微专题6 与平面向量有关的最值、
范围问题
近几年高考：1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现,
多以小题形式考查,难度中档; 2.主要考查向量模、夹角、数量
积、系数的最值或范围.
一、高考真题
1.(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy 中,|⃗OA|=|⃗OB|=√2,
|⃗AB|=2,设C(3,4),则|2⃗CA+⃗AB|的取值范围是( )
A.[6,14]
B.[6,12]
C.[8,14]
D.[8,12]
答案 D
解析 因为|⃗OA|=|⃗OB|=√2,|⃗AB|=2,
由⃗AB=⃗OB-⃗OA平方,可得⃗OA·⃗OB=0,
所以<⃗OA,⃗OB>=π
2
.
2⃗CA+⃗AB=2(⃗OA-⃗OC)+⃗OB-⃗OA
=⃗OA+⃗OB-2⃗OC,|⃗OC|=√3
2+ 4
2=5,
所以|2⃗CA+⃗AB|2
=⃗OA
2+⃗OB
2+4⃗OC
2-4(⃗OA+⃗OB)·⃗OC
=2+2+4×25-4(⃗OA+⃗OB)·⃗OC
=104-4(⃗OA+⃗OB)·⃗OC,
又|(⃗OA+⃗OB)·⃗OC|≤|⃗OA+⃗OB||⃗OC|
=5×√2+2=10,
即-10≤(⃗OA+⃗OB)·⃗OC≤10,
所以|2⃗CA+⃗AB|2∈[64,144],
即|2⃗CA+⃗AB|∈[8,12].
2.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点
C 为圆心且与BD 相切的圆上.若⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD,则λ+μ 的最
大值为( )
A.3
B.2√2
C.√5
D.2
答案 A
解析 如图所示,以A 为原点建立平面直角坐标系,则
B(1,0),D(0,2),C(1,2),直线BD 的方程为y=-2x+2,
☉C 方程为(x-1)2+(y-2)2=r2,
又⃗AB=(1,0),⃗AD=(0,2),
则⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD=(λ,2μ),
又圆与直线BD 相切,则半径r= 2
√5
.
因为P 点坐标可表示为x=1+rcos θ=λ,
y=2+rsin θ=2μ,
则λ+μ=2+r
2 sin θ+rcos θ=2+√5r
2
sin(θ+φ),
当sin(θ+φ)=1 时,有最大值为2+√5
2
× 2
√5
=3.
3.(2024·天津卷)在边长为1 的正方形ABCD 中,E 为线段CD 的
三等分点,CE=1
2
DE,⃗BE=λ⃗BA+μ⃗BC,则λ+μ= ;F 为
线段BE 上的动点,G 为AF 的中点,则⃗AF·⃗DG的最小值为
.
答案 4
3
- 5
18
解析 以点A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E(
2
3 ,1),
所以⃗BE=(−1
3 ,1),⃗BA=(-1,0),⃗BC=(0,1),
因为⃗BE=λ⃗BA+μ⃗BC,
所以(−1
3 ,1)=λ(-1,0)+μ(0,1),
所以λ=1
3
,μ=1,所以λ+μ=4
3
.
由B(1,0),E(
2
3 ,1)可得直线BE 的方程为y=-3(x-1),
1
设F(a,3-3a)(
2
3 ≤a≤1),则G(
a
2 , 3−3a
2 ),
所以⃗AF=(a,3-3a),⃗DG=(
a
2 , 1−3a
2 ),
所以⃗AF·⃗DG=a·a
2
+(3-3a)·1−3a
2
=5a2-6a+3
2
=5(a−3
5)
2
- 3
10
,
所以当a=2
3
时,⃗AF·⃗DG取得最小值,为- 5
18
.
4.(2022·浙江卷)设点P 在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边
A1A2上,则⃗PA1
2+⃗PA2
2+…+⃗PA8
2的取值范围是 .
