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微专题09 导数解答题之恒成立与能成立问题
【秒杀总结】
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和
放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
；
（4）
，
.
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数
，
，
，
.
（1）若
，
，有
成立，则
；
（2）若
，
，有
成立，则
；
（3）若
，
，有
成立，则
；
（4）若
，
，有
成立，则
的值域是
的值域的子集.
【典型例题】
例1．（2024·安徽安庆·二模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若不等式
对任意的
恒成立，求实数m 的取值范围．
【解析】（1）
当
时，
，其定义域为
，
，
令
，得
（
舍去），
当
时，
，函数
单调递增；
1
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当
时，
，函数
单调递减．
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）方法1：由条件可知
，于是
，解得
．
当
时，
，
构造函数
，
，
，
所以函数
在
上单调递减，于是
，
因此实数m 的取值范围是
．
方法2：由条件可知
对任意的
恒成立，
令
，
，只需
即可．
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
于是
，所以函数
在
上单调递增，
所以
，于是
，因此实数m 的取值范围是
．
例2．（2024·四川成都·二模）已知函数
的图象在
处的切线经过点
．
(1)求
的值及函数
的单调区间；
(2)若关于
的不等式
在区间
上恒成立，求正实数
的取值范围．
【解析】（1）函数
的定义域为
，
则
，则
，又
，
所以
在点
处的切线
，
代入点
得
，解得
；
则
，设
则
，令
，得
，令
，得
，
2
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所以
，即
在
上恒成立，
所以函数
的单调增区间为
，无单调减区间；
（2）由（1）得
在区间
上恒成立，即
，
令
，则
，即
，
只需要
，也就是
在
上恒成立，
令
，则
，
令
得
，令
得
，
故
，所以
，
即正实数
的取值范围是
.
例3．（2024·四川泸州·二模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若在区间
内存在
，
，使得
，求实数
的取值范围．
【解析】（1）因为
，所以
，
又
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
；
（2）因为
，又
，
所以当
时
，当
或
时
，
所以
在
上单调递减，在
，
上单调递增，
则在区间
内存在
，
，使得
，
等价于在区间
内存在
，使得
，
等价于在区间
内存在
，使得
，
等价于在区间
内，
的最大值不小于，
3
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不妨令
，
①当
，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
，
，
所以
，符合题意；
②当
，即
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
显然
在
处取得极小值，此时极小值为
，
而
，
，
，
所以
，
要使
，则必有
，解得
，故
，
综上可得
的取值范围为
.
例4．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数
，
.
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若
，
，使得
，
①求
的单调区间；
②求
的取值范围.
【解析】（1）
时，
，
，
又
，
，
所以
，即
.
（2）①由题可得
，
令
，可得
，
，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
的递增区间为
，
；递减区间为
，
.
4
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②由题可得
，由（1）得
在
上递增，
上递减，
，
，所以
.
由题可得
，由
可得
，
所以
在
上递减，在
上递增.
若
，即
，则
在
单调递增，
，
则
，所以
.
若
，即
，则
在
单调递减，
所以
，所以
无解.
若
，即
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
或
，则
，且
，
解得
.
综上所述，
的取值范围为
.
例5．（2024·四川成都·二模）已知函数
的图象在
处的切线经过点
.
(1)求
的值及函数
的单调区间；
(2)若关于
的不等式
在区间
上恒成立，求正实数
的取值范围.
【解析】（1）因为
，所以
，
又
，则
，
又函数
的图象在
处的切线经过点
，
所以
，解得
，
所以
，函数的定义域为
，又
，
令
，则
，
所以当
时
，当
时
，
5
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所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以当
时
恒成立，即
恒成立，
所以
在
，
上单调递增.
即
的单调递增区间为
，
，无单调递减区间.
（2）因为不等式
在区间
上恒成立，
因为
，则
，
即
在区间
上恒成立，
所以
在区间
上恒成立，
又
，所以
，
所以
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，
由（1）可知
在
上单调递增，
所以
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，
令
，
，
则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，即
区间
上恒成立，
所以
时
在区间
上恒成立，
即对任意
关于
的不等式
在区间
上恒成立.
例6．（2024·福建厦门·二模）若
，都存在唯一的实数
，使得
，则称函数
存在
“源数列”
.已知
.
(1)证明：
存在源数列；
6
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(2)（ⅰ）若
恒成立，求
的取值范围；
（ⅱ）记
的源数列为
，证明：
前
项和
.
