解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题、解多三角形问题专项训练
考点目录
周长与周长最值问题
面积与面积最值问题
解多三角形问题
1．（24-25 高三下·湖南·阶段练习）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
11
3,
6,cos
21
a
b
B
=
=
=
，则
ABC
V
的周长为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】D
【详解】由余弦定理
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
，可得
2
11
36
9
2 3
21
c
c
=
+
- ´ ´ ´
，
解得
7
c = 或
27
7
c = -
，
因为
0
c >
，所以
7
c = ，
所以
ABC
V
的周长为
3
6
7
16
a
b
c
+
+
=
+
+
=
.
故选：D.
2．（24-25 高一下·福建泉州·期中）在
ABC
V
中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
1
bc = ，
2
2
2
2b
c
a
+
=
，则当角B 取最大值时，
ABC
V
的周长为（ ）
A．2
2
+
B．2
3
+
C．3
D．3
2
+
【答案】B
【详解】因为
1
bc = ，
2
2
2
2b
c
a
+
=
，则
2
2
2
2
a
c
b
-
=
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
3
1
3
3
2
cos
2
2
2
4
4
4
2
a
c
a
c
a
c
b
a
c
a
c
a
c
B
ac
ac
ac
c
a
c
a
-
+
-
+
-
+
æ
ö
=
=
=
=
+
³
´
×
=
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
3
a
c
c
a
=
时，即当
3
a
c
=
时等号成立，即
3
cos
2
B ³
，
因为余弦函数
cos
y
x
=
在
0,π 上单调递减，且
0,π
BÎ
，故
π
0
6
B
<
£
，
故B 的最大值为π
6 ，此时
3
a
c
=
，则
2
2
2
a
c
b
c
-
=
=
，
再由
1
bc = 可得
1
b
c
=
= ，则
3
a =
，此时
ABC
V
的周长为
2
3
a
b
c
+
+
=
+
.
故选：B.
考点一
周长与周长最值问题
3．（24-25 高三下·江西·阶段练习）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
1
2
sin
sin ,cos
,
3
3
A
C
B
ABC
=
=
V
的
面积为2 5 ，则
ABC
V
的周长为（ ）
A．8
2 6
+
B．11
C．8
2 7
+
D．8
4 3
+
【答案】A
【详解】由
1
sin
sin
3
A
C
=
及正弦定理，得
3
c
a
=
，
因为
2
cos
3
B =
，且
0,π
BÎ
，所以
5
sin
3
B =
，
所以
ABC
V
的面积为
2
1
3
5
sin
2 5
2
2
3
ac
B
a
=
´
=
，解得
2
a =
，所以
3
6
c
a
=
=
，
由余弦定理，得
2
2
2
4
2
2
36
4
co
2
2
3
s
2 6
b
a
c
ac
B =
+
-
´
´
+
-
=
=
´
，所以
2 6
b =
，
所以
ABC
V
的周长为
8
2 6
a
b
c
+
+
=
+
.
故选：A.
4．（2025·陕西安康·模拟预测）已知
ABC
V
中，角A，B，C 与sin A ，sin B ，
sin A
B
+
分别成等差数列，若
ABC
V
外接圆的面积为4p ，则
ABC
V
的周长为（ ）
A．6 3
B．6
C．2 3
4
+
D．4 3
2
+
【答案】A
【详解】因为角A，B，C 成等差数列，所以2B
A
C
=
+
，又
π
B
A
C
+
+
=
，所以
π
3
B =
，
又
ABC
V
外接圆的面积为4p ，所以
ABC
V
外接圆的半径为
2
r =
，
由正弦定理可得
3
2 sin
4
i π
2
3
s n
b
r
B
=
=
´
=
，
由sin A ，sin B ，
sin A
B
+
成等差数列，所以
2sin
sin
sin
B
A
B
A
=
+
+
，
所以2sin
si
s n
n
i A
B
C +
=
，由正弦定理可得
2
4 3
a
c
b
+
=
=
，
所以
ABC
V
的周长为
4 3
2 3
6 3
a
b
c
+
+
=
+
=
.
故选：A.
5．（24-25 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在
ABC
V
中，已知
2 sin
2
sin
2
sin
a
A
b
c
B
c
b
C
=
-
+
-
，
2
a =
，则
ABC
V
周长最大值为（ ）
A．4
B．6
C．4 3
3
D．4 3
2
3
+
【答案】B
【详解】在
ABC
V
中，由2 sin
(2
)sin
(2
)sin
a
A
b
c
B
c
b
C
=
-
+
-
及正弦定理，
得
2
2
(2
)
(2
)
a
b
c b
c
b c
=
-
+
-
，整理得
2
2
2
a
b
c
bc
=
+
-
，而
2
a =
，
因此
2
2
2
2
1
4
(
)
3
(
)
3(
)
(
)
2
4
b
c
b
c
bc
b
c
b
c
+
=
+
-
³
+
-
=
+
，解得
4
b
c
+
£
，当且仅当b
c
=
时取等号，
所以当
2
b
c
=
=
时，
ABC
V
周长取得最大值6.
故选：B
6．（24-25 高一下·江苏连云港·阶段练习）在
ABC
V
中，若内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
ABC
Ð
的平分
线交AC 于点D，
2
BD = 且
4
b =
，则ABC
V
周长的最小值为（ ）
A．2
2 2
+
B．2 25
C．4
4 2
+
D．4
【答案】C
【详解】由题可得，
ABC
ABD
BCD
S
S
S
=
+
△
△
△
，
即1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
ABC
ABC
ac
ABC
BD c
BD a
Ð
Ð
Ð
=
×
+
×
，
又
2
BD = ，
4
b =
，所以2
sin
cos
2 sin
2 sin
2
2
2
2
ABC
ABC
ABC
ABC
ac
c
a
Ð
Ð
Ð
Ð
=
+
，
因为0
π
ABC
< Ð
<
，所以
π
0
2
2
ABC
Ð
<
<
，则sin
0
2
ABC
Ð
¹
，
所以
cos
2
ABC
ac
c
a
Ð
=
+
，即cos
2
ABC
c
a
ac
Ð
+
=
，
又因为
2
2
16
cos
2
c
a
ABC
ac
+
-
Ð
=
，且
2
cos
2cos
1
2
ABC
ABC
Ð
Ð
=
- ，
所以
2
2
2
16
2
1
2
c
a
c
a
ac
ac
+
+
-
æ
ö - =
ç
÷
è
ø
，
整理得
2
2
4(
)
(
)
16
c
a
ac
c
a
é
ù
+
=
+
-
ë
û ，
所以
2
2
2
2
(
)
4(
)
(
)
16
(
)
16
4
c
a
c
a
ac
c
a
c
a
+
é
ù
é
ù
+
=
+
-
£
×
+
-
ë
û
ë
û ，
解得
2
(
)
32
c
a
+
³
，则
4 2
a
c
+
³
，当且仅当
2 2
a
c
=
=
时等号成立，
则
4 2
b
a
c
+
+
³ 4 +
，故
ABC
V
周长的最小值为4
4 2
+
.
故选：C.
.
7．（2025·四川德阳·模拟预测）已知
ABC
V
的外接圆O 的半径为1，
π
3
C =
．从圆O 内随机取一点M，若点M 在
ABC
V
内的概率恰为3 3
4π
，则
ABC
V
的周长为
．
【答案】3 3
【详解】在
ABC
V
中，设, ,
A B C 对应的边为, ,
a b c ，如图，
在圆O 中，由
π
3
C =
，得
2π
3
AOB
Ð
=
，
在等腰
AOB
V
中，
1
OA
OB
=
= ，由余弦定理，
得
2
2
2
2
cos
3
c
OA
OB
OA OB
AOB
=
+
-
×
Ð
=
，得
3
c =
.
因为点M 在
ABC
V
内的概率恰为3 3
4π
，所以
2
1
sin
3 3
2
1
π
4π
ABC
O
ab
C
S
S
=
=
×
V
e
，
得
3
ab =
.
在
ABC
V
中，由余弦定理，得
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
，
即
2
2
1
3
2
6
a
b
+
-
=
，得
2
2
6
a
b
+
=
，
有
2
2
2
(
)
2
12
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
=
，由
0
a
b
+
>
得
2 3
a
b
+
=
，
所以
ABC
V
的周长为
3 3
a
b
c
+
+
=
.
故答案为：3 3 .
8．（24-25 高三下·江苏扬州·期末）在ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
4
a =
，
1
1
1
tan
tan
B
C
+
=
且
1
cos cos
5
B
C =
，则ABC
V
的周长为
.
【答案】4
4 5
+
【详解】由
1
1
1
tan
tan
B
C
+
= 得cos
cos
1
sin
sin
B
C
B
C
+
= ，
即sin cos
cos sin
sin sin
B
C
B
C
B
C
+
=
，
即
sin
sin sin
B
C
B
C
+
=
，
由
π
B
C
A
+
=
-
以及诱导公式得sin
sin sin
A
B
C
=
，
又
1
cos cos
5
B
C =
，
得
1
sin
sin sin
cos cos
cos
cos
5
A
B
C
B
C
B
C
A
-
=
-
= -
+
=
，
又sin
0
A >
，由同角三角函数的基本关系得
4
3
sin
cos
5
5
A
A
=
=
，
，
因为
4
a =
，根据正弦定理：
4
5
4
sin
sin
sin
5
b
c
a
B
C
A
=
=
=
=
，
所以
5sin
b
B
=
，
5sin
c
C
=
，
由余弦定理得
2
2
2
2
2
16
16
16
2
cos
(
)
(
)
25sin sin
5
5
a
b
c
bc
A
b
c
bc
b
c
B
C
=
=
+
-
=
+
-
=
+
-
´
，
将
4
sin sin
sin
5
B
C
A
=
=
代入上式得
2
(
)
80
b
c
+
=
，
解得
4 5
b
c
+
=
，所以ABC
V
的周长为4
4 5.