答案 [12+2√2,16]
解析 以圆心为原点,A7A3所在直线为x 轴,A5A1所在直线为y
轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则A1(0,1),A2(
√2
2 , √2
2 ),
A3(1,0),A4(
√2
2 ,−√2
2 ),A5(0,-1),
A6(−√2
2 ,−√2
2 ),A7(-1,0),A8(−√2
2 , √2
2 ),
设P(x,y),
于是⃗PA1
2+⃗PA2
2+…+⃗PA8
2=8(x2+y2)+8,
因为cos 22.5°≤|OP|≤1,
所以1+cos 45°
2
≤x2+y2≤1,
故⃗PA1
2+⃗PA2
2+…+⃗PA8
2的取值范围是[12+2√2,16].
二．典型例题
1.向量模的最值、范围
例1 (1)(2025·广州调研)已知向量a,b,c 满足|a|=1,|b|=√3
,a·b=-3
2
,<a-c,b-c>=30°,则|c|的最大值为( )
A.2√7
B.√7
C.2
D.√2
(2)已知向量a,b,单位向量e,若a·e=1,b·e=2,a·b=3,则|a+b|的
最小值为 .
答案 (1)A (2)√13
解析 (1)设⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,
则a-c=⃗CA,b-c=⃗CB,
由题意cos <a,b>=
a·b
|a||b|
=-√3
2
,
而0°≤<a,b>≤180°,则<a,b>=150°.
又因为<a-c,b-c>=30°,
所以O,A,C,B 四点共圆,如图所示.
要使|c|取得最大值,则OC 必过圆心G,
此时在△OAB 中,AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos ∠AOB
=1+3-2√3cos 150°=7,
即AB=√7,
由正弦定理可得OC=2R=
AB
sin ∠AOB
=2√7.
(2)设e=(1,0),a=(x1,y1),b=(x2,y2),
由a·e=1 得x1=1,
由b·e=2 得x2=2,
由a·b=x1x2+y1y2=3,可得y1y2=1,
则|a+b|=√(a+b)
2
=√( x1+ x2)
2+( y1+ y2)
2
=√11+ y1
2+ y2
2≥√11+2 y1 y2=√13,
当且仅当y1=y2=1 时,取等号.
故|a+b|的最小值为√13.
规律方法 求向量模的范围或最值常见方法:
(1)通过|a|2=a2转化为实数问题;(2)数形结合;(3)坐标法.
训练1 (1)已知单位向量a,b 满足|a-b|+2√3a·b=0,则|ta+b|
(t∈R)的最小值为( )
A.√2
3
B.√3
2
C.2√2
3
D.√2
2
2
(2)已知△ABC 是边长为4√3的正三角形,点P 是△ABC 所在平
面内的一点,且满足|⃗AP+⃗BP+⃗CP|=3,则|⃗AP|的取值范围是
.
答案 (1)B (2)[3,5]
解析 (1)由|a-b|+2√3a·b=0,
得|a-b|=-2√3a·b,
两边平方,得a2-2a·b+b2=12(a·b)2,
即6(a·b)2+a·b-1=0,
解得a·b=-1
2
或a·b=1
3
.
因为|a-b|=-2√3a·b≥0,
所以a·b≤0,所以a·b=-1
2
,
所以|ta+b|=√|ta+b|
2
=√t
2+1+2ta·b=√t
2−t +1
=√(t −1
2)
2
+ 3
4
≥√3
2
,
当t=1
2
时,表达式取得最小值.
(2)以AC 所在直线为x 轴,以AC 的垂直平分线为y 轴建立平面
直角坐标系,
则A(-2√3,0),B(0,6),
C(2√3,0),设P(x,y),
则⃗AP=(x+2√3,y),⃗BP=(x,y-6),⃗
CP=(x-2√3,y),
∵|⃗AP+⃗BP+⃗CP|=3,
即√(3 x +2√3−2√3)
2+(3 y −6)
2=3,
化简得x2+(y-2)2=1,
∴点P 的轨迹方程为x2+(y-2)2=1,
设圆心为G,则G(0,2),
又|AG|=√2
2+(2√3)
2=4,
故|⃗AP|的最小值为|AG|-1=4-1=3,
|⃗AP|的最大值为|AG|+1=4+1=5,
故|⃗AP|的取值范围是[3,5].
2.向量数量积的最值、范围
例2 (1)(2025·北京延庆区模拟)在△ABC 中,A=90°,AB=AC=4,
点M 为边AB 的中点,点P 在边BC 上,则⃗MP·⃗CP的最小值为
.
