圆锥曲线：椭圆的定点问题、定值问题、定直线问题、向量问题专项训练
考点目录
椭圆的定点问题
椭圆的定值问题
椭圆的定直线问题
椭圆的向量问题
1．（24-25 高二上·四川达州·期末）已知椭圆方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，
2,0
A
，
3
1, 2
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，过点
2,1
P
的直线交椭圆于
E 、F 两点，过点E 且平行于y 轴的直线与线段AB 交于点Q ，点E 关于点Q 的对称点为N ，则直线NF 一定过点
（ ）
A．
1,0
B．
0,1
C．
0,3
6
-
D．
2,0
【答案】D
【详解】因为
3
(2,0),
1, 2
A
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，所以
3
:
2
2
AB y
x
= -
-
，
①假设过点
(2,1)
P
的直线过原点，则
2
x
y =
，代入
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，
可得
3
(
3,
)
2
E -
，
3
( 3,
)
2
F
-
，代入方程
3
:
2
2
AB y
x
= -
-
，可得
3
(
3,
3
2 )
2
Q -
-
+
，由EQ
QN
=
uuur
uuur
得到
7 3
(
3,
6)
2
N -
-
+
.求得FN 方程：
3
2 3
2
2
y
x
-
=
-
，过点(2,0) .
②分析知过点
(2,1)
P
的直线斜率一定存在，设
1
1
2
2
2
1
0,
( ,
),
(
,
)
kx
y
k
E x y
F x
y
-
-
+ =
.
联立
2
2
2
1
0
,
1
4
3
kx
y
k
x
y
-
-
+ =
ìïí
+
=
ïî
得
2
2
2
4
3
8
1
2
16
16
8
0
k
x
k
k x
k
k
+
+
-
+
-
-
=
，
可得
2
1
2
2
2
1
2
2
16
8
4
3
16
16
8
4
3
k
k
x
x
k
k
k
x x
k
ì
-
+
=
ïï
+
í
-
-
ï
=
ï
+
î
，则
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
6
4
3
12
3
4
3
24
4
3
k
y
y
k
k
y y
k
k
x y
x y
k
-
+
ì
+
=
ï
+
ï
-
+
ï
=
í
+
ï
ï
-
+
=
ï
+
î
因为点Q 的横坐标与点E 的横坐标相等为
1
x ，且点E 与点N 关于点Q 对称，所以点N 的横坐标也为
1
x ，
又
3
:
2
2
AB y
x
= -
-
，则
1
1
3
,
3
2
Q x
x
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø，根据中点坐标公式计算得
1
1
1
, 3
6
N x
x
y
-
+
-
，
直线NF 的斜率
2
1
1
2
1
3
6
NF
y
y
x
k
x
x
+
+
-
=
-
，直线NF 的方程为
2
1
1
2
2
2
1
3
6
y
y
x
y
y
x
x
x
x
+
+
-
-
=
-
-
，
考点一
椭圆的定点问题
假设直线经过定点(2,0) ，代入为
2
1
1
2
2
2
1
3
6 2
y
y
x
y
x
x
x
+
+
-
-
=
-
-
验证，
即验证
2
2
1
2
2
1
1
2
3
6
2
x y
x y
y
y
x
x
-
+
=
+
+
-
-
，
即验证
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
3
6
2
12
x y
x y
x x
x
x
y
y
+
= -
+
+
+
+
-
，
即验证
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
3
6
2
12
0
x y
x y
x x
x
x
y
y
-
+
-
+
+
+
+
-
=
，
将韦达定理及得出的式子代入，得
2
2
2
24
48
48
24
96
48
24
12
48
36
0
k
k
k
k
k
k
k
-
+
+
+
-
-
+
-
-
=
恒成立.
所以直线NF 过点(2,0) .
故选：D.
2．（24-25 高三上·河北衡水·阶段练习）如图，已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的上顶点为
0,1
A
，离心率为
3
2
，若过点A 作圆
2
2
2
:
1
0
1
M
x
y
r
r
+
+
=
<
<
的两条切线分别与椭圆C 相交于点B，D（不同于点A）．则直线
BD 过定点（ ）
A．
5
0,
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
B．
5
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
0,1
D．
2,0
【答案】A
【详解】∵椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的上顶点为
0,1
A
，离心率为
3
2
，
∴
2
2
2
1
3
2
b
c
a
a
b
c
=
ì
ïï
=
í
ï
=
+
ïî
解得
2,
1
a
b
=
= ，∴椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= ．
设切线方程为
1
y
kx
=
+ ，则
2
1
1
k
r
k
-
=
+
，即
2
2
2
1
2
1
0
r
k
k
r
-
-
+ -
=
，
设两切线AB，AD 的斜率分别为
1
2
1
2
,
k k
k
k
¹
，
则
1
2
,
k k 是上述方程的两根，根据韦达定理可得：
1
2
1
k
k
×
= ，
∵由
2
2
1
1
4
y
kx
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，消掉y 得
2
2
1
4
8
0
k
x
kx
+
+
=
，
设
1
1
2
2
,
,
,
B x y
D x
y
，∴
2
1
1
1
1
2
2
1
1
8
1 4
,
1
4
1
4
k
k
x
y
k
k
-
= -
=
+
+
，
同理可得
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
8
8
1 4
4
,
1
4
4
1
4
4
k
k
k
k
x
y
k
k
k
k
-
-
= -
= -
=
=
+
+
+
+
，
∴
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
4
1 4
4
1
4
1
8
8
3
4
1
4
BD
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
-
+
+
+
=
= -
-
+
+
+
，
∴直线BD 方程为
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1 4
1
8
1
4
3
1
4
k
k
k
y
x
k
k
k
æ
ö
-
+
-
= -
+
ç
÷
+
+
è
ø
．
令
0
x =
，得
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1 4
1
8
5
20
5
1
4
3
1
4
3
3 1
4
k
k
k
k
y
k
k
k
k
-
+
-
- -
=
+
´
=
= -
+
+
+
∴故直线BD 过定点
5
0,
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø．
故选：A
3．（23-24 高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，且椭圆C 过点
(2,0)
A
，点F
为椭圆C 的左焦点．垂直于x 轴的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点P，Q，直线PF 与椭圆C 的另一个交点为M
（异于点Q），直线QM 恒过定点B，则点B 的坐标为
．
【答案】(
)
2 2,0
-
【详解】因为椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，椭圆C 过点
(2,0)
A
，
2
2
2
4,
2,
2,
a
b
c
ì
=
ï
=
í
ï
=
î
椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= ，由题可知直线PF 的斜率存在，
设直线
1
1
2
2
:
(
2),
,
,
,
PF y
k x
P x y
M x
y
=
+
，则
1
1
,
Q x
y
-
，
联立直线与椭圆方程
2
2
2 ,
1,
4
2
y
k x
x
y
ì
=
+
ï
í
ï
+
=
î
得
2
2
2
2
1
2
4 2
4
4
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
，
则
2
1
2
2
4 2
1
2
k
x
x
k
+
= - +
，
2
1
2
2
4
4
1
2
k
x x
k
-
=
+
，
所以
2
1
2
2
2
1
:
QM
y
y
l
y
y
x
x
x
x
+
-
=
-
-
，整理得
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
y
y
x y
x y
y
x
x
x
y
y
æ
ö
+
+
=
-
ç
÷
-
+
è
ø
，
又
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2 2
2 2
kx
x
kx
x
kx x
k x
x
x y
x y
y
y
k x
x
k
k x
x
k
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4 2
2
1
2
1
2
2 2
4 2
2 2
1
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
+
´
+
+
=
= -
-
´
+
+
，
所以直线QM 的方程为
2
1
2
1
2 2
y
y
y
x
x
x
+
=
+
-
，故直线QM 过定点
( 2 2,0)
B -
．
故答案为：
( 2 2,0)
B -
4．（24-25 高三上·山东枣庄·阶段练习）设椭圆C 的上顶点为
(0,1)
D
，且长轴长为2 2 ，过D 任作两条互相垂直的
直线分别交椭圆C 于A ，B 两点，则直线AB 过定点
．
【答案】
1
0,
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【详解】根据题意椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的方程为
2
2
2
2
1(
0),
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
∵上顶点为
(0,1)
D
，∴
1
b = ，
又长轴长为2 2 ，∴
2
a =
，
则椭圆C 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
= ，
易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y
kx
m
=
+
，
1
1
2
2
(
,
),
(
,
),
A x y
B x
y
由
2
2
,
2
2
0
y
kx
m
x
y
=
+
ì
í
+
-
=
î
可得
2
2
2
(1
2
)
4
2(
1)
0
k
x
kmx
m
+
+
+
-
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
16
8
)
8(1
0
(1
2
)(
2
)
1
k
m
k m
k
m
D
-
+
-
+
-
=
=
>
，
2
1
2
1
2
2
2
4
2(
1)
,
,
1
2
1
2
km
m
x
x
x x
k
k
-
+
= -
=
+
+
又
1
1
2
2
( ,
1),
,
1
DA
x y
DB
x
y
=
-
=
-
uuur
uuur
，
1
2
1
2
1
2
1
2
(
1)(
1)
1
(
1)
DA DB
x x
y
y
x x
kx
m
kx
m
×
=
+
-
-
=
+
+
-
+
-
uuur uuur
2
2
1
2
1
2
1
1)(
)
(
(
1)
k
x x
k
x
x
m
m
=
+
+
-
+
+
-
2
2
2
2
2
2
2
2(
1)(
1)
4
(
)
(1
2
)(
1)
1
2
m
k
k
m
m
k
m
k
-
+
-
-
+
+
-
=
+
2
2
3
2
1
0,
1
2
m
m
k
-
-
=
=
+
∴
2
3
2
1
0
m
m
-
- =
，解得
1
3
m = -
或
1
m = ．
当
1
m = 时，直线AB 经过点D，不满足题意，
则直线AB 的方程为
1
3
y
kx
=
-
，故直线AB 过定点
1
0,
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ．
故答案为：
1
0,
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ．
5．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，过点
6
( 2,
)
2
P
-
，
O 为坐标原点.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
(1,0)
F
的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，过点F 与l 垂直的直线交曲线C 于D ，E 两点，其中A ，D 在x 轴
上方，M ，N 分别为AB ，DE 的中点.
（i）证明：直线MN 过定点；
（ii）求FMN
V
面积的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析；（ii）9
49
【详解】（1）由题意可得，
1
2
c
a =
，
2
2
2
3
1
2
a
b
+
= ，
2
2
2
a
b
c
=
+
，
解得
2
2
2
4,
3,
1
a
b
c
=
=
= ，
故椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
（2）（i）由题意可知，直线AB 斜率存在且不为0 ，则设
:
1
0
AB x
my
m
=
+
¹
，
故
1
:
1
DE x
y
m
= -
+ ，
联立
1
x
my
=
+ ，
2
2
1
4
3
x
y
+
= 得，
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
+
+
-
=
，
设
1
1
2
2
3
3
4
4
,
,
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
D x
y
E x
y
，
则
1
2
2
6
3
4
m
y
y
m
+
= -
+
，
2
1
2
1
2
2
2
6
8
2
2
3
4
3
4
m
x
x
m y
y
m
m
+
=
+
+
= -
+
=
+
+
，
则
3
4
2
2
1
6
6
4
3
1
3
4
m
m
y
y
m
m
æ
ö
´ -
ç
÷
è
ø
+
= -
=
+
æ
ö
´ -
+
ç
÷
è
ø
，
2
3
4
2
2
8
8
4
3
1
3
4
m
x
x
m
m
+
=
=
+
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø
，
则
2
2
4
3
,
3
4
3
4
m
M
m
m
æ
ö
-
ç
÷
+
+
è
ø ，
2
2
2
4
3
,
4
3 4
3
m
m
N
m
m
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø
，
则直线MN 的斜率的倒数为
2
4
2
2
2
2
2
2
4
4
12
1
4
1
4
3
3
4
3
3
7
21
1
4
3
3
4
m
m
m
m
m
m
m
m
m m
m
m
-
-
-
+
+
=
=
+
+
+
+
，
则直线MN 的方程为
2
2
2
2
2
2
2
4
1
4
1
4
1
3
4
3
4
7
3
4
3
4
7
7
3
4
3
4
m
m
m
m
m
x
y
y
m
m
m
m
m
m
m
-
-
-
æ
ö
=
+
+
=
+
×
+
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
2
4
1
4
7
7
m
y
m
-
=
+
，
则直线MN 恒过定点4 ,0
7
æ
ö
ç
÷
è
ø ；
（ii）由（i）可得，
2
2
2
2
2
2
1
4
3
3
9
4
3
3
4
1
2
7
4
3
3
4
14
4
3
3
4
FMN
m
m
m
m
m
S
m
m
m
m
+ +
+
æ
ö æ
ö
=
´
-
´
+
=
×
ç
÷ ç
÷
+
+
+
+
è
ø è
ø
V
2
2
2
9
1
2 4
3
3
4
m m
m
m
+
=
+
+
令
2
0
x
m
=
>
，则
9
1
2 4
3
3
4
x x
h x
x
x
+
=
+
+
，求导得
3
2
2
2
2
2
1
4
3
3
4
24
25
1
12
11
11
12
9
9
2
2
4
4
3
3
4
4
3
3
4
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
h x
x
x
x
x
x
+
æ
ö
+
+
+
-
+
+
ç
÷
+
-
-
è
ø
=
´
= -
´
+
+
+
+
¢
令
3
2
12
11
11
12,
0
f x
x
x
x
x
=
+
-
-
>
，则
2
36
22
11
f
x
x
x
=
+
-
¢
对称轴为
11
36
x = -
，
0
11
0
f
= -
<
¢
，故存在
0
0,
x
¥
Î
+
使得
0
0
f
x
¢
=
，
则
0
f
x
¢
>
得
0
x
x
>
；
0
f
x
¢
<
得
0
0
x
x
<
<
；
则
f x 在
0
0, x
上单调递减，在
0,
x
¥
+
上单调递增，
因
0
12,
1
0
f
f
= -
=
，
则当0
1
x
<
< 时
0
f x <
，
0
h x
¢
>
；当
1
x > 时
0
f x >
，
0
h x
¢
<
；
故
h x 在
0,1 上单调递增，在
1, ¥
+
上单调递减，
因此，当
2
1
m = 时，FMN
V
面积有最大值9
49 .
