【微专题5：与平面向量有关的最值范围问题】
【高考定位】
一、高考定位
与平面向量有关的最值范围问题是高考数学的高频难点题型，兼具代数运算与几何直观的双重考查属性，
常以选择题、填空题压轴形式出现，分值5 分，偶尔渗透于解答题的关键步骤中（如解析几何、三角函数
综合题中的最值求解）.
核心考查方向：围绕向量的模长、数量积、夹角、系数四大核心要素，考查利用向量运算性质、数形结合
思想、函数与不等式工具求解最值或范围的能力.命题趋势侧重“动态向量”背景（如向量端点在直线、
圆上运动），强调将向量问题转化为代数函数或几何图形的最值问题，突出逻辑推理与转化化归能力的选
拔功能.
二、核心知识铺垫
1.模长相关公式：
；
；若
，则
.
2. 数量积相关公式：
（
）；若
，
，则
；
.
3.夹角相关公式：
，由
的取值范围
可推导夹角
的范围.
4.共线与垂直性质：
，
（
）；
.
【真题体验】
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，|⃗OA |=|⃗OB|=√2，|⃗AB|=2.设C(3,4)，则
|2⃗CA +⃗AB|的取值范围是（ ）
A．[6,14 ]
B．[6,12]
C．[8,14 ]
D．[8,12]
2．（2024·天津·高考真题）已知正方形ABCD的边长为1，DE
→
=2 EC
→
,若BE⃗= λ BA⃗+ μ BC⃗，其中λ , μ为
实数，则λ+ μ= ；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则⃗AF ⋅⃗DG的最小值为 ．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA 与⊙O相切于点A，直线PB 与⊙O交于
B，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO|=√2，则⃗PA ⋅⃗PD的最大值为（ ）
A．1+√2
2
B．1+2√2
2
C．1+√2
D．2+√2
4．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，BC =1，∠A =60
∘，AD
→
= 1
2 AB
→
,CE
→
= 1
2 CD
→
，记⃗
AB =⃗a,⃗AC =⃗b，用a
→
,b
→
表示AE⃗= ；若⃗BF = 1
3⃗BC，则⃗AE⋅⃗AF的最大值为 ．
5．（2022·北京·高考真题）在△ABC中，AC =3,BC = 4 ,∠C =90°．P 为△ABC所在平面内的动点，且
PC =1，则⃑PA ⋅⃑PB的取值范围是（ ）
1
A．[−5,3]
B．[−3,5]
C．[−6,4 ]
D．[−4,6]
6．（2021·天津·高考真题）在边长为1 的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE⊥AB且交AB
于点E．DF // AB且交AC 于点F,则|2⃑BE +⃑DF |的值为 ；(⃑DE +⃑DF )⋅⃑DA的最小值为
．
7．（2017·浙江·高考真题）已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a|=1,|⃑b|=2，则|⃑a+⃑b|+|⃑a−⃑b|的最小值是 ，
最大值是 ．
8．（2017·全国II 卷·高考真题）已知△ABC是边长为2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则⃑
PA ·(⃑PB+⃑PC )的最小值是( )
A．−2
B．−3
2
C．−4
3
D．−1
9．（2016·四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D 满足|⃗DA |=|⃗DB|=|⃗DC |,⃗DA ⋅ ⃗DB=⃗DB⋅ ⃗
DC=⃗DC ⋅ ⃗DA=–2，动点P，M 满足|⃗AP|=1，⃗PM=⃗MC，则|⃗BM |
2的最大值是
A．43
4
B．49
4
C．37+6√3
4
D．37+2√33
4
10．（2016·浙江·高考真题）已知向量⃑a，⃑b，|⃑a|=1，|⃑b|=2，若对任意单位向量⃑e，均有
|⃑a⋅⃑e|+|⃑b⋅⃑e|≤√6,则⃑a⋅⃑b的最大值是 ．
11．（2016·浙江·高考真题）已知平面向量⃗a，⃗b，|⃗a|=1,|⃗b|=2,⃗a⋅⃗b=1．若⃗e为平面单位向量，则
|⃗a⋅⃗e|+|⃗b⋅⃗e|的最大值是______．
【热点题型1：向量模长的最值范围】
【核心归纳】
1.转化核心：利用模长平方与数量积的关系（
），将模长最值转化为数量积的最值，再进一
步转化为代数函数最值；2.常用方法：①坐标法（动态向量优先，建立坐标系将向量坐标化，模长表示为
坐标的函数）；②基底法（静态向量或复杂图形，选取不共线基底，将目标向量表示为基底的线性组合，
再求模长平方的最值）；③几何法（利用圆的性质、点到直线的距离公式，直观判断模长的最值）.
