解析几何：三角形面积问题、四边形面积问题、周长问题专项训练
1．（24-25 高二下·河南鹤壁·期末）已知双曲线
2
2
2
:
1
0
y
E x
b
b
-
=
>
的左顶点为A ，右焦点为F .过点F 且垂直于x
轴的直线与E 交于B ，C 两点，其中B 位于第一象限，且AB
AC
^
.
(1)求E 的方程；
(2)过点F 且斜率为1
3 的直线l 与E 交于M ，N 两点，求BMN
V
的面积.
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2) 27 10
26
【详解】（1）由题可知
1,0
A -
，设
,0
0
F c
c >
.
因为直线BC 与x 轴垂直，所以直线BC 的方程为x
c
=
，与E 的方程联立得
2
y
b
= ±
，
由AB
AC
^
，可知
ABC
V
是等腰直角三角形，所以
2
1
b
c
= +
，
即
2
1
1
c
c
- = + ，解得
2
c =
（负值舍去），所以
2
2
1
3
b
c
=
- =
，
所以E 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）由（1）可得
2,0
F
，
1
:
2
3
l y
x
=
-
，
由
2
2
1
2 ,
3
3
3
0,
y
x
x
y
ì
=
-
ïí
ï
-
-
=
î
得
2
26
4
31
0
x
x
+
-
=
，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，且
1
2
x
x
<
，则
1
2
2
13
x
x
+
= -
，
1
2
31
26
x x = -
.
所以
1
2
1
2
BMN
MFB
NFB
S
S
S
BF x
x
=
-
=
-
V
V
V
.
由（1）可得，
3
BF =
，
又
2
2
1
2
1
2
1
2
4
4 26 31
9 10
4
26
13
x
x
x
x
x x
+ ´
´
-
=
+
-
=
=
，
所以
1
9 10
27 10
3
2
13
26
BMN
S
=
´ ´
=
△
.
考点一
三角形面积问题
2．（24-25 高二下·云南昆明·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左､右焦点分别为
1F ，
2F ，过点
1F 作直线l
与C 交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方）.当l 的方程为
3
1
y
x
=
+
时，
2
2
AF =
.
(1)求C 的方程；
(2)若点M 为线段AB 的中点，求
1
2
MF F
△
面积的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
(2)
3
4
.
【详解】（1）当l 的方程为
3
1
y
x
=
+
时，
1
2
π
3
AF F
Ð
=
，则
1
1,0
F -
，
1
2
2
2
F F
AF
=
=
，
故
1
2
AF F
△
为等边三角形，则
1
2
2
4
a
AF
AF
=
+
=
，解得
2
a =
，
则
2
4 1
3
b =
- =
，故C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）设点M 的坐标为
,
M
M
x
y
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
由题意知：直线AB 斜率存在且不为0 ，设直线AB 的方程为：
1
x
my
=
- （
0
m ¹
），
联立
2
2
1
4
3
1
x
y
x
my
ì
+
=
ïí
ï =
-
î
，消x 得
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
+
-
-
=
，且
2
Δ
144
1
0
m
=
+
>
，
故
1
2
2
6
3
4
m
y
y
m
+
=
+
，
故
2
3
3
4
M
m
y
m
=
+
，所以
1 2
2
2
3
3
1
3
3
3
2
4
2
3
4
3
4
4
4 3
3
MF F
m
m
S
m
m
m
m
=
× ×
=
=
£
=
+
+
+
V
，
当且仅当
2 3
3
m =
时等号成立，所以
1
2
MF F
△
面积的最大值为
3
4
.
3．（24-25 高二下·陕西西安·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，且长轴长为4．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，求三角形OAB 面积的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2) 3
2
【详解】（1）由题意可知：
2
2
2
2
4
1
2
a
b
c
a
c
e
a
ì
ï
=
+
ï
=
í
ï
ï =
=
î
，解得
2
3
1
a
b
c
=
ì
ï =
í
ï =
î
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）由题意可知：
1,0
F -
，直线l 的斜率可以不存在，但不为0，且直线l 必与椭圆相交，
设直线l：
1
x
my
=
- ，
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
联立方程
2
2
1
1
4
3
x
my
x
y
=
-
ìïí
+
=
ïî
，消去x 可得
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
+
-
-
=
，
则
1
2
1
2
2
2
6
9
,
3
4
3
4
m
y
y
y y
m
m
+
=
= -
+
+
，
可得
2
2
1
2
2
2
2
6
36
12
1
3
4
3
4
3
4
m
m
y
y
m
m
m
+
æ
ö
-
=
+
=
ç
÷
+
+
+
è
ø
，
则三角形OAB 面积
2
2
1
2
2
2
1
1
12
1
6
1
1
2
2
3
4
3
4
OAB
m
m
S
OF y
y
m
m
+
+
=
-
=
´ ´
=
+
+
V
，
令
2
1
1
t
m
=
+ ³ ，则
2
2
1
m
t
=
- ，
可得
2
6
2
1
3
1
3
OAB
S
t
t
t
t
=
+
+
=
△
，
因为
1
3
f t
t
t
= +
在
1,+¥ 内单调递增，则
4
1
3
f t
f
³
=
，
可得
2
3
4
2
3
OAB
S
£
=
△
，当且仅当
1,
0
t
m
=
=
时，等号成立，
所以角形OAB 面积的最大值为3
2 .
4．（24-25 高二下·甘肃白银·期末）已知O 为坐标原点，P 为圆
2
2
20
x
y
+
=
上的动点，过点P 作直线l 垂直x 轴于点
Q ，点M 满足
2
QP
QM
=
uuur
uuuur
．
(1)求动点M 的轨迹C 的方程；
(2)若直线:
(
0)
l y
x
m m
=
+
¹
与曲线C 交于
,
A B 两点，求三角形OAB 面积的最大值．
【答案】(1)
2
2
2
20
x
y
+
=
(2)5 2
【详解】（1）设点
0
0
,
,
( , )
P x
y
M x y ，则
0,0
Q x
，由
2
QP
QM
=
uuur
uuuur
，可得
0
0
0
2
,
2(
0)
x
x
y
y
=
-
=
-
，即
0
0
,
2
x
x
y
y
=
=
，
2
2
2
2
0
0
20,
2
20
x
y
x
y
+
=
\
+
=
Q
．
（2）将曲线C 与直线l 联立得
2
2
2
20,
,
x
y
y
x
m
ì
+
=
í
=
+
î
消去y 得
2
2
3
4
2
20
0
x
mx
m
+
+
-
=
．
Q直线l 与曲线C 交于A，B 两点，设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
2
2
Δ
16
4 3
2
20
0
m
m
\
=
- ´ ´
-
>
．
又
2
2
1
2
1
2
4
2
20
0,
0
30,
,
3
3
m
m
m
m
x
x
x x
-
¹
\ <
<
+
= -
=
Q
．
Q点O 到直线
:
0
AB x
y
m
-
+
=
的距离
|
|
2
m
d =
，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
4
AB
k
x
x
k
x
x
x x
é
ù
=
+
-
=
+
+
-
ë
û
2
2
2
16
2
20
16
2
4
30
9
3
9
m
m
m
æ
ö
-
=
´
- ´
=
-
ç
÷
è
ø
，
2
1
16 30
2
9
2
OAB
m
S
m
\
=
-
´
V
，
2
2
2
2
30
2
2
30
5 2
3
3
2
OAB
m
m
S
m
m
+
-
=
´
-
£
´
=
V
，
当且仅当
2
2
30
m
m
=
-
，即
2
15
m =
时取等号．
\三角形OAB 面积的最大值为5 2 ．
5．（24-25 高二上·安徽黄山·期末）已知顶点在坐标原点O ，焦点在坐标轴上的抛物线过点
2,4
P
．
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)过点P 作直线l 交抛物线于另一个交点Q （Q 在第四象限），设直线
,
OP PQ 的斜率分别为
1
2
,
k k ，若
1
2
2
0
k
k
+
=
，
求
OPQ
△
的面积．
【答案】(1)抛物线的标准方程为
2
8
y
x
=
，准线方程为
2
x = - 或抛物线的标准方程为
2x
y
=
，准线方程为
1
4
y = -
.
(2)48
【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为
2
2
,
0
y
px p
=
>
，
将点
2,4
P
代入方程可得
2
4
2
2
p
=
´ ，解得
4
p =
，
此时抛物线的标准方程为
2
8
y
x
=
，准线方程为
2
x = - ；
当抛物线开口向上时，设其方程为
2
2
,
0
x
py p
=
>
，
将点
2,4
P
代入方程可得
2
2
2
4
p
=
´ ，解得
1
2
p =
，
此时抛物线的标准方程为
2x
y
=
，准线方程为
1
4
y = -
.
综上，抛物线的标准方程为
2
8
y
x
=
，准线方程为
2
x = - 或
2x
y
=
，准线方程为
1
4
y = -
.
（2）根据题意，因为点Q 在第四象限，所以抛物线的标准方程为
2
8
y
x
=
，准线方程为
2
x = - .
画出图象为：
由题意可知
2k 存在，
1
4
0
2
2
0
k
-
=
=
-
，因为
1
2
2
0
k
k
+
=
，所以
2
1
k = - .
设点
2
0
0
,
8
y
Q
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
，所以
0
2
2
0
4
1
2
8
y
k
y
-
=
= -
-
，解得
0
4
y =
（舍去）或
0
12
y = -
.
直线PQ 的方程为
4
2
y
x
-
= -
-
，即
6
0
x
y
+
-
=
.
所以A 点的坐标为
6,0 .
所以OPQ
V
的面积为
1
6
4 12
48
2
OPQ
OPA
OQA
S
S
S
=
+
=
´ ´
+
=
V
V
V
.