6．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知离心率为
3
2
的椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2,1
P
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)不过点P 的直线l 与椭圆C 交于
,
A B 两点，且
0
PA PB
×
=
uuur uuur
，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标；
(3)在（2）的条件下，是否存在直线l ，使得PAB
V
是等腰三角形？若存在，请问这样的直线l 有几条？若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
8
2
x
y
+
=
(2)证明见解析，定点坐标为6
3
,
5
5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
(3)1条，理由见解析
【详解】（1）依题意，
2
2
2
2
2
3
2
4
1
1
c
e
a
a
b
a
b
c
ì =
=
ï
ï
ï
+
=
í
ï
=
+
ï
ïî
，解得
2 2
2
6
a
b
c
ì =
ïï =
í
ï =
ïî
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
8
2
x
y
+
= .
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线
1
1
2
2
:
, ( ,
), (
,
)
l y
kx
m A x y
B x
y
=
+
，由题意，2
1
k
m
+
¹ ，
由
2
2
4
8
y
kx
m
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
，消去y 得
2
2
2
(4
1)
8
4
8
0
k
x
kmx
m
+
+
+
-
=
，
则
2
2
2
2
Δ
64
4(4
1)(4
8)
0
k m
k
m
=
-
+
-
>
，即
2
2
8
2
m
k
<
+
，
2
1
2
1
2
2
2
8
4
8
,
4
1
4
1
km
m
x
x
x
x
k
k
-
+
= -
×
=
+
+
，而
1
1
2
2
(
2,
1),
(
2,
1)
PA
x
y
PB
x
y
=
-
-
=
-
-
uuur
uuur
，
由
0
PA PB
×
=
uuur uuur
，得
1
2
1
2
2
2
(
1)(
1)
0
x
x
y
y
-
-
+
-
-
=
，
即
1
2
1
2
2
2
(
1)(
1)
0
x
x
kx
m
kx
m
-
-
+
+
-
+
-
=
，
整理得
2
2
1
2
1
2
(
1)
(
1)
2 (
)
(
1)
4
0
k
x x
k m
x
x
m
+
+
-
-
+
+
-
+
=
，
则
2
2
2
2
2
2
(
1)(4
8)
8
(
1) 16
(
1)
4
0
4
1
4
1
k
m
k m m
km
m
k
k
+
-
-
-
-
+
-
+
=
+
+
，
化简整理得
2
2
12
16
5
2
3
0
k
km
m
m
+
+
-
-
=
，所以
2
1 6
5
3
0
k
m
k
m
+
-
+
+
=
，
因为2
1
k
m
+
¹ ，所以6
5
3
0
k
m
+
+
=
，即6
3
5
5
k
m
+
= -
，
所以直线l 过定点6
3
,
5
5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ；
当直线l 的斜率不存在时，设直线
0
0
0
0
0
:
, (
,
), (
,
)
l x
x
A x
y
B x
y
=
-
，于是
2
2
0
0
1
8
2
x
y
+
= ，
由
0
PA PB
×
=
uuur uuur
，得
0
0
0
0
2
2
(
1)(
1)
0
x
x
y
y
-
-
+
-
-
-
=
，即
2
2
0
0
0
4
5
0
x
x
y
-
+ -
=
，
结合
2
2
0
0
1
8
2
x
y
+
= 得，
2
0
0
5
16
12
0
x
x
-
+
=
，解得
0
6
5
x =
或
0
2
x
=
（舍去），
此时直线l 的方程为
6
5
x =
，也过定点6
3
,
5
5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ；
综上，直线l 恒过定点6
3
,
5
5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
（3）假设存在直线l 满足条件，因为
90
APB
Ð
=
o，所以PA
PB
=
，
当直线l 的斜率不存在时，显然不符合；
当直线l 的斜率存在时，由（2）可知，
2
2
2
2
1
1
2
2
2
(
1)
2
(
1)
x
y
x
y
-
+
-
=
-
+
-
，
又
1
1
2
2
,
kx
m y
kx
m
y =
+
=
+
，代入展开整理得
1
2
2
2
2
4
1
km
k
x
x
k
-
-
+
= -
+
，
又
1
2
2
8
4
1
km
x
x
k
+
= -
+ ，所以
2
2
2
2
4
8
1
4
1
km
k
km
k
k
-
-
-
= -
+
+ ，所以
3
2
3
4
8
2
0
km
k
k
k
+
+
+
+
=
，
又6
5
3
0
k
m
+
+
=
，所以
3
2
10
11
2
5
0
k
k
k
+
-
+
=
，
构造函数
3
2
10
11
2
5,
f x
x
x
x
x
=
+
-
+
ÎR ，则
2
30
22
2
f
x
x
x
¢
=
+
-
，
令
0
f
x
¢
=
得
1
11
181
1,0
30
x
-
-
=
Î -
，
2
11
181
0,1
30
x
-
+
=
Î
，
于是当
1
,
x
x
¥
Î -
时，
0
f
x
¢
>
，函数
f x 单调递增，
当
1
2
,
x
x x
Î
时，
0
f
x
¢
<
，函数
f x 单调递减，
当
2,
x
x
¥
Î
+
时，
0
f
x
¢
>
，函数
f x 单调递增，
所以
3
2
3
2
1
2
2
2
2
2
2
2
10
11
2
5
10
11
2
5
0
f x
f x
x
x
x
x
x
x
>
=
+
-
+
=
+
+ -
+
>
，
又
2
80
44
4
5
27 0,
1
10 11
2
5
8 0
f
f
-
= -
+
+
+
= -
-
= -
+
+
+
=
，
根据零点存在定理可知函数
f x 在
2, 1
-
-
内有唯一零点，
于是函数
f x 在R 上只有一个零点，即方程
3
2
10
11
2
5
0
k
k
k
+
-
+
=
有唯一的实数根，
所以存在直线l ，使得PAB
V
是等腰三角形，这样的直线l 只有1条.
7．（25-26 高三上·河北衡水·开学考试）关于椭圆有如下结论：“过椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
上一点
0
0
,
P x
y
作该
椭圆的切线，切线方程为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
+
= ”.已知离心率都为
2
2 的椭圆
1
M ，
2
M 的对称中心都是原点O .焦点都在x 轴
上，且椭圆
1
M 的焦距是椭圆
2
M 的焦距的2 倍，椭圆
1
M 的长轴长为4.
(1)分别求椭圆
1
M ，
2
M 的标准方程；
(2)已知点T 是椭圆
1
M 上的任意一点，过点T 分别作椭圆
2
M 的两条切线.切点分别为A ，B ，直线TA ，TB 分别与
椭圆
1
M 相交于异于点T 的C ，D 两点.
（i）证明：线段AB 是
TCD
△
的中位线：
（ii）证明：直线CD 经过原点O .
【答案】(1)
1
M ：
2
2
1
4
2
x
y
+
= ，
2
M ：
2
2
1
2
x
y
+
= .
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）设椭圆
1
M 的方程为
2
2
1
1
2
2
1
1
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
，焦距为
1
2c ，
椭圆
2
M 的方程为
2
2
2
2
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
，焦距为
2
2c ，
由椭圆
1
M 的长轴长为4，离心率都为
2
2 ，可得
1
2
a =
，
1
2
c =
，
1
2
b =
，
又由椭圆
1
M 的焦距是椭圆
2
M 的焦距的2 倍，可得
2
1
c = ，
2
2
a =
，
2
1
b = ，
故椭圆
1
M 的标准方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= ，椭圆
2
M 的标准方程为
2
2
1
2
x
y
+
= .
（2）设
,
T m n ，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
C x
y
，
4
4
,
D x
y
，有
2
2
1
4
2
m
n
+
= ，
2
2
1
1
1
2
x
y
+
= ，
2
2
2
2
1
2
x
y
+
= .
（i）证明：直线AT 的方程为
1
1
1
2
x x
y y
+
= ，
联立方程
2
2
1
1
1
4
2
1
2
x
y
x x
y y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，消去y 有
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
4
0
2
x
y
x
x x
y
æ
ö
+
-
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
代入
2
2
1
1
1
2
x
y
+
= ，上述方程可化为
2
2
1
1
2
2
4
0
x
x x
y
-
+
-
=
，
又由一元二次方程根与系数的关系，有
3
1
2
m
x
x
+
=
，可得
3
1
2
m
x
x
+
=
，
由中点坐标公式可知A 是线段TC 的中点，同理可得B 是线段TD 的中点，
故线段AB 是
TCD
△
的中位线.
（ii）证明：由直线AT 的方程为
1
1
1
2
x x
y y
+
= ，直线BT 的方程为
2
2
1
2
x x
y y
+
= ，
又由点T 在直线AT 和BT 上，有
1
1
2
2
1
2
1
2
x m
y n
x m
y n
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，可得点A ，B 都在直线
1
2
m x
ny
+
= 上，
可得直线AB 的方程为
1
2
m x
ny
+
= ，
联立方程
2
2
1
2
1
2
x
y
m x
ny
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，消去y 有
2
2
2
2
2
2
2
0
2
m
n
x
mx
n
æ
ö
+
-
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
代入
2
2
1
4
2
m
n
+
= ，上述方程可化为
2
2
1
0
x
mx
n
-
+ -
=
，
又由一元二次方程根与系数的关系，有
1
2
x
x
m
+
=
，可得
1
2
2
2
x
x
m
+
=
，
又由
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
m
m
n y
y
x
x
n
n
+
=
-
+
=
-
=
-
-
=
，
当
0
n =
时，
2
m = ± ，
1
2
1
2
x
x
+
= ± ，线段AB 的中点为
1,0
±
，即
,
2 2
m n
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
当
0
n ¹
时，有
1
2
y
y
n
+
=
，可得
1
2
2
2
y
y
n
+
=
，可得线段AB 的中点为
,
2 2
m n
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
又由线段OT 的中点为
,
2 2
m n
æ
ö
ç
÷
è
ø ，可得四边形OATB 为平行四边形，
记平行四边形OATB 的对角线的交点为S ，
又由AT
AC
=
，ST
OS
=
，TB
BD
=
，可得AS
OC
∥
，BS
OD
∥
，
又由A ，S ，B 三点共线，故C ，O ，D 三点共线，
故直线CD 经过原点O .
8．（25-26 高三上·河北邢台·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的一个焦点为
10
F
,
，其短轴长为2.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过坐标原点O 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点
,
A B .
（i）当直线l 的斜率为1 时，求
ABF
△
的周长；
（ii）若直线
,
AF BF 分别与椭圆E 交于点
,
M N ，证明：直线MN 过定点.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
=
(2)（i）4 3
2 2
3
+
；（ii）4 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】（1）依题意可得2
2
b =
，则
1
b = ，因为焦点
1,0
F
，则
2
2
2
1,
1 1
2
c
a
b
c
=
=
+
= + =
，
所以椭圆方程为
2
2
1
2
x
y
+
= .
（2）（i）当直线l 的斜率为1时，则直线方程为y
x
=
，
与椭圆方程联立
2
2
1
2
x
y
y
x
ì
+
=
ïí
ï
=
î
，解得
6
3
y = ±
，
不妨设点
6
6
,
3
3
Aæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
6
6
,
3
3
Bæ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
则
2
2
6
6
6
6
4 3
3
3
3
3
3
AB
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
设椭圆的左焦点为
1F ，
由椭圆的性质可得
1
BF
AF
=
，
所以
ABF
△
的周长为
1
AB
AF
BF
AB
AF
AF
+
+
=
+
+
，
又
1
2
2 2
AF
AF
a
+
=
=
，
所以
ABF
△
的周长为4 3
2 2
3
+
，
所以当直线l 的斜率为1 时，求
ABF
△
的周长为4 3
2 2
3
+
.
（ii）依题意可设直线
:
MN x
my
n
=
+
，
与椭圆方程联立可得
2
2
1
2
x
y
x
my
n
ì
+
=
ïí
ï
=
+
î
，整理可得
2
2
2
2
2
2
0
m
y
mny
n
+
+
+
-
=
，
设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
则
2
1
2
1
2
2
2
2
2
,
2
2
mn
n
y
y
y
y
m
m
-
-
+
=
×
=
+
+
，
设直线
:
1
AF x
ky
=
+ ，与椭圆方程联立可得
2
2
1
2
1
x
y
x
ky
ì
+
=
ïí
ï
=
+
î
，
整理可得
2
2
2
2
1
0
k
y
ky
+
+
- =
，
设
,
,
,
A
A
B
B
A x
y
B x
y
，
则
1
2
2
1
1
1
2
2
A
A
y y
y
k
k
y
-
-
=
Þ
=
+
+
，
又
1
1
1
x
k
y
-
=
，所以
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
A
y
y
x
y
x
y
y
-
-
=
=
é
ù
-
+
æ
ö
-
ê
ú
+
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
，
同理可得
2
2
2
2
2
1
2
B
y
y
x
y
-
=
-
+
，
由题意A 与B 关于原点对称，所以
0
A
B
y
y
+
=
，
即
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
0
1
2
1
2
y
y
x
y
x
y
-
-
+
=
-
+
-
+
，
整理可得
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
y
x
y
y
x
y
é
ù
é
ù
-
+
+
-
+
=
ë
û
ë
û
，
即
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
2
0
y
my
n
y
y
my
n
y
é
ù
é
ù
+
-
+
+
+
-
+
=
ë
û
ë
û
，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
4
1
1
0
m
y y
y
y
m n
y y
n
y
y
+
+
+
-
+
-
+
=
，
将
2
1
2
1
2
2
2
2
2
,
2
2
mn
n
y
y
y
y
m
m
-
-
+
=
×
=
+
+
代入上式可得4
3
m
mn
=
，
又m 不恒为0 ，故
4
3
n =
，
所以直线
:
MN x
my
n
=
+
恒过点4 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø .
9．（25-26 高三上·北京房山·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的一个顶点为
2,0
A
，离心率为
1
2 ．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线l 与椭圆E 相交于
,
M N 两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之积为
3
4
-
，判断直线l 是否过定点，若过定
点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)过定点
0,0
【详解】（1）由顶点为
2,0
A
可知
2
a =
，
又离心率为
1
2 ，即
1
2
c
a =
，可得
1
c = ，
因此
2
2
2
3
b
a
c
=
-
=
，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y
kx
t
=
+ ，
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，如下图所示：
联立
2
2
1
4
3
x
y
y
kx
t
ì
+
=
ïí
ï
=
+
î
，整理可得
2
2
2
4
3
8
4
12
0
k
x
ktx
t
+
+
+
-
=
，
显然
0
D >
，即
2
2
2
8
4 4
3
4
12
0
kt
k
t
-
+
-
>
，可得
2
2
4
3
t
k
<
+ ；
且
2
1
2
1
2
2
2
8
3
4
4
12
4
3
x
x
x x
k
k
kt
t -
+
= -
=
+
+
，
，
则直线AM 与直线AN 的斜率分别为
1
2
1
2
2
,
2
AM
AN
k
x
k
y
y
x
=
=
-
-
；
即可得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
AM
AN
kx
t
kx
t
y
y
y y
k
k
x
x
x
x
x
x
+
+
=
×
=
=
-
-
-
-
-
-
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
4
12
8
3
4
3
4
3
4
3
4
12
8
2
4
4 4
4
4
2
4
4
3
4
3
t
kt
k
kt
t
k x x
kt x
x
t
k
t
k
k
t
kt
x x
x
x
k
t
kt
k
k
-
æ
ö
+
-
+
ç
÷
+
+
+
-
+
+
è
ø
=
=
= -
×
= -
-
-
+
+
+
+
æ
ö
-
-
+
ç
÷
+
+
è
ø
，
所以可得
2
2
2
2
4
4
4
k
t
kt
t
k
+
+
=
-
，所以
2
2
t
kt
= -
；
解得
0
t =
或
2
t
k
= -
；
当
0
t =
时，直线l 为y
kx
=
，此时直线恒过点
0,0 ，
当
2
t
k
= -
时直线l 为
2
y
kx
t
k x
=
+ =
-
，恒过
2,0 ，与点
2,0
A
重合，不合题意；
当直线l 的斜率不存在时，设直线方程为
,
2
x
m m
=
¹
，
代入椭圆方程可得
2
3 1
4
m
y
æ
ö
= ±
-
ç
÷
è
ø
，
不妨取
2
2
, 3 1
,
,
3 1
4
4
m
m
M m
N m
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
则
2
2
2
2
2
2
3 1
3 1
3 1
4
4
4
4
3
3
2
2
4
4
2
2
AM
AN
m
m
m
m
k
k
m
m
m
m
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
è
ø
è
ø
= -
= -
= -
= -
-
-
-
-
，
解得
0
m =
，即直线l 为
0
x =
，恒过点
0,0 ，
当
2
m =
时，直线
2
x =
过点
2,0
A
，不合题意；
综上可知，直线l 过定点
0,0 .
10．（2025·安徽·模拟预测）已知离心率为
1
2 的椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，且C 过点
3
3, 2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，过原点的直线l 与C 交于,
P Q 两点.
(1)求C 的方程；
(2)若点P 在第一象限，过点Q 作直线
1
2
,
PF PF 的垂线，垂足分别为
,
A B ，求证：1
1
3
QA
QB
<
< ；
(3)若点P 关于x 轴的对称点为M ，点D 的坐标为（4，0），直线MD 交C 于点N ，探究：直线PN 是否过定点，若
是，请求出定点，若不是，请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)证明见解析
(3)是，
1,0
【详解】（1）由题意得，
2
2
2
2
2
1
2
3
3
1
4
c
a
a
b
a
b
c
ì
=
ï
ïï
+
=
í
ï
=
+
ï
ïî
，解得
2
3
1
a
b
c
=
ì
ï =
í
ï =
î
，
故椭圆C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
（2）法一：设
0
0
,
P x
y
，则
0
0
,
Q
x
y
-
-
，
因为
1
2
,
F F 分别为椭圆的左、右焦点，所以
1
2
PQF
PQF
S
S
=
△
△
，
则
1
2
1
1
2
2
PF
QA
PF
QB
×
×
=
×
×
，
所以
2
1
1
1
1
4
4
1
QA
PF
PF
QB
PF
PF
PF
-
=
=
=
- .
因为
2
2
2
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
2
4
2,
0,2
4
2
PF
x
y
x
x
x
x
=
+
+
=
+
+
=
+
Î
，
所以
1
2,3
PF Î
，即
1 ,1
3
QA
QB
æ
ö
Îç
÷
è
ø.
法二：设
0
0
,
P x
y
，则
0
0
0
0,2 ,
,
x
Q
x
y
Î
-
-
，
易得直线
1
PF 的方程为
0
0
1
1
y
y
x
x
=
+
+
，
即
0
0
0
1
0
y x
x
y
y
-
+
+
=
，
则
0
0
0
0
0
0
0
2
2
0
2
0
0
0
0
1
2
2
1
1
2
2
4
2
4
x y
x
y
y
y
y
QA
x
y
x
x
x
-
+
+
+
=
=
=
+
+
+
+
+
.
同理可得，直线
2
PF 的方程为
0
0
1
1
y
y
x
x
=
-
-
，即
0
0
0
1
0
y x
x
y
y
-
-
-
=
，
则
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
0
0
2
0
0
0
0
1
2
2
2
1
1
2
2
2
4
2
2
4
x y
x
y
y
y
y
y
QB
x
x
y
x
x
x
-
+
-
-
=
=
=
=
+
-
-
-
-
+
.
所以
0
0
0
0
0
2
4
8
2
1
4
4
2
2
x
QA
x
x
QB
x
x
-
-
=
=
=
-
+
+
+
.
因为
0
0,2
x Î
，且
8
1
4
y
x
=
-
+
在
0,2 上单调递减，
所以1
8
1 1
3
4
x
<
- <
+
，即
1 ,1
3
QA
QB
æ
ö
Îç
÷
è
ø.
（3）设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，则
1
1
,
P x
y
-
，
由题意得，直线MD 斜率不为0，故设直线MD 的方程为
4
x
my
=
+
.
联立
2
2
1
4
3
4
x
y
x
my
ì
+
=
ïí
ï =
+
î
，消去x ，整理得
2
2
3
4
24
36
0
m
y
my
+
+
+
=
，
由
2
2
Δ
24
4 36 3
4
0
m
m
=
- ´
+
>
，得
2
4
m >
，
则
1
2
1
2
2
2
24
36
,
3
4
3
4
m
y
y
y y
m
m
+
= -
=
+
+
.
直线PN 的方程为
2
1
2
2
2
1
y
y
y
y
x
x
x
x
+
-
=
-
-
，
由对称性令
0
y =
，得
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
y
x
x
my
y
my
y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
y
y
-
+
+
+
+
=
+
=
=
+
+
+
2
1
2
1
2
2
36
3
4
2
4
2
4
1,
24
3
4
y y
m
m
m
m
y
y
m
+
=
×
+
=
×
+
=
+
-
+
所以直线PN 过定点，且定点坐标为
1,0 .
1．（2025·湖南湘潭·一模）已知椭圆
2
2
2
2
1
x
y
T a
b
+
=
：
（
0
a
b
>
>
）的离心率为
3
2 ，且经过点
2,0
A -
，
2,0
B
．过
点
1,0
M
，斜率为k （
0
k ¹
）的直线与椭圆交于C ，D 两点，直线AC ，BD 分别与直线
1
x = 交于点E ，G ．
(1)求椭圆T 的方程；
(2)求
EM
GM 的值．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)1
【详解】（1）由题意：
2
2
2
3
2
2
c
a
a
a
b
c
ì
=
ï
ïï =
í
ï
=
+
ï
ïî
Þ
2
2
3
1
a
c
b
=
ì
ï =
í
ï
=
î
，
所以椭圆T 的标准方程为：
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）如图：
直线CD 的方程为：
1
y
k x
=
-
，代入
2
2
1
4
x
y
+
= 得：
2
2
2
4
1
4
x
k
x
+
-
=
，
整理得：
2
2
2
2
1
4
8
4
1
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
.
设
1
1
,
C x y
，
2
2
,
D x
y
，则
2
1
2
2
8
1
4
k
x
x
k
+
= +
，
2
1
2
2
4
1
1
4
k
x x
k
-
=
+
.
又直线AC ：
1
1
2
2
y
x
y
x
+
=
+
，令
1
x = 得
1
1
3
2
E
y
y
x
=
+
1
1
3
1
2
k x
x
-
=
+
；
直线BD ：
2
2
2
2
y
x
y
x
-
=
-
，令
1
x = 得
2
2
2
2
1
2
2
G
k x
y
y
x
x
-
-
-
=
=
-
-
.
考点二
椭圆的定值问题
所以
E
G
EM
y
GM
y
=
1
2
1
2
1
2
3
2
1
x
x
x
x
-
-
=
+
-
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
3
2
2
x x
x
x
x x
x
x
-
-
+
=
-
+
-
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
4
1
8
2
2
1
4
1
4
3
4
1
8
2
2
1
4
1
4
k
k
x
x
k
k
k
k
x
x
k
k
-
æ
ö
-
-
-
+
ç
÷
+
+
è
ø
=
-
æ
ö
-
+
-
-
ç
÷
+
+
è
ø
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
4
1
8
2
1
4
1
4
3
4
1
16
3
2
1
4
1
4
k
k
x
k
k
k
k
x
k
k
-
-
-
+
+
+
=
-
-
+
-
+
+
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
4
1
1
4
8
2 1
4
3
4
1
3 1
4
16
2 1
4
k
k
x
k
k
k
k
x
k
k
-
-
+
-
+
+
=
-
-
+
+
-
+
2
2
1
2
2
1
4
2
1
4
3
12
6
3 1
4
k
k
x
k
k
x
-
-
+
=
-
-
+
1
3
1
3
=
´
= .
2．（25-26 高三上·广西桂林·开学考试）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的离心率为
2
2 ，且C 过点
2,
2 .
(1)求C 的方程；
(2)直线l ：
1
0
y
k x
k
=
-
>
与C 交于A，B 两点，过C 上的点P （与A，B 不重合且不在坐标轴上）作x 轴的平
行线交线段AB 于点Q （与A，B 不重合），直线OP 的斜率为k¢（O 为坐标原点），
APQ
△
的面积为
1S ，
BPQ
V
的
面积为
2S ，若
2
1
AP S
BP S
×
=
×
，直线AP ，BP 的斜率都存在，分别记为
AP
k
，
BP
k
.
（i）求证：
0
AP
BP
k
k
+
=
；
（ii）判断k k¢
×
是否为定值？并说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
8
4
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析（ii）
1
2
k k¢
×
=
，理由见解析
【详解】（1）由题意，得
2
2
2
2
2
2
2
4
2
1
c
e
a
a
b
a
b
c
ì =
=
ï
ï
ï
+
=
í
ï
-
=
ï
ïî
，解得
2
2
2
8,
4,
4
a
b
c
=
=
=
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
8
4
x
y
+
= .
（2）（i）因为
2
1
×
=
×
AP S
BP S ，
则
1
2
1
sin
sin
2
1
sin
sin
2
×
×
Ð
Ð
=
=
=
Ð
×
×
Ð
AP
PQ
APQ
AP
AP
APQ
S
BP
S
BP
BPQ
BP
PQ
BPQ
，
因此sin
sin
APQ
BPQ
Ð
=
Ð
，
而
0,π
APQ
BPQ
APB
Ð
+ Ð
= Ð
Î
，有
APQ
BPQ
Ð
= Ð
，即PQ平分
APB
Ð
，
故直线
,
AP BP 的斜率
,
AP
BP
k
k
互为相反数，则
0
AP
BP
k
k
+
=
.
（ii）设
0
0
,
P x
y
，
由
2
2
1
8
4
1
x
y
y
k x
ì
+
=
ïí
ï
=
-
î
，得
2
2
2
2
2
1
4
2
8
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
，
因
4
2
2
2
Δ
16
4 2
1
2
8
56
32
0
k
k
k
k
=
-
+
-
=
+
>
，设
1
1
2
2
,
,
,
,
A x y
B x
y
则有
2
1
2
2
2
1
2
2
4
2
1
2
8
2
1
k
x
x
k
k
x
x
k
ì
+
=
ïï
+
í
-
ï
×
=
ï
+
î
，而
1
0
2
0
1
0
2
0
0
AP
BP
y
y
y
y
k
k
x
x
x
x
-
-
+
=
+
=
-
-
，
化简得
1
0
2
0
2
0
1
0
0
y
y
x
x
y
y
x
x
-
-
+
-
-
=
，
即
1
0
2
0
2
0
1
0
1
1
k x
y
x
x
k x
y
x
x
é
ù
é
ù
-
-
-
+
-
-
-
ë
û
ë
û
1
2
0
0
1
2
0
0
2
2
0
kx x
y
kx
k
x
x
x
y
k
=
-
+
+
+
+
+
=
，
于是
2
2
0
0
0
0
2
2
2
8
4
2
2
0
2
1
2
1
k
k
k
y
kx
k
x
y
k
k
k
-
×
-
+
+
×
+
+
=
+
+
，
故
2
2
2
0
0
0
0
2
2
8
4
2
2
1
0
k
k
k
y
kx
k
x
y
k
k
-
-
+
+
+
+
+
=
，
化简得
2
0
0
0
0
0
2
1
8
0
y
x
k
x
k
x y
-
+
-
+
=
，
又因
0
0
,
P x
y
在椭圆上，则
2
2
0
0
1
8
4
x
y
+
= ，即
2
2
0
0
2
8,
x
y
+
=
则
2
2
0
0
0
0
8
2
x
x
x
y
-
=
-
-
，
从而
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
2
1
2
0
y
x
k
x
x
y
k
x y
-
+
-
-
+
=
，
整理得
0
0
0
0
2
1
0
y k
x
x
k
y
é
ù
-
-
-
=
ë
û
，
又因
0
0
,
P x
y
不在直线
:
1
l y
k x
=
-
上，即
0
0
1
0
x
k
y
-
-
¹
，
则得
0
0
2
0
y k
x
-
=
，即
0
0
2
x
k
y
=
，因
0
0
y
k
x
¢ =
，
于是
0
0
0
0
1
2
2
x
y
k k
y
x
×
=
×
=
¢
，故k k
× ¢ 为定值1
2 ．
3．（2025·福建三明·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的左顶点为A ，上顶点为B ，离心率为
1
2 ，
AOB
V
的面积为
3 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线y
kx
=
（k 存在且不等于0）与椭圆交于P ，Q 两点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线QA与直线y
b
=
交于
点N ，判断
PB
MN
k
k
-
是否为定值并证明．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)
0
PB
MN
k
k
-
=
，证明见解析
【详解】（1）由题意
2
2
2
1
2
1
3
2
c
a
a
b
c
ab
ì
=
ï
ï
-
=
í
ï
ï
=
î
，解得
2
3
1
a
b
c
=
ì
ï =
í
ï =
î
，
故椭圆的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
（2）设
1
1
,
P x y
，由对称性可知，P ，Q 两点关于原点对称，即
1
1
,
Q
x
y
-
-
，
由（1）可知，
2,0 ,
0, 3
A
B
-
，
联立
2
2
3
4
12
0
x
y
y
kx
ì
+
-
=
í
=
î
，得
2
2
(3
4
)
12
0
k
x
+
-
=
，所以
2
1
2
12
3
4
x
k
=
+
，
直线AP 的斜率存在，其方程为：
1
1
2
2
y
y
x
x
=
+
+
，
令
0
x =
得
1
1
2
2
M
y
y
x
=
+
，即
1
1
2
0,
2
y
M
x
æ
ö
ç
÷
+
è
ø
，
直线AQ 的斜率存在，其方程为：
1
1
2
2
y
y
x
x
-
=
+
-
+
，
令
3
y =
得
1
1
1
3
2 3
2
N
x
y
x
y
-
-
=
，即
1
1
1
3
2 3
2
, 3
x
y
N
y
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
2
3
2 3
2
0
PB
MN
y
y
x
k
k
x
x
y
y
-
-
+
-
=
-
-
-
-
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
3
2
3
2 3
3
4 3
2
4
kx
k x
kx
kx
x
x
kx
kx
-
-
-
=
+
-
-
-
2
2
2
3
3
2
1
1
1
1
1
1
1
3
3
2
1
1
1
1
3
3
4 3
2
4
2
3
2 3
3
4 3
2
4
kx
x
kx
kx
k x
kx
kx
x
x
kx
kx
-
-
-
-
+
-
-
=
-
-
-
2
2
1
3
3
2
1
1
1
1
12
4
3
0
3
4 3
2
4
k
x
x
x
kx
kx
-
+
=
=
-
-
-
，
所以
0
PB
MN
k
k
-
=
为定值.