【易错提示】
1.忽略动态向量的取值范围：如向量端点在圆上运动时，未考虑参数角的范围（
），导致函数
值域求解错误；2.直接对模长表达式求导或变形，未先平方转化，增加运算难度且易出错（如误将
直接展开为
）；3.基底选择不当，导致模长表达式含多个独立变量，无法求解最值
（2025·上海金山·一模）已知非零向量⃗a、⃗b的夹角为θ，若|⃗b|
|⃗a|=cosθ，|⃗a−⃗b|=3，
则|⃗a−t⃗b|(t ∈R)的最小值为 ．
（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量⃗a,⃗b,⃗c满足
|⃗a|=3,|⃗b|=1,|⃗a−⃗b|=√7 ,|⃗c|=2|⃗c−⃗a|，记⃗m=t⃗b(t ∈R)，则|⃗m−⃗c|的取值范围是（ ）
知识讲解与常考题型
题型分类
经典例题
经典例题
2
A．[√2,+∞)
B．[2√3−2,+ ∞)
C．(−∞,2√3+2)
D．[2√3−2,2√3+2]
（2025·辽宁大连·一模）设单位向量⃗a,⃗b,⃗c，已知⃗a⋅⃗b= 1
2，则|2⃗b−⃗a+⃗c|的最小值为
（ ）
A．0
B．1
C．√3−1
D．√3+1
【规律方法总结】
1.解题模板：①判断向量类型（静态/动态），选择转化方法（坐标法/基底法/几何法）；②将目标模长
平方，转化为数量积表达式；③将数量积表达式转化为单一变量的函数（如二次函数
、
三角函数
）；④确定变量取值范围，求解函数最值，再开方得到模长的最值/范
围.
2.技巧提炼：①遇到向量端点在圆上运动，优先用圆的参数方程（设点为
）表示向量坐标，
利用三角函数有界性（
、
）求最值；②遇到向量端点在直线上运动，设出直线的参数
坐标（如
），转化为二次函数，利用二次函数的顶点式或判别式求最值；③静态向量的模长范围，
可利用三角不等式（
）快速判断范围.
（2025·四川广安·模拟预测）已知|⃗a|=2，|⃗b|=1，⟨⃗a,⃗b⟩=θ，
|⃗a+2⃗b|+|⃗a−2⃗b|= f (θ)，则函数f (θ)的值域是（ ）
A．[4,2√5]
B．[3,2√5]
C．[4,4√2]
D．[3,4√2]
（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC =π
3 ,⃗AD =⃗DB , P为CD
上一点，且满足⃗AP =m⃗AC + 1
3⃗AB，若S△ABC =2√3，则|⃗AP|的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．2√6
3
D．8
3
（2025·湖北襄阳·二模）已知平面向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=1，⟨⃗b,⃗a+⃗b⟩=π
6 ，则|⃗a+⃗b|
的最大值为 .
【热点题型2：向量数量积的最值范围】
【核心归纳】
经典例题
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
3
1.转化路径：①定义转化：
，若
、
为定值，可转化为
的最值问题；②
坐标转化：若向量可坐标化，
，转化为坐标变量的函数最值；③基底转化：将向量表示
为基底的线性组合，数量积转化为基底数量积的线性表达式，再结合基底的已知条件求解；2.变量来源：
动态向量的参数（如圆的参数角、直线的参数t、夹角
）.