6．（24-25 高二下·江苏南京·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
3
，左、右顶点分别为A 、B ，
点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，ABP
V
面积的最大值为
6 ．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线AP 、BQ 的斜率分别为
1k 、
2k ，且
1
2
2
k
k
=
．
①求证：直线PQ经过定点；
②设
PQB
△
和
PQA
△
的面积分别为
1S 、
2S ，求
1
2
|
|
S
S
-
的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
3
2
x
y
+
=
(2)①证明见解析；②8 3
9
【详解】（1）当点P 为椭圆C 短轴顶点时，ABP
V
的面积取最大值，
且最大值为1
1
|
|
2
6
2
2
× =
´
=
=
AB b
ab
ab
，
由题意可得
2
2
2
3
3
6
c
a
ab
c
a
b
ì
=
ï
ïï
=
í
ï
=
-
ï
ïî
，解得
3
2
1
a
b
c
ì =
ïï =
í
ï =
ïî
，
\椭圆C 的标准方程为
2
2
1
3
2
x
y
+
= ．
（2）
若直线PQ的斜率为零，则点P 、Q 关于y 轴对称，则
1
2
k
k
= -
，不合乎题意；
设直线PQ的方程为x
ty
n
=
+
，由于直线PQ不过椭圆C 的左、右顶点，则
2
n ¹ ± ，
联立
2
2
2
3
6
x
ty
n
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
，消去x 可得
2
2
2
(2
3)
4
2
6
0
+
+
+
-
=
t
y
tny
n
，
由
2
2
2
2
2
2
16
4(2
3)(2
6)
24(2
3)
0
t n
t
n
t
n
D =
-
+
-
=
-
+
>
，得
2
2
2
3
0
t
n
-
+
>
，
由韦达定理可得
1
2
2
4
2
3
+
= -
+
tn
y
y
t
，
2
1
2
2
2
6
2
3
-
=
+
n
y y
t
，
则
2
1
2
1
2
3
(
)
2
-
=
+
n
ty y
y
y
n
，
\
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
3
(
)
(
3)
3
(
3)
(
3)
2
3
3
(
3)
(
3)
(
)
(
3)
2
-
+
+
-
-
+
-
+
-
=
×
=
=
=
-
+
+
+
+
+
+
+
+
n
y
y
n
y
k
y
x
ty
n
y
ty y
n
y
n
n
k
y
x
ty
n
y
ty y
n
y
y
y
n
y
n
1
2
1
1
2
2
( 3
)(
)
2
3
3
2
3
( 3
)(
)
2
3
+
+
-
-
-
=
×
=
=
+
-
+
+
+
n y
y
ny
n
n
n
n y
y
ny
n
，
解得
3
3
n = -
，
即直线PQ的方程为
3
3
=
-
x
ty
，故直线PQ过定点
3
(
,0)
3
M -
．
②由韦达定理可得
1
2
2
4 3
3(2
3)
+
=
+
t
y
y
t
，
1
2
2
16
3(2
3)
= -
+
y y
t
，
\
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
3
1
3
4
|
|
||
|
|
|| |
2
4 3
3
3
|
(
)
4
2
+
-
=
-
×
-
=
+
-
=
×
+
t
S
S
AM
BM
y
y
y
y
y y
t
，
Q
2
0
t ³
，令
2
3
4
+
=
t
m ，则
2
m≥
，
\
2
2
1
2
|
3
|
1
2
4 3
4
1
-
=
=
+
+
S
S
m
m
m
m
，
Q函数
1
( )
2
f x
x
x
=
+
在[2,
)
+¥ 上单调递增，
\
1
2
3
9
8
|
|
-
£
S
S
，当且仅当
0
t =
时，等号成立，
因此，
1
2
|
|
S
S
-
的最大值为8 3
9
．
7．（24-25 高二下·广东广州·期中）如图所示，椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
中，
0
0
2,
,
ab
P x
y
=
是椭圆上任一点，
O 是坐标原点，
2
PO
OM
=
uuur
uuuur
，过M 作直线交椭圆于
,
A B 两点，且AM
BM
=
，当P 在短轴端点时，
6
AB =
．
(1)求,a b 的值，并证明直线AB 的方程为
0
0
2
1
0
x x
y y
+
+ =
；
(2)探索PAB
V
的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
2
a =
，
1
b = ；证明见解析
(2)是，3 6
4
【详解】（1）P 在短轴端点时，
2
M
b
y
=
，由
2
2
2
24
1
b
x
a
b
+
= ，解得
3
2
x
a
= ±
，
所以
3
6
AB
a
=
=
，得
2
a =
，
1
b = ．
此时椭圆方程为
2
2
1
2
x
y
+
=
因为
2
PO
OM
=
uuur
uuuur
，所以
0
0
,
2
2
x
y
M æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø ，
当
0,1
P
，即
0
0
0,
1
x
y
=
= 时，
1
0,
2
M æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，此时直线AB 的方程为
1
2
y = -
，即2
1
0
y + =
；
当
0, 1
P
-
，即
0
0
0,
1
x
y
=
= - 时，
1
0, 2
M æ
ö
ç
÷
è
ø，此时直线AB 的方程为
1
2
y =
，即2
1
0
y
-
+ =
；
当
2,0
P
，即
0
0
2,
0
x
y
=
=
时，
2 ,0
2
M æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，此时直线AB 的方程为
2
2
x = -
，即
2
1
0
x + = ；
当
2,0
P -
，即
0
0
2,
0
x
y
= -
=
时，
2 ,0
2
M æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，此时直线AB 的方程为
2
2
x =
，即
2
1
0
x
-
+ =
；
以上四种情况均符合直线AB 的方程为
0
0
2
1
0
x x
y y
+
+ =
.
当
0
0
x ¹
且
0
0
y ¹
时，
0
0
OM
y
k
x
=
，由点差法得
0
0
1
2
OM
AB
AB
y
k
k
k
x
×
=
×
= -
，所以
0
0
2
AB
x
k
y
= -
，
又因为直线AB 过点
0
0
,
2
2
x
y
M æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø ，所以直线AB 方程为
0
0
0
0
2
2
2
y
x
x
y
x
y
æ
ö
+
= -
+
ç
÷
è
ø ，即
2
2
0
0
0
0
0
2
2
4
x x
x
y
y
y
y
+
= -
-
．①
因为点
0
0
,
P x
y
在椭圆上，所以
2
2
0
0
2
2
x
y
+
=
，
代入①得
0
0
0
2
2
4
x x
y
y
y
= -
-
，即
0
0
2
1
0
x x
y y
+
+ =
．
（2）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
当
2,0
P
时，
2 ,0
2
M æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，此时
1
2
2
2
x
x
=
= -
，代入椭圆方程得
1
2
3
2
y
y
=
=
，
所以
3
AB =
，
1
3 2
3 6
3
2
2
4
PAB
S
=
´
´
=
V
，
同理，当
2,0
P -
时，
3
AB =
，
1
3 2
3 6
3
2
2
4
PAB
S
=
´
´
=
V
，
当
0
0
y ¹
时，
因为点
0
0
,
P x
y
在椭圆上，所以
2
2
0
0
2
2
x
y
+
=
，②
联立
2
2
0
0
1
2
2
1
0
x
y
x x
y y
ì
+
=
ïí
ï
+
+ =
î
得
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
1 4
0
x
y
x
x x
y
+
+
+ -
=
，
将②式代入得
2
2
0
0
2
2
1
4
0
x
x x
y
+
+ -
=
，得
1
2
0
2
0
1
2
1 4
2
x
x
x
y
x x
+
= -
ìïí
-
=
ïî
，
所以
2
2
1
2
0
0
0
8
2
6
x
x
x
y
y
-
=
+
-
=
，
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
1
2
0
2
0
0
4
6
4
1
6
4
2
2
x
y
x
y
x
AB
x
x
y
y
y
+
+
=
+
-
=
´
=
，
0
0
,
P x
y
到
0
0
2
1
0
x x
y y
+
+ =
的距离
2
2
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
2
1
3
4
4
x
y
d
x
y
x
y
+
+
=
=
+
+
，
所以
2
2
0
0
2
2
0
0
6
4
1
1
3
3 6
2
2
2
4
4
PAB
x
y
S
AB
d
x
y
+
=
´
´
=
´
´
=
+
V
，
所以PAB
V
的面积为定值3 6
4
．
8．（24-25 高二下·湖南郴州·期末）已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的一条渐近线为y
x
=
，且右焦点F 到这条
渐近线的距离为2 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)O 为坐标原点，过点F 的直线l 与双曲线的右支交于A、B 两点，与渐近线交于C、D 两点，A 与C 在x 轴的上
方，B 与D 在x 轴的下方．设
1S 、
2S 分别为
AOC
△
的面积和BOD
V
的面积，求
1
2
S
S
+
的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
2
2
x
y
-
=
(2) 4
2 2
-
．
【详解】（1）设双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的焦距为2c，
点
,0
F c
到渐近线
0
bx
ay
-
=
的距离为
2
2
2
bc
a
b
=
+
，
因
2
2
2
a
b
c
+
=
，代入解得
2
b =
，
又双曲线的一条渐近线为y
x
=
，
2
a
b
\
=
=
故双曲线的方程为：
2
2
1
2
2
x
y
-
= ；
（2）
如图，设
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
,
B x
y
，设直线l 的方程为
2
x
t y
=
+
，
联立直线与双曲线的方程
2
2
2
2
x
ty
x
y
=
+
ì
í
-
=
î
，消去x 可得：
2
2
1
4
2
0
t
y
ty
-
+
+
=
，
2
2
2
2
1
1
2
2
1
0
Δ
16
8
1
8
8
0
4
1
t
t
t
t
t
y
y
t
ì
- ¹
ïï
=
-
-
=
+
>
í
ï
-
+
=
ï
-
î
，
Q直线与双曲线右支交于两点，故
1
2
2
2
0
1
y y
t
=
<
-
，解得1
1
t
- < < ，
则
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2 2(1
)
1
1
4
1
t
AB
t
y
y
t
y
y
y y
t
+
=
+
-
=
+
×
+
-
=
-
，
原点O 到直线AB 的距离
2
2
1
d
t
=
+
，
设
3
3
,
C x
y
，
4
4
,
D x
y
，联立
2
2
2
0
x
ty
x
y
=
+
ì
í
-
=
î
消去x 可得：
2
2
1
4
4
0
t
y
ty
-
+
+
=
，
则
2
2
2
16
16(
1)
16
0
t
t
D =
-
-
=
>
，
3
4
2
4
1
t
y
y
t
-
+
=
- ，
3
4
2
4
1
y y
t
=
- ，，
则
2
2
2
2
3
4
3
4
3
4
2
4 1
1
1
4
1
t
CD
t
y
y
t
y
y
y y
t
+
=
+
-
=
+
+
-
=
-
而
1
2
1
2
COD
AOB
S
S
S
S
CD
AB
d
+
=
-
=
-
×
V
V
2
2
2
2
2
2
2
1
4 1
2 2(1
)
4
2 2
2
(
)
1
1
1
1
t
t
t
t
t
t
t
+
+
-
+
=
´
-
=
-
-
-
+
，1
1
t
- < < ，
令
2
2
2
2,2
m
t
é
=
+
Îë
，则
1
2
2
2
4
2
8
4
4
4
4
2 2
2
4
2
2
2
1
2
m
m
S
S
m
m
m
-
-
+
=
=
=
£
=
-
-
-
+
+
-
，
当
2
m =
，即
0
t =
时取到等号．
综上所述，
1
2
S
S
+
的最大值为4
2 2
-
．
1．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，且过点
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若斜率为
1
2 的直线l 与椭圆C 交于
,
M N 两点，且点M 在第一象限，点
,
A B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，求
四边形AMBN 面积S 的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)2 2
【详解】（1）由题意可得：
2
2
3
2
c
a
b
e
a
a
-
=
=
=
，解得
2
a
b
=
，
由椭圆C 过点
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，得
2
2
1
3
1
4
a
b
+
= ，联立解得
2
a =
，
1
b = ，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）由题意可设
1
:
2
l y
x
m
=
+
，
因点M 在第一象限，则1
1
m
- <
< ，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，点A ，B 到直线l 的距离分别为
1d ，
2
d ，
由
2
2
1
4
1
2
x
y
y
x
m
ì
+
=
ïïí
ï
=
+
ïî
，消y 可得
2
2
2
2
2
0
x
mx
m
+
+
-
=
，
2
2
2
Δ
4
4 2
2
8
4
m
m
m
=
-
-
=
-
，当1
1
m
- <
< 时，
0
D >
，
所以
1
2
2
x
x
m
+
= -
，
2
1
2
2
2
x x
m
=
- ，
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
1
5
1
4
8
4
5
2
2
2
MN
x
x
x x
m
m
æ
ö
=
+
+
-
=
×
-
=
×
-
ç
÷
è
ø
，
考点二
四边形面积问题
2,0
A
Q
，
0,1
B
，直线l 的一般式方程：
2
2
0
x
y
m
-
+
=
，
所以
1
2
2
5
m
d
+
=
，
2
2
2
5
m
d
-
=
，
所以
1
2
4
5
d
d
+
=
，
所以
2
2
1
2
1
1
4
5
2
2 2
2
2
5
AMN
BMN
S
S
S
MN d
d
m
m
=
+
=
+
=
´
×
-
´
=
-
V
V
，
当
0
m =
时，S 有最大值为2 2 .