4．（24-25 高二下·湖北孝感·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，其短轴长为2 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 与椭圆C 交于,
P Q 两点（,
P Q 均在第一象限），且直线
, ,
OP l OQ 的斜率分别为
, ,
OP
OQ
k
k k
，且
2
OP
OQ
k
k
k
=
，证明：直线l 的斜率为定值.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)证明见解析.
【详解】（1）1 由题意可得
2
2
2
3
2
2
2
c
a
b
a
b
c
ì
=
ï
ïï
=
í
ï
=
+
ï
ïî
解得
2
1
a
b
=
ì
í
=
î
故椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= ．
（2）证明：由题意可知直线l 的斜率存在且不为0 ，设直线l 的方程为
0
y
kx
m m
=
+
¹
，
由
2
2
1
4
y
kx
m
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
消去y 后整理得
2
2
2
1
4
8
4
1
0
k
x
kmx
m
+
+
+
-
=
，
Q直线l 与椭圆C 交于两点，
2
2
2
2
2
2
64
16 1
4
1
16 4
1
0
k m
k
m
k
m
\D =
-
+
-
=
-
+
>
.
设点P ，Q 的坐标分别为
1
1
,
x
y
，
2
2
,
x
y
，
则
1
2
2
8
1
4
km
x
x
k
-
+
= +
，
2
1
2
2
4
1
1
4
m
x x
k
-
=
+
，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
.
y y
kx
m
kx
m
k x x
km x
x
m
\
=
+
+
=
+
+
+
2
OP
OQ
k
k
k
=
Q
，
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
k x x
km x
x
m
y
y
k
x
x
x x
+
+
+
\
=
×
=
，
整理得
2
1
2
0
km x
x
m
+
+
=
，
2
2
2
2
8
0
1
4
k m
m
k
-
\
+
=
+
，又
0
m ¹
，
2
1
4
k
\
=
，
Q点P ，Q 都在第一象限，
0
k
\
< ，即
1
2
k = -
，
故直线l 的斜率为定值．
5．（25-26 高三上·河北·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，四点
1
3
1, 2
P æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
3
1, 2
P æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
3 0,1
P
，
4 1,1
P
中恰有三点在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)过点
4,0
D
且斜率不为0 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点.
（ⅰ）若O 为原点，求
MON
△
面积的最大值；
（ⅱ）点
2,0
A -
，设点Q 是线段MN 上异于M ，N 的一点，直线QA，QM 的斜率分别为
1k ，
2k ，且
1
2
0
k
k
+
=
，
求
DM
NQ
DN
MQ
×
×
的值.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)（ⅰ）1；（ⅱ）
DM
NQ
DN
MQ
×
×
的值为1.
【详解】（1）由对称性知
1
3
1, 2
P æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
3
1, 2
P æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
和
3 0,1
P
在椭圆C 上，
所以
2
2
1,
1
3
1,
4
b
a
b
=
ìïí
+
=
ïî
所以
2
a =
，椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）（ⅰ）设直线l 的方程为
4
x
ty
=
+
，点
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
由
2
2
4
4
4
x
ty
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
，消去x 得：
2
2
4
8
12
0
t
y
ty
+
+
+
=
，
则
1
2
2
1
2
2
8
4
12
4
t
y
y
t
y y
t
-
ì
+
=
ïï
+
í
ï
=
ï
+
î
，
2
Δ
16
12
0
t
=
-
>
，则
2 3
t < -
或
2 3
t >
.
所以
2
1
2
2
4
12
4
t
y
y
t
-
-
=
+
，
所以
MON
△
面积
2
2
1
2
2
2
1
1
4
12
8
12
4
4
2
2
4
4
t
t
S
y
y
t
t
-
-
=
´ ´
-
=
´ ´
=
+
+
.
令
2
12
0
t
u u
-
=
>
，则
2
2
12
t
u
=
+
，
2
8
8
1
16
16
u
S
u
u
u
=
=
£
+
+
，
当且仅当
4
u =
，即
2
28
t =
时，
MON
△
面积的最大值为1.
（ⅱ）因为
1
2
0
k
k
+
=
，所以直线QA，QM 的倾斜角互补，所以QA
QD
=
，
所以点Q 在线段AD 的垂直平分线上，所以
3
1,
Q
t
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
所以
2
2
2
1
1
1
4
1
DM
x
y
t
y
=
-
+
=
+
，同理得
2
2
1
DN
t
y
=
+
，
2
1
3
1
MQ
t
y
t
=
+
+
，
2
2
3
1
NQ
t
y
t
=
+
+
.
所以
1
2
2
1
3
3
y
y
DM
NQ
t
DN
MQ
y
y
t
×
+
×
=
×
×
+
，
于是
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
3
3
3
3
y
y
y y
y
DM
NQ
t
t
DN
MQ
y y
y
y
y
t
t
æ
ö
+
+
ç
÷
×
è
ø
=
=
×
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
，
因为
1
2
1
2
3
2
y y
y
y
t
-
=
+
，
所以
1
2
1
1
2
1
2
2
2
1
3
3
3
3
2
2
2
1
3
3
3
3
2
2
2
y
y
y
y
y
DM
NQ
t
t
t
t
DN
MQ
y
y
y
y
y
t
t
t
t
-
+
+
-
×
=
=
=
-
×
+
+
-
.
所以
DM
NQ
DN
MQ
×
×
的值为1.
6．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·开学考试）在圆
2
2
4
O
x
y
+
=
：
上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线段
,
PD D 为垂足．
(1)当点 P 在圆上运动时，求线段 PD 的中点 Q 的轨迹方程． (当点 P 经过圆与 x 轴的交点时，规定点
Q 与点 P 重合)
(2)根据（1）中所得的点 Q 的轨迹方程，若直线 l 与点 Q 的轨迹相交于 M ， N 两点，且
1
4
OM
ON
k
k
×
= -
，试判断OMN
V
的面积是否为定值． 若是，求出该定值；若不是， 请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2) OMN
V
的面积为定值且定值为1，理由见解析.
【详解】（1）设
,
Q x y ，则
,2
P x
y ，由题设可知
2,2
xÎ -
，
而P 在圆
2
2
:
4
O x
y
+
=
上，故
2
2
4
4
x
y
+
=
即
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）因为
1
4
OM
ON
k
k
×
= -
，故
,
OM
ON
k
k
均存在且不为零，
故直线
:
OM
OM
y
k
x
=
，直线
:
ON
ON y
k
x
=
，设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
由椭圆的对称性，不妨设M 在第一象限，N 在第四象限，故
0
OM
k
>
.
又
1
1
2
1
ON
M ON
ON
y
k
x
d
k
-
-
=
+
，故
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2 1
2
2
2
1
1
2
2
1
MON
y
y
x
x
S
x
y
x y
y x
y
x
-
´
=
+
´
=
-
æ
ö
+ ç
÷
è
ø
V
，
由
2
2
4
4
OM
y
k
x
x
y
=
ì
í
+
=
î
可得
1
1
2
2
2
2
,
1
4
1
4
OM
OM
OM
k
x
y
k
k
=
=
+
+
，
同理
2
2
2
2
2
2
,
1
4
1
4
ON
ON
ON
k
x
y
k
k
=
=
+
+
，而
1
4
ON
OM
k
k
-
=
，
故
2
2
2
2
4
1
,
1
4
1
4
OM
OM
OM
k
x
y
k
k
-
=
=
+
+
，故
2
2
8
2
1
1
2 1
4
OM
MON
OM
k
S
k
+
=
=
+
V
.
故OMN
V
的面积为定值且定值为1.
7．（25-26 高三上·河北保定·开学考试）已知椭圆E
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
：
的左、右焦点分别为
1
2
F
F
，，且
1
2
4
F F =
∣
∣
，
椭圆E 的离心率为
2
2 ．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)已知直线l 过点
1F ，且与椭圆E 交于点A，B，求证：
1
1
1
1
AF
BF
+
∣
∣∣
∣是定值.
【答案】(1)
2
2
1
8
4
x
y
+
=
(2)证明见解析
【详解】（1）由
1
2
4
F F =
，得
2
2
2
2
4
c
a
b
=
-
=
，即
2
c =
，
又椭圆E 的离心率为
2
2 ，所以
2
2
c
a =
，即
2 2
a =
，所以
2
2
2
b
a
c
=
-
=
，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
8
4
x
y
+
= ．
（2）设点
1
1
2
2
1
2
2 2 2 2
A x
y
B x
y
x
x
é
ù
Î -
ë
û
，
，
，
，，
，
，
当直线l 的斜率不存在时，
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
4 1
2
2
8
x
x
y
y
AF
BF
y
é
ù
-
=
= -
=
=
-
=
=
=
=
ê
ú
ë
û
（
）
，
，
，所以
1
1
1
1
2
AF
BF
+
=
．
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
2
y
k x
=
+
．
由
2
2
1
8
4
2
x
y
y
k x
ì
+
=
ïí
ï
=
+
î
，
消去y ，得
2
2
2
2
2
1
8
8
8
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
．
所以
2
2
2
1
2
1
2
2
2
8
8
8
Δ
32
1
0
2
1
2
1
k
k
k
x
x
x x
k
k
-
=
+
>
+
= -
=
+
+
，
，
．
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
4
4
2
2
AF
x
y
x
x
x
=
+
+
=
+
+
-
=
+
，同理
1
2
2
4
2
BF
x
=
+
，
所以
2
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
8
2
8
2
8
2
1
1
1
2
2
2
4
4
4
16
8
8
8
4
16
2
1
2
1
k
x
x
k
AF
BF
x
x
x x
x
x
k
k
k
k
æ
ö
-
+
ç
÷
+
+
+
è
ø
+
=
+
=
=
=
+
+
+
+
+
æ
ö
-
+
-
+
ç
÷
+
+
è
ø
．
综上所述，
1
1
1
1
2
AF
BF
+
=
（定值）.
8．（24-25 高二下·上海·期末）已知椭圆M ：
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的焦距为2 3 ，上、下顶点分别为A 、B ，点
0,2
P
关于直线y
x
= - 的对称点在椭圆M 上，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C 、D .
(1)求椭圆M 的方程；
(2)求OC OD
×
uuur uuur
的取值范围；
(3)当AD 与BC 相交于点Q 时，试问点Q 的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)
13
1, 4
é
ö
-
÷
êë
ø
(3)是，
1
2
【详解】（1）因为点
0,2
P
关于直线y
x
= - 的对称点为
2,0
-
，且
2,0
-
在椭圆M 上，
所以
2
a =
，又因为又2
2 3
c =
，故
3
c =
，则
2
2
2
4
3
1
b
a
c
=
-
=
-
= ，
则椭圆M 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）当直线l 的斜率不存在时，
0,1 ,
0, 1
C
D
-
，此时
1
OC OD
×
= -
uuur uuur
；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
2
y
kx
=
+
，
1
1
2
2
,
,
,
C x y
D x y
，
联立
2
2
2
1
4
y
kx
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，消去y 整理得
2
2
1
4
16
12
0
k
x
kx
+
+
+
=
，
由题意可得
2
2
16
48 1
4
0
k
k
D =
-
+
>
，化简得
2
4
3
k >
，
则由根与系数关系得
1
2
1
2
2
2
16
12
,
1
4
1
4
k
x
x
x x
k
k
+
= -
=
+
+
，
所以
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
OC OD
x x
y y
k
x x
k x
x
×
=
+
=
+
+
+
+
uuur uuur
2
2
2
2
2
12 1
32
17
4
1
1
4
1
4
1
4
k
k
k
k
k
+
=
+ -
+
== - +
+
+
+
，
又因为
2
4
3
k >
，所以
2
17
13
1
1 1
4
4
k
- < - +
<
+
，
综上所述:
13
1, 4
OC OD
é
ö
×
Î -
÷
êë
ø
uuur uuur
.
（3）点Q 的纵坐标为定值，证明如下：
由题意得，
2
2
1
:
1,
y
AD y
x
BC
x
-
=
+
：
1
1
1
1
y
y
x
x
+
=
- ，
将两直线方程联立，消去x 得
1
2
1
2
2
1
2
3
3
kx x
x
x
y
x
x
+
+
=
-
，
由（2）可得
1
2
1
2
4
3
kx x
x
x
= -
+
，
从而得
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
3
1
3
3
2
3
1
2
2
3
3
3
2
x
x
x
x
x
x
kx x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
-
+
+
+
-
+
+
=
=
=
=
-
-
-
，
故点Q 的纵坐标为定值
1
2 .