【易错提示】
1.混淆向量的夹角：将两个向量的夹角误视为线段的夹角（如三角形中向量
与
的夹角，误取为
，实际为
的补角）；2.变量转化不彻底：数量积表达式含多个独立变量（如x、y 同时存在
且无关联），无法求解值域；3.忽略向量的方向限制：如向量端点在线段上运动，未限制参数的取值范围，
导致最值超出实际情况；4.误用基本不等式：在数量积为负的情况下，仍用基本不等式求最小值，忽略基
本不等式的“正”前提.
（2025·天津和平·三模）若正方形ABCD的边长为1，中心为O，过O作直线l与边AD，
BC分别交于P，Q两点，点M满足⃗OM = λ
2⃗OA + 1−λ
2⃗
OB(λ∈R)．（ⅰ）当λ = 3
4 时，|⃗OM|= ；
（ⅱ）⃗PM ⋅⃗QM的最小值为 ．
（2025·天津·一模）如图，在平行四边形ABCD中，
∠BAD =π
3
,| AB|=3,| AD|=2，点E 为BC中点，⃗CG = 1
3⃗CD，点F 为边AD上的点．若点F 满足⃗
AF = 1
4⃗AD，且⃗EF = λ⃗AB+ μ⃗AD，则λ+ μ= ；若点F 为线段AD上的动点，则⃗EF ⋅⃗FG的取值
范围为 ．
（2025·天津南开·二模）在梯形ABCD中，AB = AD =2，⃗BC = 3
4⃗AD，⃗
AC ⋅⃗BD =−1
2，记⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，用⃗a和⃗b表示⃗CD = ；若点E为BD上一动点，则⃗AE⋅⃗BC的最
大值为 ．
【规律方法总结】
1.解题模板：①优先选择坐标法（动态向量必用），建立合适的坐标系，写出向量的坐标表达式；②将数
量积表示为坐标的乘积和，转化为单一变量的函数（二次函数、三角函数等）；③明确变量的取值范围
（结合几何背景：线段端点、圆的参数角范围等）；④求解函数在对应区间上的最值，得到数量积的最
值/范围.
经典例题
经典例题
经典例题
4
2.技巧提炼：①“投影法”快速转化：
（
为
在
方向上的投影），数量积的最
值可转化为投影的最值；②遇到“固定向量+动态向量”的数量积，固定向量为基底，动态向量用参数表
示，简化运算；③圆上向量的数量积最值，可利用圆心到定点的距离与半径的关系求解（如
，O
为原点，A 在圆上，B 为定点，转化为
，或坐标法转化为二次函数）.
（2025·天津·二模）在△ABC中，已知⃗AB⋅⃗AC =⃗AB
2= 4，且|⃗AC|=√13，则
|⃗BC|= ；若D为线段AB的中点，点E满足⃗BE =2⃗EC，且P为线段AC上的动点，则⃗
PD⋅⃗PE的最小值为 .
（2025·天津和平·一模）已知平面四边形ABCD满足|⃗AD|=|⃗AB|=2，⃗
BD +⃗CD =2⃗BA且⃗BA ⋅⃗BC
|⃗BC|
=1，M为AB的中点，则|⃗CM|= ，若E、F分别为线段AD、BC
上的动点，且满足⃗ME⋅⃗MF = 13
4 ，则|⃗ME+⃗MF|的最小值为 .
（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形ABCD中，∠A =60°，AD = 2
3 AB，点
E在边DC上，满足⃗DE = 1
3⃗DC，则向量⃗AE在向量⃗AD上的投影向量为 （请用⃗AD表示）；若
AB =3，点M，N分别为线段AB，BC上的动点，满足BM + BN =1，则⃗EM ⋅⃗EN的最小值为 ．
【热点题型3：向量夹角的最值范围】
【核心归纳】
1.关键关系：
在
上单调递减，故
的最大值对应
的最小值，
的最小值对应
的最
大值；2.转化核心：将
的表达式转化为含单一变量的函数，求该函数的值域，再结合反余弦函数的
单调性得到
的范围；3.约束条件：
，且
、
.
【易错提示】
1. 忽略夹角的取值范围：误将
的范围直接等同于
的范围，未结合
的单调性（如
，误得
，实际为
）；2.计算
时，数量积或模长符号错误，导致
符号错误，进而夹角范围判断错误；3.未排除向量共线的特殊情况（如
时
，
时
），导致范围遗漏或错误.
