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微专题12 导数解答题之证明不等式问题
【秒杀总结】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
（或
）转化为证明
（或
），进而构造辅助函数
；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【典型例题】
例1．（2024·高三·北京·开学考试）已知
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)设
，求
的单调区间；
(3)求证：当
时，
.
例2．（2024·广东湛江·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个根
，
，求实数a 的取值范围，并证明：
．
例3．（2024·高三·北京·阶段练习）设函数
，曲线
在原点处的切线为x 轴，
(1)求a 的值；
(2)求方程
的解；
(3)证明：
1
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例4．（2024·广西柳州·三模）已知函数
．
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若
为
的导函数，设
．证明：对任意
，
．
例5．（2024·云南贵州·二模）已知函数
.
(1)若
，求证：当
时，
(2)若
有两个不同的极值点
且
.
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
.
例6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明：
．
例7．（2024·高三·山东潍坊·阶段练习）已知函数
．
(1)若
在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)当
时，证明：
，
．
2
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例8．（2024·高三·青海海南·开学考试）已知函数
(1)讨论
的单调性;
(2)证明:当
时，
例9．（2024·四川广安·二模）已知函数
.
(1)若
存在极值，求
的取值范围；
(2)若
，
，证明：
.
【过关测试】
1．（2024·高三·山东·开学考试）已知函数
是
的导函数，
.
(1)求
的单调区间；
(2)若
有唯一零点.
①求实数
的取值范围；
②当
时，证明：
.
2．（2024·江西上饶·一模）已知函数
，若
为实数，且方程
有两个不同的实数根
．
(1)求
的取值范围：
(2)①证明：对任意的
都有
；
3
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②求证：
．
3．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）已知
为函数
的导函数．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，证明：当
时，
．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
的反函数为
，令
(1)求曲线
在
处的切线的方程；
(2)证明：
.
5．（2024·广东广州·一模）已知函数
，
.
(1)求
的单调区间和极小值；
(2)证明：当
时，
.
6．（2024·安徽合肥·一模）已知函数
，当
时，
有极大值
.
(1)求实数
的值；
(2)当
时，证明：
.
4
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7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，证明：
．
8．（2024·高三·浙江·开学考试）设
.
(1)若
，求
；
(2)证明：
；
(3)若
，求实数
的取值范围.
9．（2024·高三·山东青岛·期末）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，证明：
．
10．（2024·高三·安徽合肥·期末）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间
(2)讨论
的单调性；
(3)当
时，证明
.
5
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11．（2024·高三·广东深圳·期末）已知定义在
上的函数
.
(1)若
为单调递增函数，求实数
的取值范围；
(2)当
时，证明：
.
12．（2024·高三·山东潍坊·期末）已知函数
，
的导函数为
.
(1)当
时，解不等式
；
(2)判断
的零点个数；
(3)证明：
.
13．（2024·广西来宾·一模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
.
14．（2024·天津河东·一模）已知函数
．
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的最小值；
(3)函数
，证明：
．
6
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15．（2024·北京石景山·一模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
在区间
上的最大值与最小值；
(3)当
时，求证：
．
16．（2024·四川·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的最小值；
(2)当
，
时，求证：
．
17．（2024·吉林·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间和最小值；
(2)若
，证明：
．
18．（2024·湖南·模拟预测）已知函数
是自然对数的底数，
.
(1)当
时，求函数
的零点个数；
(2)当
时，证明：
；
(3)证明：若
，则
.
7
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19．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不
等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数
，在
时，有不等式
成立；在
时，有不等式
成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当
时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知
是大于
的实数（全部同号），证明
20．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)求证：
；
(3)若
且
，求证：
．
21．（2024·江苏·模拟预测）若
时，函数
取得极大值或极小值，则称
为函数
的极值点.已
知函数
，其中
为正实数.
(1)若函数
有极值点，求
的取值范围；
(2)当
和
的几何平均数为
，算术平均数为
.
①判断
与
和
的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当
时，证明：
.
8
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22．（2024·广西南宁·一模）已知函数
．
(1)若
，求
的值；
(2)当
时，证明：
．
9
