数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立问题、数列递推问题专项训练
考点目录
奇偶数列问题
数列不等式恒成立问题
数列递推问题
1．（24-25 高二下·广东广州·期末）已知数列
na
的通项公式
2,
1,
n
n
a
n
n
ì
= í +
î
为奇数
为偶数，则数列
na
的前10 项和为
（ ）
A．35
B．40
C．45
D．50
【答案】C
【详解】因为
2,
1,
n
n
a
n
n
ì
= í +
î
为奇数
为偶数，
则
10
1
3
5
7
9
2
4
6
8
10
5(3 11)
(
)
(
)
5 2
45
2
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
= ´ +
=
．
故选：C
2．（24-25 高二下·四川眉山·期末）已知数列{
}
na
的通项公式为
2
1,
2 ,
n
n
n
n
a
n
-
ì
= í
î
为奇数
为偶数
，则数列{
}
na
的前n 项和
10
S
=
（ ）
A．107
B．1409
C．1414
D．112
【答案】B
【详解】因为
2
1,
2 ,
n
n
n
n
a
n
-
ì
= í
î
为奇数
为偶数
，
则
5
10
1
3
5
7
9
2
4
6
8
10
5(1 17)
4(1 4 )
(
)
(
)
1409
2
1 4
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
-
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
=
-
．
故选：B．
3．（25-26 高三上·河北·开学考试）已知数列
na
的首项为1，
1
2
1
1
n
n
n
n
a
n
a
n
a
n
+
+
ì
-
ï
= í
ï
+
î
，为奇数
，为偶数
，则数列
na
的前20 项
和为（ ）
A．190
B．380
C．210
D．420
【答案】C
考点一
奇偶数列问题
【详解】根据
1
2
1
1
n
n
n
n
a
n
a
n
a
n
+
+
ì
-
ï
= í
ï
+
î
，为奇数
，为偶数
，由
1
1
a = 可得，
2
1
3
1
2,
1
a
a
=
- =
3
2
1
3
a
a
=
+ =
，
4
3
5
1
4,
3
a
a
=
- =
5
4
1
5
a
a
=
+ =
，
6
5
7
1
6,
5
a
a
=
- =
由此可归纳通项公式为
na
n
=
，
则
20
1
2
20
1
20
20
1
2
20
210
2
S
a
a
a
+
´
=
+
+×××+
= +
+×××+
=
=
，
故选：C.
4．（24-25 高二下·广西钦州·期末）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
2
2
a = ，且
2
1
,
,
n
n
n
n
a n
a
a
a n
+
+
ì
= í
-
î
为奇数
为偶数，则
na
的前51
项的和为（ ）
A．37
B．40
C．42
D．46
【答案】B
【详解】当n 为奇数时，
2
n +
也是奇数，因为
2
n
n
a
a
+ =
，所以当n 为奇数时，
1
1
na
a
=
= ，
2
2
a = ，令
2
n =
，则
4
3
2
1 2
1
a
a
a
=
-
= -
= - ，令
4
n =
，则
6
5
4
1
1
2
a
a
a
=
-
= - -
=
，
令
6
n =
，则
8
7
6
1 2
1
a
a
a
=
-
= -
= - ，令
8
n = ，则
10
9
8
1
1
2
a
a
a
=
-
= - -
=
，
以此类推，偶数项为2 和1
- 交替，
前51项中有26 项奇数项，和为26 1
26
´ =
，
有25 项偶数项，有13个2 、12个1
- ，和为
13 2 12
1
14
´ +
´ -
=
，
所以
na
的前51 项的和为26 14
40
+
=
.
故选：B.
5．（24-25 高二下·贵州六盘水·期末）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
1
2,
,
2
,
,
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
î
为奇数
为偶数则
100
a
= （ ）
A．
50
5 2
2
´
-
B．
50
5 2
4
´
-
C．
49
5 2
2
´
-
D．
49
5 2
4
´
-
【答案】C
【详解】∵
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
k
k
k
k
a
a
a
a
-
-
-
+
=
+
+
=
+
=
+
又
2
1
2
2
2
5
a
a
+
=
+
+
=
，∴
2
2
k
a
+
成以首项为5 ，公比为2 的等比数列
1
2
2
5 2k
k
a
-
+
= ´
，
1
2
5 2
2
k
k
a
-
= ´
-
，即
49
100
5
2
2
a
=
-
´
．
故选：C
6．（2025·海南海口·模拟预测·多选）若数列{
}
na
满足：
1
,
2
3,
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
ìï
= í
ï
-
î
当
为偶数时
当
为奇数时
，已知
4
1
a = ，则
4
S =（ ）
A．14
B．15
C．17
D．18
【答案】ABD
【详解】解：由题意可知，当
na 为偶数时，
1
2
n
n
a
a + =
；当
na 为奇数时，
1
3
n
n
a
a
+ =
- ，
因为
4
1
a = ，所以
3
2
a =
，则
2
4
a =
或
2
5
a =
，
若
2
4
a =
，则
1
8
a = 或
1
7
a =
，
所以
4
8
4
2 1
15
S =
+
+
+ =
或
4
7
4
2 1 14
S =
+
+
+ =
；
当
2
5
a =
时，则
1
10
a =
，所以
4
10
5
2 1 18
S =
+ +
+ =
，
综上所述，
4
S 的所有可能取值为14，15，18．
故选：ABD．
7．（25-26 高三上·湖南怀化·开学考试·多选）已知
n
S 是数列
na
的前n 项和，
1
1
a = ，
1
1,
2,
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
+
î
为奇数
为偶数，则
（ ）．
A．
na
是递增数列
B．
5
7
a =
C．
10
13
a
=
D．
20
300
S
=
【答案】ABD
【详解】对于A，由数列递推式，无论n 为奇数，还是偶数，都有
1
0
n
n
a
a
+ -
>
成立，故
na
是递增数列，A 正
确；
对于B，若n 为奇数，则
1
n + 是偶数，
2
n +
是奇数，
所以
1
1
n
n
a
a
+ =
+ ，
2
1
2
3
n
n
n
a
a
a
+
+
=
+
=
+ ，即
2
3
n
n
a
a
+ -
=
，
则数列
na
的奇数项构成首项为
1
1
a = 、公差为3 的等差数列，
故
5
1
3 1
3
7
a = +
-
´ =
，B 正确；
对于C，若n 为偶数，则
1
n + 是奇数，
2
n +
是偶数，
所以
1
2
n
n
a
a
+ =
+
，
2
1
1
3
n
n
n
a
a
a
+
+
=
+ =
+ ，即
2
3
n
n
a
a
+ -
=
，
则数列
na
的偶数项构成首项为
2
1
1
2
a
a
=
+ =
、公差为3 的等差数列，
故
10
2
5 1
3
2 12
14
a
a
=
+
-
´ =
+
=
，C 错误；
对于D，由前面分析得
20
1
3
5
19
2
4
6
20
S
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
L
L
10 9
10 9
10 1
3 10 2
3
300
2
2
´
´
=
´ +
´ +
´ +
´ =
，D 正确．
故选：ABD
8．（2025·湖北黄冈·二模）已知数列
na
的首项为
1a ，前n 项和为
n
S ，且
1
1,
2
1,
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
+
î
为奇数
为偶数，若
16
2000
2510
S
<
<
，则
1a 的取值范围为
【答案】(1,2)
【详解】当n 为奇数，则
2
2(
1) 1
2
3
n
n
n
a
a
a
+ =
+
+ =
+ ，即
2
3
2(
3)
n
n
a
a
+ +
=
+
，
所以
3
na +
的奇数项是首项为
1
3
a + ，公比为2 的等比数列，
则
1
2
1
3
(
3) 2
n
na
a
-
+
=
+
×
，即
1
2
1
(
3) 2
3
n
na
a
-
=
+
×
- ，
当n 为偶数，则
2
(2
1) 1
2
2
n
n
n
a
a
a
+ =
+
+ =
+
，即
2
2
2(
2)
n
n
a
a
+ +
=
+
，
所以
2
na +
的偶数项是首项为
2
1
2
3
a
a
+
=
+
，公比为2 的等比数列，
则
2
1
2
(
3) 2
n
n
a
a
+
=
+
×
，即
2
1
(
3) 2
2
n
n
a
a =
+
×
-
，
所以
16
1
3
15
2
4
16
(
)
(
)
S
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
+
+
L
L
8
8
1
1
(
3)(1 2 )
(
3)(1 2 )
24
16
1 2
1 2
a
a
+
-
+
-
=
-
+
-
-
-
9
1
(
3)(2
2)
40
a
=
+
-
-
，
若
16
2000
2510
S
<
<
，则
1
2040
2550
3
3
510
510
a
-
<
<
- ，即
1
1
2
a
<
<
.
故答案为：(1,2)
9．（24-25 高二下·河南南阳·期中）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
1
3,
2
,
n
n
n
a
n
n
a
a n
+
+
-
ì
= í
î
是奇数，
是偶数，
则数列
na
的前20 项和
20
S
=
．
【答案】1756
【详解】由数列
na
满足
1
1
a = ，
1
3,
2
,
n
n
n
a
n
n
a
a n
+
+
-
ì
= í
î
是奇数
是偶数
，
得
2
2
(2
1) 1
2
1
2
1
(2
1)
3
2
2
n
n
n
n
a
a
a
n
a
n
+
+
+
+
+
=
=
+
+
-
=
+
-
，
又
2
1
2
2
n
n
a
a
+ =
，所以
2
2
(2
1) 1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
+
+
+
=
=
+
-
，
令
2
2
n
n
b
a
n
=
+
，可得
1
2
2
2
2(
1)
2
4
n
n
n
b
a
n
a
n
+
+
=
+
+
=
+
，
所以
1
2
2
2
4
2
2
n
n
n
n
b
a
n
a
n
b
+
+
=
=
+
，由
1
1
a = ，可得
2
1
1 3
1
a
a
=
+ -
= - ，所以
1
2
2
1
b
a
=
+
= ，
所以数列
nb
表示首项为1，公比为2 的等比数列，
所以
1
2n
nb
-
=
，所以
1
2
2
2
n
n
a
n
-
=
-
，
则
1
2
1
2(
1) 1
2(
1)
2
2
4(
1),(
2)
n
n
n
n
a
a
a
n
n
-
-
-
+
-
=
=
=
-
-
³
，
因为
1
1
a = ，适合上式，所以
1
2
1
2
4(
1)
n
n
a
n
-
- =
-
-
，
所以数列
na
的前20 项的和为
20
1
3
19
2
4
20
S
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
+
+
L
L
10
10
10
4 10
4
10
2
2 10
1 2
1 2
1756
1 2
2
1 2
2
×
´
-
×
+ ´
-
-
=
-
+
-
=
-
-
.
