文档文本内容
二次函数y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质
第1 课时 二次函数y＝ax2＋k 的图象和性质
[见B 本P14]
1．抛物线y＝－2x2＋1 的对称轴是( C )
A．直线x＝ B．直线x＝－
C．y 轴 D．直线x＝2
2．下列函数中，图象形状、开口方向相同的是( B )
①y＝－x2；②y＝－2x2；③y＝x2－1；
④y＝x2＋2；⑤y＝－2x2＋3.
A．①④ B．②⑤
C．②③⑤ D．①②⑤
【解析】 a 决定抛物线的开口方向与形状大小，②⑤中a 相同，选B.
3．如果将抛物线y＝x2＋2 向下平移1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3
4．[2013·德州]下列函数中，当x>0 时，y 随x 的增大而增大的是( B )
A．y＝－x＋1 B．y＝x2－1
C．y＝ D．y＝－x2＋1
5．抛物线y＝－2x2－5 的开口向__下__，对称轴是__y 轴
__，顶点坐标是__(0
，
－
5)
__．
【解析】 根据抛物线y＝ax2＋c 的特征解答即可．
6．抛物线y＝x2－4 可由抛物线y＝x2沿__y__轴向__下__平移__4__个单位而得到，它的开口
向__上__，顶点坐标是__(0
，
－
4)
__，对称轴是__y 轴
__，当__x ＝
0 __时，y 有最__小__值为__
－
4 __，当__x >0
__时，y 随x 的增大而增大，当__x <0
__时，y 随x 的增大而减小．
【解析】 抛物线y＝x2－4 与y＝x2的形状相同，但位置不同，抛物线y＝x2－4 的图象可由抛物
线y＝x2的图象沿y 轴向下平移4 个单位而得到，画出草图回答问题较方便．
7．[2013·湛江]抛物线y＝x2＋1 的最小值是__1__．顶点是__(0
，
1 ) __．
8．(1)填表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y＝－2x2
y＝－2x2＋1
y＝－2x2－1
(2)在同一直角坐标系中，作出上述三个函数的图象；
(3)它们三者的图象有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
(4)由抛物线y＝－2x2怎样平移得到抛物线y＝－2x2＋1 与y＝－2x2－1?
解：(1)略 (2)略
(3)它们三者图象的形状相同，但位置不同，开口方向都向下，对称轴都为y 轴，顶点不同，分
别为(0，0)，(0，1)，(0，－1)；
(4)抛物线y＝－2x2＋1 可由抛物线y＝－2x2向上平移1 个单位得到；抛物线y＝－2x2－1 可
由抛物线y＝－2x2向下平移1 个单位得到．
9．二次函数y＝－x2＋c 的图象经过点，与x 轴交于A，B 两点，且A 点在B 点左侧．
(1)求c 的值；
(2)求A，B 两点的坐标．
解：(1)∵抛物线经过点，
∴－×(－)2＋c＝，∴c＝6.
(2)∵c＝6，∴抛物线为y＝－x2＋6.
令y＝0，则－x2＋6＝0，解得x1＝2，x2＝－2，∵A 点在B 点左侧，∴A(－2，0)，B(2，0)．
10．如图22－1－12，两条抛物线y1＝－x2＋1、y2＝－x2－1 与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平
行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( A )
图22－1－12
A．8
B．6
C．10
D．4
【解析】 两条抛物线的形状大小、开口方向相同，阴影部分面积等于相邻边长为4 和2 的长
方形面积，即等于8.
11．抛物线y＝ax2＋k 与y＝－8x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，－6)，则
其表达式为____y ＝－
8 x 2 －
6 ____，它是由抛物线y＝－8x2向__下__平移__6__个单位得到的．
【解析】 根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a 值，再根据顶点坐标(0，－
6)，可确定k 值，从而可判断平移方向．
∵抛物线y＝ax2＋k 与y＝－8x2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a＝－8.
又∵其顶点坐标为(0，－6)，∴k＝－6，
∴y＝－8x2－6，它是由抛物线y＝－8x2向下平移6 个单位得到的．
12．已知函数y＝ax2＋c 的图象过点(－2，－7)和点(1，2)．
(1)求这个函数的关系式；
(2)画这个函数的图象；
(3)求这个函数的图象与x 轴交点的坐标．
【解析】 (1)将两点坐标代入函数的关系式，可得到关于a，c 的二元一次方程组．
(2)列表、描点、连线．
(3)求y＝0 时x 的值．
解：(1)∵y＝ax2＋c 的图象过(－2，－7)，(1，2)两点，
∴∴∴y＝－3x2＋5.