（25-26 高三上·河北·月考）P为等边三角形ABC所在平面内的一点，向量⃗
AP = x⃗AB+ y⃗AC，且1≤x ≤2，1≤y ≤2.设向量⃗AP与⃗AB的夹角为α，则cosα的最大值为（ ）
A．√6
4
B．√6
3
C．5√7
14
D．2√7
7
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
经典例题
5
（2025·江苏苏州·三模）已知向量⃗a在向量⃗b上的投影向量为2⃗b，若|⃗b|=1，则向量
2⃗a+⃗b与⃗a+2⃗b夹角余弦值的最小值为 ．
（2025·北京通州·一模）已知平面向量⃗a=(1,0)，⃗b=(0,1)，若⃗c满足⃗b⋅(⃗c−⃗b)=0，设⃗
c与⃗c−⃗a夹角为θ，则cosθ（ ）
A．有最大值为3
5
B．有最大值为√2
2
C．有最小值为3
5
D．有最小值为√2
2
【规律方法总结】
1.解题模板：①明确两个非零向量
、
，写出夹角公式
；②将
、
、
转化为
含单一变量的表达式，得到
；③求
的值域（结合变量t 的取值范围）；④利用
在
上的单调性，通过反余弦函数求出
的范围/最值.
2. 技巧提炼：①若已知
、
为定值，夹角范围直接由数量积的范围决定，即
，再转化为
的范围；②若向量含参数，优先用坐标法表示
，转化为
分式函数，利用判别式或均值不等式求值域；③遇到夹角为锐角或钝角的问题，需注意：锐角
且
、
不共线；钝角
且
、
不共线（排除共线反向/同向的情况）.
【多选题】（2025·辽宁·二模）已知平面单位向量⃗e1,⃗e2满足|⃗e1−⃗e2|≤1．设⃗
a=⃗e1+⃗e2,⃗b=2⃗e1−⃗e2，向量⃗a与⃗b的夹角为α，则α的取值可以是（ ）
A．30°
B．45°
C．75°
D．135°
（2025 高三·全国·专题练习）已知非零向量⃗a,⃗b满足(⃗a−⃗b)⊥(2⃗a−⃗b)，则
sin⟨⃗a,⃗b⟩的最大值为（ ）
A．√3
3
B．√2
2
C．1
3
D．1
2
（2022·浙江温州·模拟预测）平面向量⃗a,⃗b满足|⃗a−⃗b|=3，|⃗a|=2|⃗b|，则⃗a−⃗b与⃗a
夹角取最大值时|⃗a|为（ ）
A．√2
B．√3
C．2√2
D．2√3
经典例题
经典例题
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
6
【热点题型4：向量系数的最值范围】
【核心归纳】
1.转化路径：①坐标法：将向量坐标化，线性组合的系数转化为坐标方程中的变量，结合已知条件建立不
等式（组），求解变量范围；②基底法：选取不共线基底，将所有向量表示为基底的线性组合，利用基底
的数量积性质建立关于系数的方程或不等式；③几何法：利用向量线性组合的几何意义（如共线向量定理、
平面向量基本定理），将系数转化为图形中的线段长度、比例，直观求解范围；2.约束条件来源：向量的
模长限制、数量积限制（如
）、共线限制等.
【易错提示】
1.未正确应用平面向量基本定理：忽略基底的“不共线”前提，或错误将线性组合中的系数等同于图形中
的比例；2.约束条件建立不完整：如只考虑模长的平方关系，忽略向量的方向限制（如夹角范围），导致
系数范围扩大；3.线性规划转化错误：将向量条件转化为线性约束时，符号错误或边界条件遗漏；4.忽略
系数的隐含条件：如系数为正（表示向量的同向组合）、整数（特殊题型）等.