2．（24-25 高二下·湖南长沙·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，焦距为2 .
(1)求E 的方程;
(2)过椭圆E 的右焦点F 作两条相互垂直的直线AB ，CD 与曲线E 分别交于
, ,
,
A B C D 四点，设线段
,
AB CD 的中点
分别为
,
M N .
(i)证明：直线MN 过定点；
(ii) 求四边形ACBD 面积的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
= ；
(2)(i)证明见解析；(ii) 16 ,2
9
é
ù
ê
ú
ë
û
.
【详解】（1）由题意知椭圆过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，则
2
2
1
1
1
2
a
b
+
= ，
因为
1
c = ，所以
2
2
1
a
b
=
+ ，
联立方程组
2
2
2
2
1
1
1
1
2
a
b
a
b
ì
=
+
ïí
+
=
ïî
，解得
2
a =
，则
1
b = ，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
= .
（2）
(i) 当两条直线的斜率都存在时，不妨设
1
:
1,
:
1
AB x
my
CD x
y
m
=
+
= -
+ ，
设
1
1
2
2
3
3
4
4
,
,
,
,
A x y
B x
y
C x
y
D x
y
，
，
，
，
联立直线AB 与椭圆E 的方程，得
2
2
1
2
2
x
my
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
，
消去x 整理得
2
2
2
2
1
0
m
y
my
+
+
- =
，易知
0
D >
，
根据韦达定理可知
1
2
2
2
2
m
y
y
m
-
+
=
+
，
1
2
2
1
2
y y
m
-
=
+
，
1
2
2
2
2
1
2
2
2
M
M
M
y
y
m
y
x
my
m
m
+
-
=
=
=
+ =
+
+
，
，
即
2
2
2
,
2
2
m
M
m
m
-
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø ，同理
2
2
2
2
,
2
1 2
1
m
m
N
m
m
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø
，
所以
2
2
2
2
2
2
3
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
MN
m
m
m
m
m
k
m
m
m
m
-
-
+
+
=
=
-
-
+
+
，
所以
2
2
2
3
2
:
2
2
2
1
m
m
MN y
x
m
m
m
-
æ
ö
-
=
-
ç
÷
+
+
-
è
ø ，
令
0
y =
，得
2
3
x =
，此时直线MN 恒过2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知
:
0
MN y =
也经过2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
所以直线MN 过定点2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø .
(ii) 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知
2
ACBD
S
=
，
当两条直线的斜率都存在时，不妨设
1
:
1;
:
1
AB x
my
CD x
y
m
=
+
= -
+ ，
由(i)得：
2
2
2
1
2
1
1
2 2 2
m
AB
m
y
y
m
+
=
+
-
=
+
，同理
2
2
1
2 2 2
1
m
CD
m
+
=
+
，
则
2
2
4
2
2
4
2
4
2
4
2
4
1
4
2
1
1
2
2
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
ACBD
m
m
m
m
S
AB CD
m
m
m
m
m
m
+
+
+
=
=
=
=
-
+
+
+
+
+
+ ，
因为
2
4
2
2
2
2
2
2
2
5
2
2
5
m
m
m
m
m
=
+
+
+
+
，
根据基本不等式
2
2
2
2
2
2
2
2 2
4
m
m
m
m
+
³
×
=
，当且仅当
2
1
m = 时等号成立，
所以
2
4
2
2
2
2
2
2
16
0,
2
,2
2
9
2
5
2
9
2
5
ACBD
m
S
m
m
m
m
æ
ù
é
ö
Î
=
-
Î
ç
÷
ú
ê
+
+
è
û
ë
ø
+
+
，
，
综上所述，四边形ACBD 面积的取值范围为
16 ,2
9
é
ù
ê
ú
ë
û
.
3．（24-25 高二下·河南濮阳·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，上顶点为
0,1
M
.
(1)求E 的方程；
(2)过点
2,1
N -
的直线l 与E 交于
,
A B 两点，点A 在第二象限，点B 在x 轴的下方，直线
,
MA MB 分别与x 轴交于点
,
C D .
（ⅰ）证明：NC
ND
=
；
（ⅱ）求四边形ACBD 面积的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
= ；
(2)（ⅰ）证明见解析；（2）4 .
【详解】（1）由已知
1
b = ，
3
2
c
a =
，结合
2
2
2
a
b
c
=
+
，∴
2
a =
，
1
b = ，
故椭圆E 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）
（ⅰ）由过点
2,1
N -
的直线与椭圆E 交于不同的两点
,
A B ，
可知直线AB 的斜率一定存在且不为零，
设直线AB 的方程为
1
(
2)
y
k x
- =
+
，即
2
1
y
kx
k
=
+
+ ，设
1
1
1
1
,
,
0,
0
A x y
x
y
，
2
2
2
,
,
0
B x
y
y <
，
联立方程组
2
2
2
1
4
4
0
y
kx
k
x
y
=
+
+
ì
í
+
-
=
î
，可得
2
2
2
1
4
8 (2
1)
16
16
0
k
x
k
k
x
k
k
+
+
+
+
+
=
，
2
2
2
2
Δ
64
(2
1)
16 1
4
2
1
1
64
0
k
k
k
k
k
é
ù
=
+
-
+
+
-
= -
>
ë
û
，即
0
k <
，
又
1
2
2
8 (2
1)
1
4
k
k
x
x
k
-
+
+
=
+
，
1
2
2
16 (
1)
1
4
k k
x
x
k
+
×
=
+
又
1
1
1
1
1
:
1,
1
AM
C
y
x
l
y
x
x
x
y
-
=
+ \
= -
，同理
2
2
1
D
x
x
y
= -
，
故
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
8
1
1 2
1
1
2
2
2(
)
4
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
k
x
x
k
x x
x
x
æ
ö
é
ù
+
+
+
=
+
= -
+
= -
-
ç
÷
ê
ú
-
-
+
+
+
+
+
è
ø
ë
û
2
2
2
8 (2
1)
2
8
1
1
4
2
16 (
1)
8 (2
1)
2
4
1
4
1
4
k
k
k
k k
k
k
k
k
k
-
+
é
ù
´
+
ê
ú
+
= -
-
ê
ú
+
-
+
ê
ú
+ ´
+
+
+
ë
û
1
8 16
2
4
4
k
k
-
æ
ö
= -
-
= -
ç
÷
è
ø
，
所以CD 中点的横坐标为2
- ，故CD 的中垂线过N ，则NC
ND
=
.
（ⅱ）故
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2 1
1
ACBD
D
C
x
x
S
x
x
y
y
y
y
y
y
=
-
´
-
=
-
´
-
-
-
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
x
x
k x
x
kx
k
kx
k
=
-
´
-
-
-
-
-
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
2
4
x
x
x x
x x
x
x
+
-
=
+
+
+
2
2
2
2
16
(2
1)
16 (
1) 4
1
16
16
16
4
1
1
4
1
2 4
4
4
k
k
k k
k
k
k
k
k
k
+
-
+
+
-
=
=
=
£
=
+
æ
ö
+
-
+ -
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
1
4k
k
-
= -
即
1
2
k = -
时，等号成立，
故四边形ACBD 面积的最大值为4.
4．（2025·江苏南通·模拟预测）已知椭圆
2
C 以双曲线
2
2
1 :
1
4
x
C
y
-
= 的实轴为长轴，且过点
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
(1)求椭圆
2
C 的标准方程；
(2)若直线
1
:
2
l y
kx
t k
æ
ö
=
+
¹ ±
ç
÷
è
ø 与双曲线
1
C 交于
,
A B 两点，与椭圆
2
C 交于
,
C D 两点，直线
1
1 :
l
y
k x
=
平分线段
2
2
,
:
AB l
y
k x
=
平分线段CD .
（i）求
2
1
k
k 的值；
（ii）求直线1
2
,
l l 与椭圆
2
C 的交点构成的四边形面积的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
v
+
=
(2)（i）
2
1
3
k
k = - ；（ii）
0,4 3
【详解】（1）由
2
2
1
4
x
y
-
= ，可得其顶点为
2,0 , 2,0
-
，
则可设椭圆
2
C 的标准方程为
2
2
2
1(0
2)
4
x
v
b
b
+
=
<
<
，
把点
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 代入，得到
3
b =
，
所以椭圆
2
C 的标准方程为
2
2
1
4
3
x
v
+
= ；
（2）(i)设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
.
则
2
2
2
2
1
2
1
2
4
4
x
x
y
y
-
=
-
，即
1
2
1
2
1
2
1
2
0
4
x
x
x
x
y
y
y
y
-
+
-
-
+
=
，
所以
1
1
4
kk =
，同理可得
2
3
4
kk = -
，
所以
2
1
3
k
k = - .