(2)列表：
x
－2
－1
－1
－
0
1
1
2
y＝－3x2＋5
－7
－1
2
4
5
4
2
－1
－7
描点、连线：
(3)当y＝0 时，－3x2＋5＝0，
解得x1＝，x2＝－，
故函数图象与x 轴的交点坐标为和.
13．如图22－1－13(a)，有一座抛物线拱桥，当水位在AB 时，水面宽20 m，这时，拱高(O 点到
AB 的距离)为4 m.
图22－1－13
(1)你能求出图22－1－13(a)的坐标系中抛物线的解析式吗？
(2)如果将直角坐标系建在图22－1－13(b)所示位置，抛物线的形状、顶点、解析式相同吗？
【解析】 观察抛物线的对称轴和顶点位置是解本题的关键．
解：(1)由图象知，抛物线顶点为(0，0)，且抛物线过A(－10，－4)，B(10，－4)，可设y＝ax2，把A
点或B 点坐标代入可得a＝－，所以y＝－x2；
(2)由图象可知，抛物线顶点为(0，4)，故可设y＝ax2＋4.
又y＝ax2＋4 的图象过A(－10，0)，B(10，0)，将A 点或B 点坐标代入可得0＝100a＋4，解得a
＝－，
所以y＝－x2＋4.
因为两抛物线解析式的a 相同，所以两抛物线形状相同，顶点不同，解析式不同．
图22－1－14
14．如图22－1－14 所示，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8
m，宽AB 为2 m．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，
y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6 m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m，宽2.4 m，这辆货运卡车能否通过该
隧道？通过计算说明．
【解析】 (1)抛物线关于y 轴对称，顶点为(0，6)，可设抛物线的解析式为y＝ax2＋6，又因为抛
物线过(4，2)，代入到y＝ax2＋6中，则可求出a 的值；
(2)将x＝2.4 代入到所求的函数解析式中，得到的y 值与4.2 比较大小，y 值比4.2 大，则这辆
货运卡车能通过该隧道，反之，则不能通过．
解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋6，
∵抛物线过(4，2)点，∴16a＋6＝2，∴a＝－，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6.
(2)当x＝2.4 时，y＝－x2＋6＝－1.44＋6＝4.56>4.2，故这辆货运卡车能通过该隧道．
图22－1－15
15．某水渠的横截面呈抛物线状，水面的宽度为AB(单位：米)，现以AB 所在直线为x 轴，以抛
物线的对称轴为y 轴建立如图22－1－15 所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB
＝8 米，设抛物线解析式为y＝ax2－4.
(1)求a 的值；
(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C 关于原点O 的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求
△BCD 的面积．
解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知OB＝4，
∴B(4，0)，
把B 点坐标代入解析式得：16a－4＝0，
解得：a＝；
(2)过点C 作CE⊥AB 于E，过点D 作DF⊥AB 于F，
∵a＝，
∴y＝x2－4，
令x＝－1，
∴m＝×(－1)2－4＝－，
∴C(－1，－)，
∵C 关于原点对称点为D，
∴D 的坐标为(1，)，则CE＝DF＝
S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝OB·DF＋OB·CE＝×4×＋×4×＝15，
∴△BCD 的面积为15 平方米．
第2 课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
[见A 本P16]
1．与函数y＝2(x－2)2形状相同的抛物线解析式是( D )
A．y＝1＋ B．y＝(2x＋1)2
C．y＝(x－2)2 D．y＝2x2
2．关于二次函数y＝－(x－2)2的图象，下列说法正确的是( D )
A．是中心对称图形
B．开口向上
C．对称轴是x＝－2
D．最高点是(2，0)
3．抛物线y＝(x－1)2的顶点坐标是( A )
A．(1，0) B．(－1，0)
C．(－2，1) D．(2，－1)
4．下列关于抛物线y＝4(x－1)2＋2 的说法中，正确的是( B )
A．开口向下
B．对称轴为x＝1
C．与x 轴有两个交点
D．顶点坐标为(－1，0)
5．二次函数y＝2(x－)2图象的对称轴是直线__x ＝
__.
6．函数：①y＝x－3，②y＝－(x<0)，③y＝(1－x)2(x>1)，其中y 随x 的增大而增大的有
__①②③__(填序号)．
解：∵y＝x－3 中，k＝>0，
∴y 随x 的增大而增大；
∵函数y＝－中k＝－2，
∴当x<0 时，y 随x 的增大而增大；
∵y＝(1－x)2(x>1)中，开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x>1 时，y 随x 的增大而增大，
故答案为①②③.
