
有且仅有下顶点这唯一交点，
设
，
所以
，即
20
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所以
，
因为
，
所以
带入
中得：
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
因为
，
当
带入
得：
所以
，
所以
，
所以
即
，
当
时，
为下顶点，此时
最大为直角，根据对称满足的点
有2 个，
当
时，
为下顶点，此时
为锐角，满足的点
有0 个，
21
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所以使
为直角三角形的点
共有4 个或6 个，
故选：B.
是椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
的焦点，点
在椭圆上，∠F1PF 2=θ，则cosθ≥1−2e2（当且仅当
动点为短轴端点时取等号）．
【变式2-1】已知
，
分别是椭圆
的左、右焦点，若椭圆上存在点
，使得
，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
得：
，
点
在以
为直径端点的圆上，
由此可得该圆的半径
，
，即
，
，
.
故选：A.
【变式2-2】已知椭圆
的方程为
为其左、右焦点，为离心率，
为椭圆上一
动点，有如下说法：
①当
时，使
为直角三角形的点
有且只有4 个；
②当
时，使
为直角三角形的点
有且只有6 个；
22
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③当
时，使
为直角三角形的点
有且只有8 个；
以上说法中正确的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】当
时
，使
为直角三角形的点
有且只有4 个，分别为横坐标为
的四个点；
当
时
，使
为直角三角形的点
有且只有6 个，分别为横坐标为
的四个点及
短轴两个顶点；
当
时
，使
为直角三角形的点
有且只有8 个，分别为横坐标为
的四个点
及
为直角的四个点
1．已知
为椭圆
上一点，
分别是椭圆的左、右焦点.若使
为直角三角形的
点
有且只有4 个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
轴时，有两个点
满足
为直角三角形；
当
轴时，有两个点
满足
为直角三角形.
使
为直角三角形的点
有且只有4 个，
以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，
，
23
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，又
，解得
.
故选：A.
题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题
【典例3-1】已知椭圆
与双曲线
共焦点，
分别为
左、右焦点，点
为
与
的一个交点，且
，设
与
的离心率分别为
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设点
在第一象限，由题知
，
解得
，
，
在
中，由余弦定理得，
，
化简得
，即
，
所以
，
令
，因为
，所以
，
则
，
由“对勾”函数的性质可知，函数
在区间(1,+∞)上单调递增，
24
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所以
．
故选：C
【典例3-2】已知以
为焦点的椭圆
与双曲线
共焦点，一动点
在直线
上运动，双曲线
与椭圆
在一象限的交点为
，当
与
相等时，
取得最大值，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意设
，设双曲线的实轴长为
，
双曲线
与椭圆
在一象限的交点为
，
设
，则
，
故
，
由
，得
，
25
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即
；
动点
在直线
上运动，设l 与x 轴交点为E，设
，
在
中，
，
在
中，
，
由题意知
为锐角，且
,
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
即
的最大值为
，而当
与
相等时，
取得最大值，
可知
，即
，结合
，
得
，则
，
故双曲线的离心率
，
故选：C
sin2 α
2
e
椭2
+
cos2 α
2
e
双2
=1
，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
【变式3-1】已知椭圆
：
（
）与双曲线
：
（
）共焦点
，
26
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，过
引直线与双曲线左、右两支分别交于点
，
，过
作
，垂足为
，且
（
为
坐标原点），若
，则
与
的离心率之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
可得
，
故焦点坐标为
、
，
则椭圆的离心率为
，
由
，
，则
，
过点
作
于点
，由
为
中点，
故
，
，
由
，故
，
则
，
，
由双曲线定义可知，
，
故
，则离心率为
，
故
与
的离心率之和为
.
故选：B.