故答案为：1756
10．（24-25 高二下·云南临沧·阶段练习）已知数列
na
满足：
*
1
1
2
,
1,
,
1,
n
n
n
a n
a
a
n
a
n
+
ì
=
=
Î
í
+
î
N
为奇数
为偶数
．
(1)若
2
1
n
n
b
a
-
=
，求数列
nb
的通项公式；
(2)若
n
S 为数列
na
的前n 项和，求
100
S
．
【答案】(1)
2
1.
n
nb =
-
(2)
51
3 2
156
´
-
．
【详解】（1）依题意，
*
N
k Î
，当
2
1
n
k
=
- 时，
2
2
1
2
k
k
a
a
-
=
，当
2
n
k
=
时，
2
1
2
1
k
k
a
a
+ =
+ ，
则
2
1
2
1
2
1
k
k
a
a
+
-
=
+ ，
2
1
2
1
1
2(
1)
k
k
a
a
+
-
+ =
+
，而
2
1
n
n
b
a
-
=
，则
1
1
2(
1)
k
k
b
b
+ + =
+
，
因此数列
1
nb +
是以
1
1
1
1
2
b
a
+ =
+ =
为首项，2 为公比的等比数列，
1
1
2 2
2
n
n
nb
-
+ =
×
=
，
所以数列
nb
的通项公式
2
1.
n
nb =
-
（2）由（1）知，
2
1
2
1
k
k
a
- =
- ，则
2
2
1
2
k
k
a
a
-
=
=
1
2
2
k+ -
，
1
2
2
2
2
1,
2
2,
n
n
n
n
a
n
+
+
ì
-
ï
= í
ï
-
î
为奇数
为偶数
，
所以
100
1
3
99
2
4
100)
(
)
(
S
a
a
a
a
a
a
=
+
+×××+
+
+
+×××+
2
50
2
3
51
(2
2
2
50)
(2
2
2
2 50)
=
+
+×××+
-
+
+
+×××+
- ´
50
2
50
2(1 2 )
2 1 2
50
100
1
(
2
)
1 2
-
-
=
-
+
-
-
-
51
3 2
156
= ´
-
.
11．（25-26 高三上·浙江温州·开学考试）在已知数列
na
中，
1
1
1
1
2
,
3
2,
3
,
2
n
n
n
n
n
n
n
a n
a
a
a n
+
+
+
ì
ïï
=
= í
ï
ïî
为偶数
为奇数
(1)求数列
na
的通项公式.
(2)数列
na
中是否存在不同的三项
*
,
,
, ,
p
q
r
a
a a
p q r ÎN
恰好成等差数列？若存在，求出
, ,
p q r 的关系；若不存
在，请说明理由.
【答案】(1)
2 ,
3 ,
n
n
n
n
a
n
ì
= í
î
为奇数
为偶数
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由题意得
2
2
1
2
1
3
3
9
0
2
a
a
×
=
=
=
¹
，
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
3
3
2
9
2
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
-
-
-
-
-
=
=
×
=
，
所以
2n
a
成等比数列，故
1
2
2
2 9
9
3
n
n
n
n
a
a
-
=
×
=
=
；
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
3
2
4
3
3
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
+
+
-
-
-
-
=
=
×
=
=
，而
1
2
0
a =
¹
，
所以
2
1
n
a
-
成等比数列，故
1
1
2
1
2
1
1 4
2 4
2
n
n
n
n
a
a
-
-
-
- =
×
=
×
=
，故
2 ,
3 ,
n
n
n
n
a
n
ì
= í
î
为奇数
为偶数；
（2）设
na
中存在不同的三项
*
,
,
, ,
p
q
r
a
a a
p q r ÎN
恰好成等差数列，
①若
, ,
p q r 均为奇数，不妨设p
q
r
<
<
，则
2
p
r
q
a
a
a
+
=
，即2
2
2 2
p
r
q
+
=
×
，
得
1
1
2
2
r
p
q p
-
- +
+
=
，因为1 2r
p
-
+
是奇数，
1
2q p
- + 是偶数，故
1
1
2
2
r
p
q p
-
- +
+
=
不可能成立；
②若
, ,
p q r 二奇一偶，不妨设
,p q 为奇数，r 为偶数，
则
,
p
q
a
a 为偶数，
ra 为奇数，则
2
p
q
r
a
a
a
+
=
，即2
2
2 3
p
q
r
+
=
×
，
因为
1
1
1
1
2
3 1
3
C 3
1
C
3
1
1
p
p
p
p
p
p
p
p
-
-
-
=
-
=
+
-
+
+
-
-
L
被3 除余2，同理2q 也被3 除余2，
故2
2
p
q
+
被3 除余1，而2 3r
×
为3 的倍数，故2
2
2 3
p
q
r
+
=
×
不可能成立；
③若
, ,
p q r 一奇二偶，不妨设
,p q 为偶数，r 为奇数，则
,
p
q
a
a 为奇数，
ra 为偶数，
则
2
p
q
r
a
a
a
+
=
，即3
3
2 2
p
q
r
+
=
×
，
因为3
3
p
q
+
为3 的倍数，2 2r
×
不是3 的倍数（被3 除余1），故3
3
2 2
p
q
r
+
=
×
不可能成立；
④若
, ,
p q r 均为偶数，不妨设p
q
r
<
<
，则
2
p
r
q
a
a
a
+
=
，即3
3
2 3
p
r
q
+
=
×
，
得1 3
2·3
r
p
q p
-
-
+
=
，因为1 3r
p
-
+
被3 除余1,2 3q p
-
×
是3 的倍数，故3
3
2 3
p
r
q
+
=
×
不可能成立，
综上
na
中不存在不同的三项
*
,
,
, ,
p
q
r
a
a a
p q r ÎN
恰好成等差数列.
12．（2025·云南玉溪·模拟预测）设
na
是等差数列，
nb
是等比数列，
1
1
1
a
b
=
= ，且
2
2
3
3
1
a
b
a
b
-
=
-
= .
(1)求
na
与
nb
的通项公式；
(2)设
2
2
2
,
2
1,
1
,
2 ,
log
log
n
n
n
n
a n
k
k
c
n
k k
b
b
*
*
+
ì
=
-
Î
ï
= í
=
Î
ïî
N
N ，求
nc
的前2n 项和
2n
T ．
【答案】(1)
2
1
na
n
=
- ，
1
2n
nb
-
=
；
(2)
2
2
2
1
n
n
n
n
-
+
+
【详解】（1）
na
是等差数列，设公差为d ，
nb
是等比数列，设公比为q ，则
0
q ¹
，
因为
1
1
1
a
b
=
= ，
2
2
3
3
1
a
b
a
b
-
=
-
= ，
所以
2
2
2
3
3
1
1
1
2
1
a
b
d
q
a
b
d
q
-
= +
-
=
ì
í
-
= +
-
=
î
，解得
2
d
q
=
=
或
0
d
q
=
=
（舍去）
所以
1
2
1
2
1
na
n
n
= +
-
=
- ，
1
2n
nb
-
=
；
（2）
2
1,
2
1,
1
,
2 ,
1
1
n
n
n
k
k
c
n
k k
n
n
*
*
ì
-
=
-
Î
ï
= í
=
Î
ï
-
+
î
N
N ，
2
1
2
2
1
3
2
1
2
4
2
n
n
n
n
T
c
c
c
c
c
c
c
c
c
-
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
L
L
L
1
1
1
1 5
4
3
1 3
3 5
2
1
2
1
n
n
n
æ
ö
=
+ +
+
-
+
+
+
+
ç
÷
ç
÷
´
´
-
+
è
ø
L
L
1
4
3
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
5
2
1
2
1
n
n
n
n
+
-
æ
ö
=
+
-
+
-
+
+
-
ç
÷
-
+
è
ø
L
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
æ
ö
=
-
+
-
=
-
+
ç
÷
+
+
è
ø
.
13．（24-25 高二下·河南商丘·期末）已知数列
na
的首项是
1
1,
1,
2,
.
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
+
î
为奇数，
为偶数
(1)证明：
na
的奇数项成等差数列；
(2)求
na
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
2
3
,
4
3
1 ,
.
4
4
n
n
n
S
n
n
ì
ïï
= í
ï
+
ïî
为偶数，
为奇数
【详解】（1）证明：若n 为奇数，则
1
n + 是偶数，
2
n +
是奇数，
所以
1
2
1,
1
2
3
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
+
=
+
=
+
+
=
+ ，即
2
3
n
n
a
a
+ -
=
，
所以
na
的奇数项是首项为
1
1
a = ，公差为3 的等差数列．
（2）当
*
2
n
k k
=
ÎN
时，
2
1
3
5
2
1
2
4
6
2
n
k
k
k
S
S
a
a
a
a
a
a
a
a
-
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
L
L
1
3
5
2
1
1
3
5
2
1
1
1
1
1
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
=
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+
L
L
1
3
5
2
1
1
(
1)
2
2
3
2
k
k k
a
a
a
a
k
ka
k
-
-
é
ù
=
+
+
+
+
+
=
+
´
+
ê
ú
ë
û
L
2
2
2
3
3
3
2
4
n
k
n
æ
ö
=
= ´
=
ç
÷
è
ø
.
因为
2
2
1
1
1
3(
1) 1
3
1
k
k
a
a
a
k
k
-
=
+ =
+
-
+ =
- ，
所以当
*
2
1
n
k
k
=
-
ÎN
时，
2
2
1
2
2
3
3
1
n
k
k
k
S
S
S
a
k
k
-
=
=
-
=
-
+
2
2
1
1
3
1
3
3
1
2
2
4
4
n
n
n
+
+
æ
ö
= ´
- ´
+ =
+
ç
÷
è
ø
.
综上所述，
2
2
3
,
4
3
1 ,
.
4
4
n
n
n
S
n
n
ì
ïï
= í
ï
+
ïî
为偶数，
为奇数
.
14．（25-26 高三上·浙江·开学考试）记
n
S 为正项数列
na
的前n 项和，已知
2
2
n
n
n
S
a
a
=
+
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
2
1
,
1,
n
n
n
n
n
a a
b
a
n
+
ì
ï
= í
ï
+
î
为奇数
为偶数
，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T .
【答案】(1)
na
n
=
(2)
2
2
2
1 +
+
+
n
n
n
n
【详解】（1）
2
2
(
0)
n
n
n
n
S
a
a a
=
+
>
，当
1
n = 时，
1
1
a = ,
当
2
n ³
时
2
1
1
1
2
n
n
n
S
a
a
-
-
-
=
+
，
两式相减得
2
2
1
1
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
-
-
=
-
+
-
，得
2
2
1
1
1
1
0
1
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
=
-
-
-
=
+
-
-
，
因为
0
na >
，所以
1
0
n
n
a
a -
+
>
，
1
1
2
n
n
a
a
n
-
\
-
=
³
，
na
\
为等差数列，
1
1
na
n
n
= +
-
=
；
（2）
2
1
1
,
2
1
1,
n
n
n
n
n
a a
n n
b
a
n
n
+
ì
=
ï
+
= í
ï
+ =
+
î
为奇数
为偶数
2
1
1
1
3
5
2
1
1 3
3 5
2
1
2
1
n
T
n
n
n
=
+ +
+ +
+
+
+
´
´
-
+
L
1
1
1
3
5
2
1
1 3
3 5
2
1
2
1
n
n
n
æ
ö
=
+
+
+
+
+ +
+
+
ç
÷
ç
÷
´
´
-
+
è
ø
L
L
3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
2
1
2
1
2
n
n
n
n
æ
ö
+
+
=
-
+
-
+
+
-
+
ç
÷
ç
÷
-
+
è
ø
L
2
2
2
1
n
n
n
n
=
+
+
+
15．（24-25 高二下·北京延庆·期中）已知各项均为正数的无穷数列
na
满足：
1
1
,
,
,
2
n
n
n
n
M
n
a
a
a
a
n
+
-
ì
ïï
= í
+
ï
ïî
为奇数
为偶数
，其中
M 是正实数.
