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微专题14 利用导数研究恒成立与能成立（有解）问题
微专题教学内容
1. 恒成立问题常见类型
假设
为自变量，其范围设为
，
为函数；
为参数，
为其表达式，
（1）
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
②
，则只需要
，则只需要
（2）若
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
②
，则只需要
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
2. 恒成立问题的解决策略
①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找
临界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等
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式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综
合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热
点．
3. 能成立（有解）问题常见类型
假设
为自变量，其范围设为
，
为函数；
为参数，
为其表达式，
（1）若
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
②
，则只需要
，则只需要
（2）若
的值域为
①
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
②
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
4. 能成立（有解）问题的解决策略
①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找
临界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等
式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综
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合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热
点．
典例精讲
【典例1】
已知
恒成立，求实数
的取值范围．
会一题通一类
已知函数
．对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【典例2】
已知函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
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会一题通一类
1．设函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围．
2．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
【典例3】
已知函数
．
(1)证明：当
，
时，
；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
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会一题通一类
1．已知函数
，
为
的导函数.
(1)若
，求证：
；
(2)若对任意
，
，求
的取值范围.
2．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
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【典例4】
设函数
，
．
(1)求证：当
时，
；
(2)若存在
，使得
成立，求
的取值范围．
会一题通一类
1．已知函数
(1)当
时，求
的极值；
(2)若存在
，使得
，求
的取值范围．
2．已知实数
，设
．
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(1)若
，求函数
的图象在点
处的切线方程；
(2)若对于任意的
，总存在
，使得
，求
的取值范围．
学后测评
1．已知函数
．
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若
，不等式
在
上恒成立，求
的取值范围．
2．已知函数
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围．
3．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．
4．已知函数
．
(1)求曲线
经过点
的切线方程；
(2)若
对定义域内的任意
恒成立，求实数
的取值范围．
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5．已知函数
，
．
(1)若
在区间
上单调递增，求
的取值范围；
(2)若
，均有
，求
的取值范围．
6．已知
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在
有两个零点，求
的取值范围；
(3)若
在
上恒成立，求
的取值范围．
7．已知函数
，
．
(1)若曲线
在点
处的切线与y 轴垂直，求函数
的单调区间；
(2)若
对
成立，求实数k 的取值范围．
8．已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若
，判断
的零点个数并证明；
(3)若对任意
，求实数
的取值范围.
9．已知函数
.
(1)若
，求
的最大值；
(2)证明
存在唯一的极大值点
，且
；
(3)若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
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10．函数
（
，为自然对数的底数）．
(1)若
恒成立，
①求a 的值；
②若
，证明：
．
(2)若
时，
恒成立，求a 的取值范围．
11．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
，不等式
在
上存在实数解，求实数
的取值范围．
12．已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若关于
的不等式
有实数解，求
的取值范围.
13．已知
，
.
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，使
，求
的取值范围.
14．设函数
，
．
(1)当
时，求与函数
的图象在点
处相切的直线方程；
(2)若
在其定义域内为单调递增函数，求
的取值范围；
(3)若在
上至少存在一点
，使得
成立，求
的取值范围．
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