类比归纳专题：有关中点的证明与计算_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

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类比归纳专题：有关中点的证明与计算
——遇中点，定思路，一击即中
　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线
1．(2017·高邑县期末)如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为
P，若木棍A 端沿墙下滑，且B 沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P 到点O 的距离(　　)
A．变小
B．不变
C．变大
D．无法判断
2．如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于D，CE⊥AB 于E，M，N 分别是BC，DE 的中点．求证：
MN⊥DE(提示：连接ME，MD)．
类型二　结合或构造三角形的中位线解题
3．(2017·宁夏中考)如图，在△ABC 中，AB＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE∥BC，
交AC 于点，点M 在DE 上，且ME＝DM.当AM⊥BM 时，则BC 的长为________．
4．如图，在四边形ABCD 中，M，N 分别是AD，BC 的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN 的
取值范围．
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5．如图，AD，BE 分别是△ABC 的中线和角平分线，AD⊥BE 于点G，AD＝BE＝6，求AC
的长．
类型三　中点与特殊四边形
6．如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，BD，CE 分别是边AC，AB 上的中线，BD 与CE 相交于
点O，点M，N 分别为线段BO 和CO 的中点．求证：四边形EDNM 是矩形．
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参考答案与解析
1．B
2．证明：连接ME，MD.∵CE⊥AB，∴△BCE 为直角三角形．∵M 为BC 的中点，∴ME＝
BC.同理可证MD＝BC，∴ME＝MD.∵N 为DE 的中点，∴MN⊥DE.
3．8
4．解：取BD 的中点P，连接PM，PN.∵M 是AD 的中点，∴PM 是△ABD 的中位线，
∴PM＝AB＝5.同理可得PN＝CD＝4.在△PMN 中，PM－PN＜MN＜PM＋PN，∴1＜MN＜9.
5．解：过D 点作DF∥BE，交AC 于点F.∵AD 是△ABC 的中线，AD⊥BE，∴F 为CE 的中
点，AD⊥DF.∴DF 是△BCE 的中位线，∠ADF＝90°.∵AD＝BE＝6，∴DF＝BE＝3，∴AF＝
＝3.∵BE 是△ABC 的角平分线，∴∠ABG＝∠DBG.∵AD⊥BE，∴AG＝DG，即G 为AD 的中
点．∵BE∥DF，∴E 为AF 的中点，∴AE＝EF＝CF＝AF，∴AC＝AF＝×3＝.
6．证明：∵BD，CE 分别是AC，AB 边上的中线，∴AE＝AB，AD＝AC，ED 是△ABC 的中
位线，∴ED∥BC，ED＝BC.∵点M，N 分别为线段BO 和CO 的中点，∴OM＝BM，ON＝CN，
MN 是△OBC 的中位线，∴MN∥BC，MN＝BC，∴ED∥MN，ED＝MN，∴四边形EDNM 是平
行四边形，∴OE ＝ON ，OD ＝OM.∵AB ＝AC ，∴AE ＝AD.在△ABD 和△ACE 中，
∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴EO＋ON＋CN＝BM＋OM＋OD，∴3OE＝3OM，即OE＝
OM.又∵DM＝2OM，EN＝2OE，∴DM＝EN，∴四边形EDNM 是矩形．
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