解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题、解多三角形问题专项训练
考点目录
周长与周长最值问题
面积与面积最值问题
解多三角形问题
1．（24-25 高三下·湖南·阶段练习）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
11
3,
6,cos
21
a
b
B
=
=
=
，则
ABC
V
的周长为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
2．（24-25 高一下·福建泉州·期中）在
ABC
V
中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
1
bc = ，
2
2
2
2b
c
a
+
=
，则当角B 取最大值时，
ABC
V
的周长为（ ）
A．2
2
+
B．2
3
+
C．3
D．3
2
+
3．（24-25 高三下·江西·阶段练习）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
1
2
sin
sin ,cos
,
3
3
A
C
B
ABC
=
=
V
的
面积为2 5 ，则
ABC
V
的周长为（ ）
A．8
2 6
+
B．11
C．8
2 7
+
D．8
4 3
+
4．（2025·陕西安康·模拟预测）已知
ABC
V
中，角A，B，C 与sin A ，sin B ，
sin A
B
+
分别成等差数列，若
ABC
V
外接圆的面积为4p ，则
ABC
V
的周长为（ ）
A．6 3
B．6
C．2 3
4
+
D．4 3
2
+
5．（24-25 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在
ABC
V
中，已知
2 sin
2
sin
2
sin
a
A
b
c
B
c
b
C
=
-
+
-
，
2
a =
，则
ABC
V
周长最大值为（ ）
A．4
B．6
C．4 3
3
D．4 3
2
3
+
考点一
周长与周长最值问题
6．（24-25 高一下·江苏连云港·阶段练习）在
ABC
V
中，若内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
ABC
Ð
的平分
线交AC 于点D，
2
BD = 且
4
b =
，则ABC
V
周长的最小值为（ ）
A．2
2 2
+
B．2 25
C．4
4 2
+
D．4
7．（2025·四川德阳·模拟预测）已知
ABC
V
的外接圆O 的半径为1，
π
3
C =
．从圆O 内随机取一点M，若点M 在
ABC
V
内的概率恰为3 3
4π
，则
ABC
V
的周长为
．
8．（24-25 高三下·江苏扬州·期末）在ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
4
a =
，
1
1
1
tan
tan
B
C
+
=
且
1
cos cos
5
B
C =
，则ABC
V
的周长为
.
9．（24-25 高三上·江苏扬州·期末）在ABC
V
中，已知角, ,
A B C 所对的边分别, ,
a b c ，ABC
V
的面积
2
3sin
a
S
A
=
，
3cos
cos
1
B
C = ，
3
a =
，则ABC
V
的周长为
．
10．（2025·上海杨浦·模拟预测）在
ABC
V
中，, ,
a b c 分别为角, ,
A B C 的对边.已知
ABC
V
是一个面积为
5 的锐角三
角形，且
2,
3
a
b
=
=
，则
ABC
V
的周长为
.
11．（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知
3sin
, sin
a
x
x
w
w
=
-
r
,
cos
,sin
b
x
x
w
w
=
r
0
w >
，函数
f x
a b
=
×
r
r
的图象相邻两条对称轴之间的距离为π
2 .
(1)求w 的值；
(2)已知a ，b ，c 分别为
ABC
V
中角A ，B ，C 的对边，且满足
3
a =
，
0
f
A =
，求
ABC
V
周长l 的最大值.
12．（24-25 高三上·山西运城·阶段练习）在①
2
2
2
2 3
sin
3
b
c
a
ac
B
+
-
=
；②
2
2
2
sin
sin
sin
sin sin
B
C
A
B
C
+
-
=
这两个
条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
在
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c， ．
(1)求角A；
(2)若
4 3
a=
，求
ABC
V
周长的范围．
13．（2025·贵州贵阳·模拟预测）记
ABC
V
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
2
2
2
cos
cos
a
b
c
a
B
b
A
abc
+
-
+
=
．
(1)求C；
(2)若
ABC
V
为锐角三角形，
2
c =
，求
ABC
V
周长范围．
14．（2025·湖南娄底·模拟预测）（1）在学习三角函数时，某校数学学习小组的同学们通过研究得到这样两个公
式：①
2
2
sin(
) sin(
)
sin
sin
a
b
a
b
a
b
+
×
-
=
-
；②
2
2
sin(
) sin(
)
cos
cos
a
b
a
b
b
a
+
×
-
=
-
．请你在①和②中任选一个
进行证明．（如果选择两个分别进行证明，则按第一个证明过程给分）
（2）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对的边分则为a ，b ，c ，且(2
)cos
cos
b
c
A
a
C
-
=
，若
ABC
V
的面积为
3 ，
底边BC 上的高为1，求
ABC
V
的周长．
15．（2025·河北唐山·三模）已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足
n
n
n
a
b
mc
+
=
，其中
,
m nÎZ .
