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重难点培优05 数列解答题题型全归纳
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 裂项求和：基础型（★★★★★）................................................................................................3
题型二 裂项求和：根式型（★★★★）....................................................................................................4
题型三 裂项求和：指数函数型（★★★★）............................................................................................5
题型四 裂项求和：等差裂和型（★★
）
★
................................................................................................6
题型五 分组、并项求和（★★★★★）....................................................................................................6
题型六 错位相减求和（★★★★★）........................................................................................................7
题型七 倒序相加求和（★★
）
★
................................................................................................................8
题型八 含奇偶项问题（★★★★）............................................................................................................9
题型九 数列中的增、减项及交、并项问题（★★
）
★
..........................................................................11
题型十 数列与不等式（★★★★）..........................................................................................................13
题型十一 数列新定义（★★★★★）......................................................................................................15
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................17
检测
组 重难知识巩固
Ⅰ
..............................................................................................................................17
检测
组 创新能力提升
Ⅱ
..............................................................................................................................21
1、求Sn的常用方法
（1）公式法：已知a1和d、已知a1和q、已知数列的某些项，求Sn..
（等差
Sn=na1+n (n
1
−)
2
d=n(a1+an)
2
，等比
）
（2）裂项相消法
等差型裂项
①
an=
，
an=
，
an=
，
an=
根式型裂项
②
an=
，an=
，
an=
指对数型裂项
③
an=
，
（3）错位相减法（通项公式为等差×等比，求Sn）
已知数列{an}为等差，数列{bn}为等比，数列{an∙bn}的前n项和为Sn，求Sn.
（4）分组求和法（通项公式为等差+等比，求Sn）
已知数列{an}为等差，数列{bn}为等比，数列{an+ bn}的前n项和为Sn，求Sn.
（5）并项求和法（通项公式形如(
1
−)n×等差，求Sn）
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见
的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
一般分两步：①找通项公式 ②由通项公式确定如何分组.
还有一种数列，单个项的一个一个看看不出什么名堂，但可以考虑几组固定数目的项合起来一起加或者乘
了看看，或许会有所发现
例：已知
，可推出Sn={
3n
2
，n为偶
3
−n+1
2
，n为奇
（6）倒序相加法
例：已知函数
，若公比为
等比数列
满足，
，
可推出
1010
题型
一
基
型
裂项求和：
础
【技巧通法·提分快招】
基础原理：
，如：
；
基本题型：①
；②
；
注意（避免掉坑）
分母分解因式：
①
2
1
1
1 1
1
3
3
3
3
n n
n
n
n
n
；
系数不相同就提系数：
②
；
求和化简时，要写到前三后二，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的时首尾项（或正负
③
“
”
项）对应.
（1）
；
（2）
；
（3）
；
分式型分子裂差法
形如
型，如果
，则可以分子裂差：
1．已知数列
的前n 项和为
，
，且数列
的前n 项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求证：
.
2．（24-25 高三下·山西大同·期末）已知数列
的前n 项和为
，且
，
．
(1)求
的通项公式：
(2)若
，
，求
．
3．（2025·广西北海·模拟预测）已知数列
满足
，且
．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)求
的通项公式；
(3)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
4．在数列
中，
，
.
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
5．（2025·辽宁鞍山·一模）设
是各项都为正数的递增数列，已知
且
满足关系式
，
．
(1)求
及数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
．
题型二
根
型
裂项求和：
式
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列
，其前
项和为
，
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求证：
.
2．记
分别为数列
的前
项和，已知
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
题型三
数
数型
裂项求和：指
函
【技巧通法·提分快招】
（1）
（2）
（3）
1．（2025·江西·模拟预测）已知数列
满足
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
2．（25-26 高三上·湖北·开学考试）记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
3．已知正项数列
的前n 项和为
，且
．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)若
，求数列
的前n 项和
；
(3)若
，求数列
的前n 项和
．
题型四
型
裂项求和：等差裂和
【技巧通法·提分快招】
等差裂和型
形如
型，如果
，则可以分子裂差：
1．（2025·广东佛山·三模）已知数列
满足
，且
是关于
的方程
的两个
根．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前21 项和
．
2．已知正项数列
的前n 项之积为
，且
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)设
，求
的前2n 项和
.
