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专题14 导数与函数的单调性（九大题型+模拟精练）
目录：
01 利用导数求函数的单调区间（不含参）
02 用导数判断或证明函数的单调性
03 含参分类讨论函数的单调区间
04 由函数的在区间上的单调性求参数
05 函数与导数图像之间的关系
06 利用导数比较大小（含构造函数）
07 利用导数解不等式
08 抽象函数与导数
09 用导数解决实际问题
01 利用导数求函数的单调区间（不含参）
1．（2024 高三·全国·专题练习）求下列函数的单调区间．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
．
(2)单调递增区间为
，单调递减区间为
和
.
1
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(3)单调递增区间为
，单调递减区间为
和
．
【分析】根据导数公式以及导数运算法则进行求导，令导数大于零，求得函数的增区间，令导数小于零，
求得函数的减区间，逐一计算即可.
【解析】（1）函数
的定义域为
，
．
令
，得
，令
，得
，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（2）函数
的定义域为
，
，
令
，得
；令
，得
或
．
∴函数
单调递增区间为
，单调递减区间为
和
.
（3）函数
的定义域为R，
，
令
，得
；令
，得
或
．
∴函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
和
．
2．（2024 高三·全国·专题练习）函数
单调递减区间是（ ）
A．
B．
2
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C．
D．
【答案】A
【分析】求导后，令
，解出即可.
【解析】
,
令
，解得
，
所以单调递减区间为
.
故选：A.
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．
【解析】由
得：
，即
的定义域为
；
，
当
时，
；当
时，
；
的单调递增区间为
．
故选：A．
02 用导数判断或证明函数的单调性
4．（23-24 高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数
在
处的切线方程为
3
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.
(1)求
，
的值；
(2)证明：
在
上单调递增.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得
，即可得到方程组，解得即可；
（2）令
，
，利用导数说明函数的单调性，即可得到当
时
，
即当
时
，即可得证.
【解析】（1）因为
，
所以
，
依题意可得
，即
，解得
，
所以
.
（2）证明：由（1）可得
，则
，
令
，
，则
，
所以
在
上单调递增，又
，
所以当
时
，即当
时
，
所以
在
上单调递增.
4
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5．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求证：
在
上单调递增．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意求导函数，求出切线的斜率和切点坐标，即可得出切线方程；
（2）证出导函数恒大于等于0 即可.
【解析】（1）因为
，
所以
,
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
．
（2）由（1）知，
，
因为
所以
，又
，
所以
，
所以
在
上单调递增.
6．（23-24 高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数
.
(1)求
的解析式；
(2)判断
在
上的单调性.
【答案】(1)
(2)
在
上的单调递减.
5
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【分析】（1）先对
求导，再将
代入到函数可求出
，进而求出
的解析式；
（2）先对
求导，当
时，
，
，所以
恒成立，即可得出答案.
【解析】（1）因为
，所以
，
则
，所以
，
所以
.
（2）
，
当
时，
，
，
所以
恒成立，
所以
在
上的单调递减.
03 含参分类讨论函数的单调区间
7．（23-24 高三上·湖北·期中）已知函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出
，从而得到
，求
出切线方程；
（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分
，
和
三种情况，讨论得到函数
的单调性.
【解析】（1）
，
6
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由已知
，
∴
得
又
∴曲线
在点
处的切线方程为
化简得：
（2）
定义域为R，
，令
得
或
①当
即
时，
令
得
或
，令
得
，
故
在
单调递减，在
，
上单调递增；
②当
即
时，
恒成立，
故
在R 上单调递增；
③当
即
时，
令
得
或
，令
得
，
在
上单调递减，在
，
上单调递增；
综上，当
时，
在
单调递减，在
，
上单调递增；
当
时，
在R 上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增；
8．（23-24 高二下·山东潍坊·期中）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
7
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(2)讨论函数
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）求出函数的导函数，分
、
两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.