+
故答案为: 4
4 5.
+
9．（24-25 高三上·江苏扬州·期末）在ABC
V
中，已知角, ,
A B C 所对的边分别, ,
a b c ，ABC
V
的面积
2
3sin
a
S
A
=
，
3cos
cos
1
B
C = ，
3
a =
，则ABC
V
的周长为
．
【答案】3
3 3
+
【详解】因为ABC
V
的面积
2
3sin
a
S
A
=
，
1
sin
2
S
bc
A
=
，
所以
2
2
3
sin
2 bc
A
a
=
，
所以
2
2
3 sin
sin
sin
sin
2
B
C
A
A
=
，又sin
0
A ¹
，
所以
2
sin
sin
3
B
C =
，又3cos
cos
1
B
C = ，
1
cos
cos
cos
sin
sin
3
B
C
B
C
A
B
+
=
-
= -
，
所以
1
cos
cos
3
A
B
C
= -
+
=
，
又
0,π
AÎ
，所以
2
2 2
sin
1 cos
3
A
A
=
-
=
，
由余弦定理可得
2
2
2
1
cos
3
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
，
由
2
2
3
sin
2 bc
A
a
=
，
3
a =
，可得
27
4
bc =
，
所以
2
2
2
27
9
3
2
b
c
bc
+
=
+
=
，
所以
2
27
27
27
2
2
b
c
+
=
+
=
，
所以
3 3
b
c
+
=
，
所以ABC
V
的周长为
3
3 3
a
b
c
+
+
=
+
.
故答案为：3
3 3
+
.
10．（2025·上海杨浦·模拟预测）在
ABC
V
中，, ,
a b c 分别为角, ,
A B C 的对边.已知
ABC
V
是一个面积为
5 的锐角三
角形，且
2,
3
a
b
=
=
，则
ABC
V
的周长为
.
【答案】5
5
+
/
5
5
+
【详解】由于三角形的面积为5 ，所以1
5
sin
5
sin
2
3
ab
C
C
=
Þ
=
,
因为
2
2
5
4
2
cos
1
cos
3
9
3
C
C
æ
ö
= -
=
Þ
= ±
ç
÷
ç
÷
è
ø
，故
2
cos
3
C =
（锐角三角形），
当
2
cos
3
C =
时：
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
=
+
-
2
2
2
2
3
2 2 3
5
5
3
C
c
=
+
- ´ ´ ´
= Þ
=
，
则
ABC
V
的周长为5
5
+
.
故答案为：5
5
+
.
11．（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知
3sin
, sin
a
x
x
w
w
=
-
r
,
cos
,sin
b
x
x
w
w
=
r
0
w >
，函数
f x
a b
=
×
r
r
的图象相邻两条对称轴之间的距离为π
2 .
(1)求w 的值；
(2)已知a ，b ，c 分别为
ABC
V
中角A ，B ，C 的对边，且满足
3
a =
，
0
f
A =
，求
ABC
V
周长l 的最大值.
【答案】(1)
1
w =
(2)3 3
【详解】（1）由
3sin
, sin
a
x
x
w
w
=
-
r
,
cos
,sin
b
x
x
w
w
=
r
，
则
2
3
1
1
π
1
3sin
cos
sin
sin 2
cos2
sin 2
2
2
2
6
2
f x
a b
x
x
x
x
x
x
w
w
w
w
w
w
æ
ö
=
×
=
-
=
+
-
=
+
-
ç
÷
è
ø
r
r
，
又函数
f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为π
2 ，
即
π
2
2
T =
，
2π
π
2
T
w
=
=
，
所以
1
w = ；
（2）由
π
1
sin 2
0
6
2
f
A
A
æ
ö
=
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
0,π
AÎ
，
所以
π
π 13π
2
,
6
6
6
A
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø，
则
π
5π
2
6
6
A+
=
，
π
3
A =
，
由余弦定理，
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
得
2
2
2
π
3
2
cos 3
b
c
bc
=
+
-
，
所以
2
2
3
bc
b
c
=
+
- ，
所以
2
2
3
3
3
4
b
c
b
c
bc
+
+
-
=
£
，
解得
2 3
b
c
+
£
，
当且仅当b
c
=
时等号成立，
所以
3 3
l
a
b
c
=
+
+
£
，
即当
ABC
V
为等边三角形时，周长最大为3 3 .
12．（24-25 高三上·山西运城·阶段练习）在①
2
2
2
2 3
sin
3
b
c
a
ac
B
+
-
=
；②
2
2
2
sin
sin
sin
sin sin
B
C
A
B
C
+
-
=
这两个
条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
在
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c， ．
(1)求角A；
(2)若
4 3
a=
，求
ABC
V
周长的范围．
【答案】(1)
π
3
A =
(2)8 3
12 3
a
b
c
<
+
+ ≤
【详解】（1）选择①：因为
2
2
2
2 3
sin
3
b
c
a
ac
B
+
-
=
，
由余弦定理可得
2 3
2
cos
sin
3
bc
A
ac
B
=
，
所以结合正弦定理可得3sin cos
sin sin
B
A
A
B
=
．
因为
0,π
BÎ
，则sin
0
B >
，
所以
3cos
sin
A
A
=
，即tan
3
A =
，
因为
0,π
AÎ
，所以
π
3
A =
；
选择②：因为
2
2
2
sin
sin
sin
sin sin
B
C
A
B
C
+
-
=
，
由正弦定理得
2
2
2
3
b
c
a
bc
+
-
=
，
由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
．
因为
0,π
AÎ
，所以
π
3
A =
；
（2）由（1）知
π
3
A =
，又已知
4 3
a=
，由正弦定理得：
∵
8
sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
=
=
=
,
∴
8sin
b
B
=
，
8sin
c
C
=
,
∴
2π
1
3
8sin
8sin
8 sin
sin
8 sin
sin +
cos
3
2
2
b
c
B
C
B
B
B
B
B
é
ù
é
ù
æ
ö
+
=
+
=
+
-
=
+
ê
ú
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
ë
û
1
3
8 3
cos
sin
2
2
B
B
æ
ö
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
π
8 3sin
6
B
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ,
∵
2π
0
3
B
<
<
,
∴1
π
sin
1
2
6
B
æ
ö
<
+
£
ç
÷
è
ø
,
∴4 3
8 3
b
c
<
+ ≤
,
∴8 3
12 3
a
b
c
<
+
+ ≤
．
13．（2025·贵州贵阳·模拟预测）记
ABC
V
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
2
2
2
cos
cos
a
b
c
a
B
b
A
abc
+
-
+
=
．
(1)求C；
(2)若
ABC
V
为锐角三角形，
2
c =
，求
ABC
V
周长范围．
【答案】(1)
π
3
C =
(2)(2
2 3,6]
+
【详解】（1）在
ABC
V
中，由射影定理得cos
cos
a
B
b
A
c
+
=
，
则题述条件化简为
2
2
2
a
b
c
ab
+
-
=
，
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
a
b
c
ab
C
+
-
=
．
可得
1
cos
,
0,π ,
2
C
C
=
Î
所以
π
3
C =
.