27
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【变式3-2】椭圆与双曲线共焦点
，
，它们的交点为
，且
.若椭圆的离心率为
，则双
曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】不妨设P 为第一象限的点，
在椭圆中：
① ,
在双曲线中:
②,
联立①②解得,
,
在
中由余弦定理得：
即
即
28
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椭圆的离心率
，
双曲线的离心率
，
故选：B
1．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
，椭圆
的上顶点为M，
且
．双曲线
和椭圆
有相同焦点，且双曲线
的离心率为
，P 为曲线
与
的一个公共
点，若
，则
的值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】D
【解析】因为椭圆
的上顶点为M，且
，
所以
，
所以
，所以
，
设双曲线
的方程为
，
假设点
在第一象限，则
，得
，
29
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在
中，由余弦定理得
，即
，
整理得
，
所以
，则
，
，所以
，
所以
，
故选：D
题型四：椭圆与双曲线的4a 通径体
【典例4-1】设双曲线
的左、右焦点分别是
、
，过
的直线交双曲线
的左
支于
、
两点，若
，且
，则双曲线
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如下图所示：
30
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，由双曲线的定义可得
，
所以，
，则
，
由余弦定理可得
，
，
因为
，
故
，整理可得
，故该双曲线的离心率为
.
故选：B.
【典例4-2】已知双曲线
的左、右焦点分别是
、
，
是双曲线
右支上的
一点，
交双曲线
的左支于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
31
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因为
是双曲线
右支上的一点，
交双曲线
的左支于点
，
若
，
由双曲线的定义，可得
，
，则
，
所以
，
故
为等边三角形，则
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理，可得
，
因此，双曲线
的离心率为
.
故选：D.
椭圆与双曲线的4a 通径体
32
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如图，若
，易知
，若
，则一定有
，根据
可得
，即
【变式4-1】若椭圆
（
）的离心率与双曲线
（
，
）的离
心率之积为1，
，
分别是双曲线E 的左、右焦点，M，N 是双曲线E 的左支上两点，且
，
，
，A，F 分别是椭圆C 的左顶点与左焦点，
，则椭圆C 的方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由题，
，又
，
，
．
，
直线MN 过点
，
，
，
，
．
33
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在
中，
．
设椭圆C 的焦距为
，离心率为
，双曲线E 的焦距为
，离心率为
，
在
中，
，
，
，
．
，
，
，
，
椭圆C 的方程为
.
故选：B．
【变式4-2】已知
，
分别是椭圆
：
的左、右焦点，过点
的直线交椭圆C 于
M，N 两点.若
，且
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以可设
，
，
，
因为
，所以
，解得
，
因为
，所以
，
，
，
34
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所以
，
在
中，
，
，
由
，可得
，
即椭圆
的离心率为
.
故选：B.
1．设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过原点
的直线交椭圆于
，
两点，
若
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
过原点
的直线交椭圆于
，
两点，
被
平分，
35
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又
被
平分，
四边形
是平行四边形，
又
，
四边形
是矩形，
，
由对称性可得
，
设
，
，
，
，
，
．
故选：B．
题型五：椭圆与双曲线的4a 直角体
【典例5-1】已知椭圆
的左､右焦点分别为
、
，过
作直线与椭圆相交于
、
两点，
，且
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示，设
，
，设
，则
，
在
中，
，
由椭圆定义可知
，
，
，解得
，
36
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所以
，
，
在
中，可得
，
在
中，由余弦定理可得
，
，
，即
0，
解得
，所以椭圆离心率
.
故选：D.
【典例5-2】设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，过
的直线交椭圆于A，B 两点，
且
，
，则椭圆E 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
37
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【解析】设
，
因为
，则
，
，
由椭圆的定义可得
，
，
因为
，即
，
在
中，则
，即
，
解得
，可得
，
在△
中，可得
，整理得
，
所以椭圆E 的离心率为
.
故选：B．
如左图，若AF 2⊥AB ，AB 过原点，且⃗AF 1=λ⃗F1B ，∠AF 1F2=α ，则
ecosα=|λ−1|
λ+1 可得离心率．
如右图，若BF 2⊥AC ，AB 过原点，且⃗AF 2=λ⃗F2C(0<λ<1)，通过补全矩形，可得AF 1⊥AC ，
|AF 2|= λ+1
2 ⋅b2
a ，借助公式
ecosα=|λ−1|
λ+1 可得离心率．
38
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【变式5-1】设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，过
的直线交椭圆于
，
两点，
且
，
，则椭圆
的离心率为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，不妨令
，
由过
的直线交椭圆于
，
两点，由椭圆的定义可得，
，|B F1|+|B F2|=2a，
则
，
，
又因为
，所以
，则
和
都是直角三角形，
由勾股定理可得，
，
即
，解得
，
所以
，
，
又
，
，
所以
，解得
，
所以椭圆
的离心率为
.