(1)若
1
3
a =
，
10
M =
，写出
2a ，
3a ，
4a 的值；
(2)若数列
na
中存在一项
2
ka
k ³
，
ka
M
=
，证明：
1
1
k
k
a
a
M
-
+
=
=
；
(3)若数列
na
中每一项都不是
M ，证明：
k
*
" ÎN ，
2
2
2
4
2
3
2
1
k
k
k
k
a
a
M
a
a
+
+
+
+
<
<
<
<
.
【答案】(1)
2
10
3
a =
，
3
19
6
a =
，
4
60
19
a =
；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）
2
1
10
3
M
a
a
=
=
，
1
2
3
19
2
6
a
a
a
+
=
=
，
4
3
60
19
M
a
a
=
=
，
（2）因为
2
ka
M k
=
³
，
当k 是奇数时，
1
k + 、
1
k - 为偶数，
2
k -
为奇数，
1
k
k
M
a
M
a
+ =
=
，
1
2
2
k
k
k
a
a
a
M
-
-
+
=
=
，
1
2
k
k
M
a
a
-
-
=
，
可得
1
1
2
k
k
k
M
a
a
a
M
-
-
+
=
=
，整理得：
2
1
1
2
0
k
k
a
M a
M
-
-
-
+
=
，解得
1
ka
M
- =
，
当k 是偶数，
1
k + 、
1
k - 均为奇数，
1
k
k
M
a
a -
=
，所以
1
ka
M
- =
，
所以
1
1
2
k
k
k
a
a
a
M
-
+
+
=
=
，
综上，当
2
ka
M k
=
³
时，
1
1
k
k
a
a
M
-
+
=
=
.
（3）因为k
*
ÎN ，2k 是偶数，所以
2
2
1
2
1
2
k
k
k
a
a
a
-
+
+
=
，
对于
2k
a
而言，由于2
1
k - 为奇数，所以
2
2
1
k
k
M
a
a
-
=
，所以有
2
1
2
1
2
1
2
k
k
k
M
a
a
a
+
-
-
=
+
，
由于数列
na
每一项均为正数，所以利用基本不等式，有
2
1
2
1
2
1
2
2
k
k
k
M
a
a
M
a
+
-
-
=
+
³
，
由于
na
M
¹
取不到等号，故
2
1
k
a
M
+ >
，
所以数列
na
从第3 项开始，奇次项均大于
M ，
又因为
2
2
2
1
2
1
2
3
2
1
2
k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+
-
=
-
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
2
2
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
M
a
a
a
M
a
a
M
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
=
-
=
-
=
>
，
2
1
2
3
2
4
2
2
2
3
2
1
2
1
2
3
0
k
k
k
k
k
k
k
k
M a
a
M
M
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
=
-
=
>
×
，
同时有
2
2
2
1
k
k
M
M
a
M
a
M
+
+
=
<
=
，
所以数列
na
从第4 项开始，偶次项均小于
M ，
k
*
" ÎN ，
2
2
2
4
2
3
2
1
k
k
k
k
a
a
M
a
a
+
+
+
+
<
<
<
<
.
1．（24-25 高二上·广西百色·期末）已知
n
S 为数列
na
的前n 项和，且
2
2
n
n
S
a
=
-
，若
2
2log
3
n
n
a
a
l
³
+
对任意正
整数n 恒成立，则实数l 的取值范围是（ ）
A．
7
4
l >
B．
7
4
l ³
C．
5
2
l >
D．
5
2
l ³
【答案】D
【详解】数列
na
中，
2
2
n
n
S
a
=
-
，当
2
n ³
时，
1
1
2
2
n
n
n
n
n
a
S
S
a
a
-
-
=
-
=
-
，即
1
2
n
n
a
a -
=
，
当
1
n = 时，
1
1
1
2
2
a
S
a
=
=
-
，解得
1
2
a =
，则数列
na
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
因此
2n
na =
，
2
2
3
2log
3
2
n
n
n
n
a
a
l
l
+
³
+
Û
³
，依题意，
2
3
2n
n
l
+
³
对任意正整数n 恒成立，
令
2
3
2
n
n
n
c
+
=
，由
1
1
1
2
0
2
n
n
n
n
c
c
+
+
+
-
= -
<
，得
1
n
n
c
c
+ <
，即数列
nc
单调递减，
则
max
1
5
(
)
2
nc
c
=
=
，于是
5
2
l ³
，所以实数l 的取值范围是
5
2
l ³
.
故选：D
2．（24-25 高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知数列
na
满足
1
1
2
3
n
n
n
n
a a
a
a
+
+
+
=
，且
2
9
11
a =
，则使不等式
1
2
1
1
1
100
n
a
a
a
+
+
+
<
L
成立的n 的最大值为（ ）
A．98
B．99
C．100
D．101
【答案】B
【详解】由
1
1
2
3
n
n
n
n
a a
a
a
+
+
+
=
，
2
9
11
a =
可得
1
2
2
1
1
3
2
3
5
a a
a
a
a
+
=
Þ
=
，
易知
0
na ¹
，两侧同时除
1
n
n
a a + ，可得
1
1
3
2
n
n
a
a +
+
=
，整理得
1
1
1
1
3
1
n
n
a
a +
æ
ö
- =
-
ç
÷
è
ø
，
所以
1
1
na
ì
ü
-
í
ý
î
þ
是以
1
1
2
1
3
a - =
为首项，1
3 为公比的等比数列，
则
1
1
2 1
1
1
2
3 3
3
n
n
n
a
-
æ
ö
æ
ö
- =
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故
1
2
1
2
2
1
1
3
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
3
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
æ
ö
æ
ö
è
ø
- +
- +
+
- =
= -
=
+
+
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
-
L
L
，
故
1
2
1
1
1
1
1
3
n
n
n
a
a
a
æ
ö
+
+
+
=
+ -ç
÷
è
ø
L
，
考点二
数列不等式恒成立问题
易知
1
1
N
3
n
f n
n
n
*
æ
ö
=
+ -
Î
ç
÷
è
ø
单调递增，
99
100
1
1
99
100
100
100
101
3
3
f
f
=
-
<
<
=
-
，所以
max
99
n
=
.
故选：B
3．（24-25 高二下·江西九江·阶段练习）已知数列
na
满足
1
1
2
3
1
3
9
3
3
n
n
n
a
a
a
a
-
+
+
+
+
+
=
L
，设数列
na
的前n 项和
为
n
S ，若
n
S
k
<
恒成立，则实数k 的最小值为（ ）
A．2
3
B．
1
2
C．7
6
D．5
6
【答案】D
【详解】因为
1
1
2
3
1
3
9
3
3
n
n
n
a
a
a
a
-
+
+
+
+
+
=
L
，
所以当
2
n ³
时，
2
1
2
3
1
1 1
3
9
3
3
n
n
n
a
a
a
a
-
-
- +
+
+
+
+
=
L
，
所以
1
1
3
3
n
na
-
=
，
所以
1
3
n
n
a =
，
当
1
n = 时，
1
2
3
a =
，
所以当
1
n = 时，
1
1
2
3
S
a
=
=
，
当
2
n ³
时，
1
1
1
3
3
2
1
1
1
1
1
1
1 1
5
1 1
1
3
9
27
3
3
3
2
2 3
6
2 3
1
3
n
n
n
n
n
S
é
ù
æ
ö
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
æ
ö
æ
ö
ë
û
=
+
+
+×××+
=
+
=
+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
-
，
所以
5
1 1
6
2 3
n
n
S
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，
N
n
*
Î
，
1
n = 时，
1
2
3
S =
也适合，
由
n
S
k
<
恒成立，可得
5
6
k ³
，
所以k 的最小值为5
6 ，
故选：D.
4．（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列
na
、
nb
的前n 项和分别为
n
S 、
nT ，若
2
3
n
n
S
n
T
n
=
+
，对
n
*
" ÎN ，
0
M
$
>
，
n
n
a
M
b <
，则M 的最小值为（ ）
A．1
5
B．1
4
C．
1
2
D．1
【答案】C
【详解】等差数列
na
、
nb
的前n 项和分别为
n
S 、
nT ，且
2
3
n
n
S
n
T
n
=
+
，
则
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
3
4
1
2
1
2
1
1
3
1
2
2
2
2 2
1
3
4
1
4
1
2
2 4
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n a
a
n
S
na
a
n
n
n b
b
T
nb
b
n
n
n
n
-
-
-
-
+
+
-
-
-
=
=
=
=
=
=
=
-
<
+
-
+
+
+
+
，
且当n ® +¥ 时，
1
3
1
2
2 4
1
2
n
n
a
b
n
é
ù
=
-
®
ê
ú
+
ë
û
，
因为
n
*
" ÎN ，
0
M
$
>
，
n
n
a
M
b <
，则
1
2
M ³
，即M 的最小值为
1
2 .
故选：C.
5．（24-25 高二下·浙江·期中）已知数列
na
是等差数列，
1
1
n
n
n
b
a a +
=
，且
1
1
a = ，
1
1
3
b =
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，若不等式
nT
l ³
恒成立，则实数l 的最小值为（ ）
A．1
B．
1
2
C．1
3
D．1
4
【答案】B
【详解】由题设
1
1
2
2
1
1
1
3
b
a a
a
=
=
=
，则
2
3
a =
，又
na
为等差数列，则其公差
2
1
2
d
a
a
=
-
=
，
所以
1
(
1)
2
1
na
a
n
d
n
=
+
-
=
- ，故
1
1
1
1
(
)
(2
1)(2
1)
2 2
1
2
1
nb
n
n
n
n
=
=
-
-
+
-
+
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(1
)
(1
)
2
3
3
5
2
1
2
1
2
2
1
2
nT
n
n
n
=
-
+
-
+
+
-
=
-
<
-
+
+
L
，而不等式
nT
l ³
恒成立，
所以
1
2
l ³
，即实数l 的最小值为
1
2 .
故选：B
6．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
a =
，
1
2
2
1
n
n
S
a
n
+
=
-
+
，数列
nb
满足
1
1
n
n
n
n
a
b
a a +
+
=
，记
nb
的前n 项和为
nT ，若
nT
m
<
恒成立，则m 的最小值为（ ）
A．1
B．
1
2
C．1
3
D．1
4
【答案】D
【详解】因为
1
2
2
1
n
n
S
a
n
+
=
-
+
，①
当
1
n = 时，
1
2
2
4
a
a
=
-
，∵
1
2
a =
，∴
2
8
a =
；
当
2
n ³
时，
1
2
2
n
n
S
a
n
- =
-
，②
①②两式相减得
1
2
2
n
n
n
a
a
a
+
=
-
- ，整理，得
1
3
2
n
n
a
a
+ =
+
∴
1
1
3
1
n
n
a
a
+ + =
+
2
n ³
，又
2
1
1
3
1
a
a
+ =
+
，
∴数列
1
na +
是首项为3，公比为3的等比数列.
∴
1
3n
n
a +
=
，∴
3
1
n
na =
- ．
∴
1
1
1
1
3
1
1
1
2 3
1
3
1
3
1 3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a a
+
+
+
+
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
-
-
-
-
è
ø .