(2)(2025·哈尔滨调研)已知平面向量a,b,c 满足|a|=|b|=1,且cos
<a,b>=-1
2
,|c-a+b|=1,则b·(a-c)的最小值为 .
答案 (1)-9
2
(2)0
解析 (1)以A 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,由
题意可知B(4,0),C(0,4),M(2,0),
设P(x,4-x),0≤x≤4,
所以⃗MP=(x-2,4-x),⃗CP=(x,-x),
所以⃗MP·⃗CP=x2-2x-4x+x2=2x2-6x=2(x−3
2)
2
-9
2
,0≤x≤4,
由二次函数的性质知,当x=3
2
时,⃗MP·⃗CP取最小值-9
2
.
(2)不妨设a=(
1
2 , √3
2 ),b=(
1
2 ,−√3
2 ),c=(x,y),
则|c-a+b|=|( x , y)−(
1
2 , √3
2 )+(
1
2 ,−√3
2 )|=1,
则x2+(y-√3)2=1.
可设{
x =cos θ ,
y =√3+sin θ ,
θ∈[0,2π),
则b·(a-c)=(
1
2 ,−√3
2 )·
(
1
2 −cos θ , √3
2 −√3−sin θ)
=1+(
√3
2 sin θ−1
2 cos θ)=1+sin (θ−π
6)≥0.
规律方法 向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化:利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的
最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断.
3
(2)数化:利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数
最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题,然后利用函数、
不等式或方程的有关知识来解决.
训练2 (1)如图,已知正方形ABCD 的边长为4,若动点P 在以
AB 为直径的半圆上(含边界),则⃗PC·⃗PD的取值范围为( )
A.(0,16]
B.[0,16]
C.(0,4)
D.[0,4]
(2)(2025·江西五市九校联考)如图,已知圆O 的半径为2,弦长
AB=2,C 为圆O 上一动点,则⃗AC·⃗BC的取值范围为 .
答案 (1)B (2)[6-4√3,6+4√3]
解析 (1)取CD 的中点E,连接PE,如图所示,
所以PE 的取值范围是[
AD
2 , AE],即[2,2√5],
又由⃗PC·⃗PD=(⃗PE+⃗EC)·(⃗PE+⃗ED)=⃗PE
2-⃗CD
2
4
=⃗PE
2
-4,
所以⃗PC·⃗PD∈[0,16].
(2)取AB 的中点D,连接CD,OD,
则⃗AC·⃗BC=(⃗AD+⃗DC)·(⃗BD+⃗DC)
=⃗AD·⃗BD+(⃗AD+⃗BD)·⃗DC+⃗DC
2
=⃗DC
2-1,
又|OD|=√2
2−1
2=√3,
所以|CD|min=2-√3,|CD|max=2+√3,
即2-√3≤|CD|≤2+√3,
所以(⃗AC·⃗BC)min=6-4√3,
(⃗AC·⃗BC)max=6+4√3.
故⃗AC·⃗BC的取值范围为[6-4√3,6+4√3].
3.向量夹角的最值、范围
例3 (2025·太原调研)已知点P(1,0),C(0,√3),O 是坐标原点,点
B 满足|⃗BC|=1,则⃗OP与⃗PB夹角的最大值为( )
A.5 π
6
B.2π
3
C.π
2
D.π
3
答案 A
解析 设点B(x,y),可得⃗BC=(-x,√3-y),
因为|⃗BC|=1,
可得x2+(y-√3)2=1,
即点B 的轨迹是以C(0,√3)为圆心,半径r=1 的圆.
如图所示,当直线BP 与圆C 相切且切线在圆心下方时,直线
BP 的倾斜角最大,即⃗OP与⃗PB的夹角最大.
设过点P 与圆C 相切的直线PB 的方程为y=k(x-1),即kx-y-
k=0(k<0),
则圆心到直线的距离等于圆的半径,
可得|−√3−k|
√k
2+1
=1,解得k=-√3
3
,
设切线的倾斜角为α(0≤α<π),
4
则tan α=-√3
3
,可得α=5 π
6
,
即⃗OP与⃗PB 夹角的最大值为5 π
6
.