【解析】（1）当
时
，
则
，所以
，
因为
，即切点为
，
所以切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，
又
，
当
时，
恒成立，函数
在
上单调递增；
当
时，则当
时
，当
时
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上可得：当
时
在
上单调递增；
当
时
在
上单调递增，在
上单调递减.
9．（23-24 高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
在
上的单调性.
8
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【答案】(1)
(2)单调递增
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再由点斜式得切线方程；
（2）研究函数
在
上的单调性，先求解
，因不易判断
符号，由
构造局
部函数
，再继续求解
，分析得出
，由此逐步分析出
符号，从而得出
的单调性.
【解析】（1）
，
，即切点坐标为
，
又
，
切线斜率
，
则切线方程为
，即：
；
（2）
，
，
令
，
则
，
在
上单调递增，
，
在
上恒成立，
9
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在
上单调递增.
04 由函数的在区间上的单调性求参数
10．（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数
的单调递减区间为
，则
（ ）
A．
B．
C．16
D．27
【答案】A
【分析】根据导数分析单调性，结合二次不等式的解集与系数关系求解即可.
【解析】由题意
，且
的解集为
，故
，
解得
，故
.
故选：A
11．（23-24 高三上·广东汕头·期中）设
，若函数
在
递增，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把函数
在
递增利用导数转化为
在
上恒成立，利用指数函数
单调性得
，解对数不等式即可得解.
【解析】因为函数
在
递增，
所以
在
上恒成立，
则
，即
在
上恒成立，
10
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由函数
单调递增得
，
又
，所以
，所以
，
所以
即
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：B
12．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数
在区间
上单调递增，则
的可能取值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】由
，结合题意
在
上恒成立求范围，即可判断所能取的值.
【解析】由题设
在区间
上单调递增，所以
恒成立，
所以
上
恒成立，即
恒成立，
而
在
上递增，故
.
所以A 符合要求.
故选：A
13．（2023 高三·全国·专题练习）若函数
恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导函数有两个不等根计算即可.
【解析】由题意得函数
的定义域为
，
，
11
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要使函数
恰有三个单调区间，
则
有两个不相等的实数根，∴
，解得
且
，
故实数a 的取值范围为
，
故选：C.
14．（2023·广西玉林·二模）若函数
在
上为增函数，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对函数求导，根据题意可得
对
恒成立，列出不等式组，解之即可
求解.
【解析】依题意得
对
恒成立，
即
对
恒成立．
因为y＝ax＋a＋1 的图象为直线，
所以
，解得
．
故选：B.
05 函数与导数图像之间的关系
15．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
，
为实数，
的导函数为
，在同一直角坐
标系中，
与
的大致图象不可能是（ ）
12
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先通过特值代入易得A 项符合，对于B, C, D 项，通过图象观察分析可得
，结合两函数图象交
点的位置舍去C 项.
【解析】由
可得
对于
，当
时，在第一象限上
递减，对应
图象在第四象限且递增，故
A 项符合；
对于
在第一象限上
与
的图象在
上都单调递增，故
且
，则
.
又由
可得
，即
与
的图象交点横坐标应大于1，显然C 项不符合，
B, D 项均符合.
故选：C.
16．（23-24 高二下·安徽合肥·期中）已知函数
的大致图象如图所示（其中
是函数
的
导函数），则
的图象可能是（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
的图象可知，当
时
，当
时
，即可求解.
【解析】由
的图象可知，
，
所以当
时，
，
当
时，
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
结合选项可知：C 正确，ABD 错误.
故选：C
17．（2013·广东广州·一模）已知函数
的图像如图所示，则其导函数
的图像可能是
（ ）
14
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案.
【解析】由图可知，当
时，
单调递减，
，由此排除BD 选项.
当
时，从左向右，
是递增、递减、递增，
对应导数的符号为
，由此排除C 选项，
所以A 选项正确.
故选：A
06 利用导数比较大小（含构造函数）
18．（23-24 高二下·安徽·阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用放缩法可得
，
，作差可比较
的大小.
【解析】令
,求导得
，所以
，
15
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所以
，
，
，所以
，
．所以
.