(ii)
直线
1
1 :
l
y
k x
=
和
2
2
:
l
y
k x
=
与椭圆
2
2
2 :
1
4
3
x
y
C
+
= 的交点分别为两组对称点（关
于原点对称），构成一个平行四边形（原点是对角线交点，对角线互相平分）
由①知，
1
2
k ¹ ±
，所以
1
1
2
k ¹ ±
2
1
1
1
3
2
k
k
k
æ
ö
= -
¹ ±
ç
÷
è
ø
.
如图设1l 交椭圆于
1
2
,
P P ，
1
3
3
2
,
,
P x
y
l 交椭圆于
1
2
,
Q Q ，
1
4
4
,
Q
x
y
.
联立
1
2
2
1
4
3
y
k x
x
y
=
ìïí
+
=
ïî
，解得
2
3
2
1
12
3
4
x
k
=
+
，同理得
2
4
2
2
12
3
4
x
k
=
+
.
所以四边形面积
1
1
1
4
4
2
1
3
2
1
4
2 1
1
POQ
k x
y
S
S
k
x
k
-
=
=
+
×
+
V
1
3
4
1
2
2
2
1
2
96
2
3
4
3
4
k
x x
k
k
k
k
=
-
=
+
+
1
2
2
2
1
1
1
2
1
96
96
9
3
4
3
36
144
120
k
k
k
k
k
=
=
+
+
+
+
，
又
2
1
2
1
9
144
120
192
k
k
+
+
³
，当
1
1
2
k =
或
1
2
-
时等号成立，
所以：
2
1
2
2
1
1
2
1
9
1
1
144
120
192,0
9
192
144
120
k
k
k
k
+
+
>
<
<
+
+
，
所以0
4 3
S
<
<
，
因此，面积范围为：
0,4 3 .
5．（2025·河北保定·二模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 在C 上运动，G 是
1
2
PFF
V
的重心，且点G 到点
3 ,0
3
Ræ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
与到点
3 ,0
3
S æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
的距离之和为4
3 ．
(1)求C 的方程；
(2)设
,
A B 分别为C 的左、右顶点，动点Q 在直线
4
x =
上，直线QA与C 的另一个交点为M ，直线QB 与C 的另一个
交点为N ．
（ⅰ）证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标；
（ⅱ）求四边形ANBM 面积的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
= ；
(2)（ⅰ）证明见解析，
1,0 ；（ⅱ）2 3 .
【详解】（1）由题意设
1
2
,0 ,
,0
F
c
F
c
-
，设
0
0
,
,
G x
y
P x y
、
，
因为点G 到点
3 ,0
3
Ræ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
与到点
3 ,0
3
S æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
的距离之和为4
3 ，
所以
4
2 3
3
3
GR
GS
RS
+
=
>
=
．
则点G 的轨迹是长轴长为4
3 ，焦距为2 3
3
的椭圆，其方程为
2
2
0
0
1
4
1
9
9
x
y
+
= ．
因为点G 是
1
2
PFF
V
的重心，O 为
1
2
F F 的中点，
所以
1
3
OG
OP
=
，则
0
0
1
1
,
3
3
x
x y
y
=
=
，
代入点G 的轨迹方程得
2
2
1
4
x
y
+
= .
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）（ⅰ）由对称性可知直线MN 经过的定点必在x 轴上且异于原点，
设定点为
,0 ,
0
T t
t ¹
，
当直线MN 的斜率不为0 时，设直线MN 的方程为
1
1
2
2
1
2
,
,
,
,
,
,
2,
x
my
t M x y
N x
y
x x
=
+
¹ ±
联立
2
2
1
4
x
my
t
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，得
2
2
2
4
2
4
0
m
y
mty
t
+
+
+
-
=
，
2 2
2
2
Δ
4
4
4
4
0
m t
m
t
=
-
+
-
>
，
则
2
1
2
1
2
2
2
2
4
,
4
4
mt
t
y
y
y y
m
m
-
+
= -
=
+
+
．
由（1）可得
2,0 ,
2,0
A
B
-
，
则直线MA 的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
=
+
+
，
直线NB 的方程为
2
2
2
2
y
y
x
x
=
-
-
，
由题意知直线MA 与NB 交于点Q ，且点Q 在直线
4
x =
上．
所以
1
2
1
2
6
2
2
2
y
y
x
x
=
+
-
，即
1
2
1
2
3
2
2
y
y
x
x
=
+
-
，
所以
1
2
2
1
3
2
2
y
x
y
x
-
=
+
．
所以
2
2
2
1
3
2
2
y
my
t
y
my
t
+ -
=
+ +
，
所以
1
2
1
2
2
3
2
2
0
my y
t
y
t
y
+
-
-
+
=
．①
当
0
m ¹
，即直线MN 的斜率存在且不为0 时，
由
2
2
2
1
2
1
2
2
4
4
4
2
2
4
t
y y
t
m
mt
y
y
mt
m
-
-
+
=
=
+
-
+
，
得
2
1
2
1
2
4
2
t
y y
y
y
mt
-
=
+
，
代入①，得
1
2
1
2
1
2
t
t
y
t
t
y
-
-
=
-
+
．
当
1
t = 时，上式恒成立，所以
1,0
T
；
当
0
m =
，即直线MN 的斜率不存在时，
若
1,0
T
，则直线MN 的方程为
1
x = ，
取
3
3
1,
,
1,
2
2
M
N
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，满足①式．
当直线MN 的斜率为0 时，直线
:
0
MN y =
，过点
1,0
T
．
综上，直线MN 过定点，且该定点的坐标为
1,0 ．
（ⅱ）由题可知直线MN 的斜率不为0，
由（ⅰ）可知直线MN 过定点
1,0
T
，
则
1
2
1
2
2
2
2
3
,
4
4
m
y
y
y y
m
m
+
= -
= -
+
+
，
所以
2
1
2
1
2
1
2
4
y
y
y
y
y y
-
=
+
-
2
2
2
2
2
2
2
4
12
3
4
4
4
4
m
m
m
m
m
+
=
+
=
+
+
+
，
令
2
3
3
m
s
+
=
³
，
则
1
2
2
1
4
4
1
1
2
s
y
y
s
s
s
-
=
=
+
+
+
，
因为函数
1
2
f s
s
s
=
+
+
在
3,+¥ 上单调递增，
所以
16
3
3
f s
f
³
=
．
则
1
2
3
y
y
-
£
，所以
1
2 max
3
y
y
-
=
，
所以四边形ANBM 面积的最大值为
1
2 max
1
1
4
3
2 3
2
2
AB
y
y
×
-
=
´ ´
=
.
6．（2025·河南信阳·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，焦距为2.
(1)求E 的方程；
(2)若
10
F
,
，过F 作两条相互垂直的直线AB ，CD 与曲线E 分别交于A，B，C，D 四点，设线段AB ，CD 与的
中点分别为M，N.
（i）证明：直线MN 过定点；
（ii）求四边形ACBD 面积的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
=
(2)（i）直线MN 过定点2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø ；（ii）
16 ,2
9
é
ù
ê
ú
ë
û
【详解】（1）由题意知椭圆过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，则
2
2
1
1
1
2
a
b
+
= ，
因为
1
c = ，所以
2
2
1
a
b
=
+ ，联立方程组
2
2
2
2
1
1
1
1
2
a
b
a
b
ì
=
+
ïí
+
=
ïî
，解得
2
a =
，则
1
b = ，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
= .
（2）
（i）当两条直线的斜率都存在时，不妨设AB ：
1
x
my
=
+ ，
1
:
1
CD x
y
m
= -
+ ，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
C x
y
，
4
4
,
D x
y
，
联立直线AB 与椭圆E 的方程，得
2
2
1
2
2
x
my
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
，消去x 整理得
2
2
2
2
1
0
m
y
my
+
+
- =
，
易知Δ
0
>
，根据韦达定理可知
1
2
2
2
2
m
y
y
m
-
+
=
+
，
1
2
2
1
2
y y
m
-
=
+
，
1
2
2
2
2
M
y
y
m
y
m
+
-
=
=
+
，
2
2
1
2
M
M
x
my
m
=
+ =
+
，
即
2
2
2
,
2
2
m
M
m
m
-
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø
.同理
2
2
2
2
,
2
1 2
1
m
m
N
m
m
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø
，
所以
2
2
2
2
2
2
3
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
MN
m
m
m
m
m
k
m
m
m
m
-
-
+
+
=
=
-
-
+
+
，
所以
2
2
2
3
2
:
2
2
2
1
m
m
MN y
x
m
m
m
-
æ
ö
-
=
-
ç
÷
+
+
-
è
ø ，
令
0
y =
，得
2
3
x =
，此时直线MN 恒过2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø .
当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知
:
0
MN y =
，仍经过2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
所以直线MN 过定点2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø .
（ii）当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知
2
ACBD
S
=
，
当两条直线的斜率都存在时，不妨设
:
1
AB x
my
=
+ ；
1
:
1
CD x
y
m
= -
+ ，
由（i）得：
2
2
2
1
2
1
1
2 2 2
m
AB
m
y
y
m
+
=
+
-
=
+
.
同理
2
2
2
1
2
1
1
2 2 2
1
m
CD
m
y
y
m
+
=
+
-
=
+
，
则
2
2
4
2
2
4
2
4
2
4
2
1
1
2
1
2
4
4
2
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
ACBD
m
m
m
m
S
AB CD
m
m
m
m
m
m
+
+
+
=
=
=
=
-
+
+
+
+
+
+
，
因为
2
4
2
2
2
2
2
2
2
5
2
2
5
m
m
m
m
m
=
+
+
+
+
，
根据基本不等式
2
2
2
2
2
2
2
2 2
4
m
m
m
m
+
³
×
=
，当且仅当
2
1
m = 时等号成立，
所以
2
2
2
2
0,
2
9
2
5
m
m
æ
ù
Îç
ú
è
û
+
+
，
2
4
2
2
16
2
,2
2
5
2
9
ACBD
m
S
m
m
é
ö
=
-
Î
÷
ê
+
+
ë
ø
，
综上，四边形ACBD 面积的取值范围为16 ,2
9
é
ù
ê
ú
ë
û
.