3．（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列
是公差大于2 的等差数列，其前
项和为
，
，且
，
，
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
．
题型五 分
并
组、
项求和
【技巧通法·提分快招】
并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
1．已知正项数列
的前n 项和为
，且满足
．
(1)证明：
为等差数列；
(2)求数列
的前n 项和
．
2．数列
中，
，满足
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前n 项和
.
3．已知数列
的首项为1，前n 项和为
，数列
满足
，且
是等差数
列．
(1)若
为等差数列，且
，求
的通项公式；
(2)设
的前n 项和为
，求
．
4．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0 的等差数列
中，已知
，
，
成等比数列，
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前2n 项和
．
5．（2025·广东佛山·三模）已知数列
满足
，且
是关于
的方程
的两个
根．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前21 项和
．
题型六
错位相减求和
【技巧通法·提分快招】
错位相减法求数列
的前n 项和
（1）适用条件
若
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和
．
（2）基本步骤
（3）注意事项
在写出
①
与
的表达式时，应特别注意将两式错位对齐，以便下一步准确写出
“
”
；
1．设等差数列
的公差为
，前
项和为
，等比数列
的公比为
.已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)当
时，记
，求数列
的前
项和
.
2．（24-25 高三上·福建漳州·月考）已知数列
的满足
，
.
(1)求数列
的通项公式.
(2)设数列
，前n 项和为
，求
.
3．已知数列
的首项为
，且满足
.
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，求
，并证明：
.
题型七
倒序相加求和
【技巧通法·提分快招】
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用
倒序相加法（等差数列前
项和公式的推导即用此方法）．
1．已知函数
.
(1)求证
为定值；
(2)若数列
的通项公式为
（
为正整数，
，
，
，
），求数列
的前
项和
；
2．已知数列
满足：
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求
的值；
(3)求
的值.
3．已知函数
，数列
满足
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，求证：
．
题型八
题
含奇偶项问
【技巧通法·提分快招】
1、对于通项公式分奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以
先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1.
2、含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和.
3、（1）当n 为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋
＋
…
an－1＋an，其中奇数项、偶数项各有n
2 项，可直接利用分组求
和Sn＝(a1＋a3＋
＋
…
an－3＋an－1)＋(a2＋a4＋
＋
…
an－2＋an).
（2）当n 为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋
＋
…
an－1＋an⇒Sn＝Sn－1＋an，其中Sn－1可利用上述结论代入，然后再
快速求解Sn＝Sn－1＋an.
1．（25-26 高三上·云南·月考）已知正项等差数列
的公差为2，
的前n 项和为
，且
，
，
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式
；
(2)设
，求数列
的前10 项和
．
2．已知数列
满足
．记
（
）．
(1)计算
，并证明数列
为等比数列；
(2)设
，且数列
的前
项和为
，求证：
．
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列
满足
，
记
．
(1)证明：数列
为等比数列，并求出数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列
的前
项和为
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
求数列
的前
项和
.
5．已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
为
的前
项和，求
时
的最小值.
6．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列
和
满足：
，
，且
(1)设
，证明：
是等比数列；
(2)设
，试求
的前n 项和
．
题型九 数列
并
题
中的增、减项及交、
项问
【技巧通法·提分快招】
1、数列插项问题
（1）插项的核心：插入的项数与插入的数据类型.
（2）常见插项问题
** 错
的表达式
误
**在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等差数列，
记这个等差数列的公差为
，则
，整理的
.
** 错
的表达式
误
**在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等比数列，
记这个等比数列的公比为
，则
，整理的
.