（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形ABCD中，AB⊥AD ,CD⊥AD ,CD =2 AB，
点M 在边BC（含端点）上运动，设⃗AM = x⃗AB+ y⃗AD，则x + y的取值范围是（ ）
A．[1,5]
B．[2,4 ]
C．[1,3]
D．[1,4 ]
（25-26 高三上·辽宁·期中）在△ABC中，D为边BC上一点，且满足⃗BD =2⃗DC，设⃗
AP = λ⃗AD，λ∈(0,1)，若存在实数m,n，使⃗BP =m⃗BA +n⃗BC，则m+n的取值范围是（ ）
A．(
1
3 ,1)
B．(
1
2 ,1)
C．(
2
3 ,1)
D．(
3
4 ,1)
在矩形ABCD中，AD =2 AB =2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若⃗
AP = x⃗AB+ y⃗AD，则x + y的最大值为 ．
【规律方法总结】
1.解题模板：①选择转化方法（坐标法优先，复杂图形用基底法）；②将目标向量的线性组合表示为坐标
或基底形式，结合已知条件建立关于系数的方程或不等式（组）；③若为两个系数，转化为线性规划问题，
利用可行域求最值；若为单个系数，转化为二次函数或分式函数，利用函数性质求最值；④验证系数对应
的向量是否满足原始条件（如模长、夹角限制）.
2.技巧提炼：①“共线系数”问题：若
且
与某向量共线，利用共线定理建立x、y 的线性关
系，再结合其他条件求最值；②“模长约束”问题：对
平方，转化为关于x、y 的二次方程，
结合已知条件用判别式或均值不等式求x、y 的范围；③“数量积约束”问题：利用
（模长平方非
负）或
建立不等式，转化为系数的约束条件.
（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为4的等边△ABC，动点P在以BC为直径的
半圆上.若⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AC，则λ+ 1
2 μ的取值范围是（ ）
经典例题
经典例题
经典例题
小试牛刀1
7
A．[1, 5
2]
B．[
1
2 ,1]
C．[
1
3 , 6
5]
D．[
1
2 , 5
4]
（2025·云南昆明·模拟预测）已知⃗a，⃗b是单位向量，⃗a，⃗b的夹角为60°，若向量⃗c
满足|⃗c−⃗a−⃗b|=1，则|⃗c|的最大值为（ ）
A．√3−1
B．√3
C．3
D．√3+1
（2025·北京·模拟预测）如图，OM ∥AB，点P 在由射线OM、线段OB及AB的
延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且⃗OP =−1
3⃗OA + λ⃗OB，则λ的取值范围是（ ）
A．(0, 1
3)
B．(
1
3 , 2
3)
C．(
2
3 , 4
3)
D．(
1
3 , 4
3)
一、单选题
1．（2024·江苏南京·模拟预测）若单位向量⃗a,⃗b满足〈⃗a,⃗b 〉=120°，向量⃗c满足(⃗c−⃗a)⊥(⃗c−⃗b)，则⃗
a⋅⃗c +⃗b⋅⃗c的最小值为（ ）
A．√3−1
4
B．1−√3
4
C．√3−1
2
D．1−√3
2
2．（2023·福建泉州·三模）已知平面向量⃗a，⃗b，⃗c满足|⃗a|=1，⃗b⋅⃗c =0，⃗a⋅⃗b=1，⃗a⋅⃗c =−1，则|⃗b+⃗c|
的最小值为（ ）
A．1
B．√2
C．2
D．4
3．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量|⃗OA|= 4 ,|⃗OB|=3,|⃗OC|=1,⃗OA ⋅⃗OB =0，则|⃗CA +⃗CB|的最小
小试牛刀2
小试牛刀3
课后针对训练
8
值是（ ）
A．1
B．2
C．3
2
D．3
4．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量|⃗a|=|⃗b|= 4 ,⃗a⋅⃗b=−8,⃗c =⃗a+⃗b
2
，且|⃗n−⃗c|=1，则⃗n与⃗c夹角的最大
值为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5π
12
5．（2025·辽宁·一模）已知|⃗AD|= 1
2|⃗AB|=2，向量⃗AP = λ⃗AD +(1−1
2 λ)⃗AB，且|⃗AP|的最小值为2√3，
则⃗PA ⋅⃗PB的最小值为（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．−1
D．√3
6．（2025·河南·模拟预测）已知∠AOB = π
6 ，|⃗OB|=2，且对任意的λ∈R，|⃗AB|≤|⃗OB+ λ⃗OA|恒成立，
则|x⃗OB−⃗OA|+|x⃗OB−1
2⃗OA|(x∈R)的最小值为（ ）
A．2√5
B．2√3
C．3
D．3
2
