微专题01 权方和不等式与柯西不等式讲义
微专题教学内容
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
(a
2+b
2)(c
2+d
2)≥(ac +bd)
2(a,b,c ,d ∈R , 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1) √a
2+b
2⋅√c
2+d
2≥|ac +bd|(a,b,c ,d ∈R, 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)
(2) √a
2+b
2⋅√c
2+d
2≥|ac|+|bd|(a,b,c ,d ∈R, 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)
(3) (a+b)(c +d)≥(√ac +√bd)
2(a,b,c ,d ≥0, 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)
3.扩展： (a1
2+a2
2+a3
2+⋯+an
2)(b1
2+b2
2+b3
2+⋯+bn
2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn)
2
二、权方和不等式:
若
则
当且仅当
时取等.
(注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀)
广义上更为一般的权方和不等式:
设
,
若
或
, 则
;
若
, 则
;
1
上述两个不等式中的等号当且仅当
时取等
注意观察这个不等式的结构特征, 分子分母均为正数, 且始终要求分子的次数比分母的次数
多 1, 出现定值是解题的关键, 特别的, 高考题中以
最为常见, 此时这个不等式是大
家熟悉的柯西不等式.
典例精讲
【典例1】
权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立.根据权方和不等式，函数
的最小值为（ ）
A．39
B．52
C．49
D．36
【答案】B
【分析】根据权方和不等式的定义，将函数
变形为：
，再根据权方和不等式求
出最小值即可.
【详解】因为
，
因为
，所以
，
，
根据权方和不等式有：
，
当且仅当
时，即
时等号成立.
2
所以函数
的最小值为
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求
最值.
会一题通一类
1．若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．4
C．
D．3
【答案】C
【分析】根据
，将原式乘以
，进行化简后，利用基本不等式的性质求出最
小值即可.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以根据基本不等式的性质可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
此时
取最小值为
.
故选：C.
2．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初命名的．其具体内容为：设
，则
，当且仅当
3
时，等号成立．根据权方和不等式，若
，当
取得最小值时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由给定的权方和不等式定义处理即可.
【详解】由题意得，
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
．
故选：C．
【典例2】
已知
，
，为非负实数，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
变形可得
，根据权方和不等式即可求解.
【详解】由权方和不等式，可知
，
当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为2.
故选：B
会一题通一类
4
1．已知实数
，
，满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】利用
，结合基本不等式求解.
【详解】因
，
，满足
，则
，
于是
，当且仅当
时，即
，等号成立，
故
的最小值是.
故选：C
2．若
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用已知条件构造
，利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
【详解】由
，可知
，
，
所以
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
．
5
故答案为：
【典例3】
已知
，
，
，则
的最小值为 .
【答案】1
【分析】将目标代数式通过1 的代换变形为积为定值的形式，再利用基本不等式求最值即可．
【详解】因为
，
当且仅当
时，即
等号成立.
故答案为：1．
会一题通一类
已知实数
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，将
变换为
，利用基本不等式乘1 法，即可求得其最小
值.
【详解】∵
，
∴
，
当且仅当
，
6
联立
，解得
，时取等号.
则
的最小值为
.
故选：A
【典例4】
已知
，
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
/
【分析】根据柯西不等式即可得到
，再验证
取值即可.
【详解】
，
，
当且仅当
，又
，即
时，等号成立，
的最小值为
.
故答案为：
.
会一题通一类
已知x，y，z 满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【详解】因为
,
即
,
7
所以
最小值为
，当且仅当
时取等号.
故答案为：
.
【典例5】
函数
的最小值为 ．
【答案】
【详解】注意到，
．
则
．
会一题通一类
设非负实数
、
、
满足
．则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】首先，
．
则
．
当且仅当
时，
．
【典例6】
1.用柯西不等式求函数
的最大值为
A．
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】配凑目标函数，再利用柯西不等式即可求得结果.
【详解】由柯西不等式可得，
8
函数
当且仅当
=
=
时，即
时等号成立，
故该的最大值为4.
故选：C.
2.求
的最大值．
【答案】
【分析】先求出定义域，再根据柯西不等式得
，进而求
解最大值．
【详解】
的定义域满足
，解得
．
下面证明不等式
，
因为
，
当且仅当
时等号成立；
则
，
所以
，
则
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最大值为
．
学后测评
9
1. 已知实数
，
满足
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．9
【答案】B
【分析】变形有
，再利用乘“1”法即可得到最值.