7．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，已知抛物线
2
:
2
(
0)
y
px p
G
=
>
的焦点为
,
F O 为坐标原点．过F 作两条直线
1
2
,
l l ，这两条直线与抛物线G 分别交于A
B
、和C
D
、
两点．当AB 垂直于x 轴时，|
| 4
AB =
．
(1)求抛物线G 的方程；
(2)若AB
CD
^
，求四边形ACBD 面积的取值范围；
(3)将
OAB
△
绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值．
【答案】(1)
2
4
y
x
=
(2)[32,
)
+¥
(3) 8π
3
【详解】（1）当AB
x
^
轴时，
,
,
,
2
2
p
p
A
p
B
p
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
由|
| 2
4
AB
p
=
= 得
2
p =
，
\抛物线C 方程为
2
4
y
x
=
（2）设
1
1
2
2
1
2
,
,
,
,
0
A x y
B x
y
y
y
>
>
，
依题意，直线1
2
,
l l 的斜率均存在且不为0，设
:
1
AB
l
x
my
=
+ ，
将其与
2
4
y
x
=
联立消元得：
2
4
4
0
y
my
-
-
=
则
1
2
1
2
4 ,
4
y
y
m y y
+
=
= - ，
于是，
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
x x
my
my
m y y
m y
y
=
+
+
=
+
+
+ = ，
因
2
2
1
2
1
2
1
2
4
4
1
y
y
y
y
y y
m
-
=
+
-
=
+ ，
则
2
2
1
2
1
4
1
AB
m
y
y
m
=
+
×
-
=
+
因CD
AB
^
，则
1
:
1
CD
l
x
y
m
= -
+ ，同理可得：
2
1
4
1
CD
m
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
则
2
2
1
1
8
1
1
2
ACBD
S
AB
CD
m
m
æ
ö
=
×
=
+
+
ç
÷
è
ø
2
2
1
8(2
)
8(2
2)
32
m
m
=
+
+
³
+
=
，当且仅当
2
1
m = 时取等号，
即四边形ACBD 面积的取值范围为[32,
)
+¥
（3）
设A、B 关于y 轴的对称点分别为
,
A B
¢
¢，记以等腰梯形ABB A
¢ ¢ 绕y 轴旋转一周得到圆台体积为
1V ，
以AA¢为底面直径，O 为顶点的圆锥体积为
2
V ，以BB¢为底面直径，O 为顶点的圆锥体积为
3
V ，
则所求旋转体体积为：
2
2
2
2
1
2
3
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
π
π
π
3
3
3
V
V
V
V
x
x
x x
y
y
x y
x y
=
-
-
=
+
+
-
-
+
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
π
π
π
1
3
3
3
x
x
y
y
x y
x y
=
+
+
-
-
+
2
2
1
2
2
1
1
2
π
3
x y
x y
y
y
=
-
+
+
-
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
(
]
π [ (
)
3
4
4 )
y
y
y
y
y
y
=
-
+
+
-
3
3
1
2
1
2
π
3
4
y
y
y
y
æ
ö
+ -
ç
÷
=
+
+ -
ç
÷
è
ø
3
1
2
1
2
π 1 2
2
3
4
y y
y y
æ
ö
³
×
-
+
-
ç
÷
è
ø
8π
3
=
当且仅当
1
2
y
y
= -
，即
0
m =
时等号成立，
此时所求旋转体体积的最小值为8π
3 ．
8．（2025·海南·模拟预测）19 世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立
发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙
日圆，且蒙日圆的半径为
2
2
a
b
+
（a 为椭圆的长半轴长，b 为椭圆的短半轴长）．已知椭圆E 上任一点到点
2 0
,
的距离与到直线
3 2
2
x =
的距离之比为
6
3
，椭圆E 的蒙日圆为圆O ．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)已知点O 为坐标原点，点P 是椭圆E 上的任意一点，
1
2
,
F F 是椭圆左右焦点，直线OP 与圆O 相交于
,
M N 两点，
求证：
1
2
PM
PN
PF
PF
×
是定值；
(3)过点
1 0
Q
,
作直线1l 交圆O 于A 、B 两点，作直线2l 交椭圆E 于C 、D 两点，且1
2
l
l
^
，求四边形ADBC 面积的
最小值．
【答案】(1)
2
2
1
3
x
y
+
=
(2)证明见解析
(3) 4 6
3
【详解】（1）设
,
E x y 满足
2
2
6
3 2
2
3
2
x
y
x
-
+
=
-
，整理可得
2
2
1
3
x
y
+
= ，
椭圆E 的方程为
2
2
1
3
x
y
+
= ．
（2）由（1）得该椭圆E 的蒙日圆O 为
2
2
4
x
y
+
= ，
设
0
0
,
P x
y
，则
2
2
0
0
1
3
x
y
+
= ，∴
2
2
0
0
1
3
x
y = -
，
又
1
2,0
F -
、
2
2,0
F
，
∴
2
2
2
2
2
0
1
0
0
0
0
0
0
2
6
2
2
1
2 2
3
3
3
3
3
x
PF
x
y
x
x
x
x
=
+
+
=
+
+ -
=
+
+
=
+
，
同理
2
0
6
3
3
PF
x
=
-
，∴
2
1
2
0
2
3
3
PF
PF
x
×
=
-
，
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
1
2
2
2
4
4
4
1
3
3
3
PM
PN
OP
OP
OP
x
y
x
x
x
æ
ö
×
=
+
×
-
=
-
=
-
-
=
-
-
-
=
-
ç
÷
è
ø
，
所以
2
2
1
PM
PN
PF
PF
×
= ．
（3）①当1l 斜率不存在，2l 斜率为0 时，1l 方程为
1
x = ，原点到1l 的距离为
1
1
d = ，
所以
2
1
2 4
2 3,
2 3
AB
d
CD
=
-
=
=
，
所以四边形ADBC 面积
1
6
2
S
AB
CD
=
×
=
；
②当1l 斜率存在，2l 斜率不为0 时，设2l 的方程为
1
x
my
=
+ ，
则1l 的方程为
1
y
m x
= -
-
即
0
mx
y
m
+
-
=
，
则原点到1l 的距离为
1
2
1
m
d
m
=
+
，
所以
2
2
2
1
2
2
3
4
2 4
2 4
2
1
1
m
m
AB
d
m
m
+
=
-
=
-
=
+
+
．
设
1
1
,
C x y
、
2
2
,
D x
y
，联立2l 与E 的方程，即
2
2
1
1
3
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，
消去x 得
2
2
3
2
2
0
m
y
my
+
+
-
=
，
由于
1,0
Q
在椭圆E 内部，所以直线2l 与椭圆E 必相交且
1
2
2
1
2
2
2
3
2
3
m
y
y
m
y y
m
ì
+
= -
ïï
+
í
-
ï
=
ï
+
î
，
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
4
CD
m
y
y
m
y
y
y y
=
+
-
=
+
+
-
2
2
2
2
2
2
2
2 3 1
2
2
2
1
4
3
3
3
m
m
m
m
m
m
m
+
+
-
æ
ö
=
+
-
-
=
ç
÷
+
+
+
è
ø
因为1
2
l
l
^
，所以四边形ADBC 面积
2
2
2
2
2
2 3
1
2
1
3
4
2
1
3
m
m
m
S
AB
CD
m
m
+
+
+
=
×
=
×
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2 3 3
4
2
3 3
4
2
2
3
3
m
m
m
m
m
m
+
+
+
+
=
=
+
+
，
令
2
3
3
t
m
t
=
+
³
，则
2
3
m
t
= - ，
故
2
2
2
2
2
3 3
5
1
1
3
8
5
5
8
1
4
1
2
2 3
2 3
3
2 3 5
2
5
5
t
t
t
t
S
AB
CD
t
t
t
t
t
-
-
-
+
æ
ö
=
×
=
=
=
-
+
=
-
-
ç
÷
è
ø
，
∵
3
t ³
，∴1
1
0, 3
t
æ
ù
Îç
ú
è
û ，令
1
=
u
t ，则
1
0, 3
u
æ
ù
Îç
ú
è
û 单调递减，
所以当
1
3
u =
时，
min
4 6
3
S
=
即四边形ADBC 的最小值为4 6
3
．
1．（24-25 高二上·江苏镇江·期末）已知动点P 到定点
( ,0)
F c
的距离与它到定直线
2
a
x
c
=
的距离之比为常数c
a ．其
中
0
a >
，
0
c >
，且a
c
¹ ，记点P 的轨迹为曲线C．
(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；
(2)当
1,
3
a
c
=
=
时，记C 的左、右顶点分别为
1
2
,
A A ，过点( 2,0)
-
的直线与C 的左支交于D，E 两点，直线
1
DA 与
2
EA 交于点Q，求证：点Q 在定直线上；
(3)当
2,
1
a
c
=
= 时，设
( 1,0)
F ¢ -
，若C 上两动点M，N 均在x 轴上方，F M
FN
¢
∥
，且F N
¢ 与FM 相交于点R，求
证：
RF F¢
△
的周长为定值．
【答案】(1)
2
2
2
2
2
1
x
y
a
a
c
+
=
-
,形状见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）依题意，设点
,
P x y ，
则
2
2
2
x
c
y
c
a
a
x
c
-
+
=
-
，
化简得，
2
2
2
2
2
1
x
y
a
a
c
+
=
-
，
当a
c
>
时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，
当a
c
< 时，曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线．
（2）当
1,
3
a
c
=
=
时，曲线C 的方程为：
2
2
1
2
y
x -
= ，则
1
2
1,0 ,
1,0
A
A
-
，
设过点
2 0
- ，的直线为：
2
x
my
=
-
，
考点三
周长问题
由
2
2
2
1
2
x
my
y
x
=
-
ìïí
-
=
ïî
，消去x 得
2
2
2
1
8
6
0
m
y
my
-
-
+
=
，
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，
得
2
2
2
2
1
0
Δ
64
24 2
1
0
m
m
m
ì
- ¹
ïí
=
-
-
>
ïî
，
1
2
1
2
2
2
8
6
,
2
1
2
1
m
y
y
y y
m
m
+
=
=
-
- ，
则
1
2
1
2
4
3
my y
y
y
=
+
，
直线
1
DA ：
1
1
1
1
y
y
x
x
=
+
+
，直线
2
EA ：
2
2
1
1
y
y
x
x
=
-
-
，
联立得：
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
3
my
y
x
y
x
x
y
x
my
y
-
+
+
=
×
=
-
-
-
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
3
1
4
3
3
3
3
4
y
y
y
my y
y
my y
y
y
y
y
+
-
-
=
=
= -
-
+
-
，解得
1
2
x = -
，
直线
1
DA 与
2
EA 交于点Q 在定直线
1
2
x = -
上．
（3）当
2,
1
a
c
=
= 时，曲线C 的方程为：
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，
1,0 ,
1,0
F
F
-
¢
，
设点
3
3
4
4
5
5
,
,
,
,
,
M x
y
N x
y
M
x
y
¢
，其中
3
4
0,
0
>
>
y
y
，
由对称性可知
5
3
5
3
,
= -
= -
x
x
y
y ，
因为
/ /
¢
F M
FN ，所以
3
5
5
4
4
3
5
5
1
1
1
1
-
=
=
=
-
-
-
+
+
y
y
y
y
x
x
x
x
，
因此，
,
,
¢
N F M 三点共线，
且
2
2
2
2
3
3
3
3
1
1
F M
x
y
x
y
FM
=
+
+
=
-
-
+ -
=
¢
¢ ，
由题干条件可得，
动点P 到定点
1,0
F
的距离与它到定直线
2
2
4
1
=
=
x
的距离的比为常数
1
2 ，
设
NFx
q
Ð
=
（不妨记q 为锐角），过点N 作NH ⊥
轴于点H ，作NT ⊥直线
4
x =
于点T，
直线
4
x =
与x 轴交点为W，
则
cos
FH
FN
q
=
，NT
HW
=
，
故
3
cos
NT
HW
FW
FH
FN
q
=
=
-
=
-
，
所以
1
3
cos
2
FN
FN
q =
-
，解得
3
2
cos
FN
q
=
+
，
同理由
1
3
cos
2
FM
FM
q
¢
=
+
¢
，解得
3
2
cos
FM
q
=
-
¢
，
所以
1
1
1
1
2
cos
2
cos
4
3
3
3
FN
F M
FN
FM
q
q
+
-
¢
+
=
+
¢
+
=
=
，
所以
1
1
FN
F M
+
¢
为定值4
3 ；
由椭圆定义
4
F R
RN
NF
¢
+
+
=
，得
4
RN
F R
FN
¢
=
-
-
，
4
//
,
FN
RN
F R
FN
FN F M
F M
F R
F R
¢
¢
¢
=
¢
-
-
\
¢
=
Q
，
解得
4
FN
F M
F R
FN
F M
¢
¢
×
+
¢
-
=
，同理可得
4
F M
FN
FR
FN
F M
-
×
+
¢
¢
=
，
所以
4
4
4
2
FN
F M
F M
FN
FN
F M
FN
F M
F R
FR
FN
F M
FN
F M
FN
F M
-
×
-
×
+
-
×
+
=
+
=
¢
¢
¢
¢
¢
¢
+
+
¢
+
¢
2
2
5
4
4
1
1
4
2
3
FN
F M
=
=
-
¢
-
=
+
,
因为
2
F F¢
=
，
所以
RF F¢
△
的周长为定值
5
9
2
2
2
+
=
.