【解析】（1）由
，得
，
即
在
上单调递减，又
，
当
且x 无限趋近于0 时，
趋向于正无穷大，
即
的值域为
，且函数在
上单调递减，
对于
可以取到任意正整数，且在
上都有存在唯一自变量与之对应，
故对于
，令
，其在
上的解必存在且唯一，不妨设解为
，
即
，则都存在唯一的实数
，使得
，
即
存在源数列；
（2）（i）
恒成立，即
恒成立，
令
，即
恒成立，
令
，则
，
令
，则
，仅在
时取等号，
即
在
上单调递减，故
，即
在
上单调递增，、
故
，故
；
（ii）由（i）得
，故
，即
，
故
，
当
时，
，
当
时，
，
即
前
项和
.
例7．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数
，其中
.
7
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(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【解析】（1）
函数
的定义域为
，
，
当
时，
，
解不等式
，有
或
，令
得
，
故函数
的增区间为
、
，减区间为
.
（2）若
，则
，由
可得
，由
可
，
此时，函数
的减区间为
，增区间为
，且
，
当
时，由
，有
恒成立，
所以
，必有
.
又由
，可得
.
又由
，不等式
可化为
，
设
，
有
，
当
且
时，
，
，可得
，
当
且
时，
，
，可得
，
当
时，函数
在
上单调递增，
故存在正数
使得
.
若
，有
，
，有
，
与
矛盾，可得
，
当
时，
；当
时，
，
可得函数
的减区间为
，增区间为
，
8
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若
，必有
，
有
，
又由
，有
，
有
，有
.
又由
，有
，可得
，
有
，可得
，
构造函数
，其中
，则
对任意的
恒成立，
所以，函数
在
上单调递增，
由
及
可得
，可得
，
若
，则实数
的取值范围为
.
【过关测试】
1．（2024·海南·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若不等式
对任意
恒成立，求
的取值范围.
【解析】（1）
.
当
时，
在
上恒成立，所以
在
上单调递增.
当
时，令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）不等式
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立.
令
，则
.
设
，则
.
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以当
时，
.
①若
，当
时，
在
上单调递增，
则
，所以
，所以
，
9
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②若
，则
，又当
时，
，
所以
，使得
，即
.
当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，
则
，
所以
，所以
.
由
，
令函数
，则当
时，
，
所以
，所以
.
综上，实数
的取值范围是
.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)若
的零点也是其极值点，求
；
(2)若
对所有
成立，求
的取值范围．
【解析】（1）
，
，
若
，则
，
在
单调递减，无极值点，不合题意；
若
，
，则
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
因为
的零点也是其极值点，则
，
设
，
，
则
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
且易知
，故
有唯一解
.
此时
的零点和极值点均为0，符合题意；故
.
（2）首先注意到
，
10
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，
，
①若
，则
在
时恒成立，故
单调递减，
则对所有
，
，不满足题意，故舍去；
②若
，则
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，不满足题意，故舍去；
③若
，则
在
时恒成立
所以
在
上单调递增，则对所有
，
，
符合题意，该情况成立．
综上所述，
的取值范围是
．
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)若对于任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）由于
，故
，切点为
，
，
所以切线的斜率为0，
在点
处的切线方程为
．
（2）令
，则
，
所以
为R 上单调递增函数，
因为
，所以
时，
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增．
若对于任意
，都有
恒成立，即只需
．
因为
在
单调递减，在
单调递增，
所以
的最大值为
和
中最大的一个，
所以
，
设
，
11
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当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增．
，故当
时，
．
当
时，
，则
成立．
当
时，由
的单调性，得
，即
，不符合题意．
当
时，
，即
，也不符合题意．
综上，
的取值范围为
.
4．（2024·浙江·模拟预测）已知函数
，
(1)当
时，求函数
的值域；
(2)若函数
恒成立，求
的取值范围.
【解析】（1）因为
，
所以
，
在
上单调递增又
，
的值域是
.
（2）方法一：①当
时，
，
②当
时，
，
在
上单调递增，
成立.
③当
时，
令
，
则
，
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增，
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，
使得当
时
，故
在
上单调递减，
则
，
④当
时，
令
，
则
，
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增，
，即
在
上递增，则
成立.
综上所述，若函数
恒成立，则
.
方法二
当
时，
成立，当
时，
成立，
当
时，
恒成立，
令
，则
，
又
，
令
，
，
当
时，
，
，
在
上单调递增.
，
，故
，
13
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，又
，
，故
.
5．（2024·高三·河北·开学考试）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数m 的取值范围．
【解析】（1）因为
，所以
，
当
时，
，
，
故
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）由（1）得
，
因为
，所以由
，得
，
所以当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
所以
，
因为
恒成立，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
6．（2024·陕西·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）由题意，知
的定义域为
.当
时，
，
求导，得
，
又
，所以由
，得
，
14
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由
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）
恒成立，即
恒成立，
即
恒成立.