规律方法 1.解答本题的关键是确定动点B 的轨迹后,数形结
合求解,把两向量夹角的最值问题转化为直线与圆的位置关系
问题.
2.求向量夹角的最值、范围,往往要将夹角与其某个三角函数
值用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,要注意变量之间
的关系.
训练3 (2025·合肥段考)在平行四边形ABCD 中,⃗AB
|⃗AB|
+
2⃗AD
|⃗AD|
= λ⃗AC
|⃗AC |
,λ∈[√2,2],则cos ∠BAD 的取值范围是
.
答案 [−3
4 ,−1
4]
解析 设与⃗AB同方向的单位向量⃗
AB
|⃗AB|
=e1,
与⃗AD同方向的单位向量⃗
AD
|⃗AD|
=e2,
与⃗AC 同方向的单位向量⃗
AC
|⃗AC |
=e3,
由题意e1+2e2=λe3,
所以(e1+2e2)2=λ2e3
2,
即e1
2+4e1·e2+4e2
2=λ2e3
2,
所以1+4×1×1×cos ∠BAD+4=λ2,
所以cos ∠BAD= λ
2−5
4
,
因为λ∈[√2,2],所以λ2∈[2,4],
所以λ
2−5
4
∈[−3
4 ,−1
4],
即cos ∠BAD 的取值范围是[−3
4 ,−1
4].
4.向量系数的最值、范围
例4 (2025·铜川模拟)在△ABC 中,D 是AB 边上的点,满足
AD=2DB,E 在线段CD 上(不含端点),且⃗AE=x⃗AB+y⃗AC
(x,y∈R),则x +2 y
xy
的最小值为 .
答案 4+2√3
解析 ∵⃗AE=x⃗AB+y⃗AC(x,y∈R),AD=2DB,
∴⃗AE=3 x
2⃗AD+y⃗AC,
又E 在线段CD 上(不含端点),
∴3 x
2
+y=1,且x>0,y>0,
∴x +2 y
xy
= 1
y
+2
x
=(
1
y + 2
x)(
3 x
2 + y)
=4+3 x
2 y
+2 y
x
≥4+2√3,
当且仅当3 x
2 y
=2 y
x
,
即x=1-√3
3
,y=√3−1
2
时,等号成立,
∴x +2 y
xy
的最小值为4+2√3.
规律方法 解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共线向
量定理及推论
(1)a∥b⇔a=λb(b≠0).
(2)⃗OA=λ⃗OB+μ⃗OC(λ,μ 为实数),则A,B,C 三点共线⇔λ+μ=1,
进行转化,列不等式或等式得到关于系数的关系式,从而求系数
的取值范围.
训练4 (2025·南京模拟)已知点P 是△ABC 所在平面内的一点,
且⃗AP=1
3⃗AB+t⃗AC(t∈R),若点P 在
△ABC 的内部(不包含边界),则实数t 的取值范围是 .
答案 (0, 2
3)
解析 在AB 上取一点D,使得⃗AD=1
3⃗AB,
过点D 作DP∥AC 交BC 于点P,过点P 作PE∥AD 交AC 于点
E,
由平面几何知识易知⃗AE=2
3⃗AC,
由向量加法的平行四边形法则,
得⃗AP=1
3⃗AB+2
3⃗AC.
若点P 落在△ABC 的内部,则0<t<2
3
.
5
【精准强化练】
一、单选题
1.已知非零向量a,b 的夹角为π
6
,|a|=2,λ∈R,则|a+λb|的最小值
为( )
A.2
B.√3
C.1
D.1
2
答案 C
解析 因为a,b 的夹角为π
6
,|a|=2,
所以a·b=√3|b|,
|a+λb|2=|b|2λ2+2√3|b|λ+4
=(|b|λ+√3)2+1≥1.
故|a+λb|的最小值为1.
2.(2025·南通质检)如图所示,单位圆上有动点A,B,则|⃗OA-⃗
OB|的最大值为( )
A.0
B.-1
C.1
D.2
答案 D
解析 因为|⃗OA-⃗OB|=|⃗BA|,
A,B 是单位圆上的动点,
所以|⃗OA-⃗OB|的最大值为2,
此时⃗OA 与⃗OB反向.