故选：B.
39
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【变式5-2】设
分别是椭圆
的左、右焦点，过点
的直线交椭圆
于
两点，若
，且
，则椭圆
的离心率是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，再由
是等腰直角三角形
，故选D,
1．设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，过点
的直线交椭圆
于
，
两点，
，若
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，
，
∴
，
，
∵
，
在
中，由余弦定理，
40
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得：
，
∴
，
化简可得
，而
，
故
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，且
，
∴
是等腰直角三角形，
，
∴
，
∴椭圆的离心率
.
故选：D.
题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
【典例6-1】椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过点
的直线l 交椭圆C 于A，B
两点，若
，
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，由椭圆定义知
，
41
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又
，所以
，再由椭圆定义
，
因为
，所以
，
所以由余弦定理可得
，
即
，
化简可得
，即
，
解得
或
（舍去）.
故选：D
【典例6-2】已知椭圆C 的焦点为
，过F2的直线与C 交于A，B 两点.若
，
，则C 的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设
，则
，由椭圆的定义有
．在
中，由余弦定理推论得
．在
中，由余弦定理得
，解得
．
所求椭圆方程为
，故选B．
法二：由已知可设
，则
，由椭圆的定义有
．在
和
中，由余弦定理得
42
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，又
互补，
，两式消去
，得
，解得
．
所求椭圆方程为
，故选B．
同角余弦定理使用两次
【变式6-1】已知椭圆
的焦点为
，
，过
的直线与
交于
，
两点，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
43
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在
和
中利用余弦定理可得
即
化简可得
同除
得：
解得
或
（舍去）
故选：
【变式6-2】已知双曲线C 的焦点为
，过
的直线与双曲线C 的左支交于A，B 两点，若
，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
44
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【解析】设
则
，
，由双曲线的定义可得
，
，在
和
中，利用余弦定理求出
，进而求出双曲线的标准方程.如图，设
则
，
，
由双曲线的定义可得
，
在
和
中，由余弦定理得
又
互补，
，
两式消去
，可得
，
所以
，
，
所以双曲线的标准方程可得
.
故选：B
1．已知双曲线
左右焦点为
，
，过
的直线与双曲线的右支交于P，Q 两点，
45
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且
，若
为以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意
，
又
，所以
，从而
，
，
，
中，
，
中．
，
所以
，
，所以
，
故选：C．
题型七：双曲线的4a 底边等腰三角形
【典例7-1】设
为双曲线C：
的右焦点，直线l：
（其中c 为双曲线C
的半焦距）与双曲线C 的左、右两支分别交于M，N 两点，若
，则双曲线C 的离心率
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设双曲线C 的左焦点为
，如图，取线段
的中点H，连接
，则
．
46
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因为
，所以
，即
，则
．
设
．因为
，
所以
，则
，从而
，故
，解得
．
因为直线l 的斜率为
，所以
，整理得
，即
，则
，故
．
故选：C
【典例7-2】设
为双曲线
：
（
，
）的右焦点，直线：
（其中为双
曲线
的半焦距）与双曲线
的左、右两支分别交于
，
两点，若
，则双曲线
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设双曲线
的左焦点为
，如图，取线段
的中点
，连接
，则
．因为
47
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，所以
，即
，则
．设
．因为
，所以
，则
，从而
，故
，解得
．因为直线的斜
率为
，所以
，整理得
，即
，
故选：D．
当
或者
时，令
,则一定存在①
，②
【变式7-1】设双曲线
的左､右焦点分别为
，过点
作斜率为
的直线与
双曲线
的左､右两支分别交于
两点，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】如图，设
为
的中点，连接
.
48
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易知
，所以
，所以
.
因为
为
的中点，所以
.
设
，因为
，所以
.
因为
，所以
.
所以
.
因为
是
的中点，
，所以
.
在Rt
中，
；
在Rt
中，
.
所以
，解得
.
