文档文本内容
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整式乘法
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1、掌握单项式与单项式相乘的算理。
2、掌握积的乘方、幂的乘方等单项式乘法公式。
3、灵活运用公式，简化计算。
1、单项式乘以单项式法则：
单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其
余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.
注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。
2、单项式乘以多项式的运算法则
单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单
项式的乘法，然后再把所得的积相加.
3、多项式乘以多项式
法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的
积相加.
方法总结：在探究多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个整体，利用分配律进行计
算，这里再一次说明了整体性思想在数学中的应用。
4、幂的运算法则：
①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
2
即：
am⋅an=am+n
（m、n 为正整数）
②幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：
（am）n=am⋅n
（m、n 为正整数）
③积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即：
(a⋅b)n=an⋅bn
（n 为正整数）
④同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
am÷an=am-n
（m>n，m、n 为正整数）
5、乘法的运算律：
①乘法的结合律：（a×b）×c=a×（b×c）
②乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac
1、单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其
余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.
注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。
【例1】计算：
（1）（2xy2）·（
1
3
xy）; （2）（－2a2b3）·（－3a）; （3）（4×105）·
（5×104）;
3
解：（1）（2xy2）·（
1
3
xy） = （2×
1
3
）·（x·x）（y2·y） =
2
3
x2 y3;
（2）（－2a2b3）·（－3a） =［（－2）·（－3）］（a2a）·b3=6a3b3;
（3）（4×105）·（5×104） = （4×5）·（105×104）=20×109=2×1010;
注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误是，
将系数相乘与指数相加混淆，如2a3·3a2=6a5，而不要认为是6a6或5a5.
②相同字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质.
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式.
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.
练1、（－3a2b3）2·（－a3b2）5;
答案：（－3a2b3）2·（－a3b2）5
=［（－3）2 · （a2）2 ·（b3）2］·［（－1）5 · （a3）5 ·（b2）5］
= （9a4b6）·（－a15b10）
= －9·（a4·a15）·（b6·b10）
= －9a19b16;
练2、（－
2
3
a2bc3）·（－
3
4
c5）·（
1
3
ab2c）.
答案：（－
2
3
a2bc3）·（－
3
4
c5）·（
1
3
ab2c）
=［（－
2
3
）×（－
3
4
）×（
1
3
）］·（a2·a）（b·b2）（c3·c5·c）
4
=
1
6
a3b3c9
【例2】一种电子计算机每秒可做4×109次运算，它工作5×102秒，可做多少次运算？
解： （4×109）×（5×102）
= （4×5）×（109×102）
= 20×1011 = 2×1012（次）
答：工作5×102秒，可做2×1012次运算.
练4、下列计算正确的是（ ）
A．3a2·2a2=5a2
B．2a2·3a2=6a2
C．3a2·4b2=12a2b2
D．3a3·4a4=12a12
练5、下列计算正确的是（ ）
A．5y·4yx2＝9x3y3
B．（-2x3ynz）（-4xn+1yn-3）=8xn+4y2n-3
C．（-xn-2y2）（-xym）2=-xny2m+2
D．（-7a2b3）（5ab2c）＝-2a2b6c
练6、若（anbabm）5=a10b15则3m（n+1）的值为（ ）
A．15
B．8
C．12
D．10
答案： C D C
2、单项式乘以多项式
【例3】计算：
（1） 2ab（5ab2+3a2b）; （2） （
2
3 ab2－2ab）·
ab;
（3） －6x（x－3y）; （4） －2a2（
ab+b2）.