** 错
的表达式
误
**在
和
之间插入
个
，组成新数列
求这个数列的前
项和，需分清
和
各有多少项，分组求和.
2、求解两个数列公共项的常用方法
（1）不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相
应的通项公式.
（2）周期法：即寻找下一项.通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值
大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项
公式.
1．（2024·四川泸州·二模）已知数列
的前n 项和为
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入n 个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，求
．
2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列
中，
，
，设
.
(1)证明数列
为等比数列，并求
的通项公式；
(2)设
，将数列
和数列
的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列
，求数
列
的前50 项和
.
3．已知数列
的前
项和
，
为等比数列，公比为2，且
，
，
为等差数列.
(1)求
与
的通项公式；
(2)把数列
和
的公共项由小到大排成的数列记为
，求数列
的前
项和
.
4．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)保持
的各项顺序不变，在
和
之间插入k 个1，使它们与数列
的项组成一个新的数列
，
记
的前n 项和为
，求
.
5．已知正项等差数列
，
为数列
的前
项和，且满足
，
，设数列
满足
.
(1)分别求数列
和
的通项公式；
(2)将数列
中与数列
相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列
，记数列
的前
项和为
，求
.
6．（24-25 高三下·江苏常州·月考）已知
和
分别为正项等比和等差数列，且
．
(1)求
的前n 项和．
(2)将数列
与
去除公共项后从小到大排列为
，记
表示去除项在原数列
中的项数n，设
．求
和
的通项公式以及
．
7．已知数列
的各项均为正数，
，且
．
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)若数列
满足
，是否存在正整数m；使得
成立，并说明理由．
(3)设
，数列
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，现将数列
中剔除
的项后、不改变
其原来顺序所组成的数列记为
，求
的值．
8．已知数列
为公差不为
的等差数列，其前
项和为
，
，
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)设数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，若数列
和
的公共项为
，记
从小到大构成
数列
，求
的前
项和
.
题型十 数列
与不等式
【技巧通法·提分快招】
常见放缩公式
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
（7）
；
（8）
．
1．（24-25 高三下·上海·月考）已知数列
的前n 项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，问是否存在正整数m，使得
成立，并说明理由.
2．已知数列
满足
．记
（
）．
(1)计算
，并证明数列
为等比数列；
(2)设
，且数列
的前
项和为
，求证：
．
3．已知在正项数列
中，
，其前
项和
满足
．
(1)求
与
；
(2)令
，数列
的前
项和为
，求证：对于任意的
，都有
．
4．已知
，
，
是等差数列，且
．
(1)求
，
；
(2)求证：
．
5．已知公差不为0 的等差数列
的首项
，前
项和为
，且
，
，
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式及
；
(2)记
，
，当
时，比较
与
的大小；
(3)是否存在实数
，使得对任意的正整数
，
，都有
成立？若存在，求
的最大值；若
不存在，请说明理由．
6．已知数列
中，
，
，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)记
，数列
的前
项和为
．
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
．
7．已知数列
和
满足
，且
．
(1)当
时，求数列
的通项公式；
(2)若
，求证：数列
是等差数列；
(3)若
，
，求证：
．
题型十一 数列
新定义
【技巧通法·提分快招】
1、新定义问题的方法和技巧
（1）解决新定义问题的基本方法
** 错
的表达式
误
**仔细阅读定义：逐字逐句理解题目给出的新定义，确保不遗漏任何细节
** 错
的表达式
误
**寻找熟悉元素：将新定义与已有知识建立联系，寻找相似结构
** 错
的表达式
误
**具体化理解：通过举例或特例来验证对新定义的理解是否正确
** 错
的表达式
误
**分步验证：按照定义的步骤逐步操作，确保每一步都符合要求
（2）实用技巧
** 错
的表达式
误
**符号标记法：用不同符号或颜色标记定义中的关键条件
** 错
的表达式
误
**类比思维：思考类似概念在传统知识中是如何处理的
** 错
的表达式
误
**逆向验证：从结论反推，检查是否符合新定义的要求
** 错
的表达式
误
**边界测试：考虑极端情况或边界条件是否满足定义
1．（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0 的等差数列
称为一阶等差数列，若数列
“
”
是一阶等差数列，则称数列
“
”
是二阶等差数列
“
”.例如：1，3，7，13，21，31…，后项与前项
的差值：2，4，6，8，10，
，这些差值构成的数列是公差为
…
2 的等差数列，则称数列1，3，7，13，
21，31….为二阶等差数列
“
”.
