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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 09 导数中的构造函数问题（精讲+精
练）
①构造函数比较大小
②构造函数研究最值
③构造函数解不等式
一、必备知识整合
一、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为 ；
（2）判断函数 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“ ”脱掉，得到具体的不等式
（组），但要注意函数奇偶性的区别.
二、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于 ，构造
模型2.对于不等式 ，构造函数 .
★模型3.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
★模型4.对于不等式 ，构造函数
★模型5.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
★模型6.对于不等式 ，构造函数★拓展：对于不等式 ，构造函数
模型7.对于 ，分类讨论：（1）若 ，则构造
（2）若 ，则构造
模型8.对于 ，构造 .
模型9.对于 ，构造 .
模型10.（1）对于 ，即 ，
构造 ．
（2）对于 ，构造 ．
模型11.（1） （2）
二、考点分类精讲
【典例1】（单选题）设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数m的
最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为 恒成立，构造函数 ， ，
利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解.
【详解】因为 ，不等式 成立，即 ，进而转化为
恒成立，
构造函数 ，可得 ，
当 ， ， 单调递增，则不等式 恒成立等价于 恒成立，
即 恒成立，即 恒成立，
设 ，可得 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以当 ，函数 取得最大值，最大值为 ，
所以 ，即实数m的取值范围是 ．故选：B．
【典例2】（单选题）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据指数与对数函数的性质，得到 ，令 ，求得 ，求
得函数 的单调区间，得到 ，得出 ，再根据 在 为单调递增函数，得到
，即可求解.
【详解】由对数函数的性质，可得 ，又由 ，所以 ，
令 ，其中 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
则 ，即 ，所以 ，
又由函数 在 为单调递增函数，则 ，所以 ，即 ，
综上可得： .故选：B.
【典例3】（单选题）已知函数 的导函数为 ，对任意 ，都有 成立，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用构造函数法，结合导数确定正确答案.【详解】依题意， ，则 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 .故选：C
【题型训练-刷真题】
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 结合三角函数的性质可得 ;构造函数 ,利用导数可
得 ,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故 ，故 ，所以 ；
设 ，
，所以 在 单调递增，
故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当 ，
取 得： ，故
，其中 ，且
当 时， ，及此时 ，
故 ，故
所以 ，所以 ，故选A
[方法三]：泰勒展开
设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A.
[方法四]：构造函数
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；设
， ，所以 在 单调递增，则 ,
所以 ，所以 ,所以 ，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因为当
，取 得 ，故 ，所以 ．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式 放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
2．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以故
二、填空题
3．（2022·全国·高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和
极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图
象有两个不同的交点，构造函数 ，利用指数函数的图象和图象变换得到 的图象，利用
导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ， ，即 图象在 上方
当 时， ，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．
令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，在 上单调
递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且 的极
小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即
故 ，所以 .
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是
该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于
通性通法．【题型训练-刷模拟】
1 . 构造函数比较大小
一、单选题
1．（2024·江西宜春·三模）已知 ， ， ，其中 为自然对数的底数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先将 化成统一形式，构造函数 ，研究单调性进而比较大小即可.
【详解】由题意得 ， ， ；
设 ，则 ，
当 时， ，所以 单调递增，又 ，
所以 ，即 ，所以 .
故选：A.
2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）设 ， ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，由 的单调性可知 ，所以 ，再由
可得 ，所以 ，即可得出答案.
【详解】构造函数 ， 的定义域为 ，
，令 可得： ，令 可得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
故 ，即 ，
变形可得 ，即 ，所以 ；又 ，所以 ，又因为 ，
所以 ，综上， ，
故选：B．
3．（2024高三下·全国·专题练习）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，通过导数判断单调性，进而利用单调性判断函数值的大小.
【详解】由题， .令 （ ），则 ，
因为 ，所以 ，所 在 上单调递增，
又 ， ， ， ，故 .
故选：C.
4．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令 ，利用导数求得 为递增函数，得到 ，得出 ；再由
， ，求得 ，即可求解.
【详解】令 ， ，
则 ，
当 时， ，∴ 在区间 上单调递增，
∴ ，即 ，故 ，
因为 ，所以 ，即 ，故 ，
所以 ，故选：A.