7．二次函数y＝(x－2)2，当__x ＜
2 __时，y 随x 的增大而减小．
8．抛物线y＝－(x＋2)2开口__向下__，对称轴为__直线
x ＝－
2 __，顶点坐标为__( －
2 ，
0 ) __，
当x＝__－
2 __时，函数有最__大__值为__0__．
9．抛物线y＝2(x－2)2与x 轴交点A 的坐标为__(2
，
0 ) __，与y 轴交点B 的坐标为__(0
，
8 ) __，
S△AOB＝__8__．
【解析】 画草图帮助理解题意．
当x＝2 时，y＝0；当x＝0 时，y＝8，
S△AOB＝×OA×OB＝×2×8＝8.
10．已知：抛物线y＝－(x＋1)2.
(1)写出抛物线的对称轴；
(2)完成下表；
x
…
－7
－3
1
3
…
y
…
－9
－1
…
(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象．
图22－1－16
解：(1)抛物线的对称轴为x＝－1.
(2)填表如下：
x
…
－7
－5
－3
－1
1
3
5
…
y
…
－9
－4
－1
0
－1
－4
－9
…
(3)描点作图如下：
11．确定下列函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标．
(1)y＝2(x＋1)2
(2)y＝－4(x－5)2.
解：(1)由y＝2(x＋1)2
可知，二次项系数为2＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝－1，
顶点坐标为(－1，0)．
(2)由y＝－4(x－5)2可知，二次项系数为－4＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝5，
顶点坐标为(5，0)．
12．已知二次函数y＝－3(x－5)2，写出抛物线的顶点坐标、对称轴、x 在什么范围内y 随x 的
增大而减小、x 取何值时函数有最值，并写出最值．
解：根据二次函数的解析式y＝－3(x－5)2，
知函数图象的顶点为(5，0)，对称轴为x＝5；
函数y＝－3(x－5)2的图象开口向下，对称轴x＝5，
故当x≥5 时，函数值y 随x 的增大而减小；
∵－3＜0，
∴二次函数的开口向下，
当x＝5 时，二次函数图象在最高点，函数的最大值为0.
13．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为x＝－2，与y 轴交于点(0，2)．
(1)求a 和h 的值；
(2)求其关于y 轴对称的抛物线的解析式．
解：(1)∵对称轴为x＝－2，
∴h＝－2，
∵与y 轴交于点(0，2)，
∴a·22＝2，
∴a＝；
(2)抛物线关于y 轴的对称抛物线的顶点坐标为(2，0)，
所以，关于y 轴对称的抛物线的解析式为y＝(x－2)2.
14．(1)求抛物线y＝2(x－h)2关于y 轴对称的抛物线的函数解析式．
(2)若将(1)中的抛物线变为y＝a(x－h)2，请直接写出关于y 轴对称的抛物线的函数解析式，你
还能写出它关于x 轴、关于原点对称的新抛物线的函数解析式吗？请尝试研究，并与同伴交
流．
解：(1)∵抛物线y＝2(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，
∴关于y 轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，
∴关于y 轴对称的抛物线的函数解析式为y＝2(x＋h)2；
(2)抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，
∵关于y 轴对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，抛物线开口方向不变，
∴关于y 轴对称的抛物线解析式为y＝a(x＋h)2；
∵关于x 轴对称的抛物线的顶点坐标为(h，0)，抛物线开口方向改变，
∴关于x 轴对称的抛物线解析式为y＝－a(x－h)2；
∵关于原点对称的抛物线的顶点坐标为(－h，0)，抛物线开口方向改变，
∴关于原点对称的抛物线解析式为y＝－a(x＋h)2.