所以
.
因为直线的斜率为
，
所以
，所以
，
，所以离心率为
.
故选：A
49
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1．设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过点
作斜率为
的直线与双曲线
的左、右两支分别交于
，
两点，且
在线段
的垂直平分线上，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，如图：
设M，N 的中点为P，连接
，则点P 在以原点为圆心，半径为c 的圆上，并且有
，
50
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；
直线l 的方程为
，令
，
，由双曲线的性质可得
，
解得
，
在
中，
，在
中，
，
解得
，由于
，
，
解得
；
故选：D.
题型八：焦点到渐近线距离为b
【典例8-1】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作双曲线
的一条渐近
线的垂线，垂足为
，直线与双曲线
的左支交于
点 ，且
恰为线段
的中点，则双曲线
的离
心率为 （ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】连结
，因为点
分别为
和
的中点，
51
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所以
，且
设点
到一条渐近线
的距离
，所以
，又
，所以
，
中，满足
，
整理为：
，
双曲线的离心率
.
故选：D
【典例8-2】已知双曲线C：
（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为
，
，过C 的右支上一点P
作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H，若
的最小值为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
【解析】由题，设原点为
，
根据双曲线的定义可知
，且
（当且仅当
为线段
上的点时等号成
立），
所以
，
因为
的最小值为
，即
，
所以
，此时
为渐近线的垂线，
因为双曲线的一条渐近线为
,
所以在
中，
，
52
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因为
，所以
，即
，
所以
，则
.
故选：B
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线
，
，过右焦点作
，
，
由于渐近线方程为
，故
，且斜边
，故
，故
，
.
【变式8-1】已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过
作直线，使得它双
曲线的一条渐近线垂直且垂足为点
，与双曲线的右支交于点
，若线段
的垂直平分线恰好过
的右
焦点
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接
，不妨设点
在第三象限，则直线
的方程为
，即
，
53
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点
到直线
的距离为
，
记线段
的中点为
，则
，且
，
又因为
为
的中点，则
为
的中点，则
，
因为
，所以，
，
由双曲线的定义可得
，
由勾股定理可得
，即
，整理可得
，
因此，双曲线
的离心率为
.
故选：C.
【变式8-2】已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，以
为直径的圆与双曲线的一
条渐近线交于点
（异于坐标原点
），若线段
交双曲线于点
，且
则该双曲线的离心率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不妨设渐近线的方程为
，因为
，
为
的中点，
54
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所以
为
的中点，
将直线
，
的方程联立
，可得
，
又
，所以
即
，
又
点在双曲线上，所以
，解得
，
所以该双曲线的离心率为
，
故选：A.
1．已知
、
分别是双曲线
的左、右焦点，过
作双曲线
的一条渐近线的垂
线，分别交两条渐近线于点
、
，过点
作
轴的垂线，垂足恰为
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
55
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【解析】设点
位于第二象限，可求得点
的坐标，再由直线
与直线
垂直，转化为两直线斜率
之积为
可得出
的值，进而可求得双曲线
的离心率.设点
位于第二象限，由于
轴，则点
的
横坐标为
，纵坐标为
，即点
，
由题意可知，直线
与直线
垂直，
，
，
因此，双曲线的离心率为
.
故选：B.
题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
【典例9-1】已知双曲线
：
的一个焦点为
，过
作双曲线
的一条渐近线的垂
线，垂足为
.若
(
为坐标原点)的面积等于
( 为双曲线
的半焦距)，则双曲线
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】设双曲线
：
的右焦点
，
双曲线
的一条渐近线方程设为
，
56
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可得
，
，
的面积为
，即有
，
化为
，
，解得
.
故选：A.
【典例9-2】已知双曲线
的左焦点为
，过点
的直线与两条渐近线的交点分别
为
两点(点
位于点M 与点N 之间)，且
，又过点
作
于P(点O 为坐标原点)，
且
，则双曲线E 的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】不妨设
在第二象限，
在第三象限，如下图所示：
因为
，
，所以
，
所以
，
，
又
，所以
，
57
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所以
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
.
故选：C.