(1)当
2
n =
，
2025
m =
时，求tan
sin
sin
sin
C
C
A
B
×
×
的值；
(2)当
1
n = ，
2
m =
时，若
4
sin
5
C =
，
5
b =
且b
a
>
，求sinA 及
ABC
V
的周长.
16．（24-25 高三下·江苏南京·开学考试）在ABC
V
中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC
V
的面
积
2
3sin
a
S
A
=
，3cos
cos
1
B
C = ，
3
a =
．
(1)求cos A的值；
(2)证明ABC
V
为等腰三角形；
(3)求ABC
V
的周长．
1．（2025·山西·三模）在
ABC
V
中，
45
A =
o，
10
BC =
，
3 2
2
AB
AC
=
，则
ABC
V
的面积是（ ）
A．3
4
B．3
2
C．3
D．12
2．（2025·辽宁·二模）在等边三角形ABC 中，D、E、F 分别在边AB
BC
AC
、
、
上，且
3,
2,
90
DE
DF
DEF
°
=
=
Ð
=
．则三角形ABC 面积的最大值是（ ）
A．7 3
3
B．2 3
C．7 3
D．6 3
3．（2025·广东佛山·三模）在
ABC
V
中，角A
B
C
，，
的对边分别为a
b
c
，，．已知
120
A
o
＝
，且A 的内角平分线
3
AD＝
，则
ABC
V
面积的最小值为（ ）
A．2
B．2 3
C．3
D．3 3
4．（24-25 高一下·江苏苏州·期中）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
1
cos
cos
2
b
C
a
c
B
=
+
，
2
b =
，则
ABC
V
的面积的最大值为（ ）
A．3
2
B．1
3
C．2
3
D．4
3
5．（2025·上海长宁·二模）已知点D、E 分别是三角形ABC 的边AC、BC 的中点，且
2,
3
AE
BD
=
=
，则三角形
ABC 的面积的取值范围是
．
6．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知
ABC
V
三个内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
2
A
C
=
，
2
b =
，且
ABC
V
为锐角三角形，则
ABC
V
面积的取值范围为 .
考点二
面积与面积最值问题
7．（2025·辽宁·三模）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, , ,
2
a b c a =
，且
2
4( cos
cos
)
a
C
c
A
b c
+
=
，则
ABC
V
面积的最大值为
．
8．（2025·湖南长沙·模拟预测）在
ABC
V
中，记角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
sin
sin
sin
a
c
A
B
a
b
C
-
-
=
+
，且
4
a
c
+
=
，则
ABC
V
面积的最大值为
．
9．（24-25 高三下·广东深圳·阶段练习）在
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
2
cos
2
b
c
C
a
+
=
．
(1)求角A 的大小；
(2)若A 的角平分线交BC 于D，且
3
AD =
，求
ABC
V
面积的最小值．
10．（2025·山东潍坊·二模）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
2
cos
cos
c
a
B
b
A
-
=
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
ABC
V
外接圆的半径为2 3
3
，且2
2
c
a
-
=
，求
ABC
V
的面积．
11．（25-26 高三上·贵州·阶段练习）记
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．设
2
b
c
a
=
-
．
(1)若
π
4
A =
，求C；
(2)若
1
c = ，
1
cos
5
C =
，求
ABC
V
的面积.
12．（24-25 高三上·江苏镇江·阶段练习）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，满足
2cos
( cos
cos
)
0
C a
C
c
A
b
+
+
=
，
7
c = .
(1)求角C 的大小；
(2)若
3 3
sin
14
A =
，求
ABC
V
的面积.
13．（2025·安徽·模拟预测）在
ABC
V
中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且
2 sin
2
sin
2sin
sin
a
A
b
c
B
c
C
B
=
-
+
-
．
(1)求A ；
(2)若
3
BD
DC
=
uuur
uuur ，
4
=
AD
，求
ABC
V
面积的最大值．
14．（2025·浙江嘉兴·二模）在锐角
ABC
V
中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知
2 cos
2
cos
a
c
A
b
c
B
+
=
+
．
(1)求a
b ；
(2)若
2
c =
，
2
AD
DB
=
uuur
uuur ，
10
3
CD =
，求
ABC
V
的面积．
15．（2025·辽宁·模拟预测）记
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满cos
cos
2
C
B
c
a
b
= -
+
.
(1)求C；
(2)若
2
2
a
b
=
=
，求
ABC
V
外接圆的半径；
(3)已知角C 的平分线交AB 于点M ，且
1
CM = ，当
4
a
b
+
取最小值时，求
ABC
V
的面积.