∴
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
2 3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
2 2
3
1
n
n
n
n
T
+
+
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+××××××+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
-
-
-
-
-
-
-
è
ø
è
ø
.
对于
N
n
*
" Î
，
1
3
1
8
n+ - ³ ，
1
1
1
0
3
1
8
n+
<
£
-
，
1
3
1
1
1
8
2
3
1
2
n+
£
-
<
-
所以
1
1 1
1
3
1
,
2 2
3
1
16 4
n
n
T
+
æ
ö
é
ö
=
-
Î
ç
÷
÷
ê
-
è
ø
ë
ø
.
由
nT
m
<
恒成立，得
1
4
m ³
.
故选：D.
7．（24-25 高二上·云南大理·期末·多选）已知等比数列
na
的首项
1
0
a >
，公比为
1
q q ¹
，前n 项和为
n
S ，前n 项
积为
nT ，则（ ）
A．若数列
n
S
是递增数列，则
0
q >
B．当
1
1
a = 时，数列
nT
是常数列
C．当0
1
q
<
< 时，存在实数M ，使得
n
S
M
<
恒成立
D．若
5
6
4
T
T
T
>
>
，则使得
1
nT > 成立的n 的最大值为10
【答案】ACD
【详解】A：若数列
n
S
是递增数列，则当
2
n ³
时，
1
1
1
0
n
n
n
n
S
S
a
a q -
-
-
=
=
>
，
因为
1
0
a >
，所以
0
q >
，故A 正确；
B：
2
1
1
1
1 1
1
2
1
2
2
8
2
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
nT
a a q a q
a q
a
q
q
æ
ö
-
+ -
-
-
ç
÷
-
è
ø
=
×
×
=
×
=
L
，
因为
1
q ¹ ，所以数列
nT
不是常数列，故B 错误；
C：因为当0
1
q
<
< 时，
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
a
q
S
a
a q
a q
a q
a
q
q
-
-
=
+
+
+
+
=
×
<
-
-
L
，
故存在M ，使得
n
S
M
<
恒成立，故C 正确；
D：因为
2
1 1
1
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
nT
a
q
a
q
-
+ -
-
=
×
=
×
，若
5
6
4
T
T
T
>
>
，
则
5
10
6
15
4
6
1
1
1
a q
a q
a q
>
>
，
1
0
a >
，
所以
10
2
15
6
1
1
a q
a q
q
>
>
，所以
0
q >
，
4
5
1
1
a
a q
=
> ，
5
6
1
1
a
a q
=
< ，
5
6
1
a a > ，
所以
1 10
5
6
1
a a
a a
=
> ，
2
1 11
6
1
a a
a
=
< ，则使得
1
nT > 成立的n 的最大值为10，故D 正确.
故选：ACD.
8．（24-25 高二下·福建福州·期中·多选）已知
n
S 为数列
na
的前n 项和，且
2
4
n
n
S
a
=
-
，若
2
2log
1
n
n
a
l ³
+ 对任
意正整数n 恒成立，则实数l 的值可以为（ ）
A．13
2
B．11
2
C．5
D．9
2
【答案】ABC
【详解】由
2
4
n
n
S
a
=
-
，
当
1
n = 时，
1
1
1
2
4
a
S
a
=
=
-
，所以
1
4
a =
，
当
2
n ³
时，
1
1
2
2
n
n
n
n
n
a
S
S
a
a
-
-
=
-
=
-
，即
1
2
n
n
a
a -
=
，
所以数列
na
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
1
2n
na
+
=
，
则
2
2log
1
n
n
a
l ³
+ ，即为
1
2
2log 2
1
2
3
n
n
n
l
+
³
+ =
+ ，
所以
2
3
3
2
n
n
n
l
+
³
=
+
对任意正整数n 恒成立，
又因为
max
3
2
5
n
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，
所以
5
l ³
.
故选：ABC.
9．（24-25 高三上·江西宜春·阶段练习·多选）已知首项均为1 的等差数列和等比数列,
n
n
n
a
b
a 的公差d 恰好为
nb
公比的倒数，若
n
n
a
b
£
恒成立，则d 的取值可以是（ ）
A．2
-
B．
1
2
-
C．
1
2
D．
5
1
2
-
【答案】ACD
【详解】由题设
1
na
dn
d
=
+ -
，
1
1
n
n
b
d -
=
，
当
2
d = - ，则
3
2
na
n
=
-
，
1
1
(
)
2
n
nb
-
= -
，
若n 为奇数且
3
n ³
，则
0
n
n
b
a
>
>
，又
1
1
1
a
b
=
= ，此时
n
n
a
b
£
，
若n 为偶数，则
,
0
n
n
a b <
，令
*
2
N
n
k
=
Î
，则
2
1
|
|
1
| 4
3
1
| ( )
2
n
n
k
a
k
b
-
=
³ >
=
-
，此时
n
n
a
b
<
恒成立，
综上，
2
d = - 有
n
n
a
b
£
恒成立，A 对；
当
1
2
d = -
，则
3
2
2
n
n
a =
-
，
1
( 2)n
nb
-
= -
，此时
2
2
1
2
2
a
b
=
>
= - ，不合题设，B 错；
当
1
2
d =
，则
1 (
1)
2
na
n
=
+
，
1 2
2
n
nb =
×
，而
0
1
2
(1 1)
C
C
C
1
n
n
n
n
n
n
n
=
+
=
+
+
+
³ +
L
，
所以
n
n
a
b
£
，满足题设，C 对；
当
5
1
2
d
-
=
，则
5
1
3
5
2
2
na
n
-
-
=
+
，
1
5
1
(
)
2
n
nb
-
+
=
，
所以
5
1
5
1
2
2
na
n
+
-
=
+
，
5
1
5
1
(
)
2
2
n
nb
+
+
=
，
数学归纳法证明
5
1
(
)
2
n
+
³
5
1
2
n
-
+
对任意正整数都成立，
当
1
n = ，则
1
5
1
(
)
2
+
=
5
1
5
1
1
2
2
+
-
= +
，即两侧相等，
若n
k
=
，
2
k ³
的正整数时，
5
1
(
)
2
k
+
³
5
1
2
k
-
+
成立，
当
1
n
k
=
+ ，则
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
2
2
2
2
2
k
k
k
+
+
+
+
-
+
=
×
³
+
×
5
1
1
2
k
+
=
×
+ ，
而
5
1
5
1
5
1
1 (
1
)
(
1)
0
2
2
2
k
k
k
+
-
-
×
+ -
+ +
=
-
>
，即
5
1
5
1
1
1
2
2
k
k
+
-
×
+ >
+ +
，
综上，
1
5
1
(
)
2
k+
+
³
5
1
1
2
k
-
+ +
，故
1
n
k
=
+ 上述不等式也成立，
所以
5
1
(
)
2
n
+
³
5
1
2
n
-
+
对任意正整数都成立，D 对.
故选：ACD
10．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·开学考试）对数列
na
，
1
2
a =
，对于任意的,
N
n m
+
Î
，都有
m
n
m n
a
a
a +
×
=
，若
9
n
n
a
a
l £
+
对于任意的
N
n
+
Î
恒成立，则l 的最大值为 ．
【答案】25
4
【详解】根据题意，令
1
m = ，则
1
1
2
n
n
n
a
a
a
a
+ =
×
=
，所以数列
na
为等比数列，且
1
2
a =
，公比
2
q =
，
所以
2n
na =
.
对数列
9
n
n
a
a
ì
ü
+
í
ý
î
þ
，由
1
1
9
9
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
æ
ö
æ
ö
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
1
9
9
2
2
2
2
n
n
n
n
+
+
æ
ö
æ
ö
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
9
2
2
n
n+
=
-
.
随着n 的增大，
1
9
2
2
n
n+
-
的值越来越大.
且当
1
n = 时，
2
9
2
0
2
-
<
；当
2
n =
时，
2
3
9
2
0
2
-
>
.
所以数列
9
n
n
a
a
ì
ü
+
í
ý
î
þ
的最小值为：
2
2
9
9
25
4
4
4
a
a
+
=
+
=
.
由
9
n
n
a
a
l £
+
对于任意的
N
n
+
Î
恒成立，则l 的最大值为25
4 .
故答案为：25
4
11．（24-25 高三下·江苏南京·开学考试）已知各项均不为0 的数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
1
1
4
n
n
n
a a
S
+ +
=
．
（1）{
}
na
的通项公式为
na =
．
（2）若对于任意
*
N
nÎ
，2n
n
S
l
×
³
恒成立，则实数l 的取值范围为
．
【答案】
2
1
n -
9
[ ,
)
8 +¥
【详解】（1）Q
1
1
4
n
n
n
a a
S
+ +
=
，\
1
4
1
n
n
n
S
a a +
=
+ ，
当
2
n ³
时，可得
1
1
4
1
n
n
n
S
a
a
-
-
=
+ ，
两式相减得
1
1
4
(
)
n
n
n
n
a
a a
a
+
-
=
-
，
因为
0
na ¹
，故
1
1
4
n
n
a
a
+
-
-
=
，
所以
1
1
3
2
,
,...,
,...
n
a a
a
-
及
4
2
2
,
,...,
,...
n
a a
a
均为公差为4 的等差数列，
当
1
n = 时，由
1
1
a = 及
1
2
1
1
4
a a
S
+
=
，解得
2
3
a =
，
所以
2
1
1
4(
1)
2(2
1)
1
n
a
n
n
- = +
-
=
-
- ，
2
3
4(
1)
2(2 ) 1
n
a
n
n
=
+
-
=
- ，
所以数列{
}
na
的通项公式为
2
1
na
n
=
- ．
（2）由（1）知
2
1
na
n
=
- ，可得
2
(2
1)(2
1) 1
4
n
n
n
S
n
-
+
+
=
=
，
因为对于任意
*
N
nÎ
，2n
n
S
l
×
³
恒成立，所以
2
2n
n
l ³
恒成立，
设
2
2
n
n
n
b =
，则
2
2
2
1
1
1
(
1)
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
b
+
+
+
+
-
+
+
-
=
-
=
，
1,2
n =
时，
*
1
1
0,
,
3,
N
n
n
n
n
b
b
b
b
n
n
+
+
-
>
<
³
Î
时，
1
0
n
n
b
b
+ -
<
，
1
n
n
b
b +
>
，
所以
1
2
3
4
5
b
b
b
b
b
<
<
>
>
>L，故
max
3
9
(
)
8
nb
b
=
=
，所以
9
8
l ³
，
即实数l 的取值范围为9
[ ,
)
8 +¥ ．
故答案为：（1）
2
1
na
n
=
- ；（2）9
[ ,
)
8 +¥ ．
12．（25-26 高三上·山东日照·开学考试）已知数列
na
的通项公式是
2
1
na
n
=
- ，记
m
b 为
na
在区间
[ ,2 )(
)
m
m
m
+
ÎN
内的项的个数，则使得不等式
1
2025
m
m
b
b
+ -
>
成立的m 的最小值为 .