3.(2025·齐齐哈尔模拟)已知向量a,b 不共线,⃗AB=λa+b,⃗AC
=a+μb,其中λ>0,μ>0.若A,B,C 三点共线,则λ+4μ 的最小值为(
)
A.5
B.4
C.3
D.2
答案 B
解析 因为A,B,C 三点共线,所以存在实数k,使⃗AB=k⃗AC,
即λa+b=k(a+μb).
又向量a,b 不共线,
所以{
λ =k ,
1= μk ,
得λμ=1.
由λ>0,μ>0,得λ+4μ≥2√4 λμ=4,
当且仅当λ=4μ,即λ=2,μ=1
2
时,取“=”.
4.设向量⃗OA=(1,-2),⃗OB=(a,-1),⃗OC=(-b,0),其中O 为坐标
原点,a>0,b>0,若A,B,C 三点共线,则1
a
+2
b
的最小值为( )
A.4
B.6
C.8
D.9
答案 C
解析 由题意得,⃗AB=⃗OB-⃗OA=(a-1,1),⃗
AC=⃗OC-⃗OA=(-b-1,2),
∵A,B,C 三点共线,
∴⃗AB=λ⃗AC且λ∈R,
则{
a−1=−λ(b+1),
2 λ =1,
可得2a+b=1,
∴1
a
+2
b
=(
1
a + 2
b)(2a+b)=4+b
a
+4 a
b
≥4+2√
b
a · 4 a
b
=8,
当且仅当b=2a=1
2
时,等号成立,
∴1
a
+2
b
的最小值为8.
5.(2025·广州三校联考)已知正方形ABCD 的边长为1,设点
M,N 满足⃗AM=λ⃗AB,⃗AN=μ⃗AD.若⃗CM·⃗CN =1,则λ2+2μ2
的最小值为( )
A.2
B.1
C.2
3
D.3
4
答案 C
解析 如图所示,以A 为原点,建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
∵⃗AM=λ⃗AB,⃗AN=μ⃗AD,
∴M(λ,0),N(0,μ),
则⃗CM =(λ-1,-1),⃗CN=(-1,μ-1),
6
∴⃗CM ·⃗CN=1-λ+1-μ=1,
故λ+μ=1,
∴λ2+2μ2=(1-μ)2+2μ2=3μ2-2μ+1,
故μ=1
3
时,
λ2+2μ2=3μ2-2μ+1 取得最小值2
3
.
6.已知a,b 是互相垂直的两个单位向量,若向量c 满足|c-a-b|
=2,则|c|的最大值为( )
A.2-√2
B.2+√2
C.√2
D.2√2
答案 B
解析 依题意,设a,b 分别是x 轴与y 轴正方向上的单位向量,
则a=(1,0),b=(0,1),a+b=(1,1),
设c=(x,y),
则c-a-b=(x-1,y-1),
因为|c-a-b|=√( x −1)
2+( y −1)
2=2,
所以(x-1)2+(y-1)2=4,
故c=⃗OC,点C 的轨迹是以(1,1)为圆心,2 为半径的圆,圆心
M(1,1)到原点的距离为
|OM|=√1
2+1
2=√2,
|c|max=|OM|+r=√2+2.
7.已知菱形ABCD 的边长为1,cos ∠BAD=1
3
,O 为菱形的中心,
E 是线段AB 上的动点,则⃗DE·⃗DO的最小值为( )
A.1
3
B.2
3
C.1
2
D.1
6
答案 A
解析 由题意知点O 为BD 的中点,
设⃗AE=λ⃗AB,0≤λ≤1,
则⃗DE=⃗AE-⃗AD=λ⃗AB-⃗AD,⃗DO=1
2⃗DB=1
2⃗AB-1
2⃗AD
,
故⃗DE·⃗DO=(λ⃗AB-⃗AD)·(
1
2⃗AB−1
2⃗AD)
=1
2
λ⃗AB
2+1
2⃗AD
2-(
1
2 λ+ 1
2)⃗AB·⃗AD
=1
2
λ+1
2
-1
3(
1
2 λ+ 1
2)
=1
3
λ+1
3
,
当λ=0 时,⃗DE·⃗DO取得最小值为1
3
.