（2）在
ABC
V
中，
由正弦定理得
2
4 3
π
sin
sin
sin
3
sin 3
a
b
c
A
B
C
=
=
=
=
，
则
ABC
V
周长
4 3
4 3
2π
2
2
(sin
sin )
2
sin
sin
3
3
3
ABC
C
a
b
A
B
A
A
é
ù
æ
ö
=
+
+
=
+
+
=
+
+
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
V
，
因为
2π
π
sin
sin
3sin
3
6
A
A
A
æ
ö
æ
ö
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，则
π
2
4sin
6
ABC
C
A
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
V
，
因为
ABC
V
为锐角三角形，
2π
3
A
B
+
=
，
则得
π π
π
π 2π
,
,
,
6 2
6
3
3
A
A
æ
ö
æ
ö
Î
+
Î
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
故
π
3
sin
,1 ,
(2
2 3,6]
6
2
ABC
A
C
æ
ù
æ
ö
+
Î
Î
+
ç
ú
ç
÷
ç
è
ø
è
û
V
．
14．（2025·湖南娄底·模拟预测）（1）在学习三角函数时，某校数学学习小组的同学们通过研究得到这样两个公
式：①
2
2
sin(
) sin(
)
sin
sin
a
b
a
b
a
b
+
×
-
=
-
；②
2
2
sin(
) sin(
)
cos
cos
a
b
a
b
b
a
+
×
-
=
-
．请你在①和②中任选一个
进行证明．（如果选择两个分别进行证明，则按第一个证明过程给分）
（2）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对的边分则为a ，b ，c ，且(2
)cos
cos
b
c
A
a
C
-
=
，若
ABC
V
的面积为
3 ，
底边BC 上的高为1，求
ABC
V
的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2 6
2 3
+
【详解】（1）若选①，证明如下：
sin(
) sin(
)
(sin
cos
cos
sin
)(sin
cos
cos
sin
)
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
×
-
=
+
-
2
2
2
2
sin
cos
cos
sin
a
b
a
b
=
-
2
2
2
2
sin
1 sin
1 sin
sin
a
b
a
b
=
-
-
-
2
2
sin
sin
a
b
=
-
．
若选②，证明如下：
sin(
) sin(
)
(sin
cos
cos
sin
)(sin
cos
cos
sin
)
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
×
-
=
+
-
2
2
2
2
sin
cos
cos
sin
a
b
a
b
=
-
2
2
2
2
1 cos
cos
cos
1 cos
a
b
a
b
=
-
-
-
2
2
cos
cos
b
a
=
-
，
（2）由题意得(2
)cos
cos
b
c
A
a
C
-
=
，
由正弦定理得(2sin
sin
)cos
sin
cos
B
C
A
A
C
-
=
，
所以2sin
cos
sin
cos
sin
cos
B
A
A
C
C
A
=
+
，即2sin
cos
sin(
)
sin
B
A
A
C
B
=
+
=
，
因为在
ABC
V
中，sin
0
B ¹
，所以
1
cos
2
A =
．
又因为0
π
A
<
<
，所以解得
π
3
A =
．
因为
ABC
V
的面积为
3 ，所以1
1
3
2
a
´ ´ =
，解得
2 3
a =
．
由1
sin
3
2 bc
A =
，解得
4
bc =
．
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
，即
2
2
12
b
c
bc
=
+
-
，
则
2
(
)
3
12
b
c
bc
+
=
+
，即
2
(
)
24
b
c
+
=
，解得
2 6
b
c
+
=
．
故
ABC
V
的周长为
2 6
2 3
a
b
c
+
+
=
+
.
15．（2025·河北唐山·三模）已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足
n
n
n
a
b
mc
+
=
，其中
,
m nÎZ .
(1)当
2
n =
，
2025
m =
时，求tan
sin
sin
sin
C
C
A
B
×
×
的值；
(2)当
1
n = ，
2
m =
时，若
4
sin
5
C =
，
5
b =
且b
a
>
，求sinA 及
ABC
V
的周长.
【答案】(1)
1
1012
(2)
3
sin
5
A =
，
ABC
V
的周长为12.
【详解】（1）由正弦定理可得
2
2
tan
sin
sin
sin
sin
cos
sin
sin
cos
C
C
C
c
A
B
C
A
B
ab
C
×
=
=
×
×
×
，
由余弦定理知
2
2
2
1
cos
2
ab
C
a
b
c
=
+
-
，
由题意知
2
2
2
2025
a
b
c
+
=
，
故
2
cos
1012
ab
C
c
=
，
故tan
sin
1
sin
sin
1012
C
C
A
B
×
=
×
.
（2）当
1
n = ，
2
m =
时，即
2
a
b
c
+
=
，由正弦定理可得sin
sin
2sin
A
B
C
+
=
，
又因为
sin
sin
B
A
C
=
+
，所以
sin
sin
2sin
A
A
C
C
+
+
=
，
因为
2
a
b
c
+
=
且b
a
>
，故a
c
b
<
<
，因此C 为锐角，故
2
3
cos
1 sin
5
C
C
=
-
=
，
故
4
3
8
sin
cos
sin
5
5
5
A
A
A
+
+
=
，即2sin
cos
2
A
A
+
=
，
因此cos
2
2sin
A
A
=
-
，因此
2
2
sin
2
2sin
1
A
A
+
-
= ，即
2
5sin
8sin
3
0
A
A
-
+
=
，
解得
3
sin
5
A =
（sin
1
A = 舍去）.
所以
4
3
sin
2sin
sin
2
1
5
5
B
C
A
=
-
=
´
-
= ，故
π
2
B =
.
因为
5
b =
，故
4
c =
，
3
a =
，
因此
ABC
V
的周长为12.
16．（24-25 高三下·江苏南京·开学考试）在ABC
V
中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC
V
的面
积
2
3sin
a
S
A
=
，3cos
cos
1
B
C = ，
3
a =
．
(1)求cos A的值；
(2)证明ABC
V
为等腰三角形；
(3)求ABC
V
的周长．
【答案】(1)
1
cos
3
A =
(2)证明见解析
(3)3
3 3
+
【详解】（1）由三角形的面积公式可得
2
1
sin
2
3sin
a
S
bc
A
A
=
=
，则
2
2
3
sin
2
bc
A
a
=
，
由正弦定理可得：
2
2
3sin
sin
sin
2sin
B
C
A
A
=
，
Q sin
0
A ¹
，\
2
sin
sin
3
B
C =
，
又3cos
cos
1
B
C = ，则
1
cos
cos
3
B
C =
，
\
1
cos
cos
sin
sin
3
B
C
B
C
-
= -
，即
1
cos(
)
3
B
C
+
= -
，
\
1
cos
3
A =
．
（2）Q
1
cos
3
A =
，
0,π
AÎ
,
\
2 2
sin
3
A =
，
Q
3
a =
，\
3
9 2
sin
sin
sin
4
2 2
3
a
b
c
A
B
C
=
=
=
=
，
\
9 2 sin
4
b
B
=
，
9 2 sin
4
c
C
=
，
\
9 2
9 2
81
81
2
27
sin
sin
sin
sin
4
4
8
8
3
4
bc
B
C
B
C
=
×
=
=
´
=
，
由余弦定理可得：
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
，则
2
9
(
)
2
2
cos
b
c
bc
bc
A
=
+
-
-
，
即
2
27
27
1
9
(
)
2
2
4
4
3
b
c
=
+
-
´
-
´
´ ，解得
3 3
b
c
+
=
，
\
3 3
2
b
c
=
=
，
\
ABC
V
为等腰三角形
（3）由（2）知
3 3
b
c
+
=
\
ABC
V
的周长为
3
3 3
a
b
c
+
+
=
+
．
故答案为：3
3 3
+
．
1．（2025·山西·三模）在
ABC
V
中，
45
A =
o，
10
BC =
，
3 2
2
AB
AC
=
，则
ABC
V
的面积是（ ）
A．3
4
B．3
2
C．3
D．12
【答案】C
【详解】由余弦定理
2
2
2
2
cos
BC
AB
AC
AB AC
A
=
+
-
×
×
，
得
2
2
2
9
3 2
π
2
cos
10
2
2
4
AC
AC
AC
+
- ´
=
，解得
2
AC =
，则
3 2
AB =
．
所以
ABC
V
的面积为
1
1
2
sin
2 3 2
3
2
2
2
ABC
S
AB AC
A
=
×
×
=
´ ´
´
=
V
．
故选：C.
2．（2025·辽宁·二模）在等边三角形ABC 中，D、E、F 分别在边AB
BC
AC
、
、
上，且
3,
2,
90
DE
DF
DEF
°
=
=
Ð
=
．则三角形ABC 面积的最大值是（ ）
A．7 3
3
B．2 3
C．7 3
D．6 3
【答案】A
【详解】设
DEB
q
Ð
=
，
π
2π
π
,
,
2
3
6
FEC
BDE
CFE
q
q
q
\Ð
=
-
Ð
=
-
Ð
=
+
，
π ,
2,
3
2
DEF
DF
DE
Ð
=
=
=
Q
，
1
EF
\
= ，
在
BDE
V
中，sin
sin
DE
BE
DBE
BDE
=
Ð
Ð
，即
3
π
2π
sin
sin
3
3
BE
q
=
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
，
2π
2sin
3 cos
sin
3
BE
q
q
q
æ
ö
\
=
-
=
+
ç
÷
è
ø
，
同理，在
ECF
△
中，
2 3
π
3
sin
cos
sin
3
6
3
EC
q
q
q
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
ABC
\V
的边长
3
2 21
3 cos
sin
cos
sin
sin(
)
3
3
BC
BE
EC
q
q
q
q
q
j
=
+
=
+
+
+
=
+
，
考点二
面积与面积最值问题
其中
2 3
tan
3
j =
，
π
0, 2
2
p
q
q
j
æ
ö
Î
\
+
=
ç
÷
è
ø
Q
时，BC 取得最大值为2 21
3
，
2
3
3
28
7 3
4
4
3
3
ABC
S
BC
\
=
£
´
=
V
.
故选：A.
3．（2025·广东佛山·三模）在
ABC
V
中，角A
B
C
，，
的对边分别为a
b
c
，，．已知
120
A
o
＝
，且A 的内角平分线
3
AD＝
，则
ABC
V
面积的最小值为（ ）
A．2
B．2 3
C．3
D．3 3
【答案】D
【详解】解法1：设
π
2π
3
3
ADB
q
q
æ
ö
Ð
=
<
<
ç
÷
è
ø ，则
2π
π
π
,
,
3
3
ADC
B
C
q
q
q
Ð
=
-
Ð
=
-
Ð
=
-
在
ABD
△
中，由正弦定理sin
sin
AB
AD
ADB
B
=
Ð
Ð
，故
3sin
2π
sin
3
AB
q
q
=
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
；
在
CBD
△
中，由正弦定理sin
sin
AC
AD
ADC
C
=
Ð
Ð
，故
3sin
π
sin
3
AC
q
q
=
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
；
2
1
3 3sin
sin
2π
π
2
4sin
sin
3
3
S
AB AC
A
q
q
q
\
=
×
=
æ
ö
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
2
2
2
2
2
3 3sin
3 3sin
3 3
3
sin
3cos
4sin
3
4
sin
q
q
q
q
q
q
=
=
=
-
-
-
，当sin
1
q = ，即
90
q =
° 时，面积最小值3 3 ．
解法2：由角平分线性质可知，
ABC
ADC
ADB
S
S
S
=
+
V
V
V
，所以有
1
1
1
sin120
sin60
sin60
2
2
2
bc
b
AD
c
AD
´
´
° =
´ ´
´
°+
´ ´
´
°，
化简得：
3
2 3
b
c
bc
bc
+
=
³
×
，即
12
bc ³
，当且仅当
2 3
b
c
=
=
时，等号成立．
故而
3
12
3 3
4
ABC
S
³
´
=
△
．
故选：D.