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】比较 大小，构造 ，结合单调性即可比较大小；比较 大小，构造
，结合单调性即可比较大小.
【详解】令 ，则 ，所以 单调递增，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 ，所以 ，
设 ，则 ，所以 单调递减，
，即 ，故 ，，即 ，所以 ，
所以 ，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合 的特点， ，构造
；结合 的特点， ，构造 ；从而得解.
6．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小.
【详解】设 ， ，
时， ， 为减函数，
时， ， 为增函数，所以 ，
，即 .
设 ， ，时， ， 为增函数，
时， ， 为减函数，
所以 ， ，即 ，所以 .
设 ， ，
为增函数，所以 ，所以 ，即 .
故选：D
7．（2024·陕西安康·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 以及 ，利用导数求解单调性，即可比
较 以及 .
【详解】由题得 ，
构造函数 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即 ，所以 .
构造函数 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，即
，所以 .
综上， .
故选:B.
8．（2024·四川成都·模拟预测）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】构造函数 可确定 大小，构造函数
可确定 大小，进而可得答案.
【详解】设 ，
则 ，
即函数 在 上单调递增，
所以 ，
即 ，即
设 ，
则 ，令 ，
则 ，
明显 在 上单调递增， 在 上单调递减，
故 在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递减
所以 ，即 在 上单调递减，
所以 ，即 ，即 ，
所以
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于比较大小，不能利用所学函数单调性进行比较的，通常需要根据式子结构以及数
据结构构造函数来解决问题.
2 . 构造函数研究最值一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知a， ，若 ， ，则b的可能值为（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6
【答案】B
【分析】构造函数 ，求导确定其单调性，结合 可得答案.
【详解】由 得 ，设 ，则 ，
又 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减．
因为 ，所以 ．
结合选项可知B正确，ACD错误.
故选：B.
2．（23-24高二下·四川自贡·期中） ，均有 成立，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先不等式转化为 ，再构造函数 ，转化为函数在区间 上恒
成立，利用参变分离，转化为最值问题，求 的取值范围.
【详解】不妨设 ，
由 ，得 ，
即 ，两边同时除以 ，得 ，
令 ，即 ，所以函数 在区间 上单调递减，
，即 恒成立，
所以 ， 上恒成立，函数 在区间 上单调递减，
所以 的最大值为1，
所以 .故选：B
3．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）已知函数 ，若存在
，使得 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】采用同构的方法，由 结合 可得 ，即 ，
构造函数 ，运用导函数即可求得 的最大值.
【详解】 ，当 时， 单调递减，
因为 ， 及 ，
得 ，所以 ．
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 的最大值为 ，即 的最大值为 ．
故选：B
4．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数 ， ，若 ，则 的最大
值是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】先求得 的表达式，再构造函数，并利用导数求得其最大值，进而求得 的最大值
【详解】设 ，则有 ，解之得 ，
，解之得 ，则有
令 ，则
令 ，则 恒成立，
则 时， 单调递减，又 ，
则 时， ， ， 单调递增，时， ， ， 单调递减，
则 ，则 的最大值为0.
故 的最大值是0.
故选：B
5．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，当实数 时，对于 都有 恒
成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过求导分析 的单调性得到 的最小值，由 恒成立得到 ，得到
，构造函数 ，由 的最小值得到 的最大值.
【详解】 ，令 得 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
所以 ，则 恒成立，则 ，
令 ， ，
令 得 ，令 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ．
故 的最大值为 ．
故选：A．
6．（2024·河南·模拟预测）已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，转化为 恒成立，令 ，利用导数求得 为单调递增函数，
得到 恒成立，进而转化为 恒成立，构造函数 ，利用导数求得 单调
性和最小值，即可求解.
【详解】因为 ，所以整理不等式 ，
可得 ，转化为 恒成立，
令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，所以 恒成立，
又因为 ，所以 ，
所以 对任意的 恒成立，即 恒成立，
构造函数 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以，当 时， ，所以 ，即 ．
故选：B．
7．（2024·全国·模拟预测）若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式变形为 ，构造函数 ，证明函数 的单调性，比较 与
的大小，从而结合函数值的大小可求出 的范围.