2．（24-25 高三下·陕西咸阳·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
-
，动点P 到点
1F 和
2F 的
距离之和为4．记动点P 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的方程；
(2)设直线l 与曲线C 交于
,
D E 两点．
①若点
0, 3
A
，直线l 过点
1F 且与直线
2
AF 垂直，求
ADE
V
的周长；
②若OD
OE
^
，求ODE
V
面积的取值范围．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)①8；②12 , 3
7
é
ù
ê
ú
ë
û
【详解】（1）由题意知，
1
2
1
2
1
2
2,
4
2 |
F F
PF
PF
F F
=
+
=
>
=
∣，
所以动点P 的轨迹是以
1F 和
2F 为焦点的椭圆，
故可设椭圆的方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
，
则
1,2
4
c
a
=
=
，所以
2
2
2
2,
3
a
b
a
c
=
=
-
=
，
所以曲线C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ．
（2）
①由（1）知，
2 ,
3
a
c b
c
=
=
，得
1
2
AF F
△
为正三角形，
则由
2
DE
AF
^
，得直线DE 为线段
2
AF 的垂直平分线，
所以
2
DA
DF
=
，且
2
EA
EF
=
，
则
ADE
V
的周长为
2
2
2
2
1
1
AD
AE
DE
DF
EF
DE
DF
EF
DF
F E
+
+
=
+
+
=
+
+
+
1
2
1
2
4
8
DF
DF
EF
EF
a
=
+
+
+
=
=
②（Ⅰ）当直线
,
OD OE 的斜率一条为0，另一条不存在时，ODE
V
的面积为1
3
2 ab =
，
（Ⅱ）当直线
,
OD OE 的斜率存在且都不为零时，设直线
:
OD y
kx
=
，
由
2
2
1
4
3
y
kx
x
y
=
ìïí
+
=
ïî
，得
2
2
3
4(
)
12
x
kx
+
=
，
即
2
2
12
4
3
x
k
=
+
，则
2
2
2
12
4
3
k
y
k
=
+
，
则
2
2
2
2
2
2
12
1
12
12
4
3
4
3
4
3
k
k
OD
k
k
k
+
=
+
=
+
+
+
，
同理可得，
2
2
2
12
1
3
4
k
OE
k
+
=
+
，
故ODE
V
的面积为
2
2
2
6
1
1
2
4
3
3
4
k
OD OE
k
k
+
´
´
=
+
×
+
2
4
2
6
1
12
25
12
k
k
k
+
=
+
+
2
4
2
2
6
1
12
2
1
k
k
k
k
+
=
+
+
+
4
2
2
4
2
6
12
2
1
2
1
k
k
k
k
k
=
+
+
+
+
+
2
4
2
6
12
2
1
k
k
k
=
+
+
+
2
2
6
12 , 3
7
1
12
1
2
k
k
é
ö
=
Î
÷
êë
ø
+
+
+
．
当且仅当
2
2
1
k
k
=
，即
1
k = ± 时取最小值．
综上，ODE
V
的面积的取值范围为12 , 3
7
é
ù
ê
ú
ë
û ．
3．（24-25 高三下·云南·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，离心率为
1
2 .点
,
,
M N T 为椭圆C 上不同的三个点.当点
,
,
M N T 为椭圆的顶点时，
MNT
△
的面积为2 3 .经过点
1F 且斜率为
0
k k >
的直线l 与椭圆交于
,
A B 两点（其中点A 在x 轴上方），将平面xOy 沿x 轴向上折叠，使二面角
1
2
A
F F
B
-
-
为直二
面角，如图所示，折叠后
,
A B 在新图形中对应点记为
,
A B
¢
¢.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)当
3
k =
时，求平面
1
2
A F F
¢
和平面
2
A B F
¢ ¢
夹角的余弦值；
(3)是否存在k ，使得折叠后
2
A B F
¢ ¢
V
的周长是折叠前
2
ABF
△
周长的15
16 ？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理
由.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)13 205
205
(3)存在，3 35
14
【详解】（1）依题意，
1 2
2 3
2
MNT
S
a b
=
×
×
=
V
或
1 2
2 3
2
MNT
S
b a
=
×
×
=
V
，得
2 3
=
ab
，
由椭圆C 的离心率为
1
2 ，得
2
2
1
2
a
b
a
-
=
，即
3
2
b
a =
，解得
2,
3
a
b
=
=
，
所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）由（1）知
1
2
( 1,0),
(1,0)
F
F
-
，当
3
k =
时，:
3(
1)
l y
x
=
+
，
由
2
2
1
4
3
3(
1)
x
y
y
x
ì
+
=
ïí
ï
=
+
î
消去y 得
2
15
24
0
x
x
+
=
，解得
0
x =
或
8
5
x = -
，
由点A 在x 轴上方，得
8
3 3
(0, 3), (
,
)
5
5
A
B -
-
，
以O 为原点，折叠后的y 轴负半轴为x 正半轴，原x 轴为y 轴，原y 轴正半轴为z 正半轴的空间直角坐标系中，
1
2
3 3
8
(0, 1,0),
(0,0, 3),
(
,
,0),
(0,1,0)
5
5
F
A
B
F
¢
¢
-
-
，
2
2
3 3 13
(0,1,
3),
(
,
,0)
5
5
A F
B F
¢
¢
=
-
= -
uuuur
uuuur
，
平面
1
2
A F F
¢
的法向量为
1
(1,0,0)
=
ur
n
，设平面
2
A B F
¢ ¢
的法向量为
2
( , , )
n
x y z
=
uur
，
则
2
2
2
2
3
0
3 3
13
0
5
5
n
A F
y
z
n
B F
x
y
ì
×
=
-
=
ïí
×
= -
+
¢
=
ïî
¢
uur uuuur
uur uuuur
，令
3
y =
，
2
13
(
, 3,1)
3
n =
uur
，
设平面
2
A B F
¢ ¢
与平面
1
2
A F F
¢
的夹角为j ，则
1
2
1
2
1
2
13
13 205
3
cos
| cos
,
|
205
||
205
|
|
3
|
|
n n
n n
n
n
j
×
=
á
ñ =
=
=
ur uur
ur uur
ur
uur
，
所以平面
2
A B F
¢ ¢
与平面
1
2
A F F
¢
的夹角的余弦值为13 205
205
.
（3）假设存在k ，使得
2
A B F
¢ ¢
V
的周长是
2
ABF
△
周长的15
16 ，
设折叠前
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，则折叠后对应点的坐标为
1
1
2
2
0,
,
),
,
,0)
(
(
A
x y
B
y
x
¢
-
¢
，
设直线l 的方程为
1
x
my
=
- ，其中
1
0
k
m
=
>
，
由
2
2
1
4
3
1
x
y
x
my
ì
+
=
ïí
ï =
-
î
消去x 得
2
2
(3
4)
6
9
0
m
y
my
+
-
-
=
，则
1
2
1
2
2
2
6
9
,
3
4
3
4
-
+
=
=
+
+
m
y
y
y y
m
m
，
在折叠前知
2
2
1
2
1
2
|
|
(
)
(
)
AB
x
x
y
y
=
-
+
-
，折叠后，在空间直角坐标系中，
2
2
2
1
2
1
2
(
)
A B
x
x
y
y
=
-
+
+
¢ ¢
，
依题意，
2
ABF
△
的周长为4a ，即
2
2
|
|
|
|
|
| 4
8
AF
BF
AB
a
+
+
=
=
，
由
2
A B F
¢ ¢
V
的周长是
2
ABF
△
的15
16 ，得
2
A B F
¢ ¢
V
的周长为15
15
8
16
2
´ =
，即
2
2
15
|
|
|
|
|
|
2
A F
B F
A B
¢
¢
¢ ¢
+
+
=
，
于是
1
|
|
|
|
2
AB
A B
¢ ¢
-
=
，即
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
(
2
1
(
)
(
)
)
y
x
x
y
x
x
y
y
-
+
+
-
+
-
-
=
，
分子有理化得
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
(
)
(
)
(
1
)
2
x
x
y
y
x
y
x
y
y
y
-
+
+
-
+
+
=
-
-
，
即
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
4
x
x
y
y
x
x
y
y
y y
-
+
-
+
-
+
+
= -
，
结合
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
(
2
1
(
)
(
)
)
y
x
x
y
x
x
y
y
-
+
+
-
+
-
-
=
，
得
2
2
1
2
1
2
1
2
1
(
)
(
)
2
4
x
x
y
y
y y
-
+
-
=
-
，而
2
2
2
1
2
1
2
1
2 |
(
)
(
)
1 |
x
x
y
y
m
y
y
-
+
-
=
+
-
，
因此
2
1
2
1
2
1
2
1 |
|
4
y y
m
y
y
-
=
+
-
，即
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(
)
4
4
y y
m
y
y
y y
-
=
+ ×
+
-
，
于是
2
2
2
2
2
1
18
6
36
1
(
)
4
3
4
3
4
3
4
m
m
m
m
m
+
=
+ ×
+
+
+
+
，
即
2
2
2
12
1
1
18
4
3
4
3
4
m
m
m
+
+
=
+
+
，整理得
2
28
45
m =
，由于
0
m >
，故
2 35
15
m =
，
所以存在
1
3 35
14
k
m
=
=
，使得
2
A B F
¢ ¢
V
的周长是
2
ABF
△
周长的15
16 .