1．（25-26 高三上·贵州贵阳·开学考试）在平面直角坐标系中，已知
0,1 ,
0, 1
A
B
-
，直线AP 与BP 相交于点P ，
且两直线的斜率之积为
1
4
-
．
(1)设点P 的轨迹为G ，求曲线G 的方程；
(2)设一组斜率为
1
2 的平行直线与G 均有两个交点，证明这些直线被G 截得的线段的中点在同一条直线上．
【答案】(1)
2
2
1
0
4
x
y
x
+
=
¹
，
；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设交点
,
P x y ，则根据直线AP 与BP 两直线的斜率之积为
1
4
-
可得，
1
1
1
4
y
y
x
x
-
+
×
= -
，整理得：
2
2
2
2
4
1
0
1
4
x
x
y
y
+
-
=
Þ
+
= ，
由于直线AP 与BP 两直线的斜率一定存在，则
0
x ¹
，
所以点P 的轨迹为G 的方程为：
2
2
1
0
4
x
y
x
+
=
¹
，
.
（2）
设斜率为
1
2 的直线与曲线G 相交于两个交点
1
1
2
2
,
,
,
C x y
D x
y
，
则由直线方程
1
2
y
x
m
=
+
与椭圆方程
2
2
1
0
4
x
y
x
+
=
¹
，
联立方程组可得：
2
2
2
2
1
1
2
2
2
0
4
2
x
x
m
x
mx
m
æ
ö
+
+
= Þ
+
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
由韦达定理可得：
1
2
2
x
x
m
+
= -
，
而
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
y
y
x
x
m
m
m
m
+
=
+
+
=
´ -
+
=
，
设AB 中点
0
0
,
M x
y
，则
1
2
1
2
0
0
1
,
2
2
2
x
x
y
y
x
m y
m
+
+
=
= -
=
=
，
从而有
0
0
1
2
y
x
= -
，即可证明这些平行直线的中点一定在直线
1
2
y
x
= -
上.
考点三
椭圆的定直线问题
2．（24-25 高二下·福建福州·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，离心率为
1
2 ，
且椭圆上一点M 到
1F 的距离的最大值为3，已知直线l 过
2F 且与椭圆交于A，B 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若
2
2
2
AF
F B
=
uuuur
uuuur
，求直线l 的方程；
(3)设直线AB 与y 轴交于点D，过D 作直线l¢与椭圆C 交于P，Q 两点，且DP
DQ
=
，直线AP 与BQ 交于点
N，探究：点N 是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
(2)直线l 的方程为
5 (
1)
2
y
x
= ±
-
；
(3)点N 不在定直线上
【详解】（1）根据椭圆的性质，椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，离心率
c
e
a
=
（c 为半焦距），
且椭圆上一点到左焦点距离的最大值为a
c
+ ．
由离心率
1
2
c
e
a
=
=
，可得
2
a
c
=
，
因为椭圆上一点M 到
1F 的距离的最大值为3，即
3
a
c
+
=
，
将
2
a
c
=
代入
3
a
c
+
=
，可得2
3
c
c
+
=
，解得
1
c = ，那么
2
a =
，
根据
2
2
2
b
a
c
=
-
，可得
2
2
2
2
1
3
b =
-
=
．
所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ．
（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
2(1,0)
F
，因为直线l 过
2F ，
当直线l 斜率不存在时，
2
AF
uuuur
与
2
F B
uuuur
方向相反，不满足
2
2
2
AF
F B
=
uuuur
uuuur
，
所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为
(
1)
y
k x
=
-
．
联立直线与椭圆方程
2
2
1
1
4
3
y
k x
x
y
ì
=
-
ïïí
ï
+
=
ïî
，消去y 可得：
2
2
2
2
3
4
8
4
12
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
，
由韦达定理得
2
1
2
2
8
3
4
k
x
x
k
+
=
+
，
2
1
2
2
4
12
3
4
k
x x
k
-
=
+
．
因为
2
2
2
AF
F B
=
uuuur
uuuur
，所以
1
1
2
2
1
,
2
1,
x
y
x
y
-
-
=
-
，
即
1
2
1
2
1
x
x
-
=
-
，也就是
1
2
3
2
x
x
=
-
．
将
1
2
3
2
x
x
=
-
代入
2
1
2
2
8
3
4
k
x
x
k
+
=
+
，可得
2
2
2
2
8
3
2
3
4
k
x
x
k
-
+
=
+
，即
2
2
2
2
2
2
8
9
12
8
3
3
4
3
4
k
k
k
x
k
k
+
-
=
-
=
=
+
+
2
2
9
4
3
4
k
k
+
+
，
2
2
2
2
1
2
2
2
9
4
9
12
18
8
4
9
3
2
3
4
3
4
3
4
k
k
k
k
x
k
k
k
+
+
-
-
-
=
-
´
=
=
+
+
+
．
再代入
2
1
2
2
4
12
3
4
k
x x
k
-
=
+
，可得
2
2
2
2
2
2
4
9
9
4
4
12
3
4
3
4
k
k
k
k
k
-
+
-
=
+
+
，
解得
5
2
k = ±
，
所以直线l 的方程为
5 (
1)
2
y
x
= ±
-
．
（3）由（2）知直线AB 过
2(1,0)
F
，由题意其斜率存在，
设直线AB 方程
(
1)
y
k x
=
-
，令
0
x =
，得y
k
= -
，所以
(0,
)
D
k
-
．
由PQ过点D ，且DP
DQ
=
，则D 是PQ 中点；
当
0
k =
时，直线AB 即为x 轴，与y 轴交于原点即
(0,0)
D
，与椭圆交于长轴两点
,
A B ，
此时不妨取
( 2,0),
(2,0)
A
B
-
，
则过原点的直线l¢与椭圆交于,
P Q 两点，恒有DP
DQ
=
，
由对称性可知
//
AP BQ ，即两直线
,
AP BQ 无交点，不符合题意，
故
0
k ¹
，
结合椭圆对称性可知，设
3
3
,
P x y
，
4
4
,
Q x
y
，
则
3
4
0
x
x
+
=
，
4
3
2
y
y
k
+
= -
．
由
2
2
3
3
2
2
4
4
1
4
3
1
4
3
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，两式相减得：
2
2
2
2
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
0
4
3
4
3
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
y
y
-
+
-
+
-
-
+
=
+
=
将
3
4
0
x
x
+
=
，
4
3
2
y
y
k
+
= -
代入上式，可得
3
4 ( 2 )
0
3
y
y
k
-
-
=
，
因为
0
k ¹
，所以
3
4
y
y
=
，即PQ 垂直于y 轴，直线l¢方程为y
k
= -
．
联立
2
2
1
4
3
y
k
x
y
ì
= -
ïïí
ï
+
=
ïî
，可得
2
2
1
4
3
x
k
+
= ，
2
2
4 1
3
k
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，
2
2 1
3
k
x = ±
-
，
不妨设
2
2 1
,
3
k
P
k
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
2 1
,
3
k
Q
k
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
,其中
3
3
k
-
<
<
，
由（2）知，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，不妨设
1
2
x
x
<
，
由
2
1
2
2
8
3
4
k
x
x
k
+
=
+
，
2
1
2
2
4
12
3
4
k
x x
k
-
=
+
．
故当
5
2
k =
时，则
5
(0,
)
2
D
-
，又由
1
2
1
2
7
,
4
8
5
x
x
x x
+
=
= -
，
可解得
1
2
1
7
,
2
4
x
x
= -
=
，
则
1
7 3 5
,
,
,
2
4
8
3 5
4
A
B
æ
ö
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，且
21
5
21
5
,
3
2
,
3
2
,
P
Q
æ
ö
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
此时
,
AP BQ 交点
1
3 21
7
6 5
,
5
5
N æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
；
故当
2
k =
时，则
(0,
2)
D
-
，又由
1
2
1
2
16
4
,
11
11
x
x
x x
+
=
= -
，
可解得
1
2
8
6 3
8
6 3
,
11
11
x
x
-
+
=
=
，
2
3
6 3
2
3
6 3
8
6 3
8
6 3
,
,
,
11
11
11
11
A
B
æ
ö
æ
ö
- -
- +
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
且
2 3
2 3
,
3
,
2
2
3
,
P
Q
æ
ö
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
此时
,
AP BQ 交点
2
3 2
1,
2
N æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
；
当
1
k = 时，
(0, 1)
D
-
，则
2 6
(
, 1)
3
P
-
，
2 6
(
, 1)
3
Q -
-
，
4
6 2
3
6 2
,
7
7
Aæ
ö
-
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
4
6 2
3
6 2
,
7
7
Bæ
ö
+
- +
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
此时
,
AP BQ 交点
3 2 3
2, 3
N
-
-
；
1
2
3 4
21
3 4 5
5 2
,
5
10
N N
æ
ö
-
-
ç
÷
= ç
÷
è
ø
uuuuur
，
2
3
3
2
2
2 3
3,
2
N N
æ
ö
-
ç
÷
=
-
ç
÷
è
ø
uuuuur
，
因为
3 4
21
3
2
2
3 4 5
5 2
2 3
3
5
2
10
-
-
-
´
¹
´
-
，
所以
1
2
2
3
,
N N
N N
uuuuur uuuuur
不共线，故动点N 不在定直线上；
同理由对称性可知，当
0
k <
时，N 也不在定直线上，
综上可得，动点N 不在定直线上.
3．（25-26 高三上·湖北·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
，左右焦点分别为
1
2
,
F F ，左右顶点为
1
2
,
A A ，
离心率为
3
2
，点
1
( 3, )
2 在椭圆E 上．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若直线:l x
my
n
=
+
与椭圆E 交于
,
M N 两点，直线��不过原点、椭圆顶点且不垂直于x 轴．
（i）设直线
2
A M 和
2
A N 的斜率分别为
1
2
,
k k ，用
,
m n 表示
1
2
1
1
k
k
+
；
（ii）设M 点关于原点的对称点为S 点，直线
1A S 与直线
2
A N 交于T 点，直线OT 与直线l 交于Q 点，其中O 为坐标
原点，证明：点Q 在一条定直线上．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
= ；
(2)（i）4
2
m
n +
；（ii）证明见解析.
【详解】（1）由椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
b
+
= 的离心率为
3
2
，得
2
2
3
2
a
b
a
-
=
，解得
2
a
b
=
，
由椭圆
2
2
2
2
:
1
4
x
y
E
b
b
+
= 过点
1
( 3, )
2 ，得
2
2
3
1
1
4
4
b
b
+
= ，解得
1
b = ，
2
a =
，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）（i）由
2
2
1
4
x
my
n
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
消去x 得
2
2
2
(
4)
2
4
0
m
y
mny
n
+
+
+
-
= ，设点
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，
则
2
1
2
1
2
2
2
2
4
,
4
4
mn
n
y
y
y y
m
m
-
-
+
=
=
+
+
，而
1
2
( 2,0),
(2,0)
A
A
-
，依题意
2
n ¹ ± ，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
4
2
(
2)
2
x
x
my
n
my
n
y
y
m
m
n
k
k
y
y
y
y
y y
n
-
-
+
-
+
-
+
+
=
+
=
+
=
+
-
×
=
+
.
（ii）法一：设
0
0
( , )
T x y ，由M 点关于原点的对称点为S 点，O 为
1
2
A A 中点，得
1
2
//
A S A M ，
直线OT 的斜率
0
0
OT
y
k
x
=
，
0
0
1
2
0
0
,
2
2
y
y
k
k
x
x
=
=
+
-
，
0
0
0
1
2
0
0
0
2
2
2
1
1
x
x
x
k
k
y
y
y
+
-
+
=
+
=
，
由（i）得
0
0
2
4
2
x
m
y
n
=
+
，解得
2
2
OT
n
k
m
+
=
，则直线OT 方程为：
2
2
n
y
x
m
+
=
，
由
2
2
x
my
n
n
y
x
m
=
+
ìï
+
í
=
ïî
，消去y 得
2
2
n
x
x
n
+
=
+
，而n 不恒为0，解得
2
x = - ，
所以点Q 在定直线
2
x = - 上.
法二：由（i）得
2
1
2
1
2
2
2
2
4
,
4
4
mn
n
y
y
y y
m
m
-
-
+
=
=
+
+
，
设
0
0
( , )
T x y ，由M 点关于原点的对称点为S 点，得
1
1
(
,
)
S
x
y
-
-
，
由
1
,
,
A S T 三点共线，得
0
1
0
1
2
2
y
y
x
x
=
+
-
，由
2
,
,
A N T 三点共线，得
0
2
0
2
2
2
y
y
x
x
=
-
-
，
则
0
0
0
1
2
1
2
0
0
0
1
2
1
2
2
2
2
2
2
4
2
(
2)
2
x
x
x
my
n
my
n
y
y
m
m
n
y
y
y
y
y
y y
n
+
-
+
-
+
-
+
=
+
=
+
=
+
-
×
=
+
，
解得
0
0
2
2
y
n
x
m
+
=
，因此直线OT 方程为：
2
2
n
y
x
m
+
=
，
由
2
2
x
my
n
n
y
x
m
=
+
ìï
+
í
=
ïî
，消去y 得
2
2
n
x
x
n
+
=
+
，而n 不恒为0，解得
2
x = - ，
所以点Q 在定直线
2
x = - 上.
4．（24-25 高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，A，B 分别为椭圆的左，右顶
点，C 为椭圆的上顶点，且
3
CA CB
×
= -
uuur uuur
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点
1,0
E
作斜率不为0 的直线交椭圆于M，N 两点，直线MA 与NB 相交于点P .
（i）证明：点P 在定直线上；
（ii）求
APB
Ð
的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析；（ii）π
6
【详解】（1）由题意知，
,
CA
a
b
= -
-
uuur
，
,
CB
a
b
=
-
uuur
，
所以
2
2
2
3
CA CB
a
b
c
×
= -
+
= -
= -
uuur uuur
，即
3
c =
.
又
3
2
c
e
a
=
=
，所以
2
a =
，
2
2
1
b
a
b
=
-
= .
所以椭圆的标准方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）（i）由于直线MN 过点
1,0
E
且斜率不为0，所以可设直线MN 的方程为
1
x
my
=
+ .