4．（24-25 高一下·江苏苏州·期中）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
1
cos
cos
2
b
C
a
c
B
=
+
，
2
b =
，则
ABC
V
的面积的最大值为（ ）
A．3
2
B．1
3
C．2
3
D．4
3
【答案】D
【详解】因为
1
cos
cos
2
b
C
a
c
B
=
+
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
b
a
c
a
c
b
b
a
c
ba
ac
+
-
+
-
×
=
+ ×
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
b
a
c
a
a
c
b
+
-
=
+
+
-
，所以
2
2
2
2
2
b
a
c
=
+
，
又
2
b =
，所以
2
2
2
8
a
c
+
=
，
又
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
cos
2
2
4
a
c
a
c
a
c
b
a
B
ac
ac
c
+
-
+
+
-
=
=
=
，
所以
2
2
2
2
16
sin
1
4
16
a
c
a
B
c
c
-
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以
2
2
2
2
2
2
1
1
16
1
sin
16
2
2
16
8
ABC
c
a
S
ac
B
ac
c
a
a
c
-
=
=
=
-
V
2
2
1
64
9
8
a
a
=
-
2
2
2
1
32
32
9
8
9
9
a
æ
ö
=
-
-
+
ç
÷
è
ø
，
所以当
2
32
9
a =
，即
4 2
3
a =
时，
ABC
SV
取得最大值，且
max
1
32
4
8
3
3
ABC
S
=
´
=
V
.
故选：D
5．（2025·上海长宁·二模）已知点D、E 分别是三角形ABC 的边AC、BC 的中点，且
2,
3
AE
BD
=
=
，则三角形
ABC 的面积的取值范围是
．
【答案】
0,4
【详解】
如图，过A 作
//
,
=
AF BC AF BC ，过F 作
//
FG AE 交BC 的延长线于G ，
则四边形AFGE 、四边形ABCF 为平行四边形，连接BF ，
则
,
AC BF 互相平分，故
,
,
B D F 共线且D 为BF 的中点，
而AF
BC
EG
=
=
，故
3
2
BG
BC
=
，故
3
2
BFG
ABC
S
S
=
△
△
，
BFG
V
中，
2
6
BF
BD
=
=
，
2
GF
AE
=
=
，
0,π
BFG
Ð
Î
，
故
1
sin
6sin
0,6
2
BFG
S
BF
FG
BFG
BFG
=
´
Ð
=
Ð
Î
V
，
故
0,4
ABC
S
Î
V
，
故答案为：
0,4
6．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知
ABC
V
三个内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
2
A
C
=
，
2
b =
，且
ABC
V
为锐角三角形，则
ABC
V
面积的取值范围为 .
【答案】
3 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】因为
2
A
C
=
，所以
π
3
B
C
=
-
，所以sin
sin3
B
C
=
，
由正弦定理得sin
sin
a
b
A
B
=
，
又
2
b =
，所以
2sin2
sin3
C
a
C
=
，
所以
ABC
V
的面积
1
2sin 2
sin
2sin 2
sin
sin
2
sin 2
sin 2
cos
cos2
sin
C
C
C
C
S
ab
C
C
C
C
C
C
C
=
=
=
+
+
2
2tan 2
tan
4tan
4
3
tan 2
tan
3
tan
tan
tan
C
C
C
C
C
C
C
C
=
=
=
+
-
-
因为
ABC
V
为锐角三角形，
又
2 ,
3
A
C B
C
=
= p -
且
, ,
0, 2
A B C
p
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则
π π
,
6 4
C
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
3
tan
,1
3
C
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
.
令
tan
t
C
=
，则
3
3
,
,1
3
y
t t
t
æ
ö
=
-
Îç
÷
ç
÷
è
ø
.
2
3
1
0
y
t
¢ = -
- <
恒成立，则y 在
3 ,1
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减.
则
4
3
tan
tan
S
C
C
=
-
单调递增，故
3 ,2
2
S
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
.
故答案为：
3 ,2
2
S
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
.
7．（2025·辽宁·三模）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, , ,
2
a b c a =
，且
2
4( cos
cos
)
a
C
c
A
b c
+
=
，则
ABC
V
面积的最大值为
．
【答案】
3
【详解】由
2
4( cos
cos
)
a
C
c
A
b c
+
=
利用正弦定理得
4 sin
cos
sin
cos
+
=
A
C
C
A
4sin
4sin
sin
+
=
=
A
C
B
bc
B ，
因为0
π
B
<
<
，所以sin
0
B ¹
，所以
4
bc =
，
ABC
V
的面积
1
sin
2sin
2
=
=
S
bc
A
A，所以
2
2
4 1 cos
=
-
=
S
A
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
4 1
4 1
4 1
3
2
8
8
b
c
a
b
c
bc
bc
é
ù
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
-
+
-
-
æ
ö
-
=
-
£
-
=
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
ê
ú
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
ë
û
，
当且仅当b
c
=
时等号成立，
max
3
S
=
．
故答案为：
3 ．
8．（2025·湖南长沙·模拟预测）在
ABC
V
中，记角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
sin
sin
sin
a
c
A
B
a
b
C
-
-
=
+
，且
4
a
c
+
=
，则
ABC
V
面积的最大值为
．
【答案】
3
【详解】由已知及正弦定理，得a
c
a
b
a
b
c
-
-
=
+
，即
2
2
a
c c
a
b
-
=
-
，即
2
2
2
a
c
b
ac
+
-
=
．
由余弦定理，得
2
2
2
1
cos
2
2
a
c
b
B
ac
+
-
=
=
．因为
0,π
BÎ
，则
60
B =
o ．因为
4
a
c
+
=
，则
2
1
3
3
sin
3
2
4
4
2
ABC
a
c
S
ac
B
ac
+
æ
ö
=
=
£
=
ç
÷
è
ø
V
，当
2
a
c
=
=
时取等号，所以
ABC
SV
的最大值为
3 ．
故答案为：
3
9．（24-25 高三下·广东深圳·阶段练习）在
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
2
cos
2
b
c
C
a
+
=
．
(1)求角A 的大小；
(2)若A 的角平分线交BC 于D，且
3
AD =
，求
ABC
V
面积的最小值．
【答案】(1)
2π
3
A =
．
(2)9 3 ．
【详解】（1）由余弦定理，得
2
2
2
2
2
2
a
b
c
b
c
ab
a
+
-
+
=
，即
2
2
2
2
2
a
b
c
b
bc
+
-
=
+
整理得
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
= -
， 所以
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
= -
，
又0
π
A
<
<
，所以
2π
3
A =
．
（2）因为
1
2π
1
π
1
π
sin
sin
sin
2
3
2
3
2
3
ABC
S
bc
b AD
c AD
=
=
×
+
×
△
，所以
3
3
bc
b
c
=
+
．
因为
3
3
6
bc
b
c
bc
=
+
³
，即
36
bc ³
当且仅当
6
b
c
=
=
时等号成立
所以
3
9 3
4
ABC
S
bc
=
³
V
．故
ABC
V
面积的最小值为9 3 ．
10．（2025·山东潍坊·二模）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
2
cos
cos
c
a
B
b
A
-
=
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
ABC
V
外接圆的半径为2 3
3
，且2
2
c
a
-
=
，求
ABC
V
的面积．
【答案】(1) π
3
(2)
3
【详解】（1）因为
2
cos
cos
c
a
B
b
A
-
=
由正弦定理得
2sin
sin
cos
sin
cos
C
A
B
B
A
-
=
．
所以
2sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
C
B
A
B
B
A
A
B
=
+
=
+
，
因为
π
A
B
C
+
+
= ，所以
sin
sin π
sin
A
B
C
C
+
=
-
=
．
所以2sin
cos
sin
C
B
C
=
．
因为sin
0
C >
，所以
1
cos
2
B =
，
因为
0, π
BÎ
，所以
π
3
B =
．
（2）因为
ABC
V
外接圆半径为2 3
3
，
由正弦定理得
2 3
4 3
2
sin
3
3
b
B =
´
=
，由（1）知
π
3
B =
，即
4 3
3
3
2
b =
，所以
2
b =
，
由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
a
c
ac
=
+
-
=
+
-
，所以
2
2
4
a
c
ac
+
-
=
，
因为
2
2
a
c
=
-
，代入上式得
2
2
0
c
c
-
=
．
因为
0
c >
，所以
2
c =
，则
2
a =
，所以
1
1
3
sin
2 2
3
2
2
2
ABC
S
ac
B
=
=
´ ´ ´
=
△
．
11．（25-26 高三上·贵州·阶段练习）记
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．设
2
b
c
a
=
-
．
(1)若
π
4
A =
，求C；
(2)若
1
c = ，
1
cos
5
C =
，求
ABC
V
的面积.
