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微专题15 利用导数研究函数的零点问题及方程的根讲义
微专题教学内容
利用导数研究函数零点的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断
零点个数或者通过零点个数求参数范围.
(2)数形结合法求解零点
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图
数形结合确定其中参数的范围.
(3)构造函数法研究函数零点
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数
在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0 的关系，从而求解.
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现
转化与化归的思想方法．
利用导数研究函数方程的根的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断
零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.
(2)数形结合法求解零点（方程的根）
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图
数形结合确定其中参数的范围.
(3)构造函数法研究函数零点（方程的根）
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的
根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0 的关系，从而求解.
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现
转化与化归的思想方法．
典例精讲
1
【典例1】
已知函数
.
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)若函数
有且仅有一个零点，求实数
的取值范围.
会一题通一类
1．已知
.
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若
只有一个零点，求
的取值范围.
2．已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)证明:当
时，
在
上有且仅有一个零点.
2
【典例2】
已知函数
在
和
处取得极值，且经过点（0，1）.
(1)求函数
的解析式；
(2)当
时，若函数
有且仅有两个零点，求k 的取值范围
会一题通一类
已知函数
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)求函数
的单调性区间；
(3)若函数
，
有2 个零点，求a 的取值范围.
3
【典例3】
已知函数
在
处有极值.
(1)求a 的值；
(2)求
的极值；
(3)若函数
恰有3 个零点，求实数m 的取值范围.
会一题通一类
已知函数
的图象在点
处的切线与
轴垂直，且
.
(1)求
的值；
(2)若
在区间
上的最大值为20，求的值；
(3)若函数
的图象与
轴恰有三个交点，求的取值范围.
4
【典例4】
已知
是函数
的极小值点.
(1)求实数
的值；
(2)讨论函数
在区间
内的零点个数.
会一题通一类
已知函数
.
(1)当
时，判断
有无极值点，并说明理由；
(2)当
时，判断函数
在
上的零点个数并给出证明.
5
【典例5】
已知函数
在点
处的切线与
轴垂直.
(1)求
的值；
(2)求
的极值；
(3)求方程
的实数根的个数.
会一题通一类
1．已知
，
．
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若关于x 的方程
有两个不等实根，求a 的取值范围．
2．已知函数
，
(1)当
时，若直线过原点且与曲线
相切，求的方程.
(2)若关于
的方程
恰有两个不同的正实数根
，求
的取值范围.
6
学后测评
1．已知函数
.
(1)求
的值域；
(2)讨论函数
的零点个数.
2．给定函数
(1)判断函数
的单调性，并求
的极值.
(2)若
有两个解，求
的取值范围.
3．已知函数
．
(1)若
，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
与
的图象有公共点，求
的取值范围．
4．已知函数
.
(1)若
，证明：当
时，
；
(2)若
，求
的最小值；
(3)讨论
的零点个数.
5．已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
7
(2)若
，讨论函数
在
上的单调性和零点个数．
6．已知函数
.
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，求函数
在
上的值域；
(3)若方程
有三个不同的根，求
的取值范围.
7．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若函数
有三个零点，求
的取值范围.
8．已知函数
.
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)设实数
使得
恒成立，求
的取值范围；
(3)设
，求函数
在区间
上的零点个数.
9．已知函数
的图象在点
处的切线经过点
．
(1)求实数
的值；
(2)证明：
；
(3)证明：
有且仅有一个零点．
10．已知函数
，
．
(1)求
在点
处的切线方程；
8
(2)求证：当
时，
；
(3)求
的零点个数．
11．已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若
对任意的
恒成立，求
的取值范围；
(3)若
存在零点，求
的取值范围.
12．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，求
的取值范围．
13．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，求
的值；
(3)当
时，证明：
有2 个零点．
14．已知函数
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)求函数
在
的最大值和最小值；
(3)若方程
恰有两个不等的实根，求
的取值范围．
15．给定函数
(1)判断函数
的单调性，并求出
的极值；
(2)画出函数
的大致图象；
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(3)求出方程
的解的个数
16．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)（i）求
在
处的切线方程和
在
处的切线方程；
（ii）若方程
有两个不同的实根
，证明：
.
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