利用几何法转化
【变式9-1】过双曲线
的焦点
作其渐近线的垂线，垂足为
，直线
交双曲线的另一条渐近
线于
点，
为坐标原点，若
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，双曲线的渐近线
，
，
由
，
，可得
，
由
可知
为线段
的中点，
58
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又
可得直线
为线段
的垂直平分线，
由
，即
，可得
，
，因此，双曲线的离心率为
.
故选：B.
【变式9-2】过双曲线C：
(a>0，b>0)的右焦点F 引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于
第二象限，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）
A．(
，+∞)
B．(
，+∞)
C．(2，+∞)
D．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由题意双曲线C：
的渐近线
，右焦点
，
不妨设过右焦点
与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为
与
联立得
，所以
，
，所以交点坐标为
，因
为交点在第二象限，所以
，因为
，
，
，所以
，
，所以
，
即
，因为
，所以
，即
故选：A
1．已知双曲线
，过右焦点
作
的一条渐近线的垂线，垂足为点
，与
的
59
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另一条渐近线交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
双曲线的渐近线方程为
，即
，
所以，
，则
，
因为
，则
，
设
，则
，所以，
，
，
，
由二倍角的正切公式可得
，即
，可得
，
因此，
.
故选：A.
60
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题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
【典例10-1】设
，
是双曲线
：
的左、右焦点，以线段
为直径的圆与直线
在第一象限交于点
，若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】由题意可得
，
即有
为等腰三角形，
设
，
则
，
所以
即为
，
61
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所以
，
故选：A
【典例10-2】已知
，
分别为双曲线
：
的左，右焦点，以
为直径的圆与
双曲线
的右支在第一象限交于
点，直线
与双曲线
的右支交于
点，点
恰好为线段
的三等
分点(靠近点
)，则双曲线
的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
，
由双曲线的定义可得：
，
，
因为点
在以
为直径的圆上，所以
，
所以
，即
，解得：
，
在
中，
，
，
，
由
可得
，即
，
所以双曲线离心率为
，
故选：C.
62
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以F1F2为直径作圆，交一条渐近线
y=b
a x
于点B ，BF 1交另一条渐近线于点A ，则令∠BOF 2=α ,则
∠BF 1F2=α
2 ，e=√1+tan2α
【变式10-1】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，以
为直径的圆与
的一条渐近线在第一象限交点为
，直线
与另一条渐近线交于点
．若点
是线段
中点，则双曲
线
的离心率是（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】B
【解析】如图，点Q 是以
为直径的圆的弦
中点，则
，于是得
，
63
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因直线
是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知
，因此有
，
则有直线
的斜率
，离心率
，
双曲线
的离心率是2
故选：B
1．已知双曲线
的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C 在第
一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接
， 设
，
则由题意可得
是直角三角形，
由
恰好为正三角形得，
，
64
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∴
，∴
，
，
．
故选：C．
题型十一：渐近线平行线与面积问题
【典例11-1】已知
，
分别为双曲线C：
的左、右焦点，过
作C 的两条渐近线
的平行线，与渐近线交于M，N 两点．若
，则C 的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】易知MN 关于x 轴对称，令
，
，
∴
，
，∴
，∴
．
65
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，
，
，
∴
，
∴
．
故选: C.
【典例11-2】已知
分别为双曲线
的左、右焦点，过
作
的渐近线的平行
线，与渐近线在第一象限交于
点，此时
，则
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】C
【解析】
因为双曲线
，则其渐近线方程为
，
且
，过
作
的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于
点，
则直线方程为
，联立直线方程
，解得
，
所以
，过点
作
轴的垂线，交
轴于点
，
66
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因为
，则
，
则
，且
，
即
，化简可得
，则
.
故选：C
①双曲线C：
上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
a2b2
c2
②双曲线C：
上的任意点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别交于A ，B 两点，则
|PA||PB|是一个常数
c2
4 ，
SAOBP =ab
2 ，⃗
OA⋅⃗OB = a2−b2
4
【变式11-1】已知双曲线
上一点
坐标为
为双曲线
的右焦点，
且
垂直于
轴.过点
分别作双曲线
的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于，
则该双曲线的离心率是 .
