解析几何：外接圆问题、内切圆问题、角平分线问题专项训练
1．（24-25 高二下·广东深圳·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，右焦点
(1,0)
F
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线:
(
0)
l y
kx k
=
¹
与椭圆E 交于P，A 两点，过点
0
0
,
P x
y
作PC
x
轴，垂足为点C，直线AC 交椭圆E 于
另一点B．
（i）证明：AP
BP
．
（ⅱ）求ABP
V
面积的最大值．
2．（2025·陕西西安·二模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三
条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线
2
:
2
0
C x
py p
=
>
的焦点为F，直线:
2
l y =
过点F，
过x 轴下方的一点P 作C 的两条切线1l 和2l ，且1l ，2l 分别交x 轴于点A，B，交l 于点M，N．
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)若△PMN 为阿基米德三角形，求∠MPN；
(3)证明：切线三角形PAB 的外接圆过定点．
考点一
外接圆问题
3．（24-25 高二上·江苏南通·阶段练习）双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
经过点( 3,1)，且渐近线方程为y
x
= ± ．
(1)求a，b 的值；
(2)点A，B，D 是双曲线C 上不同的三点，且B，D 两点关于y 轴对称，
ABD
△
的外接圆经过原点O，若设直线的
AB 方程为
(
0)
y
kx
m k
=
+
¹
．
①求
ABD
△
外接圆的方程（用k，m 表示）；
②求证：原点O 到直线AB 的距离为定值．
4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知O 为坐标原点，抛物线C ：
2
4
x
y
=
，过点（0，4）的直线与C 相交于M，N
两点.
(1)求
MON
Ð
；
(2)过M，N 分别作C 的两条切线1l ，2l ，记1l ，2l 的交点为P.
（i）求PMN
V
面积的最小值；
（ii）设A，B 分别为1l ，2l 与x 轴的交点，证明：PAB
V
的外接圆过定点.
5．（23-24 高二上·江苏南京·期末）设抛物线
2
4
x
y
=
的焦点为 F ，点 P 在抛物线的准线上. 过点 P 作抛物线的
两条切线，切点分别为 A
B
，
. 已知抛物线上有一动点 C ，位于点 A
B
，
之间. 若抛物线在点 C 处的切线与切线
PA
PB
，
相交于点 M
N
，
. 求证：
(1)直线 AB 经过点 F ;
(2) PMN
V
的外接圆过定点.
6．（2025·河北保定·一模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三
条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线
2
:
2
0
C x
py p
=
>
的焦点为F ，直线:
2
l y =
过点F ，
过x 轴下方的一点P 作C 的两条切线1
2
,
l l ，且1
2
,
l l 分别交x 轴于点
,
A B ，交l 于点
,
M N .
(1)若PMN
V
为阿基米德三角形，求
MPN
Ð
；
(2)证明：切线三角形PAB 的外接圆过定点；
(3)求PMN
V
面积的最小值.
7．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，右顶点和
上顶点分别为P，Q 且
1
3.
PF =
直线l 经过
1F 交C 于A，(
B A在x 轴上方) 两点，当l 垂直于x 轴时，直线OA 的斜
率是直线PQ 斜率的
3 倍.
(1)求C 的方程；
(2)求PAB
V
面积的最大值；
(3)若直线PA，PB 与y 轴分别交于M，N 两点，问
1
2
MF F
△
的外接圆是否经过点N，请给出你的判断并说明理由?
8．（2024·安徽马鞍山·三模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
C
b
b
x
a
a
y +
>
>
=
的离心率为4
5 ，点
(0,5)
P
在椭圆C 上，过点
(0, )(
5)
T
t t ¹ ±
的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，直线PA，PB 与直线y
t
= 分别交于点M，N
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若T 为椭圆C 的上焦点，求PAB
V
面积取得最大值时直线l 的方程；
(3)若PMN
V
的外接圆经过原点O ，求t 的值．
1．（24-25 高二下·安徽·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，且
1
2
4
F F =
.
(1)求C 的实轴长与虚轴长之积的最大值.
(2)若过点
2F 的直线与C 的右支交于P，Q 两点，直线
1
PF 与y 轴交于点
2
,
A PAF
V
的内切圆与边
2
AF 相切于点B ，且
|
| 1
AB = .