【答案】(1)
π
2
C =
(2)
6
12
【详解】（1）由
2
b
c
a
=
-
和正弦定理，可得sin
2 sin
sin
B
C
A
=
-
（*），
因
π
4
A =
，则
π
π
(
)
4
B
C
=
-
+
，于是
π
π
sin
sin[π
(
)]
sin(
)
4
4
B
C
C
=
-
+
=
+
，
代入（*），可得
π
2
sin
2 sin
4
2
C
C
æ
ö
+
=
-
ç
÷
è
ø
，
即
2
2
2
cos
sin
2 sin
2
2
2
C
C
C
+
=
-
，
整理得：
2
2
2
sin
cos
2
2
2
C
C
-
=
，
即
π
2
sin(
)
4
2
C -
=
，.
因为
3π
π
π
π
0,
,
4
4
4
2
C
C
æ
ö
æ
ö
Î
-
Î -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
，
所以
π
π
4
4
C -
=
，故
π
2
C =
.
（2）因
1
c = ，则易得
2
b
a
+
=
，
由余弦定理得
2
2
1
1
cos
2
5
a
b
C
ab
+
-
=
=
，
即
2
2
2
1
5
ab
a
b
+
- =
，
即
2
12
(
)
1
5
ab
a
b
+
- =
，
故得
5
12
ab =
.
因为
1
cos
5
C =
，
0,π
C Î
，则
2 6
sin
5
C =
，
因此
ABC
V
的面积为
1
5
2 6
6
sin
2
24
5
12
S
ab
C
=
=
´
=
.
12．（24-25 高三上·江苏镇江·阶段练习）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，满足
2cos
( cos
cos
)
0
C a
C
c
A
b
+
+
=
，
7
c = .
(1)求角C 的大小；
(2)若
3 3
sin
14
A =
，求
ABC
V
的面积.
【答案】(1) 2π
3
(2)15 3
4
【详解】（1）因为
2cos
cos
cos
0
C a
C
c
A
b
+
+
=
，
所以根据正弦定理得
2cos
sin
cos
sin
cos
sin
0
C
A
C
C
A
B
+
+
=
.
因为
π
B
A
C
=
-
-
，所以等式可化简为
2cos
sin
sin
0
C
A
C
A
C
+
+
+
=
，
即
2cos
1 sin
0
C
A
C
+
+
=
，又
sin
0
A
C
+
¹
，
所以2cos
1
0
C + =
，解得
1
cos
2
C = -
.
又0
π
C
<
<
，所以
2π
3
C =
.
（2）由（1）知
2π
3
C =
，所以
3
sin
2
C =
.
根据正弦定理sin
sin
a
c
A
C
=
得
3 3
7
sin ·
3
sin
14
3
2
c
a
A
C
=
=
´
=
.
根据余弦定理
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
-
得
2
3
40
0
b
b
+
-
=
.
解得
5
b =
或
8
b = - （舍去）.
所以ABC
V
的面积为
1
1
3 3
15 3
sin
5 7
2
2
14
4
S
bc
A
=
=
´ ´ ´
=
.
13．（2025·安徽·模拟预测）在
ABC
V
中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且
2 sin
2
sin
2sin
sin
a
A
b
c
B
c
C
B
=
-
+
-
．
(1)求A ；
(2)若
3
BD
DC
=
uuur
uuur ，
4
=
AD
，求
ABC
V
面积的最大值．
【答案】(1)
π
3
A =
(2) 64 3
9
【详解】（1）由
2 sin
2
sin
2sin
sin
a
A
b
c
B
c
C
B
=
-
+
-
及正弦定理得
2
2
2
2
a
b
c b
c
b c
=
-
+
-
，
化简可得
2
2
2
a
b
c
bc
=
+
-
，即
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
，
由余弦定理可得
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
，因为
0,π
AÎ
，故
π
3
A =
.
（2）因为
3
BD
DC
=
uuur
uuur ，则
3
AD
AB
AC
AD
-
=
-
r
r
r
r
，即4
3
AD
AC
AB
=
+
r
r
r
，
所以
2
2
2
2
16
3
9
6
AD
AC
AB
AC
AB
AC AB
=
+
=
+
+
×
r
r
r
r
r
r r
，
即
2
2
2
2
2
2
256
9
6
cos
9
3
2 9
3
9
b
c
bc
A
b
c
bc
b c
bc
bc
=
+
+
=
+
+
³
+
=
，
所以
256
9
bc £
，当且仅当
2
2
3
9
3
256
c
b
b
c
bc
=
ì
í
+
+
=
î
时，
即当
16 3
9
b =
，
16 3
3
c =
时，等号成立，
故
1
π
3
3
256
64 3
sin
2
3
4
4
9
9
ABC
S
bc
bc
=
=
£
´
=
△
，
即
ABC
V
面积的最大值为64 3
9
.
14．（2025·浙江嘉兴·二模）在锐角
ABC
V
中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知
2 cos
2
cos
a
c
A
b
c
B
+
=
+
．
(1)求a
b ；
(2)若
2
c =
，
2
AD
DB
=
r
r ，
10
3
CD =
，求
ABC
V
的面积．
【答案】(1)
1
2
(2) 15
4
【详解】（1）由
2 cos
2
cos
a
c
A
b
c
B
+
=
+
及正弦定理可得sin
2sin
cos
2sin
sin
cos
A
C
A
B
C
B
+
=
+
，
即
sin
2cos
sin
2sin
cos
sin
B
C
A
C
A
C
B
C
+
+
=
+
+
，
即sin
cos
cos
sin
2cos
sin
2sin
cos
2cos
sin
cos
sin
B
C
B
C
A
C
A
C
A
C
B
C
+
+
=
+
+
，
即sin
cos
2sin
cos
B
C
A
C
=
，
因为C 为锐角，故cos
0
C >
，可得sin
2sin
B
A
=
，由正弦定理得
2
b
a
=
，故
1
2
a
b =
.
（2）因为
2
AD
DB
=
r
r ，则
2
CD
CA
CB
CD
-
=
-
r
r
r
r
，故3
2
CD
CB
CA
=
+
r
r
r
，
所以
2
2
2
2
9
2
4
4
CD
CB
CA
CB
CA
CB CA
=
+
=
+
+
×
r
r
r
r
r
r r
，
即
2
2
2
2
4
4
cos
8
8
cos
10
a
b
ab
C
a
a
C
+
+
=
+
=
，即
2
2
4
4
cos
5
a
a
C
+
=
①，
由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
c
a
b
abc
C
=
+
-
，即
2
2
5
4
cos
4
a
a
C
-
=
②，
联立①②可得
1
a = ，
1
cos
4
C =
，故
2
15
sin
1 cos
4
C
C
=
-
=
，
因此，
2
1
15
sin
sin
2
4
ABC
S
ab
C
a
C
=
=
=
△
.
15．（2025·辽宁·模拟预测）记
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满cos
cos
2
C
B
c
a
b
= -
+
.
(1)求C；
(2)若
2
2
a
b
=
=
，求
ABC
V
外接圆的半径；
(3)已知角C 的平分线交AB 于点M ，且
1
CM = ，当
4
a
b
+
取最小值时，求
ABC
V
的面积.
【答案】(1) 2π
3
(2)
21
3
(3) 9 3
8
【详解】（1）由已知得
2
cos
cos
0
a
b
C
c
B
+
+
=
，
在
ABC
V
中，由正弦定理得
2sin
sin
cos
sin cos
0
A
B
C
C
B
+
+
=
，
化简得sin cos
cos sin
2sin cos
B
C
B
C
A
C
+
= -
，
即
sin cos
cos sin
sin
sin
2sin cos
B
C
B
C
B
C
A
A
C
+
=
+
=
= -
，
又
0,π
AÎ
，所以sin
0
A >
，
所以
1
cos
2
C = -
，
又
0,π
C Î
，所以
2π
3
C =
.
（2）由（1）和余弦定理得
2
2
2
1
2
cos
4 1 2 2 1
7
2
c
a
b
ab
C
æ
ö
=
+
-
=
+ - ´ ´ ´ -
=
ç
÷
è
ø
，
所以
7
c =
.
设
ABC
V
外接圆的半径为R ，由正弦定理得
7
2 21
2
2π
sin
3
sin 3
c
R
C
=
=
=
，
所以
21
3
R =
.
（3）由（1）得
2π
3
C =
，
因为角C 的平分线交AB 于点M ，
所以
π
3
ACM
BCM
Ð
= Ð
=
，
又
ABC
ACM
BCM
S
S
S
=
+
V
V
V
，
所以1
2π
1
π
1
π
sin
sin
sin
2
3
2
3
2
3
ab
b CM
a CM
×
=
×
+
×
，
又
1
CM = ，所以ab
a
b
=
+
，即1
1
1
a
b
+
= ，
所以
1
1
4
4
4
(
4 )
1
4
5
2
9
b
a
b a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
æ
ö
+
=
+
+
= +
+
+
³
+
×
=
ç
÷
è
ø
，
当且仅当4b
a
a
b
=
，即
2
a
b
=
时
4
a
b
+
取得最小值，
由ab
a
b
=
+
，解得
3
2
b =
，
3
a =
，
所以
1
2π
1
3
3
9 3
sin
3
2
3
2
2
2
8
ABC
S
ab
=
×
=
´ ´
´
=
V
.
