类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

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类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法
——直接法、间接法一网搜罗
　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明
1．如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F，交
AD 于点E，连接AG.
(1)求证：AG＝CG；
(2)求证：AG2＝GE·GF.
2．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E 是AC 的中点，ED 的延长线与
CB 的延长线交于点F.
(1)若FD＝2FB，求的值；
(2)若AC＝2，BC＝，求S△FDC的值．
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类型二　利用等线段代换
3．如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD，AC 与BD 交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：＝.
类型三　找中间比利用等积式代换
4．如图，已知CE 是Rt△ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P，连接AP，
作BG⊥AP，垂足为G，交CE 于D，求证：CE2＝PE·DE.
参考答案与解析
1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F＝
∠FCD.在△ADG 与△CDG 中，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，AG＝CG.
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(2)∵∠EAG ＝∠DCG ，∠F ＝∠DCG ，∴∠EAG ＝∠F. 又∵∠AGE ＝∠FGA ，
∴△AGE∽△FGA，∴＝，∴AG2＝GE·GF.
2．解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠ABC，∴∠A＝
∠DCB.∵E 是AC 的中点，∠ADC＝90°，∴ED＝EA，∴∠A＝∠EDA.∵∠BDF＝∠EDA，
∴∠DCB＝∠BDF.又∵∠F＝∠F，∴△BDF∽△DCF，∴FD∶CF＝BF∶FD＝1∶2.
(2)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ACB.∵∠ABC＝∠CBD，∴△BDC∽△BCA，
∴BD∶CD＝BC∶AC＝∶2＝1∶2.在Rt△BAC 中，由勾股定理可得AB＝5，∴＝＝，∴S△BDC
＝××2×＝3.∵△BDF∽△DCF，∴＝＝，即＝.∵S△BDC＝3，∴S△FDC＝4.
3．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又
∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝.又∵AB＝AD，∴＝.
4．证明：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCE，∴Rt△ACE∽Rt△CBE，∴＝，∴CE2＝AE·BE.又∵BG⊥AP，CE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DGP＝∠PEA＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠3，∴△AEP∽△DEB，∴＝，
∴PE·DE＝AE·BE，∴CE2＝PE·DE.
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