（i）求C 的方程；
（ii）记
1
2
PFF
V
的内切圆面积为
1
1
2
,
S
QF F
V
的内切圆面积为
2S ，求
1
2
S
S
+
的取值范围.
2．（24-25 高二上·广东广州·期末）已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的焦距为4 2 ，点
2 2,2
P
在椭圆E 上.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)点A ，B ，D 为椭圆E 上不同三点，且B ，D 关于原点对称，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，已知平
行四边形ABCD 存在内切圆.
（i）判断该内切圆是否为定圆，若不是，说明理由，若是，求出它的方程；
（ii）求平行四边形ABCD 的面积的取值范围.
考点二
内切圆问题
3．（2025·河北·模拟预测）抛物线
2
4
y
x
=
的焦点为F ，其上有两点A 、B ，
5
OA OB
×
=
uuur uuur
，AB 与x 轴正半轴交于点
E .
(1)求以FE为直径的
M
e
的方程；
(2)证明：取抛物线上的一点Q （Q 的横坐标不为1），总有该抛物线上的另外两点S 、T ，使
M
e
为QST
V
的内切
圆.
4．（24-25 高二上·河南·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，上､下顶点
1
2
,
B B 和左､右焦点
1
2
,
F F 形成的四边形的面积为2 3 .
(1)求C 的方程；
(2)设P 是C 上任意一点，线段
1
2
F F 上一点
0,0
M x
满足
1
2
1
2
PF
PF
MF
MF
=
，求
0x 的取值范围；
(3)经过
2F 的直线l 与C 交于
,
A B 两点，
1
2
AF F
△
与
1
2
BF F
△
的内切圆半径分别为1r ，
2r ，当1
2
2
r
r
=
时，求l 的方程.
5．（24-25 高二上·重庆·期中）如图，矩形ABCD 中，
2
AB
a
=
，
2
BC
b
=
，
0
a
b
>
>
，E 、F 、G 、H 分别是
矩形四条边的中点，R 、S 、T 是线段OF 的四等分点，R¢、S¢ 、T¢ 是线段CF 的四等分点.
(1)证明直线ER 与GR 、ES 与GS 、ET 与GT 的交点L 、M 、N 都在椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= 上.
(2)若
2
a =
，
1
b = .
1F 、
2F 为其左右焦点，过
2F 作直线交椭圆于A ，B 两点，若
1
ABF
V
内切圆半径为
1
2 ，求其面积.
6．（24-25 高二下·湖南长沙·期末）已知圆E 的方程为
2
2
(
3)
100
x
y
+
+
=
，
3,0
F
，M 为圆E 上任意一点，FM 的
中垂线与EM 相交于点P ．
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，若EAB
V
的内切圆半径为r 、且
3
10
r
AB
=
，求直线AB 的方
程．
7．（2025·河南·模拟预测）过点
3,0
M
且斜率存在的直线l 交抛物线
2
:
2
0
C y
px p
=
>
于不同的两点
(
,
), (
,
)
A
A
B
B
A x
y
B x
y
，且
12
A
B
y y = -
.
(1)求p ；
(2)已知
M
e
的半径为2，证明：对于抛物线C 上的动点
0
0
0
,
,
2
P x
y
y ¹
，且
0
2 5
y ¹
，总存在抛物线C 上的另外
两点
,
Q R ，使
M
e
为PQR
V
的内切圆.
8．（2025·江苏·二模）已知椭圆E ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为3
5 ，且经过点
16
(3,
)
5
.
1F ，
2F 是E 的左、右焦
点.
(1)求E 的标准方程；
(2)过
2F 的直线与E 交于P ，Q 两点.若
1F PQ
V
的内切圆半径为r ，
3
10
r
PQ
=
，求
2
2
F P
F Q
×
的值.