16．（25-26 高三上·湖南常德·开学考试）在
ABC
V
中，已知, ,
a b c 分别为三个内角, ,
A B C 的对边，且
3sin
cos
1
0
A
A
-
- =
．
(1)求角A ；
(2)若
6
a =
，求
ABC
V
面积的最大值．
1．（24-25 高三下·山东聊城·阶段练习）已知
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
π
4
B =
，
2 2
a =
，
2 5
b =
，则AC 边上的高h =（ ）
A．3 2
2
B．6 5
5
C．5 3
6
D．7 6
8
2．（2025·西藏拉萨·二模）如图，四边形ABCD 中，AD
AC
^
，AB
BC
^
，
ACD
ACB
Ð
= Ð
，BD
CD
=
，则
cos
BCD
Ð
= （ ）
A．
3
3
B．1
3
C．2
3
D．
1
2
3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在
ABC
V
中，
4
AB =
，
6
AC =
，
1
cos
8
B =
.若
ABC
V
的角平分线AD 交边BC 于
点D ，则AD =（ ）
A．12
5
B．8 3
5
C．9
5
D．3 2
4．（24-25 高三上·江苏苏州·期中）在
ABC
V
中，已知
2
AB =
，
4
AC =
，
60
BAC
Ð
=
°，BC ，AC 边上的两条中线
AM ，BN 相交于点P ，则
MPN
Ð
的余弦值是（ ）．
A．1
14
B．
7
14
C．13
14
D．3 21
14
考点三
解多三角形问题
5．（2025·河南许昌·三模·多选）如图，在平面四边形ABCD 中，
π
2
BAD
Ð
=
，
π
4
ADC
Ð
=
，
5
AC =
，
2
CD =
.
则下列结果正确的是（ ）
A．
3
AD =
B．
2 5
sin
5
CAD
Ð
=
C．
2 5
sin
5
BAC
Ð
=
D．若
2
AB =
，则
ABC
V
中BC 边上高的长度为4 5
5
6．（24-25 高三上·吉林长春·阶段练习·多选）如图，在四边形ABCD 中，
o
60
DAB
Ð
=
，
o
120
DCB
Ð
=
，
2
AB =
，
2
BC =
，
2
BA BC
×
=
uuur uuur
，则下列结果正确的是（ ）
A．
o
45
ABC
Ð
=
B．
3
AC =
C．
3
BD =
D．ADC
V
的面积为
3
1
4
-
7．（2025·河北秦皇岛·三模·多选）在平面四边形ABCD 中，
2
AB =
，
1
BC = ，AD
CD
=
，AD
CD
^
，M 为边BC
的中点，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．若A ，B ，C ，D 四点共圆，则
10
2
AD =
B．当
1
cos
10
BAD
Ð
=
时，A ，B ，C ，D 四点共圆
C．若
120
ABC
Ð
=
° ，则ACD
V
的面积为7
4
D．当
ABC
Ð
变化时，DM 长度的最大值为
2
1
+
8．（24-25 高三下·广东广州·阶段练习）已知在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
，且
ABC
V
外接圆半径为1，则边BC 上的中线AM 的最大值为
.
9．（24-25 高三下·福建厦门·阶段练习）已知在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C ，所对应的边分别为a ，b ，
c ，且是
2
a =
，sin
sin
2sin
B
C
BAC
+
=
Ð
，则中线AD 长的取值范围是
.
10．（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）如图，平面四边形ABCD 中，
5
AD = ，
3
CD =
，
120
ADC
Ð
=
° ．
ABC
V
的
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
sin
sin
sin
sin
a
b
A
C
c
A
B
+
-
=
-
．
(1)求B ；
(2)求
ABC
V
内切圆半径r 的取值范围．
11．（2025·甘肃庆阳·三模）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，已知c＝2bcosB，C＝2
3
p .
(1)求角B 的大小；
(2)①△ABC 的面积为3 3
4
，求BC 边上的中线AM 的长度；
②△ABC 的周长为4＋2 3 ，求BC 边上的中线AM 的长度.
12．（24-25 高一下·湖南长沙·期末）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
sin
sin
sin
0
b
B
c
C
c
a
A
-
+
-
=
．
(1)求角B；
(2)如图，
ABC
Ð
的角平分线交AC 于点D，且
3
a =
，
4
c =
，
（i）求BD 的长度；
（ii）若AB 边上的中线CE 与BD 相交于点F，求
DFE
Ð
的余弦值．
13．（24-25 高一下·黑龙江·期末）如图四边形ABCD 中，
2
8,
6
BC
CD
AB
AD
=
=
=
=
(1)若
ABC
V
的面积为8 5 ，且B 为锐角，求AC 的长度．
(2)试问2cos
cos
B
D
-
是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由，
(3)求四边形ABCD 面积的最大值．