15．在直角坐标平面内，已知抛物线y＝a(x－1)2(a＞0)顶点为A，与y 轴交于点C，点B 是抛物
线上另一点，且横坐标为3，若△ABC 为直角三角形时，求a 的值．
图22－1－17
解：∵y＝a(x－1)2(a＞0)的顶点为A，所以点A 的坐标为(1，0)．
由x＝0，得y＝a，所以点C的坐标为(0，a)，
由x＝3，得y＝4a，所以点B 的坐标为(3，4a)，
所以有
(1)若BC2＝AC2＋AB2得
9＋9a2＝1＋a2＋4＋16a2
即a2＝，a＝±，因为a>0，
∴a＝；
(2)若AB2＝AC2＋BC2
得4＋16a2＝1＋a2＋9＋9a2
即a2＝1，a＝±1.
∴a>0，
∴a＝1；
(3)若AC2＝AB2＋BC2
得1＋a2＝4＋16a2＋9＋9a2
即a2＝－，无解．
综上所述，当△ABC 为直角三角形时，a 的值为1 或.
第3 课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质 [见B 本P16]
1．抛物线y＝2(x－3)2＋1 的顶点坐标是( A )
A．(3，1) B．(3，－1)
C．(－3，1) D．(－3，－1)
2．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为x＝1；③顶点
坐标为(－1，3)；④x>1 时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ①∵a＝－<0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x＝－1，错误；
③顶点坐标为(－1，3)，正确；
④∵x>－1 时，y 随x 的增大而减小∴x>1时，y 随x 的增大而减小一定正确；综上所述，结论
正确的个数是①③④共3 个．故选C.
3．下列二次函数中，图象以x＝2 为对称轴，且经过点(0，1)的是( C )
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
【解析】 设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋k，把点(0，1)代入检验．
4．如图22－1－18，关于抛物线y＝(x－1)2－2，下列说法错误的是( D )
图22－1－18
A．顶点坐标是(1，－2)
B．对称轴是直线x＝1
C．开口方向向上
D．当x＞1 时，y 随x 的增大而减小
5．将抛物线y＝3x2向上平移3 个单位，再向左平移2 个单位，那么得到的抛物线的解析式为(
A )
A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3
C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3
6．[2013·雅安]将抛物线 y ＝(x－1)2＋3 向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位后所得抛物
线的解析式为( D )
A．y＝(x－2)2 B．y＝(x－2)2＋6
C．y＝x2＋6 D．y＝x2
【解析】 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
将抛物线y＝(x－1)2＋3 向左平移1 个单位所得抛物线解析式为：y＝(x－1＋1)2＋3，即y＝x2
＋3；
再向下平移3 个单位为：y＝x2＋3－3，即y＝x2.
故选D.
7．如图22－1－19，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是(
A )
图22－1－19
A．m＝n，k>h B．m＝n，k<h
C．m>n，k＝h D．m<n，k＝h
8．在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－x2－1，y＝－(x＋1)2－1 的图象，并列表比较
这三条抛物线的对称轴、顶点坐标．
解：列表如下：
x
y＝－x2
y＝－x2－1
y＝－(x＋1)2－1
－4
－5.5
－3
－4.5
－5.5
－3
－2
－2
－3
－1.5
－1
－0.5
－1.5
－1
0
0
－1
－1.5
1
－0.5
－1.5
－3
2
－2
－3
－5.5
3
－4.5
－5.5
描点、连线如图：
抛物线
对称轴
顶点坐标
y＝－x2，即y＝－(x－0)2＋0
x＝0
(0，0)
y＝－x2－1，即y＝－(x－0)2＋(－1)
x＝0
(0，－1)
y＝－(x＋1)2－1，即y＝－[x－(－1)]2＋(－1)
x＝－1
(－1，－1)
9．已知：抛物线y＝(x－1)2－3.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)当x____________时，y 随x 的增大而减小，当x____________时，y 随x 的增大而增大．
解：(1)抛物线y＝(x－1)2－3，
∵a＞0，
∴抛物线的开口向上，
对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－3)；
(2)∵对称轴是x＝1
∴当x<1 时，y 随x 的增大而减小，
当x>1 时，y 随x 的增大而增大．
10．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且过原点(0，0)，求该函数解析式．
解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，
∴可设为y＝a(x－1)2－1，
当x＝0 时，y＝0，
∴0＝a(0－1)2－1，a＝1，
所求函数解析式为y＝(x－1)2－1.