4．（2025·安徽·一模）已知抛物线
2
:
C y
ax
=
的准线方程为
3
2
y = -
，直线y
x
m
=
+
与C 交于
,
A B 两点.
(1)求C 的标准方程.
(2)若
6
m =
，O 为坐标原点，证明：OA
OB
^
.
(3)若F 为C 的焦点，且
ABF
△
的周长为11
2 30
+
，求m 的值.
【答案】(1)
2
6
x
y
=
(2)证明见解析
(3)
1
m =
【详解】（1）C 的标准方程为
2
1
x
y
a
=
，
由C 的准线方程为
1
3
4
2
a
-
= -
，得
1
6
a =
，
故C 的标准方程为
2
6
x
y
=
；
（2）将
6
y
x
=
+
代入
2
6
x
y
=
，得
2
6
36
0
x
x
-
-
=
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
1
2
36
x x = -
，
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
( 36)
·
36
6 6
36
36
x
x
x x
y y
-
=
=
=
=
，
所以
1
2
1
2
0
OA OB
x x
y y
×
=
+
=
uuur uuur
，
所以OA
OB
^
uuur
uuur
，即OA
OB
^
；
（3）联立
2
6
x
y
y
x
m
ì
=
í
=
+
î
，得
2
2
2
6
0
y
m
y
m
-
+
+
=
，
设
3
3
4
4
,
,
,
A x
y
B x
y
，
则
2
3
4
3
4
2
6,
,
24
36
0
y
y
m
y y
m
m
+
=
+
=
D =
+
>
，所以
3
2
m > -
，
所以
3
4
3
4
3
3
3
2
9
2
2
FA
FB
y
y
y
y
m
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
，
2
2
2
3
4
3
4
3
4
(
)
(
)
2
(
)
AB
x
x
y
y
y
y
=
-
+
-
=
×
-
2
3
4
3
4
2
(
)
4
2 12
18
y
y
y y
m
=
×
+
-
=
+
，
所以
ABF
△
的周长为2
9
2 12
18
m
m
+
+
+
，
因为函数
2
9
2 12
18
f x
x
x
=
+
+
+
为增函数，且
1
11
2 30
f
=
+
，
所以方程2
9
2 12
18
11
2 30
x
x
+
+
+
=
+
的解为
1
x = ，
所以
1
m = .
5．（24-25 高二下·上海黄浦·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
，依次连接椭圆E 的四个顶点构成的四边形
面积为4 3 ．
(1)若
2
a =
，求椭圆E 的标准方程；
(2)当
2
a =
时，设直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，设MN 的中点为
,
G O为坐标原点，直线l
OG
、
的斜率分别为
k 、
OG
k
，求证：
OG
k k
×
为定值；
(3)在第（2）小题的前提下，设点F 为椭圆E 的右焦点，
2,0
A -
，若l 与E 的交点M 、N 均不与点A 重合，直线
l
AM
AN
、
、
的斜率分别为
1
2
k
k
k
、、，若
1
2
3
0
kk
kk
+
+
=
，求FMN
V
的周长．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
(2)证明见解析；
(3)8
【详解】（1）由已知得椭圆四个顶点构成的四边形面积为
1
2
2
4 3
2
a b
´
´
´
=
，
即
2 3
=
ab
，
∵
2
a =
，∴
3
b =
，
∴椭圆E 的标准方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
（2）设直线l 的方程为y
kx
m
=
+
，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，MN 的中点为
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
G
+
+
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
将椭圆方程与直线方程联立
2
2
1
4
3
x
y
y
kx
m
ì
+
=
ïí
ï
=
+
î
可得
2
2
2
3
4
8
4
12
0
k
x
kmx
m
+
+
+
-
=
，
2
2
2
2
2
2
Δ
64
4 3
4
4
12
144
48
192
0
k m
k
m
m
k
=
-
+
-
=
-
+
>
，即
2
2
3
4
0
m
k
-
+
>
，
1
2
2
8
3
4
km
x
x
k
-
+
=
+
，
2
1
2
2
4
12
3
4
m
x x
k
-
=
+
，
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
OG
y
y
y
y
kx
m
kx
m
k
k
k
k
x
x
x
k
x
x
x
=
+
+
+
+
+
=
´
=
´
+
×
+
´
+
1
2
1
2
1
2
2
2
2
8
3
4
kx
m
kx
m
m
m
k
k k
k k
km
x
x
x
x
k
æ
ö
ç
÷
æ
ö
+
+
+
=
´
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
-
+
+
è
ø
ç
÷
+
è
ø
2
2
2
3
4
3
3
4
4
4
k
k k
k
k
k
æ
ö
+
=
+
=
-
-
= -
ç
÷
-
è
ø
；
（3）设直线l 的方程为y
kx
m
=
+
，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
则
1
1
1
2
y
k
x
=
+
，
2
2
2
2
y
k
x
=
+
，故
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
y
y
kx
m
kx
m
k
k
x
x
x
x
+
+
+
=
+
=
+
+
+
+
+
，
则
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
3
3
3
2
2
kx
m
x
kx
m
x
kk
kk
k k
k
x
x
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
=
+
+
+
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
4
3
2
4
kx x
k
m
x
x
m
k
x x
x
x
+
+
+
+
=
+
+
+
+
，
当
2
a =
时椭圆的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，
将椭圆方程与直线方程联立
2
2
1
4
3
x
y
y
kx
m
ì
+
=
ïí
ï
=
+
î
可得
2
2
2
3
4
8
4
12
0
k
x
kmx
m
+
+
+
-
=
，
2
2
2
2
2
2
Δ
64
4 3
4
4
12
144
48
192
0
k m
k
m
m
k
=
-
+
-
=
-
+
>
，即
2
2
3
4
0
m
k
-
+
>
，
1
2
2
8
3
4
km
x
x
k
-
+
=
+
，
2
1
2
2
4
12
3
4
m
x x
k
-
=
+
，
即
2
2
2
1
2
2
2
2
4
12
8
2
2
4
3
4
3
4
3
3
4
12
8
2
4
3
4
3
4
m
km
k
k
m
m
k
k
k k
k
k
m
km
k
k
-
-
´
+
+
´
+
+
+
+
+
=
+
-
-
+ ´
+
+
+
2
2
2
0
4
16
16
m
k
m
k
m
km
k
-
-
=
=
-
+
，
故m
k
=
或
2
m
k
=
，此时均满足
0
D >
，
若m
k
=
，则直线l 的方程为y
kx
k
=
+
，此时直线恒过
1,0
-
，
若
2
m
k
=
，则直线l 的方程为
2
y
kx
k
=
+
，此时直线恒过
2,0
-
，与题意矛盾，
点
1,0
-
为椭圆的左焦点
1F ，
故FMN
V
的周长为
1
1
4
8
PM
FN
MN
PM
FN
MF
NF
a
+
+
=
+
+
+
=
=
.
6．（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= 的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，经过点
1F 且倾斜角为
0
2
p
q
q
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点( 其中点A 在x 轴上方).连接
2
AF ，
2
BF .
将平面xOy 沿x 轴向上折叠，使二面角
1
2
A
F F
B
-
-
为直二面角，折叠后A，B 在新图形中对应点记为A¢，B¢.
(1)当
3
p
q =
时，
①求三棱锥
1
2
A
B F F
¢
¢
-
的外接球的表面积；
②求三棱锥
1
2
A
B F F
¢
¢
-
的体积；
(2)是否存在
0
2
p
q
q
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø ，使得折叠后
2
A B F
¢ ¢
V
的周长为15
2 ？若存在，求tanq 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)①884
75
p ；②3
5 ；
(2)存在，
3 35
tan
14
q =
【详解】（1）①由题可知，
2,
3,
1
a
b
c
=
=
= ，则
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
-
1
2
2
F F =
.
直线l 的倾斜角
3
p
q =
，则斜率
3
k =
.
所以直线l 的方程为
3
1
y
x
=
+
.
联立直线与椭圆方程
2
2
3
1
1
4
3
y
x
x
y
ì
=
+
ïí
+
=
ïî
，解得
0
x =
或
8
5
x = -
.
又因为点A 在x 轴上方，所以
8
3 3
0, 3 ,
,
5
5
A
Bæ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
所以
1
2
AF F
△
为边长是2 的正三角形，且
1
2
6
14
,
5
5
BF
BF
=
=
.
折叠后，
1
2
6
14
,
5
5
B F
B F
¢
¢
=
=
.
又因为
3
p
q =
，所以
1
2
1
2
2
,
3
3
A F F
B F F
p
p
¢
¢
Ð
=
Ð
=
；
1
2
AF F
△
外接圆半径1
2
2 3
3
2sin 3
r
p
=
=
；
1
2
BF F
△
外接圆半径2
14
14 3
5
2
15
2sin 3
r
p
=
=
.
三棱锥
1
2
A
B F F
¢
¢
-
外接球半径为
2
1
2
2
2
1
2
4
F F
R
r
r
=
+
-
2
2
2 3
14 3
221
1
3
15
75
æ
ö
æ
ö
=
+
- =
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
三棱锥
1
2
A
B F F
¢
¢
-
的外接球的表面积为
2
221
884
4
4
75
75
S
R
p
p
p
=
=
´
=
.
