圆锥曲线综合检测试卷(二)
考试时间：120 分钟 满分:150 分
一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.若抛物线
(
),则抛物线
的准线方程为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2.已知椭圆
内有一点
,
为椭圆的左焦点,
是椭圆上的一动点,设
的最大值和最小值分别为
和
,则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
3.已知双曲线
(
)的离心率为
,
分别为
的左、右焦点,若
在
的右支上,且
的周长为
,则
的面积是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
4.已知抛物线
的焦点为
,点
,
为抛物线上一点,且
不在直线
上,则
周长的最小值为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
5.已知双曲线
,
为坐标原点,
是
的左焦点,过点
的直线与
的两条
渐近线分别交于
；若
是直角三角形,则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
6.已知一动圆
经过定点
,且与定圆
相切,则动圆圆心
的
轨迹方程是( )
1
A.
B.
C.
D.
7.若抛物线
上存在不同的两点
关于直线
对称,则实数
的
取值范围为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
8.已知
、
是双曲线
的两个焦点，若在双曲线上存在点
满足
,则双曲线
的离心率的取值范围是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
二、多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9.若斜率为2 的直线l 过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相
交，则双曲线的离心率e 的可能取值为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
10.已知
是抛物线
(
)的焦点，过点
的直线与抛物线
交于
两点,若
为线段
的中点,
.则下列正确的结论为 ( )
(A)实数
的值为
(B)实数
的值为
(C)直线的斜率为
(D)直线的斜率为
11.如图,焦点在
轴上的椭圆
的离心率
,
是椭圆上任意一点,
分别是椭圆的一个焦点和顶点；则下列
说法正确的是( )
(A)实数
的值为
(B)
的最大值为
(C)实数
的值为
(D)
的最小值为
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.已知F1，F2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则
C 的离心率
．
13.已知双曲线
(
)的离心率为
,左焦点为
,点
(
为
2
半焦距).若
是双曲线
的右支上的动点,且
的最小值为
,则双曲线
的
方程为
．
14.已知直线
，
，圆
上的动点
到
，
的
距离之和是定值(与
无关的常数)，则实数
的最大值为__________．
四．解答题：本题共5 小题，15 题13 分，16、17 题各15 分，18、19 题各17 分，共77 分，解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，且C1与C2的离心率之
积为.(1)求C2的渐近线方程；(2)已知F(－3,0)是C2的左焦点，点 A(1,
)，点P 是C2右支
上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值.
16.已知抛物线
与直线
只有一个公共点，点
是抛物线
上的动点.(1)求抛物线
的方程；(2)①若
,求证：直线
过定点；②若
是抛物线
上与原点不重合的定点，且
，求证：直线
的斜率
为定值,并求出该定值.
17.已知椭圆
的离心率为
,过其左焦点
的直线交
于
两点,且当
轴时,弦
的长
.(1)求椭圆
的方程；(2)设
为椭圆
的右焦点,求满足弦
的长
时直线的方程.
3
18.已知
是抛物线
的顶点,
是
上的两个动点,且
.(1)试判断直线
是否经过某一个定点？若是,求出这个定点的坐标；若不是,说明
理由；(2)设点
是
的外接圆圆心,求点
的轨迹方程.
19.已知椭圆C1：
(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2
的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C1于A，B 两点，交C2于C，D 两点，且|CD|=
|
AB|.
（1）求C1的离心率；（2）设M 是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
4
检测试卷(二)答案及详细解析
一、单选题：
1.D 将抛物线
的方程化标准方程为
；当
时,这里
,则
,
得准线方程为
；当
时, 抛物线
的标准方程为
, 这里
,则
,得准线方程为
.综上,
的准线方程为
.故选
D.
2.C 如图,设椭圆右焦点为
.由方程
,得
,
则
.由椭圆的定义知
,即
,则需求
的最
值,连接
并延长与反向延长分别交椭圆于
与
.由平面几
何知识得
,即
.
则当点
与点
重合时,得
；当点
与点
重合时,得
；于是得
.故选C.
3.A 由题意
,得
,且
,解得
；又
,则
，又
周长
,即
；
5
由双曲线定义知
,解得
,故知
是以
为底边的等腰三角形,取
的中点为
,连结
,则由勾股定
理得
,所以
.故选A.
4.B 由方程
,得抛物线的焦点
,准线方程为
；易知点
在抛
物线
的内部,过
作
于
,设直线
交
于
,又过
作
于
.
由题意及抛物线定义,知
周长为
(当
与
重合,即
三点共线时取等号),故
周长的最小值为
；故选B.
5.A 依题意知
,双曲线的两渐近线方程为
,设过
的直线分别交渐近线
和
于
,由于
是直角三角形,则
,
由渐近线的斜率知
, 则
；因
, 得
,进而得
.故选A.
6.B 如图,设动圆
的半径为
,定圆
的半径为
,两圆相切于点
,
，
.依题意,得圆心
,则
,又点
在圆
内部，知圆
与圆
相内切,于是
,即
,且
,由椭圆的
定义知,动圆圆心
的轨迹是以
为两焦点椭圆.又因焦点
在
轴上且关于原点
对称,设椭圆的标准方程为
,这里
6
，
,即
,则
,得圆心
的轨迹方程是
.
故选B.
7.D 分情况讨论如下:①当
时,抛物线
上显然存在两点
关于直线
对称；
②当
时,设抛物线
上关于直线对称的两点
,且
的中点
.则
,
,两式相减得
,于是
,又
,则
,可得
；而中点
在直线
上,所以
,解得
.又中点
在抛物线
的内部,则有
,可
得
且
,解得
且
.综合①②得实数
的取值范围为
.故选D.