所以
.
故选：C.
19．（2024·山东泰安·模拟预测）已知定义域为R 的偶函数
在
上单调递减，则下列结论正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对所要比较的式子适当变形，构造函数
证
得
，结合已知即可进一步求解.
【解析】因为定义域为R 的偶函数
在
上单调递减，所以定义域为R 的偶函数
在
上
单调递增，
而
，
令
，
则
在
上恒成立，
所以
在
单调递增，
在
单调递减，
16
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所以
，
即
，
而定义域为R 的偶函数
在
上单调递增，
综上所述，
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是构造出适当的函数，从而得出
，由此即可顺利得
解.
20．（2024·河北沧州·模拟预测）已知
，设
，
，
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性，以及构造函数利用导数求解单调性即可.
【解析】当
时，由
得
，所以
为偶函数．
又
，
当
时，令
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，
即
，所以
在
上单调递减．
17
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，
，
所以
，
令
，
，则
，
因为
，所以
在
上单调递增，所以
，
即
，所以
，得
．
故
，从而
，即
.
故选：C．
21．（23-24 高二下·四川成都·期中）已知
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，利用导数研究其单调性判定选项即可.
【解析】令
，则
，
显然
，即
在
上单调递增，
而
，
，即
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即A 错误；
易知
，则
，即C 正确；
18
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且
，即B 错误；
由于
与
大小不确定，则
的大小不能确定，即
大小不确定，
如其中有
时，
，故D 错误.
故选：C
22．（2024·安徽·三模）已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出
，构造函数
，利用导数研究单调性，比较出
，构造函数
，比较出
，即可求解.
【解析】依题意
，则
.
令
，故
，
故当
时，
在
上单调递增，
故
，则
.令
，
则
，故当
时，
在
上单调递增，
则
，则
.
综上所述：
.
19
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故选：A
23．（2024·山西·三模）已知函数
，若
，
则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先得到
关于直线
对称，并根据复合函数单调性得到其单调性，再构造相关函数
的单调性得到
，则比较出大小关
系.
【解析】因为
，
则
，
则
关于直线
对称，
当
时，
，
根据复合函数单调性知
在
上单调递减，
且
在
上也单调递减，
则
在
上单调递减，再结合其对称性知
在
上单调递增.
令
，则，
，
所以
在
上单调递增，且
，所以
即
.
令
，则
，
设
，
，
所以
单调递减且
，因此
，
20
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所以
单调递减且
，所以
，即
.
由
得
，所以
.
又因为
，且
，
所以
.
设
，
，则
，
则
在
上单调递增，则
，
即
，即
在
上恒成立，
即
，所以
.
所以
，则
，
故
，而
，
即
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到
的对称性和单调性，再构造新函数，利用导数的单调性得到
，则比较出三者大小.
07 利用导数解不等式
24．（23-24 高二下·四川成都·期中）已知函数
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
21
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C．
D．
【答案】D
【分析】首先判断函数
的单调性和奇偶性，从而由函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
【解析】
的定义域为R，
，
所以，在
上，
，则函数
单调递减，
在
上，
，则函数
单调递增.
因为
，所以
是偶函数.
由
，可得
，
于是
，即
，
化简得
，解得
，即
.
故选：D.
25．（2024·湖南永州·三模）已知函数
，其中是自然对数的底数.若
，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求导后结合基本不等式可得
在
上单调递增，令g
，从而可得
在
上单调
22
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递增，且
为奇函数，从而可化为
，求解即可.
【解析】
，
在
上单调递增.
令
，
在
上单调递增，
因为
，所以
为奇函数，
则
化为
所以
，解得
，
.
故选：C
26．（23-24 高二下·天津·期中）已知定义在
上的奇函数
满足，
，当
时，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，根据已知条件判断
的单调性，奇偶性，结合
的模拟草图，数形
结合即可求得结果.
