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小题限时卷05（A 组+B 组+C 组）
（模式：8+3+3 满分：73 分 限时：50 分钟）
一、单选题
1．（23-24 高三下·辽宁·期末）如果复数
满足：
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，即可表示出
，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可.
【详解】设
，则
，
，
因为
，即
，
所以
，解得
，
所以
.
故选：A
2．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由条件结合换底公式可求
，相加可得结论.
【详解】由换底公式得，
，
，
所以
，
所以
.
故选：C.
3．（23-24 高三下·辽宁·期末）设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下面命题中正确的
是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
1
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C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【分析】对于ABC：根据正方体的结构特征，举反例说明即可；对于D：根据线面垂直的性质和判定定理
分析判断.
【详解】对于选项ABC：在正方体中
，
例如
∥平面
，平面
∥平面
，
平面
，
但
与
相交，故A 错误；
例如
∥
，
∥平面
，
∥平面
但平面
平面
，故B 错误；
例如
，
平面
，但
平面
，故C 错误；
对于选项D：若
，则∥
，
且
，所以
，故D 正确；
故选：D.
4．（2024·山东青岛·一模）若正项等差数列
的前
项和为
，则
的最大值为（ ）
A．9
B．16
C．25
D．50
【答案】C
【分析】根据等差数列的求和公式可得
，利用基本不等式可求最值.
【详解】因为
，
所以
，则
又因为
，
所以
，当且仅当
时，等号成立；
所以
的最大值为25.
故选：C
2
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5．（24-25 高三上·河北邯郸·阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】B
【分析】由三角恒等变换可得
，进一步由同角三角函数关系以及商数关系、二倍角公式化简求值
即可.
【详解】由
，解得
，
故
.
故选：B.
6．（2024·浙江·模拟预测）天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星
只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的
所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式，结合排列组合知识求解．
【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有
种可能的许愿方式.
由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人
的愿望，
所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，
可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，
有
种情况，
所以所求概率为
.
故选：C.
7．（24-25 高三上·广西·阶段练习）抛物线
的焦点为
，准线为，
，
是抛物线上的两个动点，
3
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且满足
.设线段
的中点
在准线上的投影为
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段
，解三角形得到线段
，由基本不等
式得到取值范围，从而得到最值.
【详解】设
、
，如图所示，根据抛物线的定义，
可知
，
，
在梯形
中，有
，
在
中，
，
又∵
，∴
，
当且仅当
时取等号，∴
，
故
的最大值是
.
故选：A.
【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注
意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)
将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决．
8．（24-25 高三上·重庆·期末）已知函数
的定义域为
，则下列选项
一定正确的是（ ）
A．
B．
4
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C．
D．
的图象关于直线
对称
【答案】C
【分析】根据函数的对称性以及周期性，即可结合选项逐一求解.
【详解】根据
可得
可得
对称，故B 错误，
由
可得
为周期函数，且周期为4，
对于A，无法确定f (1)=0，故A 错误，
对于C，
．C 正确，
对于D，由于
关于
对称且周期为4，故
，
无法确定
和
的关系，因此无法确定
是函数的对称轴，故D 错误，
故选：C
二、多选题
9．（24-25 高三上·江苏苏州·期中）设
为数列
的前n 项和.若
，则（ ）
A．
B．数列
为递减数列
C．
D．
【答案】BC
【分析】A 选项，利用
得到
为公比为2 的等比数列，求出
；B 选项，当
时，
，B 正确；C 选项，计算出
，得到C 正确；D 选项，利用等比数列求
和公式计算出
，
，D 错误.
【详解】A 选项，当
时，
，解得
，
当
时，
，
故
，
所以
为公比为2 的等比数列，
，A 错误；
B 选项，当
时，
，
故
，所以
为递减数列，B 正确；
C 选项，
，
，
，
故
，C 正确；
5
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D 选项，
，
，
故
，D 错误.
故选：BC
10．（2024·山东临沂·一模）已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
的值域为
C．当
时，
为奇函数
D．当
时，
【答案】ACD
【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A，再分
、
分别求出函数值的
取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B，根据奇偶性判断C，根据指数幂的运算判断D.
【详解】对于函数
，令
，解得
，
所以
的定义域为
，故A 正确；
因为
，当
时
，所以
，
当
时
，所以
，
综上可得
的值域为
，故B 错误；
当
时
，则
，
所以
为奇函数，故C 正确；
当
时
，则
，
故D 正确.
故选：ACD
11．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4 个顶点
A，B，C，D 在同一个平面内，若四边形
是边长为2 的正方形，则（ ）
6
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A．异面直线
与
所成角大小为
B．二面角
的平面角的余弦值为
C．此八面体的外接球体积为
D．此八面体的内切球表面积为
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，求 异面直线所成角判断A,求二面角判断B,求外接球的体积判断C，应用
内切球计算公式求内切球半径求表面积判断D.