(1)若数列
的通项公式为
，试判断数列
是否为二阶等差数列，并说明理由；
“
”
(2)若数列
为二阶等差数列，且
“
”
，对应的一阶等差数列首项为
“
”
1，公差为3，求
；
2．（24-25 高三下·河北沧州·月考）设
是整数数列，m 是某个取定的正整数，若
是
除以m
的余数，则称数列
是
关于m 的模数列，记作
．斐波那契数列
是常见的整数数列，
满足
．
(1)写出数列
的第3 项、第4 项和第5 项；
(2)斐波那契数列
有许多非常好用的性质，比如：
，请利用这个性质解决以下问题：
（i）证明数列
是周期为8 的周期数列；
（ii）求
的个位数字．
参考数据：
．
3．（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们
把这样的操作称为该数列的一次积扩充．如：数列
“
”
2，3 经过第一次积扩充后得到数列
“
”
2，6，3；第二
次积扩充后得到数列
“
”
2，12，6，18，3；
．设数列
…
1，2，4 经过第
次积扩充后所得数列的项数记为
“
”
，所有项的积记为
．
(1)求
和
；
(2)求
和
．
(3)求数列
的前
项积
．
4．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列
的各项互不相同，且
， 若对任意
，都有
则称数列A 具有性质P；若对任意
， 都
有
则称数列A 具有性质T.
(1)若
，写出所有具有性质T 的数列A；
(2)证明：具有性质P 的数列A 一定具有性质T；
(3)记所有具有性质T 的数列A 的个数为
，证明：数列
是等比数列.
5．（2025·河北·模拟预测）设
，
，
，若各项均为正数的数列
满足
，则称
数列
具有性质“
．
”
(1)已知数列
的前n 项和为
，且
，试判断数列
是否具有性质“
，并说明理
”
由；
(2)若数列
满足
，且
．
（i）证明：数列
具有性质“
；
”
（ii）记数列
的前n 项和为
，证明：
．
检测
重难知识
固
Ⅰ组
巩
1．（2025·甘肃·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
；
(2)求
的通项公式；
(3)若
，求数列
的前
项和
.
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）设
是等差数列，
是等比数列，
，且
.
(1)求
与
的通项公式；
(2)设
，求
的前
项和
．
3．（2025·辽宁·二模）记数列
的前
项和为
，已知
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求数列
的前
项和
．
4．（2025·安徽合肥·二模）已知
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和．
5．（2025·四川成都·三模）已知正项数列
的前
项的和为
，且
.
(1)求
，
；
(2)证明：
是等差数列；
(3)求数列
的前
项的和
.
6．已知数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
7．（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列
满足
是关于
的方程
的两个根.
(1)求
.
(2)求数列
的通项公式.
(3)设
，求数列
的前
项和
.
8．（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列
的前n 项和为
，等比数列
的首项为2，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项的和
．
9．已知数列
的前
项和
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
10．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知
为公差不为零的等差数列，
，记
、
分别
为数列
、
的前
项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前
项和
．
11．（2022·湖北十堰·三模）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为
，求数列
的前
项和
.
12．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列
的前
项和为
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
求数列
的前
项和
.