【解析】令
，则
，由题可知，当
时，
，故
在
单调递减；
又
为奇函数，
也为奇函数，故
为偶函数，则
在
单调递增；
23
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又
，则
，画出
的模拟草图如下所示：
当
时，
，则
，数形结合可知，此时
；
当
，因为
为
上的奇函数，故
，不满足题意；
当
，
，则
，数形结合可知，此时
；
综上所述：
的解集为
.
故选：A.
27．（23-24 高二下·河南·期中）已知定义在
上的单调递增函数
满足
恒成立，其中
是函数
的导函数.若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可得
，构造函数
，讨论函数
的单调性，将
转化为
，结合单调性解不等式即可求解.
【解析】由题意知，
在
上单调递增，则
，
不等式
恒成立转化为
，即
，
24
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设
，则
，
所以
在
上单调递减，则
，
由
，得
，
即
，所以
，解得
，
即实数m 的取值范围为
.
故选：D
08 抽象函数与导数
28．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在
上的函数
的导函数为
，且有
，且对任意
都有
，则使得
成立的
的取值范
围是 .
【答案】
【分析】构造函数
，根据导数确定函数的单调性，即可结合奇偶性求解.
【解析】由
知
是奇函数，
，
设
，则
，
在
上单调递增，由
得
，
即
，
，得
的取值范围是
.
故答案为：
29．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，满足
，
，
，当
时，
，则不等式
的解集为 ．
25
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【答案】
【分析】令
，由
及
可得，
，从而得
关于
对称，再令
，则原不等式
等价于
，利用导数得
在
上
单调递增，再由
得
关于
对称，从而得
在
上单调递增且有
，
从而得答案.
【解析】解：令
，因为
，
所以
，所以
（为常数），
又因为
，所以
，所以＝0，
即
，则函数
关于
对称，
令
，则原不等式
等价于
，
当
时，因为
，
则
，
此时
单调递增．
因为
，所以函数
关于
对称，
则函数
在
时单调递增，
又因为
，则
，
，
所以
的解集为
，
即原不等式的解集为
．
26
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故答案为：
．
【点睛】思路点睛：对于解抽象函数(可导)的不等式的试题，要构造函数，利用导数确定函数的单调性再
结合函数的对称性(周期性)求解即可.
09 用导数解决实际问题
30．（23-24 高三下·上海松江·阶段练习）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏
斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为
【答案】
【分析】根据题意，得到
，求得
，利用导数求得函数的单调性与最
大值点，即可求解.
【解析】由题意，圆锥的体积为
因为
，可得
，
所以
，
可得
，
令
，可得
；令
，可得
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以，当
处，函数
取得极大值，也时最大值，
所以炸药包埋在
深处.
27
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故答案为：
.
31．（23-24 高三上·上海嘉定·期中）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到
污染源距离的平方成反比，比例常数为
.现已知相距18km 的
，
两家化工厂（污染源）的污染
强度分别为
，
，它们连线段上任意一点
处的污染指数
等于两化工厂对该处的污染指数之和.设
.若
，且
时，
取得最小值，则
的值为 .
【答案】
【分析】根据
，得
，分别求出两个污染指数即可得出函数关系，求出函数的导
函数，依题意可得
，即可求出
的值，再检验即可.
【解析】依题意点
受
污染源污染程度为
，点
受
污染源污染程度为
，其中
为比例常数，且
，
从而点
处受污染程度
，
；
因为
，所以
，则
，
当
时，
取得最小值，必是极小值，所以
，
解得
，
此时
，
，
当
时，
，函数单调递减，当
时，
，函数单调递增，
所以在
时，
取得极小值，也是
的最小值，
28
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所以污染源
的污染强度
的值为．
故答案为：
32．（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道
相交于点
，一根长度为的直杆
的两端点
分别在
上滑动（
两点不与
点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），
直杆上的点
满足
，则
面积的取值范围是 .
【答案】
【分析】令
，利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出
的面积函数，再
利用导数求出值域即得.
【解析】依题意，设
，则
，
因此
的面积
，
，
求导得
，
当
时，
，当
时，
，即函数
在
上递增，在
上递减，
因此
，而
，则
，
所以
面积的取值范围是
.