【详解】连接
、
交于点
，连接
、
，
因为四边形
为正方形，则
，
又因为八面体的每个面都是正三角形，
所以
、
、
三点共线，且
面
，
所以以
为原点，分别以
、
、
为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
，如图所示，
则O(0,0,0)，
，
，
，
，
，
，
对于A 项，
，
，
设异面直线
与
所成角为
，
则
，
7
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所以
，即异面直线
与
所成角大小为
，故A 项正确；
对于B 项，
，
，
，
设面
的一个法向量为
，
则
，取
，则
，
，则
，
设面
的一个法向量为
，
则
，取
，则
，
，则
，
所以
，
又因为面
与
所成的二面角的平面角为钝角，
所以二面角
的平面角的余弦值为
，故B 项错误；
对于C 项，因为
，
所以
为此八面体外接球的球心，且外接球的半径为
，
故体积为
，故C 项正确；
对于D 项，设内切球的半径为，
则八面体的体积为
，
又八面体的体积为
，
所以
，解得
，
所以内切球的表面积为
，故D 项正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解外接球体积的关键是
，找到球心.
三、填空题
12．（24-25 高三上·重庆·期末）已知非零向量
满足：
，且
，则
.
8
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【答案】
【分析】由
，可得
，再利用夹角公式求解即可.
【详解】
.
，
，解得
，
故
．
故答案为：
.
13．（24-25 高三上·广西·阶段练习）已知函数
的定义域为
，
是偶函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线斜率为 .
【答案】
【分析】根据
是偶函数求出
时
的解析式，再利用导数求出斜率.
【详解】因为
是偶函数，所以函数
的图象关于
对称，
则
，当
时，
，
∴
，则
，
此时
，
，
即曲线
在点
处切线的斜率为
.
故答案为：
.
14．（2024·北京·模拟预测）已知
，则
的最小值为 ．
【答案】2
【分析】变形函数
，换元构造函数，再利用导数分段探讨单调性求出最小值.
【详解】函数
，令
，令
，
9
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当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
因此当
时，
，所以当
时，
取得最小值2.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：利用对数运算法则变形，再换元构造新函数是解决本题的关键.
（模式：4+2+1 满分：37 分 限时：25 分钟）
一、单选题
1．（23-24 高三下·辽宁·期末）在世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”. 这可视为中国古代极限
观念的佳作. 割圆术可以视为将一个圆内按正
边形等分成
个等腰三角形（如图所示），当
越大，等腰
三角形的面积之和越近似等于圆的面积. 运用割圆术的思想，可得到
的近似值为（
取近似值
）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，将一个单位圆等分成60 个扇形，则每个扇形的圆心角均为
，再根据这60 个扇形对
应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积列等式，计算即可.
【详解】将一个单位圆等分成60 个扇形，则每个扇形的圆心角均为
.
因为这60 个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积，
所以
，所以
.
故选：
.
2．（24-25 高三上·福建宁德·阶段练习）已知数列
的首项
，且满足
，则
的值为（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用取倒法证得
是等差数列，进而求得
，从而得解.
【详解】因为
，
，易知
，
所以
，即
，
又
，所以
，
故
是以为首项，
为公差的等差数列，
则
，故
，
所以
.
故选：A.
3．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）在正四棱台
中，
，其体积为
，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作辅助线，可知
为异面直线
与
所成角或其补角，根据棱台体积公式求得
，
结合余弦定理即可求解.
【详解】设正四棱台
的高为，
连接
，作
交
于点
，作
交
于点
，连接
，
11
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则
为异面直线
与
所成角或其补角.
因为
，且正四棱台
的体积为
，
即
，
所以
，即
，
则
，
，
，
，
，
所以
.
故选：D.
4．（2024·河北沧州·二模）若
，则下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用对数函数的单调性，以及正弦函数的性质，分别求得
的取值范围，即可求
解.
【详解】由对数函数单调性，可得
，所以
；
因为
，所以
，
又因为
，所以
，即
，所以
.
故选：B.
二、多选题
5．（24-25 高三上·浙江·期中）已知直线
，圆
，点P 为直线l 上一点，
12
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点Q 为圆C 上一点，则下列选项正确的是（ ）
A．直线l 恒过定点
B．若圆C 关于直线l 对称，则k =1
C．若直线l 与圆C 相切，则
D．当k =1时，取y 轴上一点
，则
的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，看出关于
的多项式恒等于0 即可判断；对于B，把圆心坐标代入已知直线即可判断；
对于C，根据圆心到直线的距离等于半径列方程即可判断；对于D，找对称点，转换为将军饮马模型即可
求解.