【答案】12
【详解】由
2
1
2m
m
n
£
-
<
，得
1
1
2
1
1
2
2
2
2
m
m
m
n
-
+
+
£
<
=
+
，
当m 为奇数时，
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
m
m
m
m
m
b
-
-
+
=
-
+ =
-
+
；
当m 为偶数时，
1
1
2
2
1
2
2
2
m
m
m
m
m
b
-
-
+
=
-
+ =
-
，
则当m 为奇数时，
1
1
1
1
1
(2
)
(2
)
2
1
2
2
2
m
m
m
m
m
m
m
b
b
-
-
+
+
-
=
-
-
-
+
=
- ，
由
1
2
1
2025
m- - >
，解得
12
m ³
，而m 为奇数，则
13
m ³
；
当m 为偶数时，
1
1
1
1
1
2
2
(2
)
(2
)
2
2
m
m
m
m
m
m
m
b
b
-
+
-
+
-
+
=
=
-
-
-
，由
1
2
2025
m- >
，解得
12
m ³
，
所以使得不等式
1
2025
m
m
b
b
+ -
>
成立的m 的最小值为12.
故答案为：12
13．（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
4
a =
，
4
10
S =
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求
na
的前n 项和
nT ；
(3)若
0
n
N
³
时，
2
2
3
1
2
n
n
S
a
n
<
-
+
-
恒成立，求正整数
0
N 的最小值．
【答案】(1)
5
na
n
=
-
(2)
9
,1
5
2
9
20,
6
2
n
n
n
n
T
n
n
n
ì
-
£
£
ïï
= í
-
ï-
+
³
ïî
(3)11
【详解】（1）设等差数列的公差为d ，
因为
1
4
a =
，
4
10
S =
，
所以
1
1
4
4 3
4
10
2
a
a
d
=
ìïí
´
+
=
ïî
，解得
1
4
1
a
d
=
ì
í
= -
î
，
所以
4
(
1) ( 1)
5
na
n
n
=
+
-
´ -
=
-
.
（2）由（1）可得
5
na
n
=
-
，
5
,1
5
5,
6
n
n
n
a
n
n
-
£
£
ì
= í -
³
î
，
当1
5
n
£
£
时，
4
5
9
2
2
n
n
n
n
n
T
+ -
-
=
=
，
当
6
n ³
时，
1
5
6
1
5
6
1
5
2
n
n
n
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+
-
+
+
= -
+
+
+
+
+
+
+
+
L
L
L
L
L
5
4
5
9
9
2
5 4
20
2
2
2
n
n
n
n
n
n
T
+ -
-
-
= -
+
= -
+ ´
= -
+
，
故
9
,1
5
2
9
20,
6
2
n
n
n
n
T
n
n
n
ì
-
£
£
ïï
= í
-
ï-
+
³
ïî
．
（3）因为
2
2
3
1
2
n
n
S
a
n
<
-
+
-
，
2
4
5
1
9
2
2
2
n
n n
S
n
n
+ -
=
= -
+
,
所以
2
2
1
9
2
5
3
1
2
2
2
n
n
n
n
æ
ö
-
+
<
-
-
+
-
ç
÷
è
ø
，
整理得
2
11
10
0
n
n
-
+
>
，解得
1
n < 或
10
n >
，
因为
*
nÎN ，
*
0
0
n
N
N
³
ÎN
，所以正整数
0
N 的最小值为11．
14．（25-26 高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）设数列
na
的前n 项和为
1
2
,
1
n
S
S
S
=
= ，且
1
n
n
S
S
+
ì
ü
í
ý
î
þ
是公差为
1
2 的等
差数列．
(1)证明：数列
!
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ
是等比数列；
(2)求
na
的通项公式；
(3)若
na
m
>
对于任意正整数n 均成立，求整数m 的最大值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
1
1,
1
1 !
2 ,
2
2
n
n
n
a
n
n
n
-
=
ìï
= í
-
×
-
³
ïî
(3) 1
-
【详解】（1）因为
1
2
1
S
S
=
= ，
由题意可知：数列
1
n
n
S
S
+
ì
ü
í
ý
î
þ
是以
2
1
1
S
S = 为首项，公差为
1
2 的等差数列，
则
1
1
1
1
1
2
2
n
n
S
n
n
S
+
+
= +
-
=
，可得
1
1
1 !
1
1
2
!
n
n
n
n
S
n
S
S
n
S
n
+
+
+
=
=
+
，
所以数列
!
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ
是以
1
1
1!
S = 为首项，公比为
1
2 的等比数列.
（2）由（1）可知：
1
1
1
1
1
!
2
2
n
n
n
S
n
-
-
æ
ö
= ´
=
ç
÷
è
ø
，即
1
!
2
n
n
n
S
-
=
，且
1
1
S = ，
当
2
n ³
时，则
1
1
2
1
1 !
1 !
2
!
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S -
-
-
-
-
-
×
-
=
-
=
-
=
，
所以
1
1,
1
1 !
2 ,
2
2
n
n
n
a
n
n
n
-
=
ìï
= í
-
×
-
³
ïî
.
（3）若
na
m
>
对于任意正整数n 均成立，
若
1
n = ，则
1
1
a
m
= >
，即
1
m < ；
若
2
n =
，则
2
0
a
m
=
>
，即
0
m <
；
可得
0
m <
，此时整数m 的最大值为1
- ，
若
3
n ³
，则
1
1 !
2
0
1
2
n
n
n
n
a
-
-
×
-
=
>
> - ，符合题意；
综上所述：整数m 的最大值为1
- .
15．（25-26 高三上·广西南宁·开学考试）已知
2
1
1
1 ,
3
6
n
n
n
n
a
a
a a
a
+
+
=
+
=
．
(1)求{
}
na
的通项公式；
(2)令
1
n
n
n
a
b
a +
=
，
nT 为
nb 的前n 项之积，求证：
1 1
2
2
3 3
1
1
1
1
ln
1
n
n
n
bT
b T
b T
b T
+
+
+
+
<
+
L
．
【答案】(1)
1
3
na
n
=
；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由
1
1
3
n
n
n
n
a
a a
a
+
+
+
=
，左右同时除以
1
n
n
a a + 得
1
1
1
3
n
n
a
a +
+
=
，
所以
2
1
1
1
1
3,
6
n
n
a
a
a
+
-
=
=
，则
1
1
3
a =
，
故
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
是以3 为首项，3 为公差的等差数列，
所以
1
3
3
1
n
n
a =
+
-
，可得
1
3
na
n
=
；
（2）令函数
ln
1,0
1
f x
x
x
x
=
-
+
<
< ，求导得
1
1
0
f
x
x -
¢
=
>
，
f x 在
0,1 上单调递增，
1
0
f x
f
<
=
，即ln
1
x
x
<
- ，
取
,
N
1
n
x
n
n
*
=
Î
+
，则
1
ln
1
1
1
1
n
n
n
n
n
<
- = -
+
+
+ ，于是
1
1
ln
1
n
n
n
+
<
+
，
由（1）知，
1
2 3
1
,
· · ·
1
1 2
n
n
n
n
b
T
n
n
n
+
+
=
=
=
+
L
,
1
1
1
ln
ln
1
ln
1
1
1
n
n
n
n
n
n
b T
n
n
n
n
+
=
<
<
=
+
-
+
+
+
，
所以
1 1
2
2
3 3
1
1
1
1
ln
1
ln1
ln
1
n
n
n
n
bT
b T
b T
b T
+
+
+
+
<
+
-
=
+
L
.
16．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）已知数列
na
满足
1
2
1
3
a
a
=
=
，
，且对任意正整数
3
n ³
有
1
2
3
2
n
n
n
a
a
a
-
-
=
-
，
数列
nb
满足
1
1
1
2
n
n
n
b
b
a
a
n
-
=
=
-
³
，
(1)证明：数列
nb
是等比数列；
(2)设
2
1
n
n
n
c
b
-
=
，数列
nc
的前n 项和
n
S ；
①求
n
S ；
②若不等式
2
1
2
n
n
n
n
S
l
-
-
<
+
对任意的正整数n 恒成立，求实数l 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
1
2
3
6
2
n
n
n
S
-
+
=
-
；②
9
3 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
，
【详解】（1）证明：因为
1
2
1
3
2
3
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
n
b
a
a
n
-
-
-
=
-
³
=
-
³
，
，
所以
1
1
2
1
1
1
2
1
2
3
2
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
a
a
a
a
n
b
a
a
a
a
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
=
=
³
-
-
．
因为
1
2
1
3
a
a
=
=
，
，所以
2
2
1
2
b
a
a
=
-
=
．
又
1
1
b = ，所以
2
1
2
b
b =
，即证得
nb
是首项为1，公比为2 的等比数列．
（2）①由（1）可得
1
2n
nb
-
=
，则
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
n
c
b
-
-
-
=
=
，
0
1
2
3
2
1
1
3
5
7
2
3
2
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
-
-
-
-
=
+
+
+
+
+
+
L
，
1
2
3
1
1
3
5
2
3
2
1
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
S
n
n
-
-
-
=
+
+
+
+
+
L
，
两式相减得：
0
1
2
3
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
-
-
-
=
+
+
+
+
+
+
-
L
，
即
1
2
3
2
1
1
1
1
1
2
1
1 1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
S
-
-
-
= + +
+
+
+
+
-
L
，
所以
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
n
n
n
n
S
-
æ
ö
´
-
ç
÷
-
è
ø
= +
-
-
，则
1
2
3
6
2
n
n
n
S
-
+
=
-
．
②因为不等式
2
1
2
n
n
n
n
S
l
-
-
<
+
对任意的正整数n 恒成立，
即
1
3
1
6
2
n
n
l
-
-
<
-
对任意的正整数n 恒成立，
当n 为偶数时，因为
1
3
6
2n
f n
-
=
-
在[1, ¥
+ ）为增函数，
所以
9
2
2
f
l <
=
；
当n 为奇数时，
1
3
6
2n
l
-
-
<
-
对任意的正整数n 恒成立，
所以
1
3
f
l
-
<
=
，解得
3
l > - ．
综上，实数l 的取值范围为
9
3, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ．
17．（25-26 高三上·四川绵阳·开学考试）
N
n
*
" Î
，都存在唯一的实数
nc ，使得
n
f c
n
=
，则称函数
f x 存在“源
数列”
nc
．已知
f x
x
=
ln ,
0,1
x x
-
Î
．
(1)证明：
f x 存在源数列；
(2)①若
0
f x
x
l
-
£
恒成立，求l 的取值范围；
②记
f x 的源数列为
nc
，前n 项和为
n
S ．证明：
7
4
n
S <
．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
1
l ³ ；②证明见解析
【详解】（1）由
ln ,
0,1
f x
x
x x
=
-
Î
，得
1
1
2
0
2
2
x
f
x
x
x
x
=
¢
-
=
-
<
，即
f x 在
0,1 上单调递减，
又
1
1
f
= ，当
0
x >
且x 无限趋近于0 时，
f x 趋向于正无穷大，即
f x 的值域为
1, ¥
+
，
对于
f x 可以取到任意正整数，且在
0,1
xÎ
上都有存在唯一自变量与之对应，
故对于
N
n
*
" Î
，令
f x
n
=
，其在
0,1 上的解必存在且唯一，
不妨设解为
nc ，即
N
n
*
" Î
，则都存在唯一的实数
0,1
nc Î
，使得
n
f c
n
=
，
即
f x 存在源数列．
（2）①
0
f x
x
l
-
£
恒成立，即
ln
x
x
x
l ³
-
恒成立，
令
0,1
t
x
=
Î
，即
2
2 ln
t
t
t
l ³
-
恒成立，
令
2
2 ln
t
t
t
t
j
=
-
，则
2
2ln
2
t
t
t
j
=
-
-
¢
，
令
2
2ln
2,
0,1
g t
t
t
t
t
j
-
¢
=
=
-
Î
，则
2
2
0
g t
t
=
-
£
¢
，仅在
1
t = 时取等号，
即
g t 在
0,1 上单调递减，故
1
0
g t
g
³
=
，即t
j
在
0,1 上单调递增，
故
max
1
1
t
j
j
=
= ，故
1
l ³ ；
②由①得
1
f x
x
£
，故
1
n
n
f c
c
£
，即
1
n
n
c
£
，则
2
1
nc
n
£
，
当
2
n ³
时，
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
nc
n
n
n
n
n
n
æ
ö
£
<
=
=
-
ç
÷
-
-
+
-
+
è
ø ．
当
1
n = 时，
1
1
2
1
7
1
1
4
S
c
=
£
= <
；
当
2
n =
时，
1
2
1
1
4
7
1
1
2
3
3
4
n
S
c
c
æ
ö
=
+
< +
-
=
<
ç
÷
è
ø
当
2
n >
时，
1
2
3
1
n
n
n
S
c
c
c
c
c
-
=
+
+
+
+
L
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
4
3
5
2
1
1
n
n
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
< +
-
+
-
+
-
+
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
-
-
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
L
1
3
1
1
7
2
1
7
1
2 2
1
4
2
1
4
n
n
n
n n
+
æ
ö
= +
-
-
=
-
<
ç
÷
+
+
è
ø
，
综上：
7
4
n
S <
．
18．（24-25 高二上·浙江杭州·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
2
a =
且
*
1
2
2
n
n
S
S
n
+ =
+
ÎN
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
1
n
n
b
n
a
=
+
，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，若对任意的
*
nÎN ，
2
3n
nT
l
-
£
恒成立，求l 的取值范围.