13．（24-25 高三下·山西晋中·月考）已知数列
的前n 项和为
，
，
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
14．已知数列
满足
，
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)若将数列
中满足
的项
，
称为数列
中的相同项，将数列
的前40 项中所有的
相同项都剔除，求数列
的前40 项中余下项的和.
15．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列
和首项为2 的等比数列
的各项均为正数，若
，
，且
.
(1)求
和
的通项公式和
的前n 项和
；
(2)若数列
的通项公式满足
，设
为
的前n 项和，求证:
.
16．（2024·上海·模拟预测）已知
，数列
的前
项和为
，点
均在函
数
的图象上.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，令
，求数列
的前2024 项和
.
17．已知数列
满足
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，设数列
的前
项和为
，求证：
．
18．已知函数
.
(1)若
，求实数k 的取值范围；
(2)证明：
.
19．已知数列
满足
，且
；数列
的前n 项和为
，满足
．
(1)求
与
的通项公式；
(2)设数列
的前n 项和为
，若对任意的正整数n，不等式
恒成立．求实数
的取值范
围．
20．（24-25 高三上·云南·月考）对于数列
，若存在正整数
，使得对任意的
，都有
（
为常数），则称数列
从第
项起为 “
等差比数列”.
(1)已知数列
满足
，试判断数列
是否为 “
等差比数列，若是，求出
”
的值；若不是，请
说明理由.
(2)若数列
从第项起为 “
等差比数列，
”
，
，求数列
的通项公式.
(3)在（2）的条件下，设数列
的前
项和为
，若对任意的
，都有
成立，求实数
的取
值范围.
21．（2025·重庆九龙坡·三模）已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若无穷的非常数数列
同时满足两个性质: ①对于
中任意两项
，在
中都存在
一项
，使得
; ②对于
中任意一项
，在
中都存在两项
，使
得
. 则称数列
为
数列.
(i)判断数列
是否为
数列，并说明理由；
(ii)若数列
是
数列且为单调递增数列，证明:数列
是等差数列.
检测
能力提
Ⅱ组
创新
升
一、解答题
1．已知首项为3 的正项数列
的前n 项积为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前n 项和为
，证明：
.
2．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列
，其前n 项和为
，满足
.
(1)求数列
的通项公式以及
；
(2)若
，求
3．（24-25 高三上·安徽·月考）已知数列
满足
，且
，
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)若数列
的前
项和为
，
证明：数列
中任意不同的三项都不
能构成等差数列．
4．（24-25 高三下·天津宝坻·月考）已知
是首项为1 的等差数列，
是其前
项和，
是等比数列，
且
，
，
.
(1)求
与
的通项公式；
(2)设
是由数列
及
的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，求
；
(3)设数列
满足
，
，
是数列
的前
项和，若对于任意的正整数
，
恒成立，求
的最小值.
5．（24-25 高三下·江苏泰州·开学考试）设数列
的前
项和为
，
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
；
(3)设
，求证：
6．（2025·河南安阳·三模）若正项数列
满足对任意
，都有
成立，则称数列
为倍
“
增数列”.
(1)试判断数列1，2，5，13 和数列1，3，8，21 是否为倍增数列；
“
”
(2)设数列
为倍增数列，若
“
”
为整数，
，
，
，求正整数k 的最大值；
(3)设数列
满足
，
，试判断数列
是否是倍增数列，并说明理由
“
”
.
7．（2025·天津·一模）已知等差数列
满足
，记数列
的前n 项和为
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H 拓展．例
”
如，对于数列
，一阶“H 拓展得到数列
”
；二阶“H 拓展得到数列
”
；
设
……
n
阶“H 拓展得到数列
”
，设
，则
，
．
（i）求数列
的通项公式；
（ii）设数列
满足
求数列
的前
项和
．
8．（2025·云南昆明·一模）已知数列
，
，
，
是
的前
项和.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求
；
(3)若
，记数列
的前
项和为
，证明：
．
参考数据：
.