故答案为：
一、单选题
29
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1．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数
，则“
”是“
在
上单调递
增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若
在
上单调递增，则
在
上恒成立，参变分离得到
在
上恒成立，利用基本不等式求出
的最小值，即可求出参数
的取值范围，再根据充分条件、必要条件
的定义判断即可.
【解析】函数
定义域为
，则
，
若
在
上单调递增，则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
又
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，
因为
，
所以“
”是“
在
上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数
（ ）
A．是偶函数，且在区间
上单调递增
B．是偶函数，且在区间
上单调递㺂
C．是奇函数，且在区间
上单调递增
D．既不是奇函数，也不是偶函数
【答案】A
【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性.
30
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【解析】
的定义域为
，
，
为偶函数；
当
时，
在区间
上单调递增.
故选：A.
3．（2024·天津红桥·二模）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
可排除A，再求导分析单调性可得C 正确，BD 错误.
【解析】当
时，
，可排除A，
，
令
，解得
或
，
所以
在
和
上单调递增；在
上单调递减；
结合图象可得C 正确；
31
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故选：C.
4．（2024·山东潍坊·三模）已知函数
的导函数为
，且
，当
时，
，则
不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.
【解析】不等式
等价于
，即
，
构造函数
，所以
，
因为
时，
，所以
对
恒成立，
所以
在
单调递减，
又因为
，
所以不等式
等价于
，所以
，
即
的解集为
.
故选：A.
5．（2024·江西宜春·三模）已知
，
，
，其中
为自然对数的底数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先将
化成统一形式，构造函数
，研究单调性进而比较大小即可.
【解析】由题意得
，
，
；
设
，则
，
32
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当
时，
，所以
单调递增，又
，
所以
，即
，所以
.
故选：A.
6．（2024·山东济南·一模）若不等式
对任意的
恒成立，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】因为
，所以
，即求直线
的纵截距
的最小值，设
，利用导数证明
在
的图象上凹，所以直线与
相切，切点横坐标越大，纵截距
越小，据此即可求解.
【解析】因为
，所以
，
所以即求直线
的纵截距
的最小值，
设
，所以
，
所以
在
单调递增，所以
在
的图象上凹，
所以直线与
相切，切点横坐标越大，纵截距越小，
令切点横坐标为
，所以直线过点
，且直线
斜率为
所以
的直线方程为
，
当
时，
，
33
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即直线
与
相切时，
直线
与
无交点，
设
，所以
，
所以
在
时斜率为
，在
时斜率为，均小于直线的斜率，
所以可令直线
在
处与
相交，在
处与
相交，
所以直线方程为
，
所以截距为
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于
，
，即求直线
的纵截距
的最小值的分析.
7．（2024·重庆·二模）设函数
，点
，其中
，且
，则直线
斜率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【分析】
，令
，所以
，利用不等式
可得答案.
【解析】不等式
，证明如下，
即证
，
令
，设
，
，
可得
在
上单调递减，所以
恒成立，
所以
成立，即
.
因为
，令
，
因为
，所以
，
所以
，
由
，得
，
即
，则有
，
所以
.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
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3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
8．（2023·四川达州·一模）已知
，
，若不等式
的
解集中只含有
个正整数，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知
，二次求导，可得当
时，
，由
有且只有
个
正整数解，即
有且只有
个正整数解，求导可知
至多有一个解，则需满足
，
，
，再根据导数可得
在
上单调递减，即可证当
时，
，即
可得参数范围.
【解析】由
，
可得
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，
又
，所以当
时，
，
即当
时，
，
单调递增，
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所以当
时，
，
所以若不等式
的解集中只含有
个正整数，
即不等式
的解集中只含有
个正整数，
又
的定义域为
，且
，
则
，
设
，则
，
当
时，
，
所以
在
上单调递减，且
至多有一个解，
所以若
有且只有
个正整数解
则需满足
，解得
，
现证当
时，
在
上恒成立，
由
时，
，
即当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
，
综上所述
，
故选：C.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成
立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极
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(最)值问题处理．
二、多选题
9．（2024·山东·模拟预测）已知
分别是定义域为
的偶函数和奇函数，且
，设
函数
，则
（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．在
上单调递减
D．在
上单调递增
【答案】AD
【分析】根据奇、偶性得到方程组求出
、
的解析式，从而得到
的解析式，再由奇偶性的定
义判断
的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.