由
2
2
1
1
4
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，得
2
2
4
2
3
0
m
y
my
+
+
-
=
，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，则
1
2
2
2
4
m
y
y
m
+
= -
+
，
1
2
2
3
4
y y
m
= -
+
，
所以
1
2
1
2
3
2
my y
y
y
=
+
.
因为椭圆的左，右顶点分别为
2,0
A -
，
2,0
B
，
所以直线MA的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
=
+
+
，
直线NB 的方程为
2
2
2
2
y
y
x
x
=
-
-
，
所以
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
3
3
3
3
2
3
2
2
2
2
3
3
1
3
2
2
1
2
2
2
y
y
y
y
y
y
x
y
my
x
x
y
x
y
my
y
y
y
y
y
æ
ö
+
+
+
ç
÷
+
+
+
è
ø
=
=
=
=
=
-
-
-
+
-
+
，
解得
4
x =
，所以点P 在定直线
4
x =
上.
（ii）设直线
,
MA NB 的倾斜角分别为,
a b ，则
APB
b
a
Ð
=
-
，
由（i）知
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
tan
3
tan
2
2
y
y
x
x
y
y
x
x
b
a
+
-
=
=
=
-
+
，
所以tan
3tan
b
a
=
，
所以
2
2 tan
tan
tan
2
tan
tan
1
1
tan tan
1 3tan
3 tan
tan
APB
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
-
Ð
=
-
=
=
=
£
+
+
+
2
3
3
2 3
=
当且仅当
3
tan
3
a =
时取等号，所以
APB
Ð
的最大值为π
6 .
5．（24-25 高二下·广西桂林·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点为
1,0
F
，左、右顶点分别为A ，
B ，且
3
AF
FB
=
．
(1)求C 的方程；
(2)设过点F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点（不与A ，B 两点重合）．
（i）若
APQ
△
的面积为15 ，求l 的方程；
（ii）若直线AP 与直线BQ 交于点T ，证明：T 在一条定直线上．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
(2)（i）3
6
3
0
x
y
+
-
=
或3
6
3
0
x
y
-
-
=
；（ii）证明见解析.
【详解】（1）由题意，
3
AF
FB
=
，即
1
3
1
a
a
+ =
-
，解得
2
a =
，则
3
b =
，
所以，椭圆C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）
由题意，直线l 不与x 轴重合，且过点
1,0
F
，设直线:
1
l x
my
=
+ ，
联立
2
2
1
1
4
3
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，可得
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
+
+
-
=
，
则
2
2
36
36 3
4
0
m
m
D =
+
+
>
，
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，则
1
2
1
2
2
2
6
9
,
3
4
3
4
m
y
y
y y
m
m
-
-
+
=
=
+
+
.
（i）因为
1
2
1
3
15
2
APQ
AFP
AFQ
S
S
S
y
y
=
+
=
´
-
=
V
V
V
，所以
1
2
2 15
3
y
y
-
=
，
则
2
2
1
2
1
2
1
2
20
4
3
y
y
y
y
y y
-
=
+
-
=
，即
2
2
2
6
9
20
4
3
4
3
4
3
m
m
m
-
-
æ
ö - ´
=
ç
÷
+
+
è
ø
，
整理可得
4
2
45
12
28
0
m
m
+
-
=
，即
2
2
15
14
3
2
0
m
m
+
-
=
，
解得
2
2
3
m =
或
14
15
-
（舍去），所以
2
2
3
m =
，
6
3
m = ±
，
所以直线l 的方程为
6
1
3
x
y
= ±
+ ,即3
6
3
0
x
y
+
-
=
或3
6
3
0
x
y
-
-
=
.
（ii）由题意，
2,0 ,
2,0
A
B
-
，
所以直线
1
1
:
2
2
y
AP y
x
x
=
+
+
，直线
2
2
:
2
2
y
BQ y
x
x
=
-
-
，
联立两直线方程，消去y 可得
1
2
1
2
2
2
2
2
y
y
x
x
x
x
+
=
-
+
-
，即
1
2
1
2
2
2
3
1
y
y
x
x
my
my
+
=
-
+
-
，
整理得
1
2
1
2
2
1
3
2 2
3
y
y
x
my y
y
y
+
=
+
-
，即
1
2
1
1
2
1
2
1
3
2
2 2
3
4
y
y
y
x
my y
y
y
y
+
-
=
+
+
-
é
ù
é
ù
ë
û
ë
û ，
1
1
2
2
2
6
9
6
3
2
2 2
3
4
3
4
3
4
3
4
m
m
y
x
m
y
m
m
m
-
-
-
æ
ö
æ
ö
´
-
=
´
+ ´
-
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
è
ø ，
即
1
1
2
2
18
36
2
2
4
3
4
3
4
m
m
y
x
y
m
m
-
-
æ
ö
æ
ö
-
=
-
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø ，解得
4
x =
，
所以，直线AP 与直线BQ 的交点T 在定直线
4
x =
上.
6．（24-25 高三下·重庆北碚·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
，左右顶点为
1A ，
2
A ，上下顶点为
1B ，
2
B ，若四边形
1
1
2
2
A B A B 面积为4 3 ，周长为4 7 ，过右焦点且斜率为k 的直线l 交椭圆于M ，N ，直线
1A N ，
2
A M 交于点P ，直线
2
B N ，
1
B M 交于点Q .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：点P 在定直线上；
(3)证明：
1
1
A PQ
B PQ
S
S
=
△
△
.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由题意得
2
2
2
4 3
2
3
4
4 7
ab
a
b
a
b
ì
ì
=
=
ï
ï
Þ
í
í
=
ï
+
=
ï
î
î
，则
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）记右焦点
2 1,0
F
，
1
1
,
M x y
,
2
2
,
N x
y
，
设
2
MN
NF
=
uuuur
uuuur
，则
1
2
1
2
1
1
x
x
y
y
+
ì
=
ïï
+
í
ï
=
ï
+
î
(*)，由
2
2
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，
2
2
1
1
2
2
1
4 1
3 1
x
y
+
Þ
+
=
+
+
.
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
4
3
x
x
y
+
+
Þ
+
= +
+
1
1
2
2
2
8
3
4
x
x
+
Þ
=
+
Þ
-
=
，
代回(*)式可得，
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
3
2
8
5
8
3
2
8
2
5
3
3
3
2
8
2
5
x
x
x
x
x
x
y
y
y
x
x
+
-
-
ì
=
=
ï
+
-
-
ïí
ï
=
=
ï
+
-
-
î
.
1
1
1
1
1
1
1
3
0
2
5
:
2
2
5
8
3
2
2
2
5
A N
y
x
y
l
y
x
x
x
x
x
-
-
=
+
=
+
-
-
+
-
2
1
1
:
2
2
A M
y
l
y
x
x
=
-
-
，
则两者相除得
2
1
3
2
x
x
+
=
-
，则
4
P
x =
,
1
1
2
2
P
y
y
x
=
-
即P 在定直线
4
x =
上.
（3）设
2
1
2
2 1
1
t
x
t
-
=
+
，
1
2
2 3
1
t
y
t
= +
，
代入
1
1
2
2
P
y
y
x
=
-
可得
3
P
y
t
= -
2
1
1
1
1
1
1
1
3
3
2
5
2 3
3
5 3
:
3
3
5
8
5
8
0
2
5
B N
y
x
x
y
l
y
x
x
x
x
x
+
-
+
-
=
-
=
-
-
-
-
-
1
1
1
3
:
3
B M
y
l
y
x
x
-
=
+
.
即
1
1
1
1
1
1
1
0
2 3
3
5 3
5
8
5 3
8 3
0
3
3
Q
Q
Q
Q
x
y
x
x
y
x
y
x
x y
x
ì =
+
-
-
-
-
+
ïí
=
-
-
+
ïî
即
2 3 3
1
3 3
1
2 3
1
2 3
1
3
1
2
1
Q
Q
Q
Q
t
t
x
t
y
t
t
x
t
y
ì
+
=
-
-
+
ïí -
+
=
-
-
+
ïî
，
解得
1
3
1
Q
t
t
x
t
+
+
=
，
2
3 3
1
2
Q
t
y
t
-
=
，
则
1 1
2
3 3
1
3
3
2
1
3
1
2
4
PQ
A B
t
t
t
k
k
t
t
t
-
+
=
=
=
+
+
-
，则
1
1 / /
A B
PQ ，则点
1A 和
1B 到直线PQ 的距离相等.
故
1
1
A PQ
B PQ
S
S
=
△
△
.
7．（24-25 高二下·浙江·阶段练习）已知曲线
2
2
1 :
4
C
x
y
+
=
，从
1
C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP¢ ，P¢ 为垂足，
记线段PP¢ 的中点M 的轨迹为曲线
2
C ．过M 作直线l 与曲线
2
C 交于另一点N ．
(1)求曲线
2
C 的轨迹方程；
(2)若P 在第一象限，且直线l 的斜率为1，PMN
V
的面积为3
5 ，求此时P 的坐标；
(3)若
0,2
P
，
4,0
A
，直线
,
AM AN 与曲线
2
C 的另一个交点分别为
,
D E ，直线
,
MN DE 交于点B ．问：点B 是否
在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)
2,
2
P
(3)点B 在定直线上，定直线方程为
1
x = .
【详解】（1）设
0
0
,
M x
y
，则
0,0
P x
¢
，
0
0
,2
P x
y
.
因为点P 在曲线
1
C 上，所以
2
2
0
0
2
4
x
y
+
=
，即
2
2
0
0
1
4
1
x
y
+
= .
所以曲线
2
C 的轨迹方程为椭圆
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）因为P 在第一象限，所以M 也在第一象限，
所以
2
0
0, 1
4
x
M
x
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
0
0
,
4
P x
x
-
.
设直线l 的方程为：
2
0
0
1
4
x
y
x
x
=
-
+
-
.
联立直线l 与曲线
2
C 的方程为：
2
0
0
2
2
1
4
1
4
x
y
x
x
x
y
ì
=
-
+
-
ïïí
ï
+
=
ïî
，得
2
2
2
0
0
4
1
4
4
x
x
x
x
æ
ö
+
-
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
化简得：
2
2
2
2
0
0
0
0
5
8
1
4
1
4
0
4
4
x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
-
-
+
-
-
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
根据韦达定理
2
2
2
0
0
0
0
1
2
1
2
8
1
4
1
4
4
4
,
5
5
x
x
x
x
x
x
x x
æ
ö
æ
ö
-
-
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
+
=
=
.
因为
1
0
x
x
=
，所以
2
0
0
2
0
0
2
0
8
1
4
3
4 4
5
5
x
x
x
x
x
x
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
=
-
=
，
所以
2
0
x
x
<
，
所以
2
2
0
0
4
1
4
x
PM
x
=
-
-
-
，点N 到线段PM 的距离为
2
0
0
0
3
4 4
5
x
x
d
x
-
-
-
=
.
因为PMN
V
的面积为3
5 ，
所以
2
2
0
0
2
0
0
0
3
4 4
1
1
3
4
1
2
2
4
5
5
PMN
x
x
x
S
PM
d
x
x
æ
ö
æ
ö
-
-
ç
÷
=
´
´
=
´
-
-
-
´
-
=
ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
V
.
化简得：
2
2
0
0
0
0
4
5
3
4 4
12
x
x
x
x
-
´
-
+
-
=
.
所以
2
2
0
0
0
4
2
4 4
12
x
x
x
-
´
+
-
=
，
所以
2
2
0
0
0
4
2
2
x
x
x
-
=
-
，所以
0
1
x > ，
所以
2
2
2
2
0
0
0
4
2
2
x
x
x
-
=
-
，
化简得
4
2
0
0
5
12
4
0
x
x
-
+
=
，即
2
2
0
0
5
2
2
0
x
x
-
-
=
，
此时解得
0
2
x =
或
0
10
5
x =
（舍去）.
所以点P 的坐标为
2,
2
P
.
（3）因为
4,0 ,
0,2 ,
0,1
A
P
M
，
所以直线AM 的方程为
1
1
4
y
x
= -
+ .
联立直线AM 与曲线
2
C 的方程组为
2
2
1
1
4
1
4
y
x
x
y
ì
= -
+
ïïí
ï
+
=
ïî
，可解得点D 的坐标为
8 3
,
5 5
Dæ
ö
ç
÷
è
ø .
若MN 的斜率不存在，由对称性可得
/ /
DE
MN ，矛盾；
若MN 斜率为0 ，直线l 与曲线
2
C 只有一个交点，矛盾；
所以直线MN 的斜率存在且不为0 ，设直线MN 的方程为
1
0
y
kx
k
=
+
¹
①.
联立直线MN 与曲线
2
C 的方程组为：
2
2
1
1
4
y
kx
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，化简得：
2
2
4
1
8
0
k
x
kx
+
+
=
，解得
2
8
4
1
k
x
k
= -
+ 或
0
x =
（舍去）.
所以点N 的坐标为
2
2
2
8
1 4
,
4
1 4
1
k
k
N
k
k
æ
ö
-
-
ç
÷
+
+
è
ø
.
所以
2
2
2
2
2
1 4
4
1
4
1
8
16
8
4
4
4
1
AN
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
+
= -
=
+
+
+
+
.
所以直线AN 的方程为
2
2
4
1
4
4
16
8
4
AN
k
y
k
x
x
k
k
-
=
-
=
-
+
+
.
联立直线AN 与曲线
2
C 的方程组为：
2
2
2
2
4
1
4
16
8
4
1
4
k
y
x
k
k
x
y
ì
-
=
-
ïï
+
+
í
ï
+
=
ïî
，
化简得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
4
1
4
1
4
1
32
64
4
0
16
8
4
16
8
4
16
8
4
k
k
k
x
x
k
k
k
k
k
k
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
-
-
ê
ú
+
-
+
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
+
+
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
.