【答案】(1)
2
N
n
na
n
*
=
Î
(2)
27
, 80
æ
ù
-¥
ç
ú
è
û
【详解】（1）当
1
n = 时，
2
1
2
2
S
S
=
+
，
1
1
2
S
a
=
=
，解得
2
4
a =
，
当
2
n ³
时，由
1
2
2
n
n
S
S
+ =
+
，可得
1
2
2
n
n
S
S -
=
+
，相减可得
1
2
n
n
a
a
+ =
，对
1
n = 也成立，
由此可得数列
na
是首项为2 ，公比为2 的等比数列，所以
1
1
2
N
n
n
na
a q
n
-
*
=
×
=
Î
，
所以，数列
na
的通项公式为
2
N
n
n
a
n
*
=
Î
.
（2）
2
1
2
1 2n
n
n
b
n
a
n
=
+
=
+
×
，
则
1
2
3
1
3 2
5 2
7 2
2
1 2
2
1 2
n
n
nT
n
n
-
= ×
+ ×
+ ×
+¼+
-
×
+
+
×
2 nT =
2
3
4
1
3 2
5 2
7 2
2
1 2
2
1 2
n
n
n
n
+
×
+ ×
+ ×
+¼+
-
×
+
+
×
两式相减可得：
2
3
1
3 2
2 2
2 2
2 2
2
1 2
n
n
nT
n
+
-
= × + ×
+ ×
+¼+ ×
-
+
×
,
整理可得
1
2
1 2
2
N
n
nT
n
n
+
*
=
-
×
+
Î
,
若对任意的
*
nÎN ，
2
3n
nT
l
-
£
恒成立,即为
1
3
1
3
2
1 2
4
2
2
n
n
n
n
n
l
+
æ
ö
£
=
×ç
÷
-
×
-
è
ø
恒成立，
设
1
3
4
2
2
n
nc
n
æ
ö
=
×ç
÷
-
è
ø
，则
1
4
2
3
4
2
2
n
n
c
n
c
n
+
-
æ
ö
=
×ç
÷
+
è
ø，当
1
1
n
n
c
c
+ < 时，即
5
2
n <
时，所以当
2
n £
时，
1
n
n
c
c
+ <
，
所以当
1
n = 时，
1
3
4
c =
，当
2
n =
时，
2
3
8
c =
，
当
3
n =
时，
3
27
80
c =
，当
4
n =
时，
4
81
224
c =
，
可以看出
nc 在
3
n =
处取得最小值，所以从
3
n =
后才开始递增，即当
1
n = ，2 ，3时，
1
2
3
c
c
c
>
>
，
当
3
n ³
时，
1
4
3
n
n
c
c
c
c
-
>
>
>
>
K
，所以
27
80
l £
，
所以l 的取值范围为
27
, 80
¥
æ
ù
-
ç
ú
è
û .
1．（24-25 高二下·辽宁锦州·期末）已知数列
na
中，
1
1
1
1
,
1
4
n
n
a
a
a
+
= -
= -
，则
9a = （ ）
A．4
5
B．5
4
C．8
3
D．5
【答案】A
【详解】因为
1
1
1
1
,
1
4
n
n
a
a
a
+
= -
= -
，
所以
2
1
1
1
5
a
a
= -
=
，
所以
3
2
1
4
1
5
a
a
= -
=
，
所以
4
3
1
1
1
4
a
a
= -
= -
，
所以
5
4
1
1
5
a
a
= -
=
，...，
所以数列
na
是周期为3 的数列，所以
9
3
4
5
a
a
=
=
.
故选：A
2．（24-25 高二下·吉林白山·期末）已知数列
na
满足
1
2
2
6
a
a
=
=
，
，且
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
+
+
+
=
+
，若
x 表示不超过x
的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则
2
2
2
1
2
2024
2
3
2025
a
a
a
é
ù
é
ù
é
ù
+
+×××+ ê
ú
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
ë
û
＝（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】C
【详解】因为
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
+
+
+
=
+
，所以
2
1
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
-
-
-
=
，
又
2
1
4
a
a
-
=
，所以
1
n
n
a
a
+ -
是以4 为首项，2 为公差的等差数列，
所以
1
4
2
1
2
2
n
n
a
a
n
n
+ -
=
+
-
=
+
，
所以
1
1
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
n n
-
-
-
=
-
+
-
+×××+
-
+
=
+
，
所以
2
2
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
a
n n
n
n
+
+
+
=
=
= +
+
，又
*
N
nÎ
，
当n＝1 时，
2
1
2
2
a
é
ù =
ê
ú
ë
û
；当
2
n ³
时，
2
1
1
n
n
a
é
ù
+
=
ê
ú
ê
ú
ë
û
，
考点三
数列递推问题
所以
2
2
2
1
2
2024
2
3
2025
2 1 2023
2025
a
a
a
é
ù
é
ù
é
ù
+
+×××+
=
+ ´
=
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
ë
û
．
故选：C．
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列
na
满足
1
3
3
2
n
n
a
a
n
+ -
=
，且
1
1
a = ，则数列
na
的通项公式为（ ）
A．
2
1
n
na =
-
B．
1
3
log 2
1
n
na
-
=
+
C．
3
log
2
1
n
na =
+
D．
1
3
log
2
1
n
na
+
=
-
【答案】C
【详解】由
1
3
3
2
n
n
a
a
n
+ -
=
，知
3
1
2
1
2
2
1
3
3
3
3
3
3
2
2
2
n
n
a
a
a
a
a
a
n
-
-
-
+
-
+
+
-
=
+
+
+
L
L
，
所以
1
2 1 2
3
3
1 2
n
n
a
-
-
-
=
-
，即3
2
1
n
a
n
=
+ ，
故
3
log
2
1
n
na =
+
，又
1
1
a = 适合上式，故
3
log
2
1
n
na =
+
．
故选：C.
4．（24-25 高二下·山东淄博·期末）数列
na
满足
1
1
a = - ，且
*
1
2
1
1
n
n
a
a
n
n
n
n n
+ =
+
Î
+
+
N
，则
2025
a
=（ ）
A．2022
B．2023
C．2024
D．2025
【答案】B
【详解】法一：由已知
1
1
a = - ，则
1
2
2
2
2
0
0
a
a
a
=
+
=
=
，
，则
2
3
3
2
3
2
2
1
a
a
a
=
+
=
=
，
，
则
3
4
4
3
4
2
6
2
a
a
a
=
+
=
=
，
，归纳可得
2
na
n
=
- ，所以
2025
2023
a
=
.
法二：由题可得，
1
1
1
2
1
1
n
n
a
a
n
n
n
n
+
æ
ö
=
+
-
ç
÷
+
+
è
ø ，即
1
2
2
1
n
n
a
a
n
n
+ +
+
=
+
，所以
2
na
n
+
ì
ü
í
ý
î
þ
是常数数列，
1
2
2
1
1
na
a
n
+
+
=
= ，即
2
na
n
=
- ，所以
2025
2023
a
=
.
故选：B.
5．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
1
2
2
2
1
1
n
n
n
a
a
n
n
+
+
=
+
+
，则使得
1.98
na >
成立的最小自然数
n 为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【详解】由
1
2
2
2
1
1
n
n
n
a
a
n
n
+
+
=
+
+
，则
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
n
n
n
a
a
n
n
n
n
+
+
-
=
=
-
+
+
，
所以
1
2
2
1
1
1
n
n
a
a
n
n
+
=
+
+
+
，则数列
2
1
na
n
ì
+
ü
í
ý
î
þ为常数列，
又
1
2
1
2
1
a +
=
，则
2
1
2
na
n
+
=
，即
2
1
2
na
n
=
-
，为递增数列，
因为
7
2
1
2
1.9796
7
a =
-
»
，
8
2
1
2
1.984375
8
a =
-
=
，
所以使得
1.98
na >
成立的最小自然数n 为8.
故选：D.
6．（24-25 高二下·四川资阳·期末·多选）数列
na
满足
1
1
1
n
n
a
a
+ = -
，
1
1
3
a = -
，则（ ）
A．
2
3
4
a =
B．
na
为递增数列
C．
na
为周期数列
D．
2025
2024
a
=
【答案】AC
【详解】由题可知：
1
1
3
a = -
，
2
3
4
a =
，
3
4
a =
，
4
1
3
a = -
，
所以可知：AC 正确，B 错误，数列的最小正周期为3，所以
2025
675 3
3
4
a
a
a
´
=
=
=
，故D 错误.
故选：AC
7．（24-25 高二下·广东揭阳·阶段练习·多选）记
n
S 为正项数列
na
的前n 项和，且
2
1
n
n
n
S
a
a
=
-
+ ，则（ ）
A．
1
1
a =
B．
2
2
S =
C．数列
na
单调递增
D．
1
1
n
n
a
a
+ - £
【答案】ACD
【详解】对于选项A：
2
1
1
1
1
1
S
a
a
a
=
=
-
+ ，化简得：
2
2
1
1
1
2
1
1
0
-
+ =
-
=
a
a
a
.
所以
1
1
a = ，选项A 正确；
对于选项B：
2
2
2
2
1
2
1
S
a
a
a
a
=
-
+ =
+
，化简得：
2
2
2
0
a
a -
=
.
因为
1
1
a = ，数列
na
为正向数列，所以
2
2
a = .