1．（24-25 高二下·浙江·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的两条渐近线为
3
y
x
= ±
，且经过点
2, 3 ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)
1
2
,
F F 分别是双曲线C 的左右焦点，过双曲线C 上一点
0
0
,
P x
y
作双曲线的切线l （l 的方程为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
-
= ）交
y 轴于点Q ；
（ⅰ）证明：
1
2
,
, ,
F F P Q四点共圆；
（ⅱ）当
0
0
x >
时，过点P 作l 的垂线与
1
2
PF F
Ð
的角平分线交于点M ，求点M 的轨迹方程．
2．（2025·浙江·一模）已知抛物线C：
2
2
y
px
=
的焦点为F，抛物线C 上点
0
2,
M
y
满足
3
MF =
.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设点
1,0
D -
，过D 作直线l 交抛物线C 于A，B 两点，证明：
1
x = 是
AFB
Ð
的角平分线.
考点三
角平分线问题
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，,
P Q 为双曲线
2
2
2
:
1
0
x
C
y
a
a -
=
>
上两不重合的动点，
点
3
2, 2
Aæ
ö
ç
÷
è
ø，且当
, ,
,
O P Q A四点共线时，
10 7
7
PQ =
.
(1)求C 的标准方程；
(2)若直线l 与C 的渐近线垂直，且经过点A ，求直线l 与两坐标轴交点的坐标；
(3)若,
P Q 均在C 的右支上，且线段OA是
OPQ
△
的角平分线，求直线PQ的方程.
4．（2025·江西·二模）已知点
0
0
,
P x
y
是双曲线
2
2
:
1
4
5
x
y
C
-
= 的图象上第一象限的任意一点，
1F 、
2F 分别为C 的
左右焦点.直线
0
0
:
1
4
5
x x
y y
l
-
= ，直线l 交x 轴于点G .
(1)已知
2
PF
x
轴，求直线l 方程；
(2)求证：直线l 为
1
2
F PF
Ð
的角平分线；
(3)若直线
2
PF 交C 于另一点Q ，且
1
2
16
11
PGF
QGF
S
S
D
D
=
，求直线l 和直线
1
QF 斜率之积.
5．（24-25 高二上·安徽·期中）已知椭圆
2
2
2
1 0
2
4
x
y
b
b
+
=
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，点P 在椭圆上，且直线
2
PF 与x 轴垂直.
(1)证明：
2
1
2
4
PF
PF
b
-
=
-
；
(2)若
1
2
F PF
Ð
的角平分线恰好过点
1 ,0
4
Dæ
ö
ç
÷
è
ø ，求
1
2
PFF
V
的面积.
6．（24-25 高三上·浙江·开学考试）阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.
其内容为：若将直线1l 绕1l 与2l 的交点逆时针方向旋转到与直线2l 第一次重合时所转的角为q ，则称q 为1l 到2l 的
角，当直线1l 与2l 不垂直且斜率都存在时，
2
1
1
2
tan
1
k
k
k k
q
-
= +
（其中
1
2
,
k k 分别为直线1l 和2l 的斜率）.结合阅读材料，
回答下述问题：
已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左､右焦点分别为
1
2
,
,
2,1
F F A -
为椭圆上一点，
0, 1
B
-
，四边形
1
2
AF BF 的面
积为2 3,O 为坐标原点.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)求
1
2
F AF
Ð
的角平分线所在的直线l 的方程；
(3)过点A 的且斜率存在的直线1
2
,
l l 分别与椭圆交于点,
P Q （均异于点A ），若点B 到直线1
2
,
l l 的距离相等，证明：
直线PQ过定点.
7．（2025·重庆·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的焦距为4，上顶点为A ，右焦点为F ，坐标原点为
O ，且
2 5
cos
, ,
5
AFO
P Q
Ð
=
为椭圆上两个不同的动点（均不与A 重合）.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若F 为
APQ
△
的垂心，求直线PQ的方程；
(3)若AF 是
PAQ
Ð
的角平分线，问：直线PQ是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由；
8．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）平面直角坐标系xOy 中，P 为动点，PA 与直线
3
x
y
=
垂直，垂足A 位于第一
象限，PB 与直线
3
x
y
= -
垂直，垂足B 位于第四象限，
90
APB
Ð
>
°且
3
4
AP BP =
，记动点P 的轨迹为C .
(1)求C 的方程；
(2)已知点
2,0
M -
，
2,0
N
，设点T 与点P 关于原点O 对称，
MTN
Ð
的角平分线为直线l ，过点P 作l 的垂线，
垂足为H ，交C 于另一点Q ，求
PH
QH 的最大值.