16．（25-26 高三上·湖南常德·开学考试）在
ABC
V
中，已知, ,
a b c 分别为三个内角, ,
A B C 的对边，且
3sin
cos
1
0
A
A
-
- =
．
(1)求角A ；
(2)若
6
a =
，求
ABC
V
面积的最大值．
【答案】(1)
π
3
A =
(2)9 3 ．
【详解】（1）因为3sin
cos
1
0
A
A
-
- =
，所以
π
1
sin
6
2
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
又因为
5π
0,π ,
,
6
6
π
6
π
A
A
æ
ö
Î
-
Î -
ç
÷
è
ø
.
所以
π
π
6
6
A-
=
，故
π
3
A =
.
（2）由余弦定理，
2
2
2
2
cos
b
c
bc
A
a
+
-
=
，所以
2
2
36
b
c
bc
+
-
=
．
又因为
2
2
2
b
c
bc
+
³
，所以
2
2
36
b
c
bc
bc
=
+
-
³
，即
36
bc £
.
当且仅当
6
b
c
=
=
时取等号．
所以
ABC
V
面积
1
3
sin
9 3
2
4
S
bc
A
bc
=
=
£
.
所以
ABC
V
面积的最大值为9 3 .
1．（24-25 高三下·山东聊城·阶段练习）已知
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
π
4
B =
，
2 2
a =
，
2 5
b =
，则AC 边上的高h =（ ）
A．3 2
2
B．6 5
5
C．5 3
6
D．7 6
8
【答案】B
【详解】∵
π
4
B =
，
2 2
a =
，
2 5
b =
，
∴由余弦定理得
2
2
2
cos
2
a
c
b
B
ac
+
-
=
，即
2
2
2
2 2
2 5
2
2
2 2 2
c
c
+
-
=
´
´
，
解得
6
c = 或
2
c = - （舍去），又
π
4
B =
，∴
2
sin
2
B =
，
由三角形的面积公式可得1
1
sin
2
2
bh
ac
B
=
，即
sin
6 5
5
ac
B
h
b
=
=
.
故答案为：6 5
5
.
2．（2025·西藏拉萨·二模）如图，四边形ABCD 中，AD
AC
^
，AB
BC
^
，
ACD
ACB
Ð
= Ð
，BD
CD
=
，则
cos
BCD
Ð
= （ ）
A．
3
3
B．1
3
C．2
3
D．
1
2
【答案】B
【详解】设CD
BD
a
=
=
，
ACD
ACB
θ
Ð
= Ð
=
，则
2
cos ,
cos
AC
a
BC
a
q
q
=
=
，
由余弦定理可得cos
cos2
BCD
Ð
q
=
=
2
2
4
2
2
2
cos
1 cos
2
cos
2
a
a
a
a a
q
q
q
+
-
=
×
，
所以
1 1
cos2
cos2
2
2
q
q
+
=
×
，解得
1
cos2
3
q =
．
故选：B．
3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在
ABC
V
中，
4
AB =
，
6
AC =
，
1
cos
8
B =
.若
ABC
V
的角平分线AD 交边BC 于
点D ，则AD =（ ）
考点三
解多三角形问题
A．12
5
B．8 3
5
C．9
5
D．3 2
【答案】D
【详解】在
ABC
V
中，根据余弦定理
2
2
2
2
cos
AC
AB
BC
AB BC
B
=
+
-
×
×
，
已知
4
AB =
，
6
AC =
，
1
cos
8
B =
，设BC
x
=
，则有：
2
2
2
1
6
4
2 4
8
x
x
=
+
- ´ ´ ´
解得
5
x =
或
4
x = - （边长不能为负舍去），所以
5
BC =
.
因为AD 是角平分线，根据角平分线定理：可得
4
2
6
3
BD
AB
DC
AC
=
=
=
.
又因为
5
BD
DC
BC
+
=
=
，所以
2
5
2
2
3
BD =
´
=
+
.
在
ABD
△
中，再根据余弦定理
2
2
2
2
cos
AD
AB
BD
AB BD
B
=
+
-
×
×
，
将
4
AB =
，
2
BD = ，
1
cos
8
B =
代入可得：
2
2
2
1
4
2
2 4 2
16
4
2
18
8
AD =
+
- ´ ´ ´
=
+
-
=
所以
18
3 2
AD =
=
. AD 的长度为3 2
故选：D.
4．（24-25 高三上·江苏苏州·期中）在
ABC
V
中，已知
2
AB =
，
4
AC =
，
60
BAC
Ð
=
°，BC ，AC 边上的两条中线
AM ，BN 相交于点P ，则
MPN
Ð
的余弦值是（ ）．
A．1
14
B．
7
14
C．13
14
D．3 21
14
【答案】B
【详解】由余弦定理得
4 16
2 2 4 cos60
2 3
BC =
+
- ´ ´ ´
° =
，
所以
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，所以三角形ABC 是直角三角形，且
90
ABC
Ð
=
°，
以B 为原点建立如图所示平面直角坐标系，
0,2 ,
3,0 ,
2 3,0 ,
3,1
A
M
C
N
，
3,2 ,
3, 1
MA
NB
= -
= -
-
r
r
，
,
MPN
APB
MA NB
Ð
= Ð
=
r r
，
所以cos
cos
,
MA NB
MPN
MA NB
MA
NB
×
Ð
=
=
×
r r
r r
r
r
1
7
14
7
2
=
=
´
.
故选：B
5．（2025·河南许昌·三模·多选）如图，在平面四边形ABCD 中，
π
2
BAD
Ð
=
，
π
4
ADC
Ð
=
，
5
AC =
，
2
CD =
.
则下列结果正确的是（ ）
A．
3
AD =
B．
2 5
sin
5
CAD
Ð
=
C．
2 5
sin
5
BAC
Ð
=
D．若
2
AB =
，则
ABC
V
中BC 边上高的长度为4 5
5
【答案】ACD
【详解】在ACD
V
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
AC
AD
DC
AD DC
ADC
=
+
-
×
Ð
，
即
2
2
2
5
2
2
2
cos 4
AD
AD
p
=
+
-
´
´
，即
2
2
3
0
AD
AD
-
-
=
，
3
AD
\
=
或
1
AD = - （舍去），
3
AD
\
=
，故A 正确；
在
ADC
△
中，由正弦定理得sin
sin
AC
CD
ADC
CAD
=
Ð
Ð
，
即
5
2
π
sin
sin 4
CAD
=
Ð
，解得
5
sin
5
CAD
Ð
=
，故B 不正确；
CD
AC
<
Q
，
CAD
\Ð
为锐角，
2 5
cos
5
CAD
\
Ð
=
，
又
π
2
BAD
Ð
=
Q
，
π
2 5
sin
sin
cos
2
5
BAC
CAD
CAD
æ
ö
\
Ð
=
- Ð
=
Ð
=
ç
÷
è
ø
.故C 正确；
由
5
cos
cos
sin
2
5
BAC
CAD
CAD
p
æ
ö
Ð
=
- Ð
=
Ð
=
ç
÷
è
ø
，
在
ABC
V
中，由余弦定理得：
2
2
2
2
2
5
2
cos
2
5
2 2
5
5
5
BC
AB
AC
AB AC
BAC
=
+
-
×
×
Ð
=
+
- ´ ´
´
=
，
解得
5
BC =
，
又
ABC
QV
的面积为
1
1
2 5
sin
2
5
2
2
2
5
ABC
S
AB AC
BAC
=
×
×
×
Ð
=
´ ´
´
=
△
，
设
ABC
V
中BC 边上高的长度为h ，可得1
2
2 BC h
×
=
，可得
4
4 5
5
h
BC
=
=
，
ABC
\V
的边BC 上高的大小为4 5
5
.故D 正确.
故选：ACD.
6．（24-25 高三上·吉林长春·阶段练习·多选）如图，在四边形ABCD 中，
o
60
DAB
Ð
=
，
o
120
DCB
Ð
=
，
2
AB =
，
2
BC =
，
2
BA BC
×
=
r r
，则下列结果正确的是（ ）
A．
o
45
ABC
Ð
=
B．
3
AC =
C．
3
BD =
D．ADC
V
的面积为
3
1
4
-
【答案】ACD
【详解】对于A，如图，连接
,
AC BD ，由
cos
2
2 cos
2
BA BC
BA BC
ABC
ABC
×
=
Ð
=
´
Ð
=
r r
r r
，
解得
2
cos
2
ABC
Ð
=
，又
0,π
ABC
Ð
Î
，所以
o
45
ABC
Ð
=
，故A 正确；
对于B，在
ABC
V
中，由余弦定理得，
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
AC =
+
- ´ ´
´
=
，
2
AC
\
=
，故B 错误；
对于C，因为
2
AC
BC
=
=
，
2
AB =
，所以
o
90
ACB
Ð
=
，
o
45
CAB
Ð
=
，
o
30
DCA
\Ð
=
，
o
15
DAC
Ð
=
，
o
135
ADC
Ð
=
，
在
ADC
△
中，由正弦定理，sin
sin
AD
AC
ACD
ADC
=
Ð
Ð
，即
2
1
2
2
2
AD =
解得
1
AD = ，
在
ABD
△
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
BD
AD
AB
AD AB
DAB
=
+
-
×
Ð
，
即
2
1
1
4
2 1 2
3
2
BD = +
- ´ ´ ´
=
，则
3
BD =
，故C 正确；
对于D，在
ADC
△
中，
1
AD = ，
2
AC =
，
o
15
DAC
Ð
=
，
o
o
o
o
o
o
o
2
3
2
1
6
2
sin15
sin 45
30
sin 45 cos30
cos45 sin30
2
2
2
2
4
-
=
-
=
-
=
´
-
´
=
，
o
1
1
6
2
3
1
sin15
1
2
2
2
4
4
ADC
S
AD AC
-
-
\
=
×
=
´ ´
´
=
V
，故D 正确.