11．二次函数y＝x2的图象如图22－1－20 所示，请将此图象向右平移1 个单位，再向下平移
2 个单位．
(1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；
(2)求经过两次平移后的图象与x 轴的交点坐标，指出当x 满足什么条件时，函数值大于0?
图22－1－20
解：(1)画图略．
依题意得y＝(x－1)2－2＝x2－2x＋1－2＝x2－2x－1，
∴平移后图象的解析式为y＝x2－2x－1；
(2)当y＝0 时，即x2－2x－1＝0，
∴(x－1)2＝2，
∴x－1＝±，∴x1＝1－，x2＝1＋，
∴平移后的图象与x 轴交于两点，坐标分别为(1－，0)和(1＋，0)．
由图可知，当x＜1－或x＞1＋时，二次函数y＝x2－2x－1 的函数值大于0.
12．如图22－1－21，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y＝－2(x－h)2＋k，
则下列结论正确的是( A )
图22－1－21
A．h>0，k>0 B．h<0，k>0
C．h<0，k<0 D．h>0，k<0
【解析】 ∵抛物线y＝－2(x－h)2＋k 的顶点坐标为(h，k)，由图可知，抛物线的顶点坐标在第
一象限，∴h＞0，k＞0.故选A.
13．已知二次函数y＝a(x－1)2－c 的图象如图22－1－22 所示，则一次函数y＝ax＋c 的大致
图象可能是( A )
【解析】 根据二次函数开口向上知a＞0，根据－c 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞
0，故一次函数y＝ax＋c 的大致图象经过一、二、三象限，故选A.
14．把二次函数y＝(x－1)2＋2 的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为__y ＝－
( x ＋
1)
2 －
2 __．
【解析】 二次函数y＝(x－1)2＋2 顶点坐标为(1，2)，开口向上，绕原点旋转180°后得到的二次
函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，开口向下，所以旋转后的新函数图象的解析式为y＝－(x
＋1)2－2.
15．二次函数y＝－(x－2)2＋的图象与x 轴围成的封闭区域内(包括边界)，横、纵坐标都是整
数的点有__7__个(提示：必要时可利用备用图22－1－23 画出图象来分析)．
图22－1－23
【解析】 令－(x－2)2＋＝0，解得x1＝，x2＝，抛物线与x 轴的交点坐标为，，顶点为，画出图象，
图象与x 轴围成的封闭区域内横、纵坐标都是整数的点为(1，0)，(2，0)，(3，0)，(1，1)(2，1)，(3，
1)，(2，2)共7 个．
16．已知抛物线y＝a(x－3)2＋2 经过点(1，－2)．
(1)求a 的值；
(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m<n<3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
解：(1)∵抛物线y＝a(x－3)2＋2 经过点(1，－2)
∴a(1－3)2＋2＝－2
∴a ＝－1.
(2)解法一：由(1)得a＝－1<0，抛物线的开口向下
在对称轴x ＝ 3 的左侧，y 随x 的增大而增大
∵m<n<3
∴y1<y2
解法二：由(1)得y＝－(x－3)2＋2
∴当x＝m 时，y1＝－(m－3)2＋2
当x＝n 时，y2＝－(n－3)2＋2
y1－y2＝(n－3)2－(m－3)2
＝(n－m)(m＋n－6)
∵m<n<3
∴n－m>0，m＋n<6，即m＋n－6<0
∴(n－m)(m＋n－6)<0
∴y1<y2
17．如图22－1－24，二次函数y＝(x－2)2＋m 的图象与y 轴交于点C，点B 是点C 关于该二
次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数＝kx＋b 的图象经过该二次函数图象上的点
A(1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m 的x 的取值范围．
图22－1－24
解：(1)由题意，得(1－2)2＋m＝0.
解得m＝－1，
∴二次函数的解析式是y＝(x－2)2－1.
当x＝0 时，y＝(0－2)2－1＝3，
∴C(0，3)，
∵点B 与C 关于x＝2 对称，
∴B(4，3)，
于是有解得
∴一次函数的解析式是y＝x－1.
(2)x 的取值范围是1≤x≤4.