【解析】因为
①，所以
，
即
②，联立①②，解得
，
所以
，定义域为
，又
，
所以
是奇函数，又
，
所以
在
上单调递增，故A，D 正确，B、C 错误．
故选：AD
10．（2023·全国·模拟预测）数学模型在生态学研究中具有重要作用．在研究某生物种群的数量变化时，
该种群经过一段时间的增长后，数量趋于稳定，增长曲线大致呈“S”形，这种类型的种群增长称为“S”形
增长，所能维持的种群最大数量称为环境容纳量，记作K 值．现有一生物种群符合“S”形增长，初始种群
数量大于0，现用x 表示时间，
表示种群数量，已知当种群数量为
时，种群数量的增长速率最大．
则下列函数模型可用来大致刻画该种群数量变化情况的有（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】对各项的函数求导数，并对导数值进行研究(必要时再求导数的导数)，先检验导函数是否先增后
减，然后对于先增后减型，求得导数最大时自变量的值
，代入函数表达式，看函数值是否满足
,进而作出判定即可.
【解析】对于A.
，
，当
，即
时增长率取得最
大值，
，符合题意，故A 正确；
对于B.
，
，
当
时，
单调递减，且最大值为
，当
时，
，
单调递
增，且
，所以当
时，
取到最大值，此时
，符合题意，故B
正确；
对于C.
，
时
,
单调递增，
时，
,
单调递减，
时
最大，此
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时
，不合题意，故C 错误；
对于D.
，
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
故当且仅当
时，
取得最大值，
，
不合题意，故D 错误.
故选：AB
11．（2023·海南海口·模拟预测）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
在
上是减函数
D．
在
上是增函数
【答案】ABD
【分析】令
，可得
，得出函数
的单调性及
，进而判定A、B 正
确；由
，得到
，设
，利用导数求得函数
为单调
递增函数，且
，可判定D 正确.
【解析】令
，可得
，
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因为
，所以
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
又因为
，可得
，
由
，即
，可得
，所以A 正确；
又由
，即
，可得
，所以B 正确；
因为
，可得
，可得
，
设
，可得
，
所以函数
为单调递增函数，又因为
，
所以
，所以
在
上是增函数，所以D 正确.
故选：ABD.
【点睛】知识方法：构造法求解
与
共存问题的求解策略：
对于不给出具体函数的解析式，只给出函数
和
满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，
再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，
常见类型：（1）
型；（2）
型；（3）
为常数型.
三、填空题
12．（2024·河北邢台·二模）若
，
，
，则a，b，c 的大小关系是 （请用“<”连
接）．
【答案】
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【分析】根据给定条件，构造函数
，再利用导数比较大小即可.
【解析】令函数
，
，得
，
即函数
在
上单调递增，
，则
，
即
，
令函数
，得
，
即即函数
在
上单调递减，
，则
，
即
所以a，b，c 的大小关系是
故答案为：
13．（2024·四川·模拟预测）已知函数
在区间
上不单调，则m 的
取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意可知
在区间
有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即
可.
【解析】由题意知
，
因为
在区间
上不单调，即
在区间
有变号零点，又
，所
以
，
，
，
所以
在区间
内，
所以
，解得
，即m 的取值范围是
.
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故答案为：
.
14．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则下
列说法正确的是 .
①
是奇函数 ②
③
④
时，
【答案】②③
【分析】
根据构造函数的规律由令
，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得
②③④.