8.(2025·开封调研)在平面直角坐标系xOy 中,设A(2,4),B(-2,-
4),动点P 满足⃗PO·⃗PA=-1,
则tan ∠PBO 的最大值为( )
A.2√21
21
B.4√29
29
C.2√41
41
D.√2
2
答案 C
解析 设P(x,y),则⃗PO=(-x,-y),⃗PA=(2-x,4-y),
则⃗PO·⃗PA=-x(2-x)-y(4-y)=-1,
即x2-2x+y2-4y+1=0,
化为(x-1)2+(y-2)2=4,则点P 的轨迹为以D(1,2)为圆心,半径为
2 的圆,
又kOB=−4
−2
=2=kOD,所以B,O,D 三点共线,显然当直线PB 与此
圆相切时,tan ∠PBO 的值最大.
又BD=√3
2+6
2=3√5,PD=2,
则PB=√B D
2−P D
2=√45−4=√41,
则tan ∠PBO=PD
PB
= 2
√41
=2√41
41
.
7
二、多选题
9.(2025·杭州质检)在平面直角坐标系xOy 中,已知点P(3,4),长
度为2 的线段AB 的端点分别落在x 轴和y 轴上,则⃗PA·⃗PB的
取值可以为( )
A.10
B.15
C.25
D.35
答案 BCD
解析 如图所示,建立直角坐标系.
由题意设A(a,0),B(0,b),
其中0≤|a|≤2,0≤|b|≤2,
|AB|=2,即a2+b2=4,
令a=2cos θ,b=2sin θ,
所以A(2cos θ,0),B(0,2sin θ),
所以⃗PA=(2cos θ-3,-4),⃗
PB=(-3,2sin θ-4),
所以⃗PA·⃗PB=(-3)×(2cos θ-3)+(-4)×(2sin θ-4)=-6cos θ+9-
8sin θ+16
=-10sin(θ+φ)+25,
tan φ=3
4
,
所以(⃗PA·⃗PB)max=35,(⃗PA·⃗PB)min=15,
所以⃗PA·⃗PB的取值范围是[15,35],结合选项可得选BCD.
10.(2025·泉州调研)平面向量m,n 满足|m|=|n|=1,对任意的实数
t,|m−1
2 n|≤|m+tn|恒成立,则( )
A.m 与n 的夹角为60°
B.(m+tn)2+(m-tn)2为定值
C.|n-tm|的最小值为1
2
D.m 在m+n 上的投影向量为1
2
(m+n)
答案 AD
解析 设平面向量m 与n 的夹角为θ,
因为对任意的实数t,|m−1
2 n|≤|m+tn|恒成立,即m2-m·n+1
4
n2≤m2+2tm·n+t2n2恒成立,又|m|=|n|=1,所以t2+2tcos θ+cos θ-1
4
≥0 对任意的实数t 恒成立,
所以Δ=4cos 2θ-4cos θ+1=(2cos θ-1)2≤0,
则cos θ=1
2
,所以θ=60°,故A 正确.
对于B,(m+tn)2+(m-tn)2=1+2tcos 60°+t2+1+t2-2tcos 60°=2+2t2,
随t 的变化而变化,故B 错误.
对于C,因为|n-tm|=√|n −tm|
2=√1+t
2−2t cos 60°=
√t
2−t +1,结合二次函数的性质可知当t=1
2
时,|n-tm|取最小
值√3
2
,故C 错误.
对于D,向量m+n 的一个单位向量e= m+n
|m + n|
=m+n
√3
,由向量
夹角公式可得cos <m,m+n>= m·(m+n)
|m||m+ n|
=1+ 1
2
√3
=√3
2
,则
m 在m+n 上的投影向量为|m|·cos <m,m+n>e=1×√3
2
×m+n
√3
=1
2
(m+n),故D 正确.