当
时，因为
，所以
恒成立；
当
时，令
，
则
，
显然
不恒成立；
当
时，由
，得
.
令
，则
，
令
，得
，令
，得
且
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
，所以
，
显然当
时，
在
上也成立.
综上所述，实数
的取值范围为
.
7．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）若
，则
，
，故
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
；
（2）
恒成立，即
，
又
，
15
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当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，所以
.
8．（2024·江苏·模拟预测）若
时，函数
取得极大值或极小值，则称
为函数
的极值点.已
知函数
，其中
为正实数.
(1)若函数
有极值点，求
的取值范围；
(2)当
和
的几何平均数为
，算术平均数为
.
①判断
与
和
的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当
时，证明：
.
【解析】（1）
在
上有变号零点，
即
在
上有变号零点.
①若
，即
时，只需
矛盾，
②若
，即
时，只需
故
的取值范围为
.
（2）①
，
先证右边，
证
，令
证：
，令
，
在
上单调递增，
再证左边
证：
，令
证
令
16
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在
上单调递减，
，证毕!
②
时，
关于
单调递减
，
设
，
当
时，
，
；
当
时，
，
，
在
上单调递增，
上单调递减，
，
所以当
时，
.
9．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数
R.
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，对任意
均有不等式
恒成立，求
的取值范围.
【解析】（1）当
时，
.
故
.
令
，得
，令
，得
，
令
，得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）由题设知，
时，不等式
对任意
恒成立.
故有
.
令
，
17
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，
又
，故
，
因此
在
上单调递减.
所以
，其中
.
令
，
.
则
.
故
时，
.故
在区间
内单调递减.
因此
.
由
恒成立知
，故
的取值范围是
.
10．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数
，
．
(1)若
，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围．
【解析】（1）函数
，定义域为
，
时，
，
，
令
，则
，
当
，
，
单调递减；当
，
，
单调递增，
所以
，则
对于任意
恒成立，
所以函数
单调递增区间为
，无递减区间，
由函数图像的平移可知，函数
的单调递增区间为
，无递减区间.
18
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（2）当
时，
恒成立等价于
在
上恒成立，
设
，则
，
，
则
图像为开口向上，对称轴为
的抛物线的一部分，
当
时，
，
在
上单调递增，且
，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
在
上单调递增，又
，
在
上恒成立，满足题意；
当
时，
，
，
所以方程
有两个相异实根，设为
，且
，则
，
当
时，
，
，
在
上单调递减，
又
，故当
时，
，
所以
在
上不恒成立，不满足题意.
综上，
的取值范围为
．
11．（2024·四川泸州·二模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，
，求实数a 的取值范围．
【解析】（1）因为
，则
，
所以
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程
；
（2）因为
，且
，
所以当
时，
，
单调递减，
当
或
时，
，
单调递增；
不妨令
，
当
，即
时，
在
单调递增，在
单调递减，
且
，
19
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所以
，此时符合题意；
当
，即
时，
在
和
单调递增，在
单调递减，
显然
在
处取得极小值，此时极小值为
，
而
，
所以
，
要使
，则必有
，解得
，故
，
综上:
的取值范围是
.
12．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数
.
(1)求函数
的极值；
(2)若对任意
有解，求
的取值范围.
【解析】（1）
，得
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
所以
的极小值为
，无极大值；
（2）对任意
即
，
设
，
，
①当
时，
单调递增，
单调递增，
，成立；
②当
时，令
单调递增，
单调递增，
，成立；
③当
时，当
时，
单调递减，
单调递减，
，不成立.
综上，
.
13．（2024·高三·广东深圳·阶段练习）已知
．
(1)讨论
的单调性和极值；
(2)若
时，
有解，求
的取值范围．
20
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【解析】（1）
，
当
时，
恒成立，函数在区间
上单调递减，无极值；
当
时，令
，得
，
，得
，函数在区间
上单调递减，
，得
，函数在区间
上单调递增，
当
，函数取得极小值
，
综上可知，
时，函数的单调递减区间是
，无增区间，无极值；
时，函数的单调递增区间是
，单调递减区间
，极小值
，无极大值.
（2）由题意可知，
，
时有解，
则
，在
时有解，即
，
设
，
，
，
令
，得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
的最大值为
，即
，
所以实数
的取值范围是
.
14．（2024·山西吕梁·一模）已知函数
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若
对任意
恒成立，求正实数
的取值集合．
【解析】（1）由题意得
， 所以
，
21
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又因为
，则切线方程为
，
即
.
（2）由题意得对任意
，
恒成立，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，且
，
，
所以存在
使得
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，不合题意；
当
时，
，
单调递增，且
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以
，符合题意；
当
时，得
在
上单调递增，
又
，
所以
，
在
上单调递增，
又
，
，
所以存在
使得
，
当
时，
，
单调递增，
，不符合题意，
综上，正实数
的取值集合为
.