②因为二面角
1
2
A
F F
B
-
-
为直二面角，
所以B¢到x 轴距离即为三棱锥
1
2
B
A F F
¢
¢
-
的高，
3 3
5
h =
.
底面
1
2
A F F
¢
△
的面积
1 2
2
3
2
3
4
A F F
S
¢
=
´
=
V
，
所以
1 2
1 2
1 2
1
1
3 3
3
3
3
3
5
5
A
B F F
B
A F F
A F F
V
V
S
h
¢
¢
¢
¢
¢
-
-
=
=
×
=
´
´
=
V
.
即三棱锥
1
2
A
B F F
¢
¢
-
的体积为3
5 .
（2）设翻折前
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，翻折后，建立空间坐标系，如图所示，
1
1
2
2
,
,0 ,
,0,
A x y
B x
y
¢
-
.
设直线l 的方程为
1
x
my
=
- ，将直线与椭圆方程联立得，
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
+
-
-
=
，则
1
2
1
2
2
2
6
9
,
3
4
3
4
-
+
=
=
+
+
m
y
y
y y
m
m
.
翻折前
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
AB
x
x
y
y
=
-
+
-
，
翻折后
2
2
2
1
2
1
2
(
)
A B
x
x
y
y
=
-
+
+
¢ ¢
，
由
2
2
8
AB
AF
BF
+
+
=
，
2
2
15
2
A B
A F
B F
+
+
¢
=
¢ ¢
¢
，所以
1
2
AB
A B
¢ ¢
-
=
.
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(
)
(
)
(
)
2
AB
A B
x
x
y
y
x
x
y
y
-
=
-
+
-
-
-
¢
+
+
=
¢
，
分母有理化
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
(
)
(
)
(
1
)
2
x
x
y
y
x
y
x
y
y
y
-
+
+
-
+
+
=
-
-
，
所以
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
4
x
x
y
y
x
x
y
y
y y
-
+
-
+
-
+
+
= -
.
则
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
AB
x
x
y
y
=
-
+
-
1
2
1
2
4
y y
=
-
.
又因为
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
(
1
1)
(
)
1
x
x
y
y
my
my
y
y
m
y
y
-
+
-
=
- -
+
+
-
=
+
-
，
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 (
)
4
4
y y
m
y
y
m
y
y
y y
-
=
+
-
=
+
+
-
，
将
1
2
1
2
2
2
6
9
,
3
4
3
4
-
+
=
=
+
+
m
y
y
y y
m
m
代入上式，
整理得
2
2
2
2
2
1
18
6
36
1
4
3
4
3
4
3
4
m
m
m
m
m
æ
ö
+
=
+
+
ç
÷
+
+
+
è
ø
，
整理得
2
28
45
m =
，
因为
0
2
p
q
q
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø ，所以
1
3 35
tan
14
m
q =
=
.
7．（2025·山东淄博·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
，离心率
5
2
e =
，点
1
5, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø 在双曲线上.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)点
1F ，
2F 分别是双曲线C 的左右焦点，过点
2F 的直线l 与双曲线的右支交于A，B 两点，若
1
ABF
V
的周长为
12，求直线l 的方程.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
-
= ；
(2)3
6
3 5
0
x
y
±
-
=
.
【详解】（1）由题意可得
2
2
5
1
2
c
b
a
a
=
+
=
，则
2
2
1
4
b
a =
，即
2
2
4
a
b
=
，
又因为点
1
5, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø 在双曲线上，所以
2
2
1
5
4
1
a
b
-
= ，解得
2
1
b = ，
2
4
a =
，
所以双曲线C 的标准方程为：
2
2
1
4
x
y
-
= .
（2）
由双曲线的定义可得：
1
2
2
4
AF
AF
a
-
=
=
，
1
2
2
4
BF
BF
a
-
=
=
，
所以
1
1
2
2
1
1
8
AF
BF
AF
BF
AF
BF
AB
+
-
+
=
+
-
=
②，
由①②可得：
2
AB =
，
由（1）知
2
2
2
5
c
a
b
=
+
=
，所以
2
5,0
F
，
因为直线l 的斜率不为0，设:
5
l x
my
=
+
，
则联立直线与双曲线
2
2
1
4
5
x
y
x
my
ì
-
=
ïí
ï =
+
î
，可得
2
2
4
2 5
1
0
m
y
my
-
+
+ =
，
当
2
4
0
m -
=
，即
2
m = ± ，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，
所以
2
4
0
m -
¹
，
1
2
2
2 5
4
m
y
y
m
+
= -
-
，
1
2
2
1
4
y y
m
=
-
，
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2 5
4
1
4
1
2
4
4
m
AB
m
y
y
y y
m
m
m
æ
ö
=
+
+
-
=
+
-
-
=
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
20
4
4
4 1
20
4
1
1
2
4
4
4
4
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
-
-
+
+
-
=
+
=
=
-
-
-
-
，
解得
2
6
m = - （舍去）或2
3 ，所以
6
3
m = ±
，
直线l 的方程为：
6
5
3
x
y
= ±
+
，即3
6
3 5
0
x
y
±
-
=
.
8．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）已知抛物线
2
:
2
0
E y
px p
=
>
的焦点为F ，点F 与圆
2
2
:
4
1
M
x
y
+
+
= 上点
的距离的最小值为4.
(1)求E 的方程；
(2)已知
ABC
V
的三个顶点都在抛物线E 上，且
ABC
V
的重心为点F .
①若直线AB 的斜率为2，求
ABF
△
的周长；
②求
ABC
V
的面积的最大值.
【答案】(1)
2
4
y
x
=
(2)①4
15
+
；②3 6
2
【详解】（1）因为
2
2
:
4
1
M
x
y
+
+
= ，所以圆心为
( 4,0)
M -
，
半径为1，由题意得
(
,0)
2
p
F
，则
2
p
MF =
+ 4 ，
因为点F 与圆
2
2
:
4
1
M
x
y
+
+
= 上点的距离的最小值为4，
所以
4 1
4
2
p +
- =
，解得
2
p =
，得到E 的方程为
2
4
y
x
=
.
（2）①如图，连接AF ，设
2
2
2
3
1
2
1
2
3
(
,
), (
,
),
(
,
)
4
4
4
y
y
y
A
y
B
y
C
y
，
因为
ABC
V
的重心为点F ，且
(1,0)
F
，所以
2
2
2
3
1
2
4
4
4
1
3
3
3
y
y
y
+
+
= ，
化简得
2
2
2
1
2
3
12
y
y
y
+
+
=
，也有
1
2
3
0
3
y
y
y
+
+
=
，即
1
2
3
0
y
y
y
+
+
=
，
得到
3
1
2
y
y
y
= -
-
，代入
2
2
2
1
2
3
12
y
y
y
+
+
=
中，得到
2
2
2
1
2
1
2
(
)
12
y
y
y
y
+
+ -
-
=
，
则
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
12
y
y
y
y
y y
+
+
+
- 2
=
，即
2
1
2
1
2
(
)
6
y
y
y y
+
-
= ，
设AB 的方程为x
my
n
=
+
，联立方程组x
my
n
=
+
，
2
4
y
x
=
，
得到
2
4
4
0
y
my
n
-
-
=
，且
2
2
4
4
1
1
)
6
6
m
n
m
n
0
D
-
- 4´1´
= -
=
+
>
，
由韦达定理得
1
2
4
y
y
m
+
=
，
1
2
4
y y
n
= -
，代入得
2
(4 )
(
)
4
6
m
n
- -
=
，
即
2
16
6
4
m
n
+
= ，化简得
2
8
2
3
m
n
+
= ，因为直线AB 的斜率为2，
所以
1
2
m =
，代入得到2
3
2n
+
= ，解得
1
2
n =
，则
1
2
2
y
y
+
=
，
1
2
2
y y = - ，
由弦长公式得
2
2
1
( )
1
2
4 ( 2)
15
2
AB =
+ ´
- ´ -
=
，
由焦半径公式得
2
2
1
2
1
2
1
1
2
4
4
y
y
AF
BF
x
x
+
=
+ +
+ =
+
+
，
2
1
2
1
2
(
)
4
( 2)
2
2
4
4
4
y
y
y y
+
- 2
- 2´ -
=
+
=
+
=
，故
ABF
△
的周长为4
15
+
.
②因为
2
8
2
3
m
n
+
= ，所以
2
3
2
0
8
n
m
-
=
³ ，解得
3
2
n £
，
因为
2
16
16
0
m
n
+
>
，所以
3
2
16
16
8
n
n
-
´
+
> 0，解得
1
2
n > -
，
综上可得
1 3
,
2 2
n
æ
ù
Î -
ç
ú
è
û ，由弦长公式得
2
2
1
16
4 ( 4 )
AB
m
m
n
=
+ ´
- ´ -
，
2
2
16
1
16
m
m
n
=
+ ´
+
，设F 到AB 的距离为d ，AB 的方程为
0
x
my
n
-
-
=
，
由点到直线的距离公式得
2
2
1
1
1 (
)
1
n
n
d
m
m
-
-
=
=
+ -
+
，
则由三角形面积公式得
2
2
2
1
1
1
16
16
2
1
ABF
n
S
m
m
n
m
-
=
´
´
+ ´
+
+
V
，
2
2
2
2
1
1
3
2
1 4
2
(
1)
2
8
1
n
n
m
m
n
n
n
m
-
-
=
´
´
+ ´ ´
+
=
´
-
´
+
+
，
2
2
2
3
6
3(1
2 )
6
(
1)
(
1)
(
1) (1
2 )
8
8
2
n
n
n
n
n
n
+
+
= 2´
-
´
= 2´
-
´
=
´
-
+
，
因为
ABC
V
的重心为点F ，所以
2
3 6
(
1) (1
2 )
2
ABC
ABF
S
S
n
n
= 3
=
´
-
+
V
V
，
令
2
( )
(
1) (1
2 )
f n
n
n
=
-
+
，则
( )
(
1)
f
n
n n
¢
= 6
-
，令
( )
0
f
n
¢
<
，
(0,1)
nÎ
，
令
( )
0
f
n
¢
>
，
1
3
,0
1,
2
2
n
æ
ù
é
ù
Î -
È
ç
ú
ê
ú
è
û
ë
û ，则
( )
f n 在
1
3
,0 , 1,
2
2
æ
ù é
ù
-
ç
ú ê
ú
è
û ë
û 上单调递增，
在( 0, 1) 上单调递减，则
( )
f n 极大值为
(0)
1
f
= ，且
3
( )
1
2
f
= ，
得到
( )
f n 的最大值为1，故
ABC
SV
的最大值为3 6
2
.