【答案】
或
67
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【解析】由题意知，
，
双曲线
的渐近线方程为
，
设过点
且与渐近线
平行的直线与渐近线
相交于点
，如图所示，
直线
的方程为
，
将其与
联立，解得
，
，即
，
，
，
点
，
到直线
的距离为
，
所围图形面积等于1，
，即
，
化简得
，
点
，
在双曲线上，
，即
，
，
又
，
，
或
，
，
离心率
或
．
68
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故答案为：
或
．
【变式11-2】已知
、
分别为双曲线
的左、右焦点，过
作
的两条渐近线
的平行线分别交两条渐近线于
、
两点.若
为等腰直角三角形，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立
可得
，即点
，
因为
为等腰直角三角形，由对称性可知，
、
关于
轴，
所以，
，所以，
，
69
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所以，
，可得
，故
，
故该双曲线的离心率为
，
故选：D.
1．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
是双曲线
上的任意一点，过点
作
双曲线
的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于
，
两点，若四边形
（
为坐标原点）
的面积为
，且
，则点
的纵坐标的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设双曲线
的渐近线为
,
,
,则直线
方程为
,联立直
线
方程可求出点
,即可得到
,再求得点
到直线
的距离
,即可利用四边形
的面积求出
,再利用条件
求出
的取值范围即可.由题意可知,四边形
为平行四边形,
不妨设双曲线
的渐近线为
,
,
设点
,则直线
方程为
,
且点
到直线
的距离
.
70
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联立
,解得
,∴
,
∴
,
设四边形
的面积为,则
,
又∵
,∴
,
∴
,∴
,
∴双曲线
的标准方程为
,
∴
,
,∴
,
,
∴
,
又∵
,∴
,解得
,
故选:D.
重难点突破：数形结合转化长度角度
【典例12-1】已知
分别为双曲线
的左、右焦点，
是
左支上一点，
，若存在点
满足
，则
的离心率为 .
71
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【答案】
【解析】
因为
，所以
是
的中点，又
为
的中点，
所以
，因为
，所以
，所以
，
设
，则
，
，且
在双曲线上，
则
，即
，又
，即
，
所以
.
故答案为：
.
【典例12-2】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点P 是C 的右支上一点，
连接
与y 轴交于点M，若
（O 为坐标原点），
，则双曲线C 的离心率为
【答案】
/
【解析】
72
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依题意有
所以
，
设
又
所以
、
在
中，
所以
，
故有：
即
解得：
即
在
中，有
即
，
所以
故答案为：
.
数形结合
【变式12-1】已知双曲线
的左､右焦点分别为
，点
在
的左支上，
，
，延长
交
的右支于点
，点
为双曲线上任意一点（异于
两点），
则直线
与
的斜率之积
.
【答案】2
73
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【解析】依题意，设双曲线
的半焦距为，则
，
因为
是
的中点，所以
，故由
得
，
又因为
，所以
，
在
中，
，
在
中，
，
所以
，解得
，所以
，
所以双曲线方程为
，则
，
设
，
，
，
所以
，
故答案为：2
【变式12-2】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在
上，且
，射线
分别交
于
两点（
为坐标原点），若
，则
的离心率为
．
【答案】
74
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【解析】由双曲线的对称性得
，由
，得
，
不妨设点
在
的右支上，且
，
在
中，由双曲线定义知
，
由勾股定理得
，
则
，
且
又
，
，所以
，
则在
中，由
，得
，
化简得
，
即
，所以
，
所以
，化简得
.
所以
的离心率为
.
故答案为：
.
75
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1．已知双曲线
：
的左右焦点分别为
，
，
为坐标原点，
，
为
上位于
轴上方的两
点，且
，
．记
，
交点为
，过点
作
，交
轴于点
．若
，则双曲线
的离心率是 ．
【答案】
【解析】做出图像，如图所示，则
，
在
中，由
得，
，
设
，则
，
所以
，解得
，即
，
在
中，由
得，
，
设
，则
，
所以
，解得
，即
，
因为
，
所以
，
则
，即
，
76
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所以
，解得
，
所以
，
由
可得，
，则
，
所以
，整理得
，解得
，
故答案为：
．
77