8.B 如图,不妨设
是双曲线左支上的点,并设双曲线左顶点为
;由
,化
为
(
为双曲线的焦距),即
,易证
,于是
,即
.
另解:设
,而
,则
,因
；并
注意
,则
,即得
.故选B.
二、多选题
9.BCD 因为双曲线的一条渐近线的斜率为，结合图形分析可知，若小于或等于2，则直线
与双曲线的一支相交或没有交点，不合题意；所以必大于2，即>2，＝
＝e2－1>4，解得双曲线的离心率e>，而
；故选
BCD．
10.BD 设
,且
为
的中点,则
；
7
根据抛物线的定义
，解得
，得抛物线
方
程
为
.
又
，
，
两
式
相
减
并
化
简
得
,即直线的斜率为；故选BD.
11.BC 依题意,
,解得
,即
.由此得椭圆方程为
,
则
,得
；设
,则
且
, 于是
(
), 显
然当
时,
最大且最大值为
.故选BC.
三、填空题
12.
设|PF2|＝x，则|PF1|＝x，|F1F2|＝2x，故2a＝|PF1|＋|PF2|＝(1＋)x,2c＝|F1F2|＝2x，
于是离心率e＝＝＝＝－1.故填
.
13.
设双曲线
的右焦点为
,则
.依题意得
,即
；又由双
曲线定义知
,则
,当且仅当
三点共线时取等号,所以
,又因为
,从而得
,即
,则
,
；故得双曲
线
的方程为
.故填
.
14.
依题意知
，要使圆
上的动点
到
，
的距离之和是定值(与
无关的常数)，则必须该圆
位于
与
之间，从而知
，则该距离之和就等于两
条
平
行
直
线
与
之
间
的
距
离
是定值(如图所示).从而知
在已知圆的上方(含相切),即
与圆相切或相离,所以圆心
到直线
的距离
,得
,且
,解得
,知实数
的最大值为
.故
8
填
.
四、解答题
15.(1)x±y＝0；(2)最小值为
.
解：(1)由于椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝
b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
(2)设双曲线C2的右焦点为F1,由(1)知a＝b，且C2的左焦点为F(－3,0)，得
解得
，且F1(3,0)；再由双曲线的定义可知|PF|－|PF1|＝
，所以|PF|＋|PA|＝
＋|PF1|＋|PA|
＋|AF1|．由双曲线的图形可知，当点A,P,F1三点共线时，满足|PF1|
＋|PA|最小等于|AF1|＝3，则(|PF|＋|PA|)的最小值为
；故所求的|PF|＋|PA|的最小值为
．
16.(1)
；(2)①直线
恒过定点
；②直线
的斜率为定值
.
解:(1)由
与
联立消去
得
；由于抛物线
与直线
只有一个公共点,则由
,且
,解得
,故抛物线
的方
程为
.
(2)①设
,
；则由
, 得
, 又
,所以直线
的方程为
,
即
,当
时,得
,
所以直线
恒过定点
.
9
②
设
，
，
则
,
所以
, 即
, 所以直线
的斜率为
(
为常数).即直线
的斜率为定值
.
17.(1)
；(2)
.
解:(1)如图,由椭圆离心率
,得
,
即
；又直线过左焦点
,则当
轴时直
线
的方程为
, 代入方程
中, 化简得
,
解
得
,
于
是
得
,即
；又
且
,解得
,则
.
故椭圆
的方程为
.
(2) 法1: 由(1) 知
, 则
,
, 又因为
,知此时不垂直
轴.设直线方程为
,
,
10
.将
代入
,整理得
,
由韦达定理得
,
, 根据弦长公式得
,由
,化简得
,解得
.故得所求直线的方程为
.
法2:前同法1,由椭圆的焦半径公式知
,
,则
, 由
, 化简得
,解得
.故得所求直线的方程为
.
18.(1)直线
经过定点
；(2)点
的轨迹方程为
.
解:(1)依题意,设
,
,则
,
；又由
,得
,化简得
①.由于直线
与
轴不可能垂直,设
的方程为
,将它代入抛物线
的方
程中,整理得
，由韦达定理得
②.由①②得
,
即
的方程为
,所以直线
经过定点
.
另解:(1)依题意,设
,
,则
,
；又由
,得
,化简得
.由于直线
与
轴不可能垂直, 则
的斜率
, 则直线
方程为
11
,且
,化简得
,所以直线
经过定点
.
(2)如图,由(1)易知线段
的中点坐标为
,直线
的斜率为
,注意
,则线段
中垂线的斜率
为
,因此线段
中垂线的方程为
,即
①.同理线段
中垂线方程为
②.由①②两式解得
,
,从而知直线
与
的中垂线的交点满足
,消去参数
得
.故点
的轨迹方程
为
.
19.（1）
；（2）
，
.
解:（1）
，
轴且与椭圆
相交于
、
两点，则直线
的方程为
，
联立
，解得
，则
，
抛物线
的方程为
，联立
，解得
12
，
，又
，即
，
，即
，即
，又
，解得
，因此，椭圆
的离
心率为
.
（2）由（1）知
，
，椭圆
的方程为
，联立
，
消去
并整理得
，解得
或
（舍去），由抛物线的定
义可得
，解得
.因此，曲线
的标准方程为
，
曲线
的标准方程为
.
13