约去分母得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
8
4
2
8 4
1
16 4
1
16
8
4
0
k
k
k
x
k
x
k
k
k
é
ù
-
+
+
+
-
-
+
-
-
+
+
=
ê
ú
ë
û
，
所以
4
3
2
2
4
2
3
2
80
64
40
16
5
128
64
8
256
320
64
0
k
k
k
k
x
k
k
x
k
k
k
+
+
+
+
+ -
+
-
+ -
-
-
=
根据韦达定理
3
2
4
3
2
256
320
64
80
64
40
16
5
N
E
k
k
k
x
k
k
k
x
k
-
-
+
=
-
+
+
+
，因为
2
8
4
1
N
k
x
k
= -
+ ，
所以
2
2
3
2
2
4
3
2
4
3
2
32
40
8
4
1
256
320
64
4
1
80
64
40
16
5
8
80
64
40
16
5
E
k
k
k
k
k
k
k
x
k
k
k
k
k
k
k
k
k
+
+
+
æ
ö
-
-
-
+
=
´ -
=
ç
÷
+
+
+
+
+
+
+
+
è
ø
，
所以
2
2
2
2
2
8 4
1
1
4
1
32
40
8
20
16
5
4
1
20
16
5
E
k
k
k
k
k
x
k
k
k
k
k
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
32
40
8
4
1
48
24
12
3 12
4
16
8
4
20
16
5
16
8
4
20
16
5
20
16
5
E
k
k
k
k
k
k
k
y
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
æ
ö
æ
ö
-
+
+
-
-
-
-
-
=
-
=
=
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
è
ø
è
ø
，
所以点E 的坐标为
2
2
2
2
32
40
8
3 12
,
20
16
5 20
16
5
k
k
k
E
k
k
k
k
æ
ö
+
+
-
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
.
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
3 12
3
5 3 12
3 20
16
5
5
2
20
16
5
5
32
40
8
8
3
5 32
40
8
8 20
16
5
20
16
5
5
ED
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
-
-
+
+
-
-
+
+
=
=
=
+
+
+
+
-
+
+
-
+
+
.
所以直线ED 的方程为
3
8
5
2
8
5
5
3
5
ED
k
y
k
x
x
-
-
æ
ö
æ
ö
-
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø②
联立①②方程组为：
1
3
5
2
8
5
3
5
y
kx
k
y
x
=
+
ì
ï
-
-
í
æ
ö
-
=
-
ç
÷
ï
è
ø
î
，可得
3
5
2
8
1
5
3
5
k
kx
x
-
-
æ
ö
+ -
=
-
ç
÷
è
ø ，
化简得：
15
6
5
2
5
8
kx
k
x
+
= -
-
-
，
所以15
6
25
40
10
16
kx
kx
k
x
+
= -
+
-
+
，
所以
4
1
1
k x
x
-
= -
，
当
1
4
k ¹ -
时，可得
1
x = ，
若
1
4
k = -
，则点N 与点D 重合，此时
,
,
,
M N D E 共线，与条件矛盾，
所以点B 在定直线上，定直线方程为
1
x = .
8．（24-25 高三下·云南·阶段练习）已知点A 是圆O：
2
2
8
x
y
+
= 上的动点，点A 在x 轴上的射影为B ，点P 满足
2
2
PB
AB
=
uuur
uuur
，记动点P 的轨迹为E ．
(1)求E 的方程；
(2)设
,
C D 分别是E 与y 轴的交点，（C 点在y 轴正半轴上），过点
2 2
0,
3
Qæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
的直线l 与E 分别交于点
,
M N （异于
点
,
C D ），直线MC 与直线ND 交于点G ，证明：点G 在定直线上．
【答案】(1)
2
2
1
8
4
x
y
+
=
(2)证明见解析
【详解】（1）设
0
0
,
,
,
P x y
A x
y
，
因为B 为A 在x 轴上的射影，所以
0
(
,0)
B x
．如下图：
已知
2
2
PB
AB
=
uuur
uuur
，则
0
0
2
(
,
)
(0,
)
2
x
x
y
y
-
-
=
-
，可得
0
0
0
2
2
x
x
y
y
-
=
ìïí-
= -
ïî
，
即
0
0
2
x
x
y
y
=
ìïí
=
ïî
．
又因为
0
0
,
A x
y
在圆O：
2
2
8
x
y
+
= 上，将
0
0
2
x
x
y
y
=
ìïí
=
ïî
代入圆方程得
2
2
( 2 )
8
x
y
+
=
，
即
2
2
1
8
4
x
y
+
= ，
所以E 的方程为
2
2
1
8
4
x
y
+
= ．
（2）由（1）易知
(0,2),
(0, 2)
C
D
-
，由题意知，直线l 不垂直于x 轴，
故设直线l ：
2 2
3
y
kx
=
+
，由点
2 2
0,
3
Qæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
在E 内，则直线l 与E 恒有两个交点，设为
1
1
( ,
)
M x y ，
2
2
(
,
)
N x
y
．
联立
2
2
2 2
3
2
8
y
kx
x
y
ì
=
+
ïí
ï
+
=
î
，得
2
2
(18
9)
24 2
56
0
k
x
kx
+
+
-
=
，
由韦达定理得
1
2
2
24 2
18
9
k
x
x
k
+
= -
+
，
1
2
2
56
18
9
x x
k
= -
+
，则
1
2
1
2
3 2
7
x
x
kx x
+
=
（*）．
又直线MC 的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
-
=
+
，直线ND 的方程为
2
2
2
2
y
y
x
x
+
=
-
，
设直线MC 与直线ND 的交点为
(
)
G x y
,
，
则联立
,
MC ND 方程，解得
1
2
1
2
1
2
2 2
2 2
2 2
2
2
3
3
2 2
2 2
2
2
3
3
kx x
x
x
y
x
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
+
+
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
=
æ
ö
æ
ö
+
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
1
2
1
2
1
2
2 2
2 2
2
2
2
3
3
2
2
1
1
3
3
kx x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
+
+
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
=
æ
ö
æ
ö
+
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
将（*）式代入化简得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
7 2
2 2
2 2
(
)
2
2
3
3
3
(2
3 2)
(3 2
2)
3 2
2
2
2
2
1
1
1
1
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
-
ç
÷
ç
÷
+
+
-
è
ø
è
ø
=
=
=
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
故点G 在定直线1l ：
3 2
y =
上．
1．（24-25 高二下·重庆·期末）已知曲线C 到两个定点
1,0
-
和
1,0 的距离和为定值4.
(1)求C 的方程；
(2)过点
10
F
,
的直线l（斜率存在且不为0）与C 交于M，N 两点，N 关于x 轴的对称点为P.已知
4,0
Q
.
（ⅰ）证明：P、M、Q 三点共线；
（ⅱ）求MQ NQ
×
u
uu ur uu r
u
的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析；（ii）27 ,12
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】（1）因为4
2
>
，由椭圆定义可知，曲线C 为以
1,0
-
和
1,0 为两焦点的椭圆，
其中2
4,
1
a
c
=
= ，解得
2
4
a =
，
2
2
2
3
b
a
c
=
-
= ，故C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
（2）（ⅰ）依题意可设直线l 的方程为
1
0
x
my
m
=
+
¹
，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x y
，
2
2
,
P x
y
-
.
联立
2
2
1
1
4
3
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
得
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
+
+
-
=
，
由韦达定理得
1
2
2
6
3
4
m
y
y
m
+
= -
+
，
1
2
2
9
3
4
y y
m
= -
+
，
则直线PM 的方程为
1
2
1
1
1
2
y
y
y
y
x
x
x
x
+
-
=
-
-
，
即
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
x
x
y
y
x y
x y
y
x
x
y
x
x
y
x
x
x
x
x
y
y
x
x
y
y
æ
ö
æ
ö
+
+
-
+
+
=
-
+
=
-
+
×
=
-
ç
÷
ç
÷
-
-
+
-
+
è
ø
è
ø
，
其中
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
my
y
my
y
x y
x y
my y
y
y
y
y
y
y
y
y
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
2
2
2
18
6
3
4
3
4
4
6
3
4
m
m
m
m
m
m
-
-
+
+
+
=
=
-
+
，
考点四
椭圆的向量问题
则直线PM 的方程为
1
2
1
2
4
y
y
y
x
x
x
+
=
-
-
，
故直线PM 过定点
4,0 ，即P、M、Q 三点共线；
（ⅱ）
1
1
2
2
4
,
,
4
,
MQ
x y
NQ
x
y
=
-
=
-
uuuur
uuur
，
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
3
3
MQ NQ
x
x
y y
my
my
y y
×
=
-
-
+
=
-
-
+
uuuur uuur
2
1
2
1
2
1
3
9
m
y y
m y
y
=
+
-
+
+
2
2
2
2
2
9
18
21
1
9
12
3
4
3
4
3
4
m
m
m
m
m
-
=
+
+
+
=
-
+
+
+
，
因为
2
0,
m
¥
Î
+
，所以
2
21
21
0,
3
4
4
m
æ
ö
Îç
÷
+
è
ø ，
2
21
27
12
,12
3
4
4
m
æ
ö
-
Îç
÷
+
è
ø，
所以MQ NQ
×
u
uu ur uu r
u
的取值范围为27 ,12
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
2．（24-25 高二下·上海·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
a
b
a
b
G
+
=
>
>
的左右焦点分别为
1
2
F
F
、
，点( 2 5,1)
T -
在椭圆
G 上，且
1
2
10
TF
TF
+
=
．
(1)求椭圆G 的标准方程．
(2)点P、Q 在椭圆G 上，O 为坐标原点，且直线OP、OQ 的斜率之积为1
5 ，求证：
2
2
|
|
|
|
OP
OQ
+
为定值；
(3)直线l 过点( 1,0)
-
且与椭圆G 交于A、B 两点，问在x 轴上是否存在定点M，使得MA MB
×
uuur uuur 为常数？若存在，求
出点M 坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
25
5
x
y
+
=
(2)证明见解析
(3)存在
53,0
5
M æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
2184
25
MA MB
×
=
uuur uuur
【详解】（1）因为点T 在椭圆上且
1
2
10
TF
TF
+
=
，所以2
10
a =
，
5
a =
；
将点( 2 5,1)
T -
代入椭圆得
2
2
25
1
1
a
b
+
= ，解得
2
5
b =
，
所以椭圆G 的方程为
2
2
1
25
5
x
y
+
= ．
（2）设直线OP ：y
kx
=
，联立方程组
2
2
5
25
y
kx
x
y
=
ì
í
+
=
î
，得
2
5
1 5
x
k
= ±
+
，
所以
2
2
2
2
2
25
25
1 5
k
OP
x
y
k
+
=
+
=
+
，
又直线OQ ：
1
5
y
x
k
=
，类似的可得
2
2
2
2
2
1
25
25
5 125
5
1 5
1
1 5 5
k
k
OQ
k
k
æ
ö
+
ç
÷
+
è
ø
=
=
+
æ
ö
+ ç
÷
è
ø
，
故而
2
2
2
2
30 150
30
1 5
k
OP
OQ
k
+
+
=
=
+
，为定值．
（3）当直线l 与x 轴不垂直时，设l：
0
1
y
k x
-
=
+
，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
,0
M t
，
由
2
2
0
1
1
25
5
y
k x
x
y
ì -
=
+
ïí
+
=
ïî
得
2
2
2
2
1 5
10
5
25
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
，
2
2
1
2
1
2
2
2
10
5
25
,
1 5
1 5
k
k
x
x
x x
k
k
-
+
= -
=
+
+
，
又
1
1
,
MA
x
t y
uuur
=
-
，
2
2
,
MB
x
t y
uuur
=
-
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
MA MB
x
t
x
t
y y
x
t
x
t
k x
k x
×
=
-
-
+
=
-
-
+
+
×
+
uuur uuur
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
25
5
10
19
1
1 5
t
t
t
k
k
x x
k
t
x
x
k
t
k
-
+
+
-
=
+
+
-
+
+
+
=
+
，
令
2
2
25
5
10
19
1
5
t
t
t
-
+
-
=
得
53
5
t = -
，此时
2184
25
MA MB
×
=
uuur uuur
，
当l 与x 轴垂直时，l：
1
x = - ，
2 30
1,
5
Aæ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2 30
1,
5
Bæ
ö
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
又
53,0
5
M æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，有
2184
25
MA MB
×
=
uuur uuur
，
综上，
53,0
5
M æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
2184
25
MA MB
×
=
uuur uuur
．
3．（23-24 高二下·贵州黔西·期中）已知中心为坐标原点O，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为
6
3
，且椭圆M 过
点
3,1 ．
(1)求椭圆M 的方程；
(2)若过点
1,0
C
的直线l 与椭圆M 交于A，B 两点，
2
AC
CB
=
uuur
uuur
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
6
2
x
y
+
=
(2)
5
1
5
y
x
= ±
-
【详解】（1）设椭圆M 的方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
半焦距为c，
由题意知
2
2
2
2
2
6
3
3
1
1
c
a
a
b
a
b
c
ì
=
ï
ï
ï
+
=
í
ï
=
+
ï
ïî
，解得
2
6
a =
，
2
2
b = ，
故椭圆M 的方程为
2
2
1
6
2
x
y
+
= ．
（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
∵
1,0
C
，∴
1
1
1
,
AC
x
y
=
-
-
uuur
，
2
2
1,
CB
x
y
=
-
uuur
．
又
2
AC
CB
=
uuur
uuur
，∴
1
2
1
2
1
x
x
-
=
-
，
1
2
2
y
y
-
=
．
∴
1
2
3
2
x
x
=
-
，
1
2
2
y
y
= -
．
又
2
2
1
1
1
6
2
x
y
+
= ，
∴
2
2
2
2
2
9 12
4
4
1
6
2
x
x
y
-
+
+
= ．
又
2
2
2
2
1
6
2
x
y
+
= ，
∴
2
9
4
x =
，
2
2
5
16
y =
