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圆锥曲线：定点问题、定值问题、面积问题专项训练
考点目录
定点问题
定值问题
面积问题
考点一 定点问题
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例3．（25-26 高三上·北京·月考）已知椭圆
的离心率为
，点
在C 上．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知动直线l 过曲线C 的左焦点F，且与椭圆C 分别交于P，Q 两点，试问x 轴上是否存在定点R，使得
为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
例4．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点，椭圆
的离心率为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
为椭圆
的上顶点，
为左焦点，
为椭圆
上的两点，点
关于
轴的对称点为
为
的
平分线，求证：直线
过定点.
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变式1．（25-26 高三上·北京海淀·月考）已知椭圆
的左顶点为A，离心率为
，且经过点
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设过点
的直线交C 于
两点，过M 且平行于y 轴的直线与线段
交于点T，点Q 满足
，
问：是否存在x 轴上的定点K，使得直线
始终经过点K．
变式2．（25-26 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆
的左右焦点分别是
，上顶点
，右顶
点为
，
的外接圆半径为2．
(1)求椭圆
的方程；
(2)动圆的圆心坐标
，过点
作圆
的两条切线分别交椭圆于
和
两点，记直线
的斜率分别为
和
．求证：
；
(3)设直线与椭圆
交于
两点（不是左右顶点），若以
为直径的圆经过点
，求证：直线
恒过定点．
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变式3．（25-26 高二上·江苏常州·月考）已知圆
，点
是直线
上的一动点，过点
作圆
的切线
，切点为
．
(1)当切线
的长度为
时，求点
的坐标；
(2)若
的外接圆为圆
，试问：当
在直线上运动时，圆
是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；
若不存在，说明理由．
变式4．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·月考）在平面直角坐标系
中，已知动点
到点
的距离与到直
线
的距离之比为 2， 记动点
的轨迹为
.
(1)求轨迹
的标准方程；
(2)已知圆
：
，圆
的切线交曲线
于
、
两点.
（i）当
时，若
，且切点在第二象限，求切线的斜率；
（ii）当
时，已知
是关于
轴对称的两点，是否存在，使得
的外接圆过定点； 若过定点，
求出定点坐标； 若不存在，请说明理由.
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例1．（2026·广西柳州·二模）已知椭圆
的离心率为
，左、右顶点分别为
，
，点
的坐标为
，且
为
的中点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)斜率不为0 的动直线过点
交椭圆
于
，
两点，直线
，
交于点
，直线AD，BC 交于点
.
（i）设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，证明
为定值；
（ii）以
为直径的圆被
轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由.
例2．（25-26 高三上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系
中，已知点
，
，动点E 满足直线
与
的斜率之积为
，记E 的轨迹为曲线C.
(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
(2)过点
的直线交C 于P，Q 两点，
（i）求
的最小值；
（ii）过点P 作直线
的垂线，垂足为G，过点O 作
，垂足为M.证明：存在定点N，使得
为定值.
考点二 定值问题
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例3．（25-26 高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知椭圆
（
）的离心率为
，且过点
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设椭圆E 的右焦点为F，过点
作斜率不为0 的直线交椭圆E 于M，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为
，
．求证：
为定值；
例4．（25-26 高二上·山东·月考）如图，椭圆
，且过
，离心率
．圆
，点P 为直线
上一个动点．
(1)求椭圆W 的标准方程；
(2)过点P 作椭圆W 的两条切线
，切点分别为
，证明：直线
过定点；（参考公式：若
为椭
圆
上的点，则椭圆在Q 处的切线方程为
）
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(3)若直线
与圆O 相切于点M，且交椭圆W 于
两点，证明：
为定值．
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变式1．（25-26 高二上·安徽蚌埠·月考）已知O 为坐标原点，双曲线
过点
，离心
率为
．
(1)求双曲线C 的渐近线方程；
(2)直线l 过点
，与双曲线C 交于A、B 两点．
①若直线
，求
的面积；
②在x 轴上是否存在定点N，使得
为定值？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式2．（25-26 高二上·福建厦门·期中）已知直线
交y 轴于点P，圆
，过点P 作圆
M 的两条切线，切点分别为A，B．
(1)当
时，求切线长
；
(2)求证：直线
恒过定点；
(3)记直线
与
交于点C，
，
是否为定值？若是，求其值；若不是，请说明理由．
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变式3．（25-26 高二上·黑龙江·期末）已知椭圆
：
的离心率为
，焦点与短轴端点围成
的四边形的面积为
.
(1)求椭圆
的标准方程.
(2)已知动直线过椭圆
的左焦点
，且与椭圆
分别交于
，
两点.试问
轴上是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求出该定值和点
的坐标；若不存在，说明理由.
变式4．（25-26 高二上·湖北荆州·月考）已知椭圆
过点
，左焦点为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线
与椭圆
相交于
两点，线段
的中点为
，点
在椭圆
上，满足
（
为坐标原点），求证：
的面积为定值，并求出该定值.
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例1．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
，
两点，求
面积的最大值.
例2．（25-26 高三上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知
，平面内一动点
满足
,
成等差数列，记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)过点
的直线交曲线
于A，B 两点.
①若点
的坐标为
，求线段AB 的长；
②若
的面积是
面积的3 倍，求直线的方程.
考点三 面积问题
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例3．（25-26 高二上·上海闵行·期末）如图，设
是椭圆
的下焦点，直线
与椭圆相交
于
两点，与
轴交于
点.
(1)若
，求
的值；
(2)求
面积的最大值.
例4．（2026·河南鹤壁·一模）已知椭圆
的左顶点为
，上顶点为
和
是
上除顶点外的两个
动点．
(1)若直线
的斜率成等差数列，证明：直线
过定点；
(2)若直线
的斜率成等比数列，求
面积的最大值．
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变式1．（25-26 高二上·山东聊城·期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭
圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，
已知椭圆
的蒙日圆半径为
，离心率为
．
(1)求椭圆
的标准方程．
(2)已知点P 是抛物线
的准线上任意一点，过点（1，0）的直线交
于两点A，B 直线AB 与
交于C，
D 两点，记
，
分别是
，
的面积，求
的取值范围
变式2．（25-26 高二上·湖南郑州·月考）如图
分别是
的左、右焦点，点
在椭圆
上，
当
最大时，
且
.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)直线
与椭圆
的另一交点为
，过
作直线
的垂线
与圆
交于
两点，求四边形
面积的最大值.
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变式3．（25-26 高二上·山东潍坊·月考）如图，在平面直角坐标系中，
为坐标原点，
，
，
，
，R，
分别为线段
，
上的动点（不含端点），满足
.已知直线
与直线
的交点
在椭圆
上.
(1)求
的方程；
(2)若
，
为
上两点，直线
不平行于
轴，
为
的左顶点，直线
与
的斜率之积为
，且
.
（i）证明：点
到原点的距离为定值；
（ii）求
面积的最大值，并求出此时
，
的值.
变式4．（25-26 高二上·湖北孝感·月考）已知椭圆
（
）的离心率为
，且过点
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设椭圆E 的右焦点为F，过点
作斜率不为0 的直线交椭圆E 于M，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为
，
．
①求证：
为定值；
②求
的面积S 的最大值．
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