所以
2
1
2
3
S
a
a
=
+
=
，故B 错误；
对于选项CD：
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+
=
-
=
-
+ -
-
+
=
-
-
+
.
1
1
1
0
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
=
-
+
-
>
，
所以
2
2
1
1
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
+ =
-
+ ，化简
2
2
1
1
1
n
n
n
a
a
a
+ -
=
-
+ ，
若
1
n
a ³ ，则
2
1
1
1
na + -
³ ，即
1
1
1
na + - ³ 或
1
1
1
na + - £ - ，
则
1
2
na + ³
或
1
0
na + £
（舍去），
因为
1
1
a = ，所以
2
3
2,
2
a
a
³
³
××× ，所以
1
1
0
n
n
a
a
+ +
- >
，
1
0
n
n
a
a
+ -
>
，
所以
na
为递增数列，所以
1
0
na
-
+ £
，
所以
2
2
2
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+ -
=
-
+ £
，
所以
1
1
n
n
a
a
+ - £
，CD 正确.
故选：ACD.
8．（24-25 高二下·江西吉安·期末·多选）已知数列
na
满足
*
1
1
1
2,
2
3
2
n
n
n
n
a
a
a
a
a
n
+
+
=
=
-
+
ÎN
，其前n 项和为
n
S ，则（ ）
A．
3
6
5
a =
B．数列
1
1
na
ì
ü
í
ý
-
î
þ
为等差数列
C．存在
2
n ³
，使得
n
S 为整数
D．对任意
2
n ³
，均有
1
ln
n
S
n
n
-
< +
【答案】ABD
【详解】由
1
1
1
2
3
2
1 2
3
2
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
-
+
Þ
-
= -
+
，即
1
3
2
2
1
n
n
n
a
a
a
+
-
=
- ，
因为
1
2
a =
，所以
2
3
4
3
2
3 2
2
4
6
3
,
4
2 2 1
3
5
2
1
3
a
a
´
-
´ -
=
=
=
=
´ -
´
-
，故选项A 正确；
由
1
1
1
3
2
3
2
1
2
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
-
-
-
-
=
Þ
- =
- =
Þ
=
=
+
-
-
-
-
-
- ，
即数列
1
1
na
ì
ü
í
ý
-
î
þ
是以
1
1
1
1
a
=
-
为首项，2 为公差的等差数列，故选项B 正确；
因为
1
1
2
1
2
1
1
n
n
n
a
= +
-
=
-
-
，所以
1
1
2
1
na
n
=
+
-
，
则
1
1
1
1
3
5
2
1
n
S
n
n
=
+ +
+
+
-
L
，当
2
n ³
时，
n
S 不可能为整数，故选项C 错误；
设
2
ln 1
(0
1)
2
x
f x
x
x
x
=
+
-
<
£
+
，则
2
2
1
4
4
0
1
(
2)
1
(
2)
f
x
x
x
x
x
=
-
=
>
+
+
+
+
¢
，
即函数
f x 在
0,1 上单调递增，故
0
0
f x
f
>
=
，即
2
ln 1
(0
1)
2
x
x
x
x
+
>
<
£
+
，
令
*
1
2,
1
x
n
n
n
=
³
Î
-
N
，则有
2
1
1
ln 1
1
1
2
1
n
n
n
æ
ö
-
+
>
ç
÷
-
è
ø
+
-
，即
2
ln
1
2
1
n
n
n
>
-
- ，
所以
1
1
1
ln
ln
ln
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
n
é
ù
<
=
-
-
ë
û
-
-
，
所以
2
1
1
1
1
1
1
3
5
2
1
2
1
n
i
n
i
=
+
+
+
+
= +
-
-
å
L
1
1
1
ln2
ln1
ln3
ln2
ln4
ln3
ln
ln
1
1
ln
1
ln
2
2
n
n
n
n
é
ù
< +
-
+
-
+
-
+
+
-
-
= +
= +
ë
û
L
即
1
ln
n
S
n
n
-
< +
，故选项D 正确；
故选：ABD.
9．（24-25 高一下·上海·期末）已知数列
na
满足
1
3
2
n
n
a
a
+ =
+
，且
1
2,
a
n
=
为正整数，则
na =
．
【答案】3
1
n -
【详解】
1
1
3
3
3
1
n
n
n
a
a
a
+ + =
+
=
+
，
则
1
na +
是以
1
2 1
3
a =
+ =
为首项，公比为3 的等比数列，
则
1
3
3
1
n
n
n
n
a
a
+ =
Þ
=
- .
故答案为：3
1
n -
10．（24-25 高二下·广东江门·期末）已知数列
na
满足
1
1
1
2
1
n
n
n
a
a
n
+
+ + -
=
- ，记数列
na
的前n 项和为
n
S ，则
6
S =
.
【答案】15
【详解】当
1
n = 时，
1
2
2 1 1
1
a
a
+
=
´ - = ；
当
3
n =
时，
3
4
2 3 1
5
a
a
+
=
´ - =
；
当
5
n =
时，
5
6
2 5 1
9
a
a
+
=
´ - =
；
所以
6
1
2
3
4
5
6
1 5
9
15
S
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
= + +
=
.
故答案为：15
11．（24-25 高二下·河南焦作·期末）在数列
na
中，
1
4
a =
，且
1
1
8
n
n
a
a
a
n
+ =
+
+
，则
1
2
3
2025
1
1
1
1
1
1
1
1
a
a
a
a
+
+
+
+
=
-
-
-
-
L
.
【答案】2025
4051
【详解】由题意得
1
8
4
n
n
a
a
n
+ =
+
+
，则
2
2
1
4
1
4
n
n
a
n
a
n
+ -
+
=
-
，
所以数列
2
4
n
a
n
-
为常数列，
因此
2
2
1
4
4 1
0
na
n
a
-
=
- ´
=
，即
2
4
na
n
=
，
则
2
1
1
1
1
1
1
1
4
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
na
n
n
n
n
n
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
-
-
-
+
-
+
è
ø ，
所以
1
2
3
2025
1
1
1
1
1
1
1
1
a
a
a
a
+
+
+
+
-
-
-
-
L
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
2 2025 1
2 2025 1
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
ç
÷
´
-
´
+
è
ø
L
1
1
2025
1
2
2 2025 1
4051
æ
ö
=
-
=
ç
÷
´
+
è
ø
.
故答案为：2025
4051 .
12．（24-25 高二下·江西赣州·期末）数列
na
满足
1
1
a = ，
2
3
a =
且对于n
+
ÎZ ，都有
2
1
3
2
2n
n
n
n
a
a
a
+
+
=
-
+
.
(1)求数列
na
的
3a ，
4a ，
5a ；
(2)证明数列
1
1
2
n
n
n
a
a
+
-
-
ì
ü
í
ý
î
þ是等差数列；
(3)求
na .
【答案】(1)
3
9
a =
，
4
25
a =
，
5
65
a =
(2)证明见解析
(3)
1
1
2
1
n
na
n
-
=
-
´
+
【详解】（1）由
2
1
3
2
2n
n
n
n
a
a
a
+
+
=
-
+
，
1
2
1,
3
a
a
=
=
，
所以
3
2
1
3
2
2
3 3
2 1
2
9
a
a
a
=
-
+
= ´ - ´ +
=
，
3
4
2
2
3
2
2
3 9
2 3
4
25
a
a
a
=
-
+
=
´ +
=
´ -
，
3
4
3
5
3
2
2
3 25
2 9
8
65
a
a
a
=
-
+
=
´ +
=
´
-
；
（2）由
2
1
3
2
2n
n
n
n
a
a
a
+
+
=
-
+
得
2
1
1
2
2n
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
-
=
-
+
，等式两边同时除以2n ，
可得
2
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
-
-
-
=
+ ，即
2
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
-
-
-
-
= ，
当
1
n = 时，
1
1
2
2
n
n
n
a
a
+
-
-
=
.
所以
1
1
2
n
n
n
a
a
+
-
-
ì
ü
í
ý
î
þ
是以2 为首项，1 为公差的等差数列，
（3）由（2）知
1
1
2
1
1
2
n
n
n
a
a
n
+
-
-
=
+
-
´ ，则
1
1
1
2n
n
n
a
a
n
-
+ -
=
+
´
，
当
2
n ³
时由累加法得：
0
1
2
2
1
2 2
3 2
4 2
2n
na
a
n
-
-
=
´
+ ´
+ ´
+
+ ´
L
，
等式两边同乘2，得
1
2
3
1
1
2
2 2
3 2
4 2
2n
na
a
n
-
-
=
´
+ ´
+ ´
+
+ ´
L
.
两式相减得
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
n
n
n
a
a
n
-
-
-
=
+
+
+
+
- ´
L
2
1
1
2 1
2
2
2
1
2
1
2
n
n
n
n
n
-
-
-
-
=
+
- ´
=
-
´
-
，
因为
1
1
a = ，所以
1
1
2
1
n
na
n
-
=
-
´
+ （
2
n ³
），
当
1
n = 时上式也成立，
综上
1
1
2
1
n
na
n
-
=
-
´
+ .
13．（24-25 高二下·广西北海·期末）已知数列
na
满足
1
1
4,
3
2
n
n
a
a
a
+
=
=
-
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
2
1
n
n
n
n
a
b
a a +
-
=
，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证：
1
4
nT <
．
【答案】(1)
3
1
n
na =
+
(2)证明见解析
【详解】（1）因为
1
3
2
n
n
a
a
+ =
-
，所以
1
1
3
1
n
n
a
a
+ - =
-
，
又
1
1
3
a - =
，所以
1
1
3
1
n
n
a
a
+ - =
-
，所以
1
na -
是以3 为首项，3 为公比的等比数列，
所以
1
1
3 3
3
n
n
na
-
- = ×
=
，所以
3
1
n
na =
+ ；
（2）由（1）知
1
1
1
1
1
3
1
3
1
2
1
2
3
1
1
3
1
3
1
3
1 3
1
3
1 3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a a
+
+
+
+
+
+
-
+
-
´
=
=
=
=
-
+
+
+
+
+
+
，
所以
1
2
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
3 1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
n
n
n
n
T
b
b
b
+
=
+
+
+
=
-
+
-
+
+
-
+
+
+
+
+
+
L
L
1
1
1
4
3
1
n+
=
-
+ ，
又
1
1
0
3
1
n+
>
+
，所以
1
4
nT <
．
14．（24-25 高二下·河南鹤壁·期末）已知函数
2
2
x
f x
x
=
+
，
1
1
x = ，
1
n
n
x
f
x -
=
（
*
nÎN ，且
2
n ³
），记
1
n
n
y
x
=
.
(1)求
2x 、
3x ；
(2)证明
ny
是等差数列，并求
ny
的通项公式；
(3)令
2
2
n
n
n
n
m
y
=
+
，求数列
n
m
的前n 项和
nP .
【答案】(1)
2
2
3
x =
，
3
1
2
x =
.
(2)证明见解析，
1
2
n
n
y
+
=
(3)
1
4
4
2
3
n
n
nP
n
+ -
=
+
×
【详解】（1）因为
2
2
x
f x
x
=
+
，
1
1
x = ，
1
n
n
x
f
x -
=
，
所以
2
1
2 1
2
1
1
2
3
x
f x
f
´
=
=
=
=
+
，
3
2
2
2
2
1
3
2
3
2
2
3
x
f x
f
´
æ
ö
=
=
=
=
ç
÷
è
ø
+
.