7．（2025·江苏南通·模拟预测）已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=3,|2⃗a+⃗b|+|⃗b|=10，则|⃗a+⃗b|的取值范围是（ ）
A．[2,4]
B．[4,5]
C．[2,5]
D．[2,6]
8．（2025·北京丰台·一模）在平行四边形ABCD中，E 为边BC上的动点，O 为△ABD外接圆的圆心，
2⃗DO =⃗DA +⃗DB，且|⃗DO|=|⃗DA|=2，则⃗DO⃗· DE的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
9．（2025·江西宜春·一模）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正
方形ABCD的边长为4，圆O的半径为4√2，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，且⃗
AP = λ⃗AB+ μ⃗AD，则λ+ μ的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，已知△ABC是边长为4 的等边三角形，点D 满足⃗
BD = λ⃗BC(0< λ<1)，E 为AC的中点，则⃗DB⋅⃗DE的取值范围为（ ）
9
A．[−9
4 ,4)
B．[−4,4)
C．[−9
4 ,4]
D．[−2,4 ]
11．（2025·江苏南京·二模）在四边形ABCD中，AB// DC，A =90
∘，AB = AD =2CD =2，E 是线段
AD中点，F是线段BE上的动点，则⃗FB⋅⃗FC的最小值为（ ）
A．−4
3
B．−5
4
C．−4
5
D．−7
9
12．（2025·甘肃白银·模拟预测）在△ABC 中，点D 在BC 上，⃗BD =⃗DC，⃗AG =3⃗GD，⃗AB = x⃗AE，⃗
AC = y⃗AF (x , y >0)，且存在实数λ，使得⃗EG = λ⃗EF，则x
2+ y
2的最小值是（ ）
A．16
9
B．32
9
C．64
9
D．8
二、填空题
13．（24-25 高三上·天津滨海新·月考）在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB =3CD，M，N分别为线段
DC和AB的中点，若⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，用⃗a，⃗b表示⃗MN = .若⃗MN ⊥⃗BC，则∠DAB余弦值的最
小值为 .
14．（2025·湖北·模拟预测）平面向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=2,|⃗a−⃗b|+|⃗a+⃗b|=8，则⟨⃗a−⃗b,⃗a+⃗b⟩的最小值为
.
15．（24-25 高一下·贵州遵义·月考）△ABC中，D为边AC的中点，E为中线BD上的一点（不包含端
点），且⃗AE = x⃗AB+ y⃗AC，则1
x + 1
y 的最小值为 .
16．（2025·湖南长沙·二模）已知⃗a是平面内的任意一个向量，向量⃗b、⃗c满足⃗b⋅⃗c =0，且|⃗b|= 4，|⃗c|= 4，
则√2|⃗a−⃗b|+|⃗a−⃗c|+|⃗a+⃗c|的最小值为 .
17．（2025·上海崇明·一模）在平面直角坐标系xOy中，|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗AB|=√3．设C (1,2)，则
|2⃗CA +⃗AB|的最小值是 ．
18．（2025·天津·一模）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD =60°，且⃗CE = 1
3⃗ED，⃗BE = λ⃗BA + μ⃗BC，
则λ+ μ= ；若F为线段BE上的动点，则⃗DF ⋅⃗BF的最小值为 ．
19．（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形ABCD的边AB =3，AD =2，点P，Q分别在边BC，CD上.
若⃗BP =⃗PC，⃗CQ =2⃗QD，则用⃗AB和⃗AD表示⃗PQ = ；若∠PAQ = 45°，则⃗AP⋅⃗AQ的最小值为
.
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20．（2025·天津·二模）在△ABC中，⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b,∠BAC =π
3
,S△ABC =2√3.
（1）若|⃗b|=1，则向量⃗a在向量⃗b上的投影向量的模为 ；
（2）边AB和AC的中点分别为D , E，点F为CD和BE的交点，G为线段CD上靠近C的三等分点，则⃗
AF ⋅⃗AG的最小值为 .
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