11.(2025·菏泽模拟)如图,已知△ABC 中,B=2π
3
,AB=BC=2,M
是AC 的中点,动点P 在以AC 为直径的半圆弧上.则( )
A.2⃗BM=⃗BA+⃗BC
B.⃗BP·⃗BC的最小值为-2
C.⃗BM在⃗BC上的投影向量为1
3⃗BC
D.若⃗BP=x⃗BA+y⃗BC,则x+y 的最大值为1+√3
答案 ABD
解析 以M 为原点,AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系
(如图),
8
设∠CMP=θ,则θ∈[0,π],
在△ABC 中,∠ABC=2π
3
,AB=BC=2,
M 是AC 的中点,
所以BM=1,AC=2√3,MP=√3,
则A(-√3,0),C(√3,0),B(0,-1),P(√3cos θ,√3sin θ),
所以⃗BP=(√3cos θ,√3sin θ+1),⃗BC=(√3,1),⃗BA=(-
√3,1),⃗BM=(0,1).
对于A,因为M 是AC 的中点,
所以2⃗BM=⃗BA+⃗BC,A 正确;
对于B,⃗BP·⃗BC=3cos θ+√3sin θ+1
=2√3sin (θ+ π
3)+1,
因为θ∈[0,π],所以θ+π
3
∈[
π
3 , 4 π
3 ],
当θ+π
3
=4 π
3
时,sin (θ+ π
3)取得最小值-√3
2
,
所以⃗BP·⃗BC的最小值为-2,B 正确;
对于C,⃗BM 在⃗BC 上的投影向量为⃗BM ·⃗BC
|⃗BC |
2⃗
BC=
1
4⃗BC,C 错误;
对于D,因为⃗BP=x⃗BA+y⃗BC,
所以(√3cos θ,√3sin θ+1)
=x(-√3,1)+y(√3,1),
则x+y=√3sin θ+1,
当θ=π
2
时,x+y 取最大值 1+√3.D 正确.
三、填空题
12.在△ABC 中,CA=CB=2,D 为AC 的中点,则⃗DC·⃗DB的取值
范围是 .
答案 (-1,3)
解析 依题意⃗DC·⃗DB=⃗DC·(⃗DC+⃗CB)=⃗DC
2+⃗DC·⃗CB=⃗
DC
2-⃗CD·⃗CB=1-1×2cos ∠BCD.
又cos ∠BCD∈(-1,1),
所以1-1×2cos ∠BCD=1-2cos ∠BCD∈(-1,3).
13.(2025·昆明调研)已知非零向量a,b 的夹角为θ,|a+b|=2,且|a||
b|≥4
3
,则夹角θ 的取值范围为 .
答案 [
π
3 ,π]
解析 由|a+b|2=4 得|a|2+|b|2+2|a||b|cos θ=4,
即4≥2|a||b|(1+cos θ)≥8
3
(1+cos θ),
前一个等号成立条件为|a|=|b|,
整理得cos θ≤1
2
.由于θ∈[0,π],
所以π
3
≤θ≤π.
14.(2025·天津部分区模拟)已知平行四边形ABCD 的面积为6
√3,∠BAD=2π
3
,且⃗BE=2⃗EC.若F 为线段DE 上的动点,且⃗
AF=λ⃗AB+5
6⃗AD,则实数λ 的值为 ;|⃗AF|的最小值
为 .
答案 1
2
√5
解析 ⃗AF=λ⃗AB+5
6⃗AD=λ(⃗AE+⃗EB)+5
6⃗AD=λ⃗AE+
(
5
6 −2
3 λ)⃗AD,
由D,E,F 三点共线,得λ+5
6
-2
3
λ=1,
解得λ=1
2
.
过点A 作AG⊥BC 于点G,以G 为坐标原点,建立如图所示的平
面直角坐标系,
设B(-a,0),a>0,则A(0,√3a),
9
而▱ABCD 的面积为6√3,
则|BC|=6
a
,故C(
6
a −a,0),D(
6
a ,√3a),
则⃗AB=(-a,-√3a),⃗AD=(
6
a ,0),
所以⃗AF=5
6⃗AD+1
2⃗AB=(
5
a −a
2 ,−√3
2 a),
则|⃗AF|2=(
5
a −a
2)
2
+3
4
a2
=25
a
2 +a2-5≥2√
25
a
2 ·a
2-5=5,
当且仅当25
a
2 =a2,
即a=√5时取“=”,
所以|⃗AF|的最小值为√5.
10