解：（1） 2ab（5ab2+3a2b）
= 2ab·（5ab2）+2ab·（3a2b）——乘法分配律
= 10a2b3+6a3b2——单项式与单项式相乘
5
（2） （
2
3
ab2－2ab）·
ab
= （
2
3
ab2）·
ab+（－2ab）·
ab——乘法分配律
=
1
3
a2b3－a2b2——单项式与单项式相乘
（3） －6x（x－3y）
= （－6x）·x+（－6x）·（－3y）——乘法分配律
= －6x2+18xy——单项式与单项式相乘
（4） －2a2（
ab+b2）
= －2a2·（
ab）+（－2a2）·b2——乘法分配律
= －a3b－2a2b2——单项式与单项式相乘
练7、计算：
．
练8、计算：
答案：
【例4】计算：6mn2（2－
1
3 mn4）+（－
mn3）2.
6
分析：在混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项.
解：原式=6mn2×2+6mn2·（－
1
3 mn4）+
1
4 m2n6
=12mn2－2m2n6+
1
4 m2n6
=12mn2－
7
4 m2n6
练9、计算
练10、计算
答案：
【例5】（2015 年雅礼中学期中）已知ab2=－6，求－ab（a2b5－ab3－b）的值.
分析：求－ab（a2b5－ab3－b）的值，根据题的已知条件需将ab2的值整体代入.因此需灵活运
用幂的运算性质及单项式与多项式的乘法.
解：－ab（a2b5－ab3－b）
= （－ab）·（a2b5）+（－ab）（－ab3）+（－ab）（－b）
= －a3b6+a2b4+ab2
= （－ab2）3+（ab2）2+ab2
当ab2=－6 时
原式=（－ab2）3+（ab2）2+ab2
=［－（－6）］3+（－6）2+（－6）
=216+36－6
7
=246
练11、（2015 年南京金陵汇文中学期中）若（am+1bn+2）·（a2n-1·b2m）＝a5·b3则m+n 的值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．-3
分析：先算等式的左边，再根据题意得m，n 的方程组，将方程组整理后相加得出m+n 的值．
解：由（am+1bn+2）·（a2n-1·b2m）=a5·b3得
am+2nb2m+n+2=a5b3
所以{m+2n=5 ①¿¿¿¿
①+②得3m+3n=6
即m+n=2
故选B
3、多项式乘以多项式
【例6】计算：
（1）（1－x）（0.6－x） （2）（2x+y）（x－y） （3）（x－y）2
（4）（－2x+3）2 （5）（x+2）（y+3）－（x+1）（y－2）.
分析：在做题的过程中，要明白每一步算理.因此，不要求直接利用法则进行运算，而要利用
乘法分配律将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘.
解：（1）（1－x）（0.6－x） （2）（2x+y）（x－y）
=（0.6－x）－x（0.6－x） = 2x（x－y）+y（x－y）
=0.6－x－0.6x+x2 = 2x2－2xy+xy－y2
=0.6－1.6x+x2 = 2x2－xy－y2
或 （1－x）（0.6－x） 或 （2x+y）（x－y）
=1×0.6－1×x－0.6x+x·x = 2x·x－2x·y+xy－y2
=0.6－x－0.6x+x2 = 2x2－xy－y2
=0.6－1.6x+x2
（3）（x－y）2=（x－y）（x－y） 或（x－y）2=（x－y）（x－y）
=x（x－y）－y（x－y） =x·x－x·y－x·y+y·y
8
=x2－xy－xy+y2 =x2－2xy+y2
=x2－2xy+y2
（4）（－2x+3）2 （5）（x+2）（y+3）－（x+1）（y－2）
= （－2x+3）（－2x+3） = （xy+3x+2y+6）－（xy－2x+y－2）
= －2x（－2x+3）+3（－2x+3） = xy+3x+2y+6－xy+2x－y+2
= 4x2－6x－6x+9 = 5x+y+8
= 4x2－12x+9
评注：（3）（4）题利用乘方运算的意义化成多项式与多项式的乘法运算.
（5）整式的混合运算，一定要注意运算顺序.
练12、计算：（1）（m+2n）（m－2n）; （2）（2n+5）（n－3）;
（3）（x+2y）2 （4）（ax+b）（cx+d）.