【解析】令
，则
，
若
是奇函数，则
，取
时，即
，但
，故①错误；
因为
恒成立，且
，所以
恒成立，
在
上为单调递增
函数，所以
，故②正确；
由②可知，③正确；
因为
在
上为单调递增函数，所以当
时有
，所以
，故④错误；
故答案为：②③
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能把已知“已知定义在
上的函数
满足
”翻译成
构造函数的原则之一：构造时导数为加法时原函数为乘法，且导数中无
时，原函数中一般有
.
43
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四、解答题
15．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
(1)求
在
处的切线；
(2)比较
与
的大小并说明理由.
【答案】(1)
(2)
，理由见解析
【分析】（1）求得
，得到
，且
，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）求得
，得到
在
上单调递增，结合
，得到
即可得到
.
【解析】（1）解：因为函数
，可得
，
可得
，且
，
所以
在
处的切线方程为
，即
.
（2）解：由
，可得
，所以
在
上单调递增，
又由
，所以
时，
，即
在
上恒成立，
所以
，即
.
16．（2024·山东·模拟预测）已知函数
．
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(1)若曲线
在
处的切线与直线
垂直，求
的值；
(2)讨论
的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对函数求导，结合题意有，
，即可求解
值；
（2）对函数求导，分
和
两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.
【解析】（1）因为
，
， 所以
，
曲线
在
处的切线与
垂直，
所以
， 得
；
（2）由
得
，
当
时，
的定义域为
，
令
得
，
当
时，
，当
时，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
的定义域为
，
令
得
当
时，
，当
时，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上所述：当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
45
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当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
17．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
的最小值为
，不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，即可对
进行分类讨论求解导函数的正负求解，
（2）将原不等式进行转化，分离参数，从而可构造函数
，将问
题转化为函数的最值问题进行求解.
【解析】（1）由题知
的定义域为
，
．
①当
时，
，则
，故
单调递增．
②当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上，当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减，在
上单
调递增．
（2）由（1）知，
，且
，即
．
令
，则
，令
，解得
，
46
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故
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，所以
．
由题可得
在
上恒成立．
令
，
则
，
令
，则
，可得
在
上单调递减，
又
，
故存在
，使得
，即
，
因此
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减．
易知
，
由于
，故
，
因此
，故
，即
的取值范围为
．
18．（2024·海南·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
（
为
的导函数），讨论
的单调性.
【答案】(1)
；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求出函数
的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数
的导数，再分段讨论求出
的单调区间即得.
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【解析】（1）当
时，
，求导得
，
则
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）函数
，求导得
，
则
，其定义域为
，求导得
，
①若
，则
，函数
在
上单调递减；
②若
，则当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
所以当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
19．（2024·山东泰安·模拟预测）在数学中，由
个数
排列成的m 行n 列的
数表
称为
矩阵，其中
称为矩阵A 的第i 行第j 列的元素.矩阵乘法是指对于两个矩阵
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A 和B，如果4 的列数等于B 的行数，则可以把A 和B 相乘，具体来说：若
，
，则
，其中
.已知
，函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
是
的两个极值点，证明：
，
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意
，
，求导得
，从
而可以分
是否为0 进行讨论，
时，可以继续分
是否大于0 进行讨论，结合导数符号与函数单调性
的关系即可得解；
（2）构造函数
，首先利用导数证明得到
，进一步有
，从而即可顺利得解.
【解析】（1）由矩阵乘法定义知
，
，
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∵
，
∴当
时，
，
单调递增，
时，方程
的判别式
，
当
时，
，
，
单调递增，
当
或
时，
，令
，方程两根记为
，
，
则
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
当
时，
，
当
和
时
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
综上，当
时，
单调递增，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
在
和
上单调递增，在
上
单调递减.
（2）∵
有两个极值点，由（1）知
，
设
，
∵
，
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∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
单调递增，
∴
，
由（1）知
，
，
∴
，即
，
∴
，
又由（1）知
在
上单调递减且
，
∴
，
∴
.
【点睛】关键点点睛：第一问的关键在于讨论的时候做到不重不漏，第二问的关键在于构造适当的函数得
出
，由此即可顺利得解.
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