【详解】当 时， 可化为 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递减．
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，所以 ，因此当 时， ．
所以 ，即 ．则不等式 可化为 ，
所以 在 上恒成立，因此 ，即实数 的取值范围为 ．
故选：A．
【点睛】方法点睛：用导数解决复杂的问题时，常常通过函数的特点选用同构法，判断函数的单调性以及
同构中的两个变量的大小，从而解决问题.
8．（2024·全国·模拟预测）若关于 的不等式 在 内有解，则正实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将由不等式转化为 ，令 ，得到 ，令函数
，问题转化为存在 ，使得 ，利用导数求得函数 的单调性，
结合 ，得到 且 ，即可求解.
【详解】由不等式 ，即 ，
令 ，即有 ，
又由 ，所以函数 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
令 ，问题转化为存在 ，使得 ，
因为 ，令 ，可得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 ，所以当 时， ，
若存在 ，使得 成立，只需 且 ，
解得 ，因为 ，所以 .故选：A.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；
③ ，构造函数 或 .
3 . 构造函数解不等式
一、单选题
1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知定义域为R的函数 ，对任意的 都有 ，
且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，由题意可得出 在R上单调递增，所以不等式 可变形为
得 ，由单调性解不等式即可得出答案.
【详解】令 ，则 ，
则 在R上单调递增， ，
由 可得 ，即 ，
得 ， ，
故选：B．
2．（23-24高二下·河南·期中）已知定义在 上的单调递增函数 满足 恒成立，其中
是函数 的导函数.若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由题意可得 ，构造函数 ，讨论函数 的单调性，将
转化为 ，结合单调性解不等式即可求解.
【详解】由题意知， 在 上单调递增，则 ，
不等式 恒成立转化为 ，即 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，则 ，
由 ，得 ，
即 ，所以 ，解得 ，
即实数m的取值范围为 .
故选：D
3．（23-24高二下·福建·期中）设 在 上存在导数 ，满足 ，且有
的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题目中已知 和 ，以及不等式 结构特征可构造函数
，再由函数的特殊值 和单调性性质即可求解.
【详解】令 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，又由题 ，
所以 ，即 ，即 的解集为 ，
故选：D.
4．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数 的图象是一条连续不断的曲线， 是 的
导函数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据 构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知
在 时是单调递增函数，再结合已知条件又可知 是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】令 ，则 ，
因为当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 为奇函数，且图象连续不断，所以 为偶函数，
由 ，得 ，解得 或
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数
之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 .对于
任意的实数 ，均有 成立，若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，然后由已知可得 的单调性，最后将不等式转化为
，即可得到答案.
【详解】 ，令 ，
则 ，则 在 上单调递增.
由 ， 为奇函数，得 ，则 ，
从而原不等式 可化为 ，即 ，此即为 .
由于 在 上单调递增，故这等价于 ，所以不等式的解集为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.
6．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数 是奇函数 的导函数，且满足 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据已知条件构造函数 ，求导后可判断当 时，函数 单调递减，再由
，可得当 时， ，再由 为奇函数，得 时， ，从而可求得不等式的
解集.
【详解】令函数 ，则 ，即当 时，函数 单调递减，
因为 ，所以当 时， ，当 时， .
因为当 时， ，当 时， ，所以当 时， .
又 ， ，所以当 时， ；
又 为奇函数，所以当 时， ，
所以不等式 可化为 或 ，解得 ，
所以不等式的解集为 ，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是根据题意
构造函数，然后求导后可判断函数的单调性，从而利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想，属于
较难题.
7．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知 是定义域为 的函数 的导函数，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，再求解不等式.
【详解】设 ， ，
所以函数 单调递增，
，
即 ，得 ，所以 ，
所以不等式的解集为 .故选：D
8．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在 上的函数 的导数为 ， ，且对任意的
满足 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构建 ，根据题意分析可知 在 上单调递减，结合函数单调性解不等式.
【详解】构建 ，则 ，
因为 ，则 ，即 ，
可知 在 上单调递减，且 ，
由 可得 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：A．
【点睛】关键点点睛：根据 构建 ，进而利用导数判断函数单调性，结合
单调性解不等式.