【详解】解：对于A，直线l：k
，即
，
令
，则
，解得
，
，
所以直线|恒过定点
，故A 正确;
对于B，若圆C 关于直线l 对称，则直线l 过圆心
，
所以
，解得
，故B 错误;
对于C，若直线与圆C 相切，则圆心
到直线的距离等于半径1，
即
，解得
，故C 正确;
对于D，当k =1时，直线
，点
关于直线l 的对称点
，
则有
，解得
，即
，
所以
的最小值为
，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
6．（24-25 高三上·重庆·期末）若
，则
13
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.
【答案】
【分析】对
两边求导，再令
可得答案.
【详解】对
两边同时求导可得：
，
再令
可得：
．
故答案为：
7．（2024·福建三明·三模）在平面直角坐标系中，
、
、
，
当
时.写出
的一个值为 .
【答案】
（满足
或
的其中一值）
【分析】利用平面向量数量的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出
，求出
的值，即
可得解.
【详解】由题意可得
，
，
所以，
，同理可得
，
则
，
所以，
或
，
解得
或
，
故答案为：
（满足
或
的其中一值）.
8．（2024 高三下·吉林·竞赛）函数
(
，且
)，若
对
成
立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
.
【分析】对
分
和0<a<1两种情况，利用对数函数的单调性，分参，利用函数
14
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的单调性求解最值即可求解.
【详解】解: 当
时，
，
设
，则
在
上是减函数，所以
.
故
.
当 0<a<1 时，
，
设
，则
在
上均为减函数，
所以
，
所以
，此不等式组无解.
综上，实数
的取值范围是
，
故答案为：
.
（模式：1+1+1 满分：16 分 限时：15 分钟）
一、单选题
1．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，左、
右顶点分别为
，
，以
为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点
，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】利用双曲线渐近线确定
，由余弦定理可得
，再由勾股定理得
，
15
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又由
确定
得
，最后根据
求得离心率 .
【详解】根据题意可知：点
在以
为圆心为半径的圆上，所以
；
根据双曲线渐近线方程为
有
，
由双曲线中
，可得
，
在
中，
，
，
余弦定理有
，解得
；
有
，所以
；
在
中，
，
，所以
，
所以双曲线离心率
.
故选：D
【点睛】方法点睛：
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式
；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合b2＝c2－a2 转化为a，c 的齐次式，然后等式(不
等式)两边分别除以a 或a2 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．
二、多选题
2．（24-25 高三上·广西南宁·阶段练习）函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，函数
只有一个零点
B．若函数
的对称中心为
，则
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C．若函数
在
上为减函数，则
D．当
时，设
的三个零点分别为
，
，曲线
在点
，
，
处的切
线斜率分别记为
，
，
，则
【答案】ABD
【分析】利用导数研究函数的单调性与极值可判定A；利用函数对称性的充要条件可判定B；利用函数单
调性判定导函数的符号，参变分离计算参数可判定C；利用零点将函数式变形，通过导数计算斜率之间的
关系，化简计算即可.
【详解】对于A，
时，
，
令
，令
，
即y = f (x)在
上单调递增，在
上单调递减，
则y = f (x)的极大值为
，极小值
，
又
，即函数y = f (x)只有一个零点，在区间(−1,1)内，故A 正确；
对于B，若函数
的对称中心为
，
则有
，
即
，所以
，故B 正确；
对于C，可知
，若函数
在
上为减函数，
则有
在
上恒成立，
17
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分离参数得
在
上恒成立，
结合对勾函数的性质可知：
，
故
，故C 错误；
对于D，当
时，
，
令
，令
，
即y = f (x)在
上单调递增，在
上单调递减，
则y = f (x)的极大值为
，极小值
，
又
，
即函数y = f (x)有一个零点，分别在区间
内，
则有
，
故
，
所以
，
，
则
，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：对于函数零点个数的判定可通过研究其单调性与极值、最值结合图形分析；对于三次
函数的对称性，除了利用对称性的充要条件待定系数计算，也可以利用二阶导函数的零点计算；已知函数
的单调区间可利用导数的符合化为恒成立问题参变分离计算；对于D 项，利用零点变形函数式，再求导，
转化三个零点对应切线斜率之间的关系是关键.
三、填空题
3．（24-25 高三上·广西·阶段练习）将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板（
）的
长直角边与含45°角的三角板（
）的斜边恰好重合.
与
相交于点
，若
，则
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.
【答案】
【分析】首先设
，则
，
，利用余弦定理得到
，再根据
求解即可.
【详解】由题可知
，
设
，则
，
，
由余弦定理
，
则
，
解得
，∴
，
，
则
，
，
.
由
可得：
，
则
，解得
，
则
，所以
.
故答案为：
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