文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
微专题13 导数解答题之双变量问题
【秒杀总结】
1、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果；
四是主元法.
【典型例题】
例1．（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线
，存在圆
满足如下条件：
①圆
与曲线
有公共点
，且圆心在曲线
凹的一侧；
②圆
与曲线
在点
处有相同的切线；
③曲线
的导函数在点
处的导数（即曲线
的二阶导数）等于圆
在点
处的二阶导数（已知圆
在点
处的二阶导数等于
）；
则称圆
为曲线
在
点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
(1)求抛物线
在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线
的曲率半径的最小值；
(3)若曲线
在
和
处有相同的曲率半径，求证：
．
例2．（2024·四川南充·二模）已知函数
有三个极值点
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围.
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
例3．（2024·四川·一模）已知函数
．
(1)若
，求
的最小值；
(2)若
有2 个零点
，证明：
．
例4．（2024·全国·模拟预测）已知函数
有3 个极值点
，其中是自然对数的底数．
(1)求实数
的取值范围；
(2)求证：
．
例5．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数
.
(1)若
是函数
的一个极值点，求实数
的值；
(2)若函数
有两个极值点
，其中
，
①求实数
的取值范围；
②若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
例6．（2024·高三·甘肃·开学考试）已知函数
.
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)若
有2 个极值点
，求证：
.
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
例7．（2024·高三·湖南·开学考试）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个不相等的根
，且
的导函数为
，证明：
．
例8．（2024·高三·河南周口·期末）已知函数
.
(1)若
在
上单调递减，求
的取值范围；
(2)若
，求证：
；
(3)在（2）的条件下，若方程
两个不同的实数根分别为
，
，求证：
.
例9．（2024·全国·模拟预测）设函数
.
(1)若
，求函数
的最值；
(2)若函数
有两个不同的极值点，记作
，且
，求证：
.
【过关测试】
1．（2024·高三·天津宁河·期末）已知函数
，
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)设
是函数
的两个极值点，证明：
．
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
，
时，证明：
.
3．（2024·广东湛江·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个根
，
，求实数a 的取值范围，并证明：
．
4．（2024·广东·模拟预测）已知
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在两个零点
，证明：
存在三个零点
，且
(3)在（2）的条件下，证明：
．
5．（2024·天津和平·一模）已知函数
，（
为自然对数的底数）.
(1)求函数
的单调区间：
(2)设
在
处的切线方程为
，求证：当
时，
；
(3)若
，存在
，使得
，且
，求证：当
时，
.
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
6．（2024·天津·一模）设函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设函数
（i）当
时，
取得极值，求
的单调区间；
（ii）若
存在两个极值点
，证明：
.
7．（2024·青海·一模）已知函数
．
(1)若
，求
的取值范围；
(2)若
有两个零点
，
，证明：
．
8．（2024·全国·一模）已知
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)设
是
的两个零点（
），求证：①
；②
.
9．（2024·吉林延边·一模）已知
有两个极值点
．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)证明：
．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
10．（2024·辽宁大连·一模）已知函数
的定义域为区间
值域为区间
，若
则称
是
的缩域函数.
(1)若
是区间
的缩域函数，求a 的取值范围；
(2)设
为正数，且
若
是区间
的缩域函数，证明：
（i）当
时，
在
单调递减;
（ii）
11．（2024·高三·江西·开学考试）已知函数
，且
的极值点为
.
(1)求
；
(2)证明：
；
(3)若函数
有两个不同的零点
，证明：
.
12．（2024·高三·河北·开学考试）已知函数
(1)若
、
在
处切线的斜率相等，求
的值；
(2)若方
有两个实数根
，试证明：
;
(3)若方程
有两个实数根
，试证明：
.
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
13．（2024·四川凉山·二模）已知函数
．
(1)若函数
在R 上是增函数，求a 的取值范围；
(2)设
，若
，证明：
．
14．（2024·高三·江苏·专题练习）已知函数
，
.
(1)求
的单调区间；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
.
15．（2024·江西上饶·一模）已知函数
，若
为实数，且方程
有两个不同的实数根
．
(1)求
的取值范围：
(2)①证明：对任意的
都有
；
②求证：
．
16．（2024·高三·新疆伊犁·阶段练习）已知
，函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，设
的导函数为
，若
恒成立，求证：存在
，使得
；
(3)设
，若存在
，使得
，证明：
.
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
17．（2024·高三·广东·阶段练习）设函数
，其中a 为实数．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
在定义域内有两个不同的极值点
时，证明：
．
18．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知函数
，
，
为常数．
(1)求
的单调性；
(2)令
，若
且
.证明：
．
19．（2024·河北邯郸·三模）已知函数
，
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程．
(2)已知关于
的方程
恰有4 个不同的实数根
，其中
，
．
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
．
20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数
.
(1)设函数
，讨论
的单调性；
(2)设
分别为
的极大值点和极小值点，证明：
.
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
21．（2024·广西南宁·一模）已知函数
．
(1)若直线与函数
和
均相切，试讨论直线的条数；
(2)设
，求证：
．
9