【详解】因为
，且
，则
，
，
则
，
当且仅当
，且
时，即
时取等号，
故选：B．
2. 已知正实数
满足
，若
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．8
B．16
C．24
D．36
【答案】C
【分析】根据题意，得到
，结合基本不等式，求得
，得到
，进而求
得实数
的范围，得到答案.
【详解】由正实数
满足
，可得
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，所以
，
所以
的最小值为
，
因为
恒成立，可得
，解得
.
故选：C.
3. 已知
且
，则下列选项不正确的是（ ）
10
A．
的最大值是
B．
的最大值是
C．
的最小值是
D．
的最小值是
【答案】C
【分析】直接运用基本不等式可解决A、B；运用基本不等式中“1”的妙用可解决C；运用换元法结合基
本不等式，可解决D.
【详解】对于A：因为
且
，
所以
，当且仅当
时等号成立，即
的最大值是
，故A 正确；
对于B：因为
且
，所以
，即
，当且
仅当
时等号成立，故B 正确；
对于C：因为
，
当且仅当
时等号成立，所以
的最小值是
，故C 错误；
对于D：令
，则
所以
，
又因为
，所以
，
因为
，
当且仅当
，即
时等号成立，
因此
，则
，
，故D 正确.
11
故选：C.
4. 柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯
西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量
,
,由
得
到
,当且仅当
时取等号.现已知
,
,
,则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
,令
代入公式,结合已知条件
,
,
即可得到结果.
【详解】因为
,
令
,又
,
,
,
所以
,
当且仅当
即
时等号成立,
即
,
故选:D.
5. （多选）已知实数
且
，下列选项正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为 12
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】ABD
12
【分析】对A 利用乘“1”法即可求解最值，对B，构造关于
的不等式，解出即可；对C，利用减少变
量法转化为关于
的式子，然后利用基本不等式即可；对D，利用柯西不等式即可求解最值.
【详解】对于A，
，
当且仅当
时等号成立，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
当且仅当
时，取＂
＂，故B 正确；
对于C，由题得
且
，所以
.，
当且仅当
时等号成立，故C 错误；
对于D，因为
，所以
，
所以
，
首先证明柯西不等式：设
为任意实数，则
．
欲证
.
即证
，即证
，而这是显然成立的，故原不等式得证．
则
，
所以
，当且仅当
时等号成立，故D 正确；
故选ABD．
6. 已知
，
，
，则
的最小值为 .
【答案】6
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【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】由
，得
，
当且仅当
时等号成立，故
的最小值为6.
故答案为：6
7. 已知
，且
，则
的最小值是 .
【答案】
【分析】利用代换1 法来，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设
，由对应系数相等得
，
解得
所以
，整理得
，
即
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值是
.
故答案为：
.
14
8. 已知函数
，若
，
且
，则
的最小值
为 ．
【答案】
【分析】判断给定函数的奇偶性和单调性，利用函数性质求出
的关系，再借助基本不等式“1”的妙用
求解即得.
【详解】由
，定义域为
，
，
则
，
所以函数
为奇函数，
因为函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，
由
，则
，
所以
，即
，则
，
又
，
，则
，
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧：
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（1）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一
正”、“二定”、“三相等”的条件；
（2）利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以
及“1”的代换等应用技巧.
9. 已知x>0，y>0，且
，则x+2y 的最小值为 .
【答案】
【详解】解法一：设
，
可解得
，
从而
，
当且仅当
时取等号.
故答案为：
．
解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：
，
，
所以
，当且仅当
时取等号.
故答案为：
．
10. 设正实数
、
、满足
．则
的最小值为 ．
【答案】9
16
【详解】由题设得
．
由柯西不等式及均值不等式得
=
，
当且仅当
时，上式等号成立．
故
的最小值为9
11. 实数x、y 满足
，则
的最大值是
【答案】42
【详解】注意
，
，
，这三者相加即得
.
当
，
时等号成立，所以
的最大值是42.
也可以直接用柯西（Cauchy）不等式
，得到最大值
为42.
故答案为42
17