故选：ACD.
7．（2025·河北秦皇岛·三模·多选）在平面四边形ABCD 中，
2
AB =
，
1
BC = ，AD
CD
=
，AD
CD
^
，M 为边BC
的中点，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．若A ，B ，C ，D 四点共圆，则
10
2
AD =
B．当
1
cos
10
BAD
Ð
=
时，A ，B ，C ，D 四点共圆
C．若
120
ABC
Ð
=
° ，则ACD
V
的面积为7
4
D．当
ABC
Ð
变化时，DM 长度的最大值为
2
1
+
【答案】AC
【详解】对于选项A，四点共圆性质与勾股定理应用：若A ，B ，C ，D 四点共圆，
当AB
BC
^
时，根据勾股定理可得
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
.已知
2
AB =
，
1
BC = ，则
2
2
2
2
2
1
5
AB
BC
+
=
+
=
，即
2
5
AC =
.
又因为AD
CD
=
且AD
CD
^
，所以
2
2
2
2
2
5
AC
AD
CD
AD
=
+
=
=
，那么
2
5
2
AD =
，解得
10
2
AD
CD
=
=
，故A 正
确.
对于选项B，若A ，B ，C ，D 四点共圆，则
π
BAD
BCD
Ð
+ Ð
=
，所以cos
cos
0
BAD
BCD
Ð
+
Ð
= .
在
ABD
△
中，根据余弦定理
2
2
2
s
2
co
AB
AD
BD
BAD
AB AD
+
-
Ð
=
×
×
；在
BCD
△
中，
2
2
2
cos
2
BC
CD
BD
BCD
BC CD
+
-
Ð
=
×
×
.
已知
2
AB =
，
10
2
AD
CD
=
=
，
1
BC = ，代入可得
2
2
5
5
4
1
2
2
0
10
10
2 2
2 1
2
2
BD
BD
+
-
+
-
+
=
´ ´
´ ´
，解方程可得
2
9
2
BD =
.
再将
2
9
2
BD =
代入
5
9
4
10
1
2
2
cos
10
10
10
2 2
2
BAD
+
-
Ð
=
=
¹
´ ´
，故B 错误.
对于选项C，如图，取AC 中点N，在
ABC
V
中，
2
AB =
，
1
BC = ，连接
,
DN MN .
根据余弦定理
2
2
2
2
2
1
2
cos120
2
1
2 2 1 (
)
7
2
AC
AB
BC
AB BC
°
=
+
-
×
×
=
+
- ´ ´ ´ -
=
，则
7
AC =
.
因为AD
CD
=
，AD
CD
^
，N 为AC 的中点，所以DN
AC
^
，
1
2
DN
AC
=
.那么ACD
V
的面积为
2
1
1
1
1
7
2
2
2
4
4
AC
DN
AC
AC
AC
´
=
´
=
=
，故C 正确.
对于选项D，设
ABC
a
Ð
=
，
BAC
b
Ð
=
，因为M ，N 分别为边
,
BC AC 的中点，
所以
//
MN
AB ，
1
1
2
MN
AB
=
= ，
MNC
BAC
Ð
Ð
b
=
=
.
在
ABC
V
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
5
4cos
AC
AB
BC
AB BC
a
a
+
×
×
=
-
=
-
；
由正弦定理sin
sin
AC
BC
a
b
=
，可得
sin
sin
sin
BC
AC
AC
a
a
b
×
=
=
.
在
MDN
△
中，cos
cos(
)
cos(
)
sin
2
MND
MNC
CND
p
b
b
Ð
=
Ð
+ Ð
=
+
= -
，
由余弦定理得
2
2
2
2
1
1
2
cos
1
2 1
sin
4
2
DM
MN
DN
MN DN
MND
AC
AC
b
=
+
-
×
×
Ð
= +
+ ´ ´
´
1
1
sin
9
1
(5
4cos
)
2 1
cos
sin
4
2
4
AC
AC
a
a
a
a
= +
´
-
+ ´ ´
´
=
-
+
.
令
π
cos
sin
2 sin(
)
4
t
a
a
a
= -
+
=
-
，因为0<
π
<
a
，所以
π
π
3π
4
4
4
<
<
a
-
-
，则
( 1,
2]
t Î -
.
那么
9
4
DM
t
=
+ ，令
9
( )
4
f t
t
=
+ ，
( )
f t 在( 1, 2]
-
上单调递增，
当
2
t =
时，
( )
f t 的最大值
9
8
4 2
1
2 2
1
( 2)
2
4
4
2
f
+
+
+
=
+
=
=
，所以DM 长度的最大值为2 2
1
2
+ ，故D 错
误.
故选：AC.
8．（24-25 高三下·广东广州·阶段练习）已知在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
，且
ABC
V
外接圆半径为1，则边BC 上的中线AM 的最大值为
.
【答案】3
2
【详解】根据题意，由正弦定理得sin cos
3sin sin
sin
sin
0
A
C
A
C
B
C
+
-
-
=
.
即
sin cos
3sin sin
sin
sin
0
A
C
A
C
A
C
C
+
-
+
-
=
.
整理得3sin sin
cos sin
sin
0
A
C
A
C
C
-
-
=
，
又sin
0
C ¹
，所以3sin
cos
1
0
A
A
-
- =
，即
π
1
sin
6
2
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
.
0,
A
p
Î
Q
，
5
,
6
6
6
A
p
p
p
æ
ö
\
-
Î -
ç
÷
è
ø，则
6
6
A
p
p
-
=
，解得
3
A
p
=
.
由正弦定理得
2
2
sin
a
R
A =
=
，则
2sin
2sin
3
3
a
A
p
=
=
=
.
由余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
可得
2
2
3
b
c
bc
=
+
-
，即
2
2
3
b
c
bc
+
=
+ .
2
2
2
b
c
bc
+
³
Q
，
3
2
bc
bc
\
+
³
，即
3
bc £ ，当且仅当
3
b
c
=
=
时取等号.
在AMB
V
，AMC
V
中，利用余弦定理及cos
cos
0
AMB
AMC
Ð
Ð
+
=
，
得
2
2
2
2
2
2
2
3
9
4
4
4
b
c
a
bc
AM
+
-
+
=
=
£
，所以AM 的最大值为3
2 .
故答案为：3
2
9．（24-25 高三下·福建厦门·阶段练习）已知在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C ，所对应的边分别为a ，b ，
c ，且是
2
a =
，sin
sin
2sin
B
C
BAC
+
=
Ð
，则中线AD 长的取值范围是
.
【答案】
13
3, 2
é
ö
÷
ê
÷
ë
ø
【详解】在
ABC
V
中，sin
sin
2sin
B
C
BAC
+
=
Ð
.
2
a =
，D 为BC 的中点，所以
1
BD
CD
=
= .
由正弦定理得
2
4
b
c
a
+
=
=
.
又cos
cos
ADB
ADC
Ð
= -
Ð
，设AD
x
=
，
由余弦定理知
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
x
c
x
b
x
x
+
-
+
-
= -
，得
2
2
2
2
2
b
c
x
+
-
=
，
代入
4
b
c
=
- ，整理得
2
2
3
x
c
=
-
+
.
因为
ABC
V
是锐角三角形，所以
2
2
2
2
2
2
2
4
cos
0
2
4
c
c
a
c
b
B
ac
c
+
-
-
+
-
=
=
>
，
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
2
2
2
2
4
0
2 4
c
c
c
+
-
-
=
>
-
，
2
2
2
cos
2
+
-
Ð
= b
c
a
BAC
bc
2
2
2
4
2
0
2 4
c
c
c c
-
+
-
=
>
-
，
解得3
5
2
2
c
<
<
.
当
2
c =
时，x 取最小值为
3 ；当
3
2
c =
或
5
2
c =
时，x 取最大值为13
2
.
因为
3 5
,
2 2
c
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
13
3, 2
x
é
ö
Î
÷
ê
÷
ë
ø
.