（2）因为
1
1
1
2
2
n
n
n
n
x
x
f x
x
-
-
-
=
=
+
，所以
1
1
1
2
1
1
1
2
2
n
n
n
n
x
x
x
x
-
-
-
+
=
=
+
，
即
1
1
2
n
n
y
y -
=
+
，即
1
1
2
n
n
y
y -
-
=
，且
1
1
1
1
y
x
=
= ，
又
1
1
1
1
y
x
=
= ，所以
ny
是以1为首项，
1
2 为公差的等差数列，
所以
1
1
1
1
2
2
n
n
y
n
+
= +
-
=
.
（3）
1
2
2
2
4
2
n
n
n
n
n
n
n
m
y
+
=
+
=
×
+
，
设数列
4n 、
1 2
2
n
n +
ì
ü
×
í
ý
î
þ 的前n 项和分别为
n
S 、
nT ，则
n
n
n
P
S
T
=
+
，
1
2
4 1 4
4
4
4
4
4
1 4
3
n
n
n
n
S
+
-
-
=
+
+
+
=
=
-
L
，
2
1
2
3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
T
-
+
=
´ +
´
+
+
´
+
´
L
①，
则
2
3
1
2
3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
T
+
+
=
´
+
´
+
+
´
+
´
L
②，
①- ②，得
1
2
3
1
1
4 1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
T
-
+
+
-
+
+
-
=
+
+
+
+
-
×
=
+
×
-
×
-
L
1
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
+
+
=
+
-
-
×
= - ×
，则
2n
nT
n
=
×
.
因此，数列
n
m
的前n 项和
1
4
4
2
3
n
n
n
n
n
P
S
T
n
+ -
=
+
=
+
×
.
15．（24-25 高二下·江西·期末）已知数列
na
满足
2
1
1
1
1 ,2
1
2
2
n
n
n
n
n
a
na
n
a
+
-
+
=
-
+
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
n
n
a
b
n
=
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ；
(3)若集合
n
A
n a
t
=
>
，且A 中仅有2 个元素，求t 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
2
n
n
n
n
a
-
=
(2)
2
3
3
2
n
n
n
S
+
=
-
(3) 3 7
,
2 4
é
ö
÷
êë
ø
【详解】（1）由
2
1
1
2
1
2
n
n
n
n
n
na
n
a
+
-
+
-
+
=
，得
1
1
2
2
2
1
n
n
n
n
a
a
n
n
+
+ -
=
+
，
又
1
2
1
1
a = ，所以数列2n
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ
是首项为1、公差为2 的等差数列，
所以
2
1
2
1
2
1
n
na
n
n
n
= +
-
=
- ，故
2
2
2
n
n
n
n
a
-
=
．
（2）由（1）知
2
1
2
n
n
n
a
n
b
n
-
=
=
，
所以
2
3
1
3
5
2
1
2
2
2
2
n
n
n
S
-
=
+
+
+
+
L
，
则
2
3
4
1
1
1
3
5
2
1
2
2
2
2
2
n
n
n
S
+
-
=
+
+
+
+
L
，
两式相减得
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
S
-
+
-
=
+
+
+
+
+
-
L
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
2
3
2
2
1
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
-
+
+
æ
ö
-
ç
÷
-
+
è
ø
=
+
-
=
-
-
．
所以
2
3
3
2
n
n
n
S
+
=
-
．
（3）由（1）知
2
2
2
n
n
n
n
a
-
=
，
所以
2
2
2
1
1
1
2(
1)
1
2
1 5
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
+
+
+
+
-
+
-
+
-
-
=
-
=
，
因为当
1
n = 或2 时，
2
1 5
2
0
n
n
+
-
>
，当
3
n ³
时，
2
1 5
2
0
n
n
+
-
<
，
所以
1
2
3
4
n
a a
a
a
a
>
>
L
L，
又
2
4
3
7
,
2
4
a
a
=
=
，若A 中仅有2 个元素，则这2 个元素为3,4，
所以3
7
2
4
t
£ <
，即t 的取值范围是3 7
,
2 4
é
ö
÷
êë
ø ．
16．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知数列
na
的前n 项和为
1
1
1
,
0,
,
2
n
n
n
n
n
S a
a
S
a a +
¹
=
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
1
b = ，且
2
1
1
4
n
n
n
b
b
a
+
+
+
=
，求数列
nb
的通项公式；
(3)在（2）的条件下，若
1
1
2n
n
n
n
e
b
-
-
×
=
，求
ne
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
2
n
n
a =
(2)
1
2
nb
n
n
+
=
(3)
1
2
2
1
n
n
n
T
+
-
=
+
【详解】（1）由
1
n
n
n
S
a a +
=
可得
1
1
n
n
n
S
a
a
-
-
=
，
2
n ³
，
以上两式相减可得
1
1
1
n
n
n
n
n
S
S
a
a
a
-
+
-
-
=
-
，即
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
-
=
-
，
因为
0
na ¹
，所以
1
1
1
n
n
a
a
+
-
-
= ，即
1
3
5
2
1
,
,
,
,
k
a a a
a
-
L
是公差为1 的等差数列，从而
2
1
1
2
1
1
1
2
2
k
k
a
k
-
-
=
+
-
´ =
，
由
1
1
2
2
1
S
a a
a
Þ
=
= ，所以
6
2
4
2
,
,
,
,
k
a a a
a
L
是公差为1 的等差数列，从而
2
1
1
1
k
a
k
k
= +
-
´ =
，
所以
2
n
n
a =
.
（2）因为
2
2
1
1
1
4
n
n
n
b
a
n
b
+
+ =
+
+
=
，所以
1
2
1
2
1
1
2
2
n
n
n
b
b
n
n
n
n
+
+
+
+
+
=
+
+
=
，
即
2
1
1
2
1
1
2
2
n
n
b
n
n
n
b
n
n
+
é
ù
+
+
+
ê
ú
-
+
= -
-
êë
û
=
ú ，
因为
1
1
1 2
1,
0
2
b
b
´
=
-
=
，所以
1
2
n
n
b
n
ì
ü
+
ï
ï
-
í
ý
ï
ï
î
þ
为常数列，即
1
2
nb
n
n
+
=
.
（3）
1
2
nb
n
n
+
=
，所以
1
1
1
2
2
2
1
n
n
n
n
n
n
e
b
n
n
-
+
-
×
=
=
-
+ ，
所以
1
2
2
3
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
3
1
1
n
n
n
n
n
n
T
n
+
+
æ
ö
æ
ö
=
+
+
æ
ö
-
-
-
=
-
ç
÷
+
+
è
ø
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
L
.
17．（24-25 高三上·福建福州·阶段练习）已知各项均为正数的数列
na
满足
1
1
a = ，
2
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
1
4
1
n
n
b
a
=
- 数列
nb
的前n 项和为
nT ，若
100
n
n
T
b
>
，求满足条件的最小正整数n .
【答案】(1)
na
n
=
(2)8
【详解】（1）Q
2
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
，
2
2
1
1
1
1
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
\
-
-
+
=
+
-
-
=
，
0
na >
Q
，
1
1
n
n
a
a
+
\
-
= ，又
1
1
a = ，
\数列
na
是以
1
1
a = 为首项，1为公差的等差数列，
1
1
na
n
n
\
= +
-
=
；
（2）
2
2
1
1
1
1
1
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
n
n
b
a
n
n
n
n
n
æ
ö
=
=
=
=
-
ç
÷
-
-
+
-
-
+
è
ø
Q
，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
5
7
2
1
2
1
2
2
1
2
1
n
n
T
n
n
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
\
=
-
+
-
+
-
+
+
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
-
+
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
L
，
100
n
n
T
b
>
Q
，
100
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
\
>
+
-
+
，
2
2
100
0
n
n
\
-
-
>
，
1 3 89
4
n
+
\
>
或
1 3 89
4
n
-
<
（舍去），
1 3 89
7.326
4
n
+
>
»
Q
，\满足条件的最小正整数n 为8.
18．（24-25 高二下·辽宁·期末）已知数列
na
满足
1
2
a = - ，且
1
4 3n
n
n
a
a
+ +
= - ´
．
(1)求
2a ，
3a ，
4a ；
(2)求数列
na
的通项公式；
(3)设
n
n
b
na
=
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
2
10
a = -
，
3
26
a = -
，
4
82
a = -
(2)
1
1
3
n
n
na
-
= -
-
(3)
1
1
2
1 1 3
,
,
4
2
3
2
1 3
,
.
4
4
n
n
n
n
n
S
n
n
n
+
+
ì
-
-
ïï
= í
+
-
ï-
-
´
ïî
为奇数
为偶数
【详解】（1）由
1
4 3n
n
n
a
a
+ +
= - ´
，则
1
4 3n
n
n
a
a
+ = - ´
-
，
又
1
2
a = - ，
得
2
1
4 3
10
a
a
= - ´ -
= -
，
2
3
2
4 3
26
a
a
= - ´
-
= -
，
3
4
3
4 3
82
a
a
= - ´
-
= -
．
（2）由
1
4 3n
n
n
a
a
+ +
= - ´
，
得
1
1
3
3
3
n
n
n
n
n
n
a
a
a
+
+ +
= -
-
= -
+
，
所以
1
1
3
1
3
n
n
n
n
a
a
+
+ +
= -
+
，
又
1
3
1
a +
= ，
所以
3n
na +
是以1为首项，1
- 为公比的等比数列，
所以
1
3
1
n
n
na
-
+
= -
，
故
1
1
3
n
n
na
-
= -
-
．
（3）由（2）得
1
1
3
n
n
n
n
b
na
n
n
-
=
= -
- ´
，
所以
1
2
1 2
3
4
1
1 3
2 3
3
n
n
n
S
n
n
-
= -
+ -
+
+ -
-
´ + ´
+
+ ´
L
L
．
设
2
1 3
2 3
3n
nT
n
= ´ + ´
+
+
´
L
，①
则
2
3
1
3
1 3
2 3
3n
nT
n
+
= ´
+ ´
+
+
´
L
，②
由①－②得
2
3
1
1
1
3 1 3
2
1
3
2
3
3
3
3
3
3
3
,
1 3
2
2
n
n
n
n
n
n
n
T
n
n
+
+
+
-
-
-
=
+
+
+
+
- ´
=
- ´
= -
´
-
-
L
则
1
2
1
3
3
4
4
n
n
n
T
+
-
=
´
+
；
当n 为奇数时，
1
2
1
2
1 1 3
1
1
2
1
3
1 3
2 3
3
3
2
2
4
4
4
n
n
n
n
n
n
n
n
S
n
n
+
+
-
-
-
+
-
= -
+
-
´ + ´
+
+ ´
=
-
´
-
=
L
；
当n 为偶数时，
2
1
1
2
1
3
2
3
2
1
1 3
2 3
3
3
3
2
2
4
4
4
4
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
n
+
+
-
+
-
= -
-
´ + ´
+
+ ´
= -
-
´
-
= -
-
´
L
；
故
1
1
2
1 1 3
,
,
4
2
3
2
1 3
,
.
4
4
n
n
n
n
n
S
n
n
n
+
+
ì
-
-
ïï
= í
+
-
ï-
-
´
ïî
为奇数
为偶数