15．（2024·陕西西安·一模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，当
时，
，
故切点为
，设切线斜率为
，
，
则
，故切线方程为
.
22
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（2）若不等式
恒成立，
则
恒成立，
化简得
，定义域为
，
故
，化简得
，令
，
而
，令
，
，令
，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
最小值为
，显然
，故令
，
则
，化简得
，设
，而
，
令
，
，令
，
，
故
在
单调递增，在
单调递减，
则
，故
.
16．（2024·广东广州·一模）已知函数
，其导函数为
.
(1)若
在
不是单调函数，求实数a 的取值范围；
(2)若
在
上恒成立，求实数a 的最小整数值.
【解析】（1）
；
因为
在
不是单调函数，所以
在
上有变号零点；
因为
恒成立，令
，则
在
上有变号零点；
因为
，所以
在
单调递增，
因为
，当
的值趋近正无限大时，
趋近于正无限大，a 为待定的参数，
故
趋近于正无限大，故只需
，即
，
所以实数
的取值范围是
.
（2）（法一）令
，
23
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因为
在
恒成立，所以
在
单调递减，
所以
，
所以
在
恒成立，即为
在
恒成立，
令
，
则
，
令
，则
在
恒成立，
所以
在
上单调递减；
因为
；
所以
有唯一零点
，且
当
时，
，即
，所以
在
单调递增；
当
时，
，即
，所以
在
单调递减；
所以
；
所以实数
的最小整数值为
.
（法二）
，
由（1）得，当
时，
在
上单调递增，
所以
成立.
当
时，存在
，使得
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
所以
，
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令
得
；
解之得
.
综上，
，
所以实数
的最小整数值为
.
17．（2024·云南曲靖·一模）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的值；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)设
，当
时，函数
的图象在函数
的图象的下方，求
的最大值．
【解析】（1）由题，函数
的定义域为
，
则
，
，
由于曲线
在点
处的切线与直线
垂直，
则
，所以
，
解得，
.
（2）
，
故当
时，
恒成立，则
在
上单调递增；
当
时，令
，得
，
令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述：
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（3）依题知，当
时，
恒成立，
即
恒成立，
化简为
，
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设
，
则
，
当
时，
恒成立，
故
在
单调递增，
此时
不符合题意；
当
时，
，
令
，得
，令
，得
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
则
恒成立，
化为
，
设
，
则
恒成立，
则
在
上单调递增，
又
，且
，
，
故
的最大值为
.
18．（2024·云南昆明·一模）已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，若
恒成立，求
的取值范围.
【解析】（1）函数
的定义域为
，
，
①当
时，令
，得
，则当
时，
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
②当
时，令
，得
或
，
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ⅰ）当
时，则当
或
时，
，
当
时，
，所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
ⅱ）当
时，当
时，
，所以
在
上单调递增，
ⅲ）当
时，则当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
（2）当
时，令
，则
，
时，
，则
，
故
，则
，
故当
时，
，
所以当
时，
，解得
，
由（1）可知，当
时，
在
上的极小值为
，
由题，则有
，解得
，
当
，解得
，
①当
时，
，
，符合题意，
②当
时，
，
，符合题意.
综上，当
时，
恒成立.
19．（2024·高三·江苏·专题练习）已知函数
，其中
．
(1)若
，求证：
在定义域内有两个不同的零点；
(2)若
恒成立，求
的值．
【解析】（1）
时，
，
①
时，由于
均为
上的单调递减函数，所以
在
上单调递减，
所以
，
所以
在
上单调递增，又
，
，
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所以
，使得
，即
在
上有且仅有1 个零点
；
②
时，
知
在
上单调递减，
即
，所以
，
所以
在
上没有零点；
③
时，
，所以
，
即
在
上单调递减，又
，
，
所以
在
上有且仅有1 个零点
；
综上所述，
在
内有两个不同的零点
，
.
（2）令
，
由于
恒成立，且
，同时
在
上连续，
所以
是
的一个极大值点.
因为
，所以
，即
，
下面证明
时，
在
上恒成立，
由（1）知，
时，
，当
故
在
上单
调递增，在
上单调递减；
所以
，又
，
故
恒成立.
20．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数
的导函数为
.
(1)证明：函数
有且只有一个极值点；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）证明：由题意知
的定义域为
，且
，
令
，则
，
所以
（即
）在
上单调递增，
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又
所以
在
上有唯一零点
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
有且只有一个极值点
.
（2）
恒成立，
即
恒成立，
即
恒成立，即
恒成立.
令
，则
，所以
，
令
，则
，
令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
29