10．（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）如图，平面四边形ABCD 中，
5
AD = ，
3
CD =
，
120
ADC
Ð
=
° ．
ABC
V
的
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
sin
sin
sin
sin
a
b
A
C
c
A
B
+
-
=
-
．
(1)求B ；
(2)求
ABC
V
内切圆半径r 的取值范围．
【答案】(1) π
3
(2)
7 3
0, 6
æ
ù
ç
ú
çè
û
【详解】（1）由
sin
sin
sin
sin
a
b
A
C
c
A
B
+
-
=
-
，则由正弦定理得a
b
a
c
c
a
b
+
-
=
-
，
整理得
2
2
2
a
b
ac
c
-
=
-
，所以由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
a
c
b
B
ac
+
-
=
=
，
又0
π
B
<
<
，则
π
3
B =
．
（2）在ACD
V
中，
5
AD = ，
3
CD =
，
120
ADC
Ð
=
° ，
由余弦定理得
2
2
2
2
cos120
49
AC
AD
DC
AD DC
=
+
-
°
×
×
=
，得
7
b
AC
=
=
，
所以结合（1）得
2
2
2
49
a
c
ac
b
+
-
=
=
，即
2
(
)
49
3
a
c
ac
+
=
+
，得
2
(
)
49
3
a
c
ac
+
-
=
，
在
ABC
V
中，由
1
1
sin
(
)
2
2
ABC
S
ac
B
a
b
c
r
=
=
+
+
×
V
由（1）知
π
3
B =
，
则
2
(
)
49
3
sin
3
3
2
(
7)
7
6
a
c
ac
B
r
a
c
a
b
c
a
c
+
-
´
=
=
=
+ -
+
+
+
+
.
又由正弦定理有
7
14 3
sin
sin
sin
3
3
2
a
c
b
A
C
B
=
=
=
=
，
所以
14 3 sin
3
a
A
=
，
14 3 sin
3
c
C
=
，
又
π
3
B =
，
所以
14 3
14 3
π
14 3
3
1
sin
sin
sin
sin
sin
cos
sin
3
3
3
3
2
2
a
c
A
C
A
A
A
A
A
æ
ö
é
ù
æ
ö
+
=
+
=
+
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ç
÷
è
ø
ë
û
è
ø
14 3
3
3
3
1
π
sin
cos
14 sin
cos
14sin
3
2
2
2
2
6
A
A
A
A
A
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
=
×
+
×
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
又
2π
0, 3
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则
π
π 5π
,
6
6
6
A
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，则
π
1
sin
,1
6
2
A
æ
ö
æ
ù
+
Î
ç
÷
ç
ú
è
ø
è
û ，
所以
π
14sin
(7,14]
6
a
c
A
æ
ö
+
=
+
Î
ç
÷
è
ø
，
所以
3
7 3
(
7)
0,
6
6
r
a
c
æ
ù
=
+ -
Îç
ú
çè
û
．
11．（2025·甘肃庆阳·三模）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，已知c＝2bcosB，C＝2
3
p .
(1)求角B 的大小；
(2)①△ABC 的面积为3 3
4
，求BC 边上的中线AM 的长度；
②△ABC 的周长为4＋2 3 ，求BC 边上的中线AM 的长度.
【答案】(1) π
6
(2)①
21
2
；②
7
【详解】（1）∵
2 cos
c
b
B
=
，则由正弦定理可得sin
2sin
cos
C
B
B
=
，
∴
2π
3
sin 2
sin 3
2
B =
=
，∵
2π
3
C =
，∴
π
0, 3
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
2π
2
0, 3
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
∴
π
2
3
B =
，解得
π
6
B =
．
（2）①由（1）可得
π
6
A =
，即a
b
=
则
2
1
1
3
3 3
sin
2
2
2
4
ABC
S
ab
C
a
=
=
×
=
△
，解得
3
a =
，
则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：
2
2
2π
3
3
21
2
cos
3
3
2
2
3
4
2
2
a
a
b
b
æ
ö
+
- × ×
×
=
+
+
×
=
ç
÷
è
ø
．
②由（1）可得
π
6
A =
，设
ABC
V
的外接圆半径为R，
则由正弦定理可得
π
2 sin 6
a
b
R
R
=
=
=
，
2π
2 sin
3
3
c
R
R
=
=
，
则周长
2
3
4
2 3
a
b
c
R
R
+
+
=
+
=
+
，解得
2
R =
，则
2
a =
，
2 3
c =
，
由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：
2
2
π
2 3
1
2 2 3 1 cos
7
6
+
- ×
× ×
=
．
12．（24-25 高一下·湖南长沙·期末）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
sin
sin
sin
0
b
B
c
C
c
a
A
-
+
-
=
．
(1)求角B；
(2)如图，
ABC
Ð
的角平分线交AC 于点D，且
3
a =
，
4
c =
，
（i）求BD 的长度；
（ii）若AB 边上的中线CE 与BD 相交于点F，求
DFE
Ð
的余弦值．
【答案】(1)
π
3
B =
(2)（i）12 3
7
；（ii）
21
14
-
【详解】（1）在
ABC
V
中，由
sin
sin
sin
0
b
B
c
C
c
a
A
-
+
-
=
及正弦定理，得
2
2
0
b
c
c
a a
-
+
-
=
，
即
2
2
2
a
c
b
ac
+
-
=
，
由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
2
a
c
b
ac
B
ac
ac
+
-
=
=
=
，而0
π
B
<
<
，所以
π
3
B =
.
（2）（i）已知
ABC
Ð
的角平分线交AC 于点D，则
π
6
ABD
CBD
Ð
= Ð
=
，
又在
ABC
V
中，
ABC
ABD
CBD
S
S
S
D
D
D
=
+
，即1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
ac
B
c BD
ABD
a BD
CBD
=
×
×
Ð
+
×
×
Ð
，
即1
3
1
1
1
1
3 4
4
3
2
2
2
2
2
2
BD
BD
´ ´ ´
=
´ ´
´
+
´ ´
´
，解得
12 3
7
BD =
.
（ii）因为CE 为
ABC
V
的中线，
所以
1
1
1
2
2
2
2
CE
CA
CB
CB
BA
CB
BA
BC
=
+
=
+
+
=
-
r
r
r
r
r
r
r
r
，
又
2
2
2
2
1
1
2
4
6
9
7
4
4
CE
BA
BC
BA
BA BC
BC
=
-
=
-
×
+
=
-
+
=
r
r
r
r
r r
r
，则
7
CE =
r
，
因为
π
4,
3,
3
AB
BC
ABC
=
=
Ð
=
，BD 为
ABC
Ð
的角平分线，
在
ABD
△
中，因为sin
sin
AD
AB
ABD
BDA
=
Ð
Ð
，得到
π
sin
sin 6
AD
AB
BDA
=
Ð
①，
在BDC
V
中，因为sin
sin
CD
BC
DBC
BDC
=
Ð
Ð
，得到
π
sin
sin 6
CD
BC
BDC
=
Ð
②，
又sin
sin
BDA
BDC
Ð
=
Ð
，由①¸ ②得到
4
3
AD
AB
DC
BC
=
=
，
所以
4
4
3
4
7
7
7
7
BD
BA
AD
BA
AC
BA
BC
BA
BA
BC
=
+
=
+
=
+
-
=
+
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
，
因为
3
4
1
2
7
7
2
BD CE
BA
BC
BA
BC
æ
ö
×
=
+
×
-
ç
÷
è
ø
r r
r
r
r
r
2
2
1 3
2
8
14
BA
BA BC
BC
=
-
×
-
r
r r
r
1
1
18
3 16
2 4 3
8 9
14
2
7
æ
ö
=
×
- × × ×
- ×
= -
ç
÷
è
ø
，
所以
18
21
7
cos
cos
,
14
12 3
7
7
BD CE
DFE
BD CE
BD
CE
-
×
Ð
=
=
=
= -
×
×
r r
r r
r
r
，
即
DFE
Ð
的余弦值为
21
14
-
.
13．（24-25 高一下·黑龙江·期末）如图四边形ABCD 中，
2
8,
6
BC
CD
AB
AD
=
=
=
=
(1)若
ABC
V
的面积为8 5 ，且B 为锐角，求AC 的长度．
(2)试问2cos
cos
B
D
-
是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由，
(3)求四边形ABCD 面积的最大值．
【答案】(1)6；
(2)是，2cos
cos
1
B
D
-
= ；
(3) 24 2 ；
【详解】（1）由题设1
sin
8 5
2 AB BC
B
×
=
，又
8,
6
BC
AB
=
=
，可得
5
sin
3
B =
，
又B 为锐角，则
2
cos
3
B =
，故
2
2
2
cos
36
64
64
6
AC
AB
BC
AB BC
B
=
+
-
×
=
+
-
=
；
（2）由题设
2
2
2
cos
2
AD
CD
AC
D
AD CD
+
-
=
×
，
2
2
2
cos
2
AB
BC
AC
B
AB BC
+
-
=
×
，
又
2
8,
6
BC
CD
AB
AD
=
=
=
=
，则
2
52
cos
48
AC
D
-
=
，
2
100
cos
96
AC
B
-
=
，
所以2cos
cos
B
D
-
2
2
100
52
2
1
96
48
AC
AC
-
-
=
´
-
= ，为定值；
（3）由
1
1
sin
sin
2
2
ACD
ABC
S
S
S
AD CD
D
AB BC
B
=
+
=
×
+
×
V
V
12(sin
2sin
)
D
B
=
+
，
令
sin
2sin
0
m
D
B
=
+
>
，则
2
2
2
sin
4sin
4sin
sin
m
D
B
B
D
=
+
+
，
又2cos
cos
1
B
D
-
= ，则
2
2
1
cos
4cos
4cos
cos
D
B
B
D
=
+
-
，
所以
2
1
5
4cos(
)
m
B
D
+ =
-
+
，
当cos(
)
1
B
D
+
= - ，即
π
B
D
+
=
时，最大
2
1
9
m + =
，此时
max
2 2
m
=
，
所以四边形ABCD 面积的最大值
12 2 2
24 2
S =
´
=
.