解：（1）（m+2n）（m－2n） （2）（2n+5）（n－3）
=m·m－m·2n+2n·m－2n·2n = 2n·n－3·2n+5n－5×3
=m2－2mn+2mn－4n2 = 2n2－6n+5n－15
=m2－4n2 = 2n2－n－15
（3）（x+2y）2 （4）（ax+b）（cx+d）
= （x+2y）（x+2y） = ax·cx+ax·d+b·cx+bd
= x2+2xy+2xy+4y2 = acx2+adx+bcx+bd
= x2+4xy+4y2
想一想：由计算得到27×23=621，发现积的末两位上的数21=7×3，前面的数6=2×（2+1）.
换两个数84×86=7224 同样具有这一特点，于是我们猜想：十位数字相同，个位数字之和为10 的
两位数的积是否也有这样的规律？
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分析：根据题意，可以发现这样的两位数除了十位数字相同外，个位数字是补数，即个位数字
的和是10.因此，我们设这样的两位数分别为10a+b 和10a+c（a，b，c 都是正整数，并且
b+c=10）.根据多项式与多项式的乘法，通过对结果变形，就可说明.
解：设这样的两位数分别为10a+b 和10a+c（a、b、c 都是正整数，并且b+c=10）.根据多项式
与多项式相乘的运算法则可知，这两个数的乘积为
（10a+b）（10a+c）
=100a2+10a（b+c）+bc
=100a2+100a+bc
=100a（a+1）+bc
结论：这个式子告诉我们：求十位数相同，个位数字之和等于10 的两个两位数的积，可以用十
位上的数a 去乘比它大1 的数（a+1），然后在乘积的后面添上两位数，在这两个数位上写上个位
数字的乘积，所得的结果就是原来这两位数的乘积.
【例7】计算：（1）32×38 （2）54×56 （3）73×77
解：（1）3×（3+1）=12，2×8=16 （2）5×（5+1）=30，4×6=24
∴32×38=1216 ∴ 54×56=3024
（3）7×（7+1）=56，3×7=21
∴ 73×77=5621
4、综合应用
【例8】（2015 年上海闵行二中期中）规律探索题
（1）研究下列等式：
①1×3+1=4=22;
②2×4+1=9=32;
③3×5+1=16=42;
④4×6+1=25=52…
你发现有什么规律？根据你的发现，找出表示第n 个等式的公式并证明.
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（2）计算下列各式，你能发现什么规律吗？
（x－1）（x+1）= .
（x－1）（x2+x+1）= .
（x－1）（x3+x2+x+1）= .
（x－1）（x4+x3+x2+x+1）= .
…
（x－1）（xn+xn－1+…+x+1）= .
答案：（1）n（n+2）+1=（n+1）2，证明略
（2）x2－1，x3－1，x4－1，x5－1，…xn+1－1
（3）已知A=987654321×123456789， B=987654322×123456788.
试比较A、B 的大小.
分析：这么复杂的数字通过计算比较它们的大小，非常繁杂.我们观察就可发现A 和B 的因数是
有关系的，如果借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给解决问题带来方便.
解：设a=987654321，则a+1=987654322; b=123456788， b+1=123456789，则A=a（b+1）
=ab+a; B=（a+1）b=ab+b.
而根据假设可知a>b 所以A>B.