，解得
2
5
4
y = ±
．
当
2
5
4
y =
时，
5
5
4
9
5
1
4
AC
k
=
=
-
；当
2
5
4
y = -
时，
5
5
4
9
5
1
4
AC
k
-
=
= -
-
．
∴直线l 的方程为
5
1
5
y
x
= ±
-
．
4．（2025·广东珠海·模拟预测）已知点
3,0
F
，以线段FG 为直径的圆内切于圆
2
2
:
4
O x
y
+
=
．
(1)求点G 的轨迹C 的方程；
(2)当过点
2,1
P
的动直线l 与轨迹C 相交于两点
,
A B （可以相同）时，PA
PB
=
uuur
uuur
，AD
DB
=
uuur
uuur
．求动点D 的轨迹
长度．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)
5 ．
【详解】（1）取
1
3,0
F -
，记线段FG 的中点为H ，连接
1
,
OH FG ，
由于线段
1F F 的中点为O ，则
1
//
OH FG ，
1
1
2
OH
FG
=
，
设圆H 的半径为r ，圆H 与圆O 内切于Q ，连接HQ ，
则
,
,
O H Q 三点共线，且HF
HQ
r
=
=
，
于是
1
2
2
2
4
GF
GF
HO
HF
HO
HQ
OQ
+
=
+
=
+
=
=
，
又
1
2 3
4
F F =
<
，
根据椭圆的定义可得点G 的轨迹是以
1,
F F 为焦点，长轴长为4 的椭圆，
则轨迹C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= ．
（2）当直线l 的斜率不存在时，点
,
A B 重合，
则由PA
PB
=
uuur
uuur
，AD
DB
=
uuur
uuur
可得，
1
= ，AD
DB
=
uuur
uuur ，则点
,
,
A D B 三点重合，
此时点
2,0
D
；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
2
1
y
k x
=
-
+ ，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
,
D x y ，
由
2
2
1
4
2
1
x
y
y
k x
ì
+
=
ïí
ï
=
-
+
î
，得
2
2
2
1
4
8
1 2
16
16
0
k
x
k
k x
k
k
+
+
-
+
-
=
，
则
2
1
2
1
2
2
2
8
2
1
16
16
,
1
4
1
4
k
k
k
k
x
x
x x
k
k
-
-
+
=
=
+
+
，
2
2
2
Δ
8
1 2
4 1
4
16
16
16
0
k
k
k
k
k
k
é
ù
=
-
-
+
-
=
³
ë
û
，得
0
k ³
，
由PA
PB
=
uuur
uuur
，AD
DB
=
uuur
uuur
，得
1
2
2
2
x
x
-
=
-
，
1
2
x
x
x
x
-
=
-
，
0
>
，
故
1
2
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
-
-
=
-
-
，
化简得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
8
2
1
16
16
2
2
2
2
4
1
4
1
4
8
2
1
4
2
1
4
1
4
k
k
k
k
x x
x
x
k
k
k
x
k
k
x
x
k
k
-
-
´
- ´
-
+
+
+
=
=
=
-
+
-
+
-
+
，
所以
0
4
2
x
k
x
=
³
-
，得0
2
x
£
<
，
又因为动点
,
D x y 在直线
2
1
y
k x
=
-
+ 上，
所以
2
1
4
2
x
y
x
x
=
-
+
-
，化简得
2
2
0
x
y
+
-
=
，
经检验
2,0
D
符合上式，
所以动点D 的轨迹为线段
2
2
0,
0,2
x
y
x
+
-
=
Î
，
线段端点为
0,1 , 2,0 ，所以动点D 的轨迹长度
5 ．
5．（24-25 高二下·云南玉溪·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上右顶点到左焦点的距离为2
2
+
，上顶点
的坐标为
0,
2 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设
4,0
P
，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE
与x 轴相交于定点Q ；
(3)在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，求OM ON
×
uuuur uuur
的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
=
(2)证明见解析
(3)
1
4
2
é
ù
-
-
ê
ú
ë
û
，
【详解】（1）由题意可得 ：
2
2,
2
a
c
b
+
=
+
=
且
2
2
2
a
b
c
=
+
，
解得：
2,
2
a
b
=
=
，
所以椭圆的方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= ；
（2）如图所示：
由题意，可设直线PB 的方程为
(
4)
y
k x
=
-
，
1
1
2
2
1
1
,
,
,
,
,
B x y
E x
y
A x
y
-
则
，
联立方程组
2
2
1
4
2
4
x
y
y
k x
ì
+
=
ïí
ï
=
-
î
消去y 得方程：
2
2
2
2
1
2
16
32
4
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
，
2
2
2
2
Δ
16
4 1
2
32
4
0
k
k
k
=
-
+
-
>
，所以
2
2
1
2
1
2
2
2
16
32
4
,
1
2
1
2
k
k
x
x
x x
k
k
-
+
=
=
+
+
，
所以直线AE 的方程为：
2
1
1
1
2
1
y
y
y
y
x
x
x
x
+
+
=
-
-
，
令
0
y =
，则
1
2
2
1
2
1
x y
x y
x
y
y
+
=
+
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2 32
4
64
4
4
2
4
1
2
1
2
1
16
8
8
8
1
2
k
k
x k x
x k x
x x
x
x
k
k
k
k x
x
x
x
k
-
-
-
+
-
-
+
+
+
=
=
=
=
+
-
+
-
-
+
，
故直线过定点
1,0
Q
；
（3）①当直线MN 与x 轴重合时，
·
4
OM ON = -
uuuur uuur
，
②当直线MN 与x 轴不重合时，设直线MN 的方程为
1
x
my
=
+ ，
联立
2
2
1
1
4
2
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，消去x 得方程
2
2
2
2
3
0
m
y
my
+
+
-
=
，
可知
0
D >
，则
2
2
2
3
,
2
2
M
N
M
N
m
y
y
y y
m
m
-
-
+
=
=
+
+
，
所以
2
·
1
1
M
N
M
N
M
N
M
N
OM ON
x x
y y
m
y y
m y
y
=
+
=
+
+
+
+
uuuur uuur
2
2
2
2
2
3 1
2
7
1
4
2
2
2
m
m
m
m
m
-
+
-
=
+
+ = - +
+
+
+
，
因为
2
0
m ³
，所以
2
7
7
0
2
2
m
<
£
+
，
所以
2
7
1
4
4
2
2
m
- < - +
£ -
+
，
所以
·
OM ON
uuuur uuur
的取值范围是
1
4,
2
æ
ù
-
-
ç
ú
è
û ，
综上可知，
·
OM ON
uuuur uuur
的取值范围是
1
4,
2
é
ù
-
-
ê
ú
ë
û ．
6．（2025·云南昆明·二模）已知
2,0
A -
，
2,0
B
，动点M 满足直线AM 与直线BM 斜率之积为
1
2
-
．记M 的轨
迹为C ．
(1)求C 的方程；
(2)过点
1,0
D
作直线l 与C 相交于P ，Q 两点，与y 轴交于点E ，若
0
DP
EQ
+
=
r
uuur
uuur
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
2
4
2
x
y
x
+
=
¹ ±
(2)
2
1
0
x
y
±
- =
．
【详解】（1）设
,
M x y ，据题意知
1
2
2
2
y
y
x
x
´
= -
+
-
，
化简得
2
2
1
2
4
2
x
y
x
+
=
¹ ±
，
所以C 的方程为
2
2
1
2
4
2
x
y
x
+
=
¹ ±
．
（2）设:
1
l x
my
=
+ ，
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，
联立
2
2
1
4
2
1
x
y
x
my
ì
+
=
ïí
ï =
+
î
消x 得
2
2
2
2
3
0
m
y
my
+
+
-
=
，
故
1
2
2
2
2
m
y
y
m
+
= -
+
，
1
2
2
3
2
y y
m
= -
+
，
据题意知
0
m ¹
且
1
0,
E
m
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，所以
1
1
1,
DP
x
y
=
-
uuur
，
2
2
1
,
EQ
x
y
m
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
uuur
，
由
0
DP
EQ
+
=
r
uuur
uuur
得
1
2
1
y
y
m
+
= -
，
所以
2
2
1
2
m
m
m
=
+
，解得
2
m = ±
，
所以直线l 的方程为
2
1
0
x
y
±
- =
．
7．（2025·贵州铜仁·三模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，短轴长为6，过右焦点的直线与C 交
于
,
M N 两点．
(1)求C 的标准方程；
(2)已知点
0
8,
Q
y
，
（ⅰ）当
0
0
y =
时，求QMN
V
面积的取值范围；
（ⅱ）当
0y ÎR 时，证明：
0
QM QN
×
>
uuuur uuur
．
【答案】(1)
2
2
1
18
9
x
y
+
=
(2)（ⅰ）
15 2
0,
2
S
æ
ù
Îç
ú
çè
û
；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）因为椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的短轴长2
6
b =
，所以
3
b =
．
又离心率
2
2
c
e
a
=
=
，且
2
2
2
a
b
c
=
+
，
把
3
b =
代入
2
2
2
a
b
c
=
+
，得
2
2
9
a
c
= +
，
再结合
2
2
c
a =
，即
2
2
c
a
=
，可得
2
2
1
9
2
a
a
=
+
，解得
2
18
a =
，
2
9
c =
，
所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
18
9
x
y
+
= ．
（2）（ⅰ）当
0
0
y =
时，右焦点坐标为
3,0 ，
显然直线MN 的斜率不为0，
设直线MN 的方程为
3
x
my
=
+ ，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
．
联立
2
2
3
1
18
9
x
my
x
y
ì =
+
ïïí
ï
+
=
ïî
，消去x 得
2
2
2
6
9
0
m
y
my
+
+
-
=
．
2
2
2
Δ
36
36
2
72
1
0
m
m
m
=
+
+
=
+
>
，
则
1
2
2
6
2
m
y
y
m
+
= -
+
，
1
2
2
9
2
y y
m
= -
+
．
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
36
36
1
4
1
2
2
m
MN
m
y
y
y y
m
m
m
=
+
×
+
-
=
+
×
+
+
+
2
2
2
2
2
6 2
1
6 2
1
1
2
2
m
m
m
m
m
+
+
=
+
×
=
+
+
．
点
8,0
Q
到直线MN 的距离
2
2
8
3
5
1
1
d
m
m
-
=
=
+
+
．
2
2
2
2
2
6 2
1
1
1
5
15 2
1
2
2
2
2
1
QMN
m
m
S
MN d
m
m
m
+
+
=
×
=
´
´
=
+
+
+
△
．
令
2
1
1
t
m
=
+ ³ ，则
2
15 2
15 2
1
1
t
S
t
t
t
=
=
+
+
，因为
1
2
t
t
+
³
（当且仅当
1
t = 即
0
m =
时取等号），所以
15 2
0,
2
S
æ
ù
Îç
ú
çè
û
．
（ⅱ）当直线MN 的斜率为0 时，直线MN 的方程为
0
y =
，
此时
3 2,0
M -
，
3 2,0
N
，
则
0
0
3 2
8,
,
3 2
8,
QM
y
QN
y
= -
-
-
=
-
-
uuuur
uuur
，
则
2
2
0
0
3 2
8
3 2
8
46
0
QM QN
y
y
×
= -
-
-
+
=
+
>
uuuur uuur
；
当直线MN 的斜率不为0 时，
设直线MN 的方程为
3
x
my
=
+ ，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
由（i）知，
1
2
2
6
2
m
y
y
m
+
= -
+
，
1
2
2
9
2
y y
m
= -
+
，
则
0
1
1
8,
Q
y
y
M
x
=
-
-
uuuur
，
0
2
2
8,
Q
y
N
x
y
=
-
-
uuur
，
则
0
2
0
0
2
0
1
2
1
1
2
1
8
8
5
5
QM QN
x
x
y
y
my
my
y
y
y
y
y
y
-
-
×
=
-
-
+
=
-
-
-
+
-
uuuur uuur
2
2
2
2
1
2
0
1
2
0
0
0
2
2
9
6
1
5
25
1
5
25
2
2
m
m
y y
m
y
y
y
y
m
m
y
y
m
m
æ
ö
æ
ö
=
+
-
+
+
+
+
=
+
-
-
+
-
+
+
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
2
2
2
2
0
0
0
2
0
0
2
2
46
41
6
2
21
9
6
25
2
2
y
m
my
y
m
my
y
m
m
+
+
+
+
- +
=
+
+
=
+
+
，
令
2
2
2
0
0
0
46
6
2
41
f m
y
m
my
y
=
+
+
+
+
，由
2
0
46
0
y
+
>
，则该函数是开口向上的二次函数，
则
2
2
4
2
0
0
2
0
0
0
46
2
41
8
496
7544
0
6
4
y
y
y
y
y
D
-
=
-
-
-
´
+
´
+
=
<
，
所以
2
2
2
0
0
0
46
6
2
41
0
f m
y
m
my
y
=
+
+
+
+
>
恒成立，
又
2
2
0
m +
>
，则
0
QM QN
×
>
uuuur uuur
.
综上所述，
0
QM QN
×
>
uuuur uuur
.
8．（24-25 高三上·广西·阶段练习）已知动圆M 与圆
2
2
1
1
:(
2)
12
C
x
y
+
+
=
外切，与圆
2
2
2
121
:(
2)
12
C
x
y
-
+
=
内
切，记动圆M 圆心的运动轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)若
,
A B 分别是C 的左､右顶点，P 是圆
2
2
:
4
O x
y
+
=
上一点，设PA
uuur 和PB
uuur 的夹角为q ，求tan 2
q 的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
3
x
y
+
=
(2)
3
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û
【详解】（1）由题可知，
1
C 的半径为
2
3 ,
6
C 的半径为11 3
6
.
设M 的半径为r ，由M 与
1
C 外切，与
2
C 内切，得
1
2
3
11 3
,
,
6
6
MC
r
MC
r
=
+
=
-
则
1
2
1
2
2 3
2 2
MC
MC
C C
+
=
>
=
.
由椭圆的定义知，曲线C 是长轴长为2 3 ，左､右焦点分别为
1
2
2,0 ,
2,0
C
C
-
的椭圆，
故C 的方程为
2
2
1
3
x
y
+
= .
（2）由（1）可知，
3,0 ,
3,0
A
B
-
，设
,
P s t ，则
(
3
,
),
( 3
,
)
PA
s
t
PB
s
t
= -
-
-
=
-
-
uuur
uuur
，
则
2
2
2
3
3
3
1
PA PB
s
s
t
s
t
×
= -
-
-
+
=
+
-
=
uuur uuur
，
所以
cos
1
PA PB
q =
uuur uuur
，则
1
cos
0
PA PB
q =
>
uuur uuur
，得
π
0, 2
q
é
ö
Î
÷
êë
ø .
若P 在x 轴上，则
0
q =
，从而tan
0
2
q =
.
若P 在不在x 轴上，则
1
tan
sin
2
2
PAB
S
PA PB
q
q
=
=
V
，
且
1
3
2
PAB
S
AB t
t
=
=
V
，由0
2
t
<
£
，得0
2 3
PAB
S
<
£
V
，
则
tan
0
2 3
2
q
<
£
，得0
tan
4 3
q
<
£
.
因为
π
0, 2
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø，所以
π
0,
2
4
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø，则0
tan
1
2
q
<
< ，
由
2
2tan 2
0
tan
4 3
1
tan 2
q
q
q
<
=
£
-
，
解得
3
0
tan 2
2
q
<
£
.
综上所述，tan 2
q 的取值范围为
3
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û
.