1. 下列各式计算正确的是（ ）
（A）
(−3a2b)(−2ab 2)=6a3b2
（B）
(−2×102)×(6×103)=−1.2×105
（C）
−2a2(
1
2 ab−b2)=−a3b−2a2b2
（D）(−ab 2)
3=−a3b6
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2. 若
x3 ym−1⋅xm+n y2n+2=x9 y9
，则
3m−4 n
的值为（ ）
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6
3. 若
(x+3)(x+m)=x2+kx −15
，则
k+m
的值为（ ）
（A）−7
（B）5
（C）−2
（D）2
4. 化简
(3 x−2)(x−3)−3(x2+2)
的结果是（ ）
（A）11 x
（B）−11x
（C）6 x2−8 x+12 （D）x2−1
5. （2015 重庆巴蜀中学期中）如图是长10cm，宽6cm 的长方形，在四个角剪去4 个边长为
x
cm
的小正方形，按折痕做一个有底无盖的长方体盒子，这个盒子的容积是（ ）
（A）
(6−2x)(10−2x)
（B）
x (6−x)(10−x)
（C）
x (6−2x)(10−2x)
（D）
x (6−2x)(10−x)
6. 若
(ax −b)(3 x+4)=bx 2+cx +72
，则
(a+b)×(−c)
的值为（ ）
（A）36
（B）72
（C）108
（D）720
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7. 已知
a2+a−3=0
，那么
a2(a+4)
的值是（ ）
（A）9
（B）−12
（C）−15
（D）−18
8. 将（1）中的梯形沿虚线剪开，拼成一个缺角的正方形，如图（2）所示.根据这两个图形的面
积关系，下列式子成立的是（ ）
（A）
(a+b)(a−b)=a2−b2
（B）
a2+2ab +b2=(a+b)2
（C）
a2−2ab +b2=(a−b)2
（D）
(a−b)2=a2−b2
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9. 若单项式−6 x2 ym与
1
3 xn−1 y3
是同类项，那么这两个单项式的积是 .
10. 已知
ab 2=−3
，则
−ab (a2b5−ab 3−b)=
.
11. 若
a2+a+1=2
，则
(5−a)(6+a)=
.
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12. （2015 年河师大附中学期中） 观察下列等式：
1×(1+2)=12+2×1
，
2×(2+2)=22+2×2
，
3×(3+2)=32+2×3
，…… ，则第
n
个等式可以表示为 ．
13. 一个多项式除以2 x2−1，商式为x−2，余式为x−1则这个多项式是 .
14. 已知
(x2+px +8)(x2−3 x+q)
展开后不含
x2
与
x3
的项，则
p=
，
q=
.
15. 数学家发明了一个魔术盒，当任意数对
(a,b)
进入其中时，会得到一个新的数：
(a−1)(b−2)
.现将数对
(m,1)
放入其中得到数
n
，再将数对
(n,m)
放入其中后，得到的数是 .
16. 已知1km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108 km2煤所产生的能量，那
么我国9.6×106km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤 千克.
17. 计算：（1）
5ab 3⋅(−3
4 a3b2)⋅(−2
3 ab 4c)
3
（2）
x (x−1)(x+3)−x2(x+1)+3 x−1
18. 先化简下面的代数式，再求值： (a+2)(a−2)+a(4−a)，其中a=π+1.
19. 解方程组：{(x+5)(y−4)=xy ¿¿¿¿
20. 下面是小明和小红的一段对话：
14
小明说：“我发现，对于代数式
(x−1)(3 x+2)−3 x (x+3)+10 x
，当
x=2008
和
x=2009
时，
值居然是相等的.”
小红说：“不可能，对于不同的值，应该有不同的结果.”
在此问题中，你认为谁说的对呢？说明你的理由.
21. 已知
A=(2 x+1)(x−1)−x (1−3 y)
，
B=−x2+xy −1
，且
3 A+6 B
的值与
x
无关，求
y
的值.
参考答案
当堂检测
1. D
2. B
3. A
4. B
5. C
6. D
7. A
8. A
家庭作业
9.
−2x4 y6
10.
−21
11. 29
12.
n(n+2)=n2+2n
13. 2 x3−4 x2+1 14. p=3 ，q=1
15.
16.1.248×1015
17. （1）
10
9 a7b17c3
（2）x2−1 18.
，4 π 19. {x=5¿¿¿¿
20. 原式化简的结果是
−2
，因此小明说的对.
21. 3 A+6 B=3xy −6 x−9=(15 y−6)x−9
15
当15y-6=0，即y=2
5 时，其值与x 无关.
课程顾问签字： 教学主管签字：
