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第 10 讲：拓展一：定义题（解答题）
1．（2024·安徽蚌埠·统考模拟预测）对于无穷数列 ，我们称
（规定 ）为无穷数列 的指数型母函
数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为
，它具有性质 ．
(1)证明： ；
(2)记 ．证明： （其中
i为虚数单位）；
(3)以函数 为指数型母函数生成数列 ，
．其中 称为伯努利数．证明：
．且 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由 ，通过赋值即可证得；
（2）根据 的周期性，经过多次推理，由求和可以证得；
（3）构造 ，可以推出 ，然后再可证得.
【详解】（1）令 ，则 ．
由 ，令 ，则 ．
因为 ，故 ．
（2）证明：因为 ，
，，
，
，
所以
（3）证明：令 ，则有
，
因此
故 且 ，即 ．
【点睛】关键点点睛：主要考查了复数 的周期性，考查推理论证能力，对学生思维要求
比较高，综合性很强.
2．（2024上·全国·高三校联考竞赛）设有两个集合 ，如果对任意 ，存在唯一的
，满足 ，那么称 是一个 的函数.设 是 的函数， 是
的函数，那么 是 的函数，称为 和 的复合，记为 .如果两个
的函数 对任意 ，都有 ，则称 .
(1)对 ，分别求一个 ，使得 对全体 恒成
立；
(2)设集合 和 的函数 以及 的函数 .
（i）对 ，构造 的函数 以及 的函数 ，
满足 ；
（ii）对 ，构造 的函数 以及 的函数 ，
满足 ，并且说明如果存在其它的集合 满足存在 的函数 以及的函数 ，满足 ，则存在唯一的 的函数 满足 .
【答案】(1) ，
(2)（i） ， ；（ii） ， ，说明见解析
【分析】（1）利用对数函数性质结合题干条件求解；
（2）（i）利用常函数求解；（ii）结合（i）再证明唯一性即可.
【详解】（1）因为 ，而 ，
对全体 恒成立；
故 对所有 成立.
（2）（i）考虑 以及 两个函数，
对任意 ，因为 ，
所以 .
（ii）我们可以继续使用（i）的构造，
任意取 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
因此存在 满足条件；
如果 符合题意，即 ，
则 ，
由 定义得到 ；
所以存在唯一的 的函数 满足题意.
【点睛】关键点点睛：充分利用题目定义的新函数证明唯一性是关键.
3．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）定义在 上的函数
，如果满足：对任意 ，存在常数 ， 恒成立，则称 是 上
的有界函数，其中 称为 的上界．
(1)若 在 上是以2为上界的有界函数，求 的取值范围；
(2)已知 ， 为正整数，是否存在整数 ，使得对 ，不等式
恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）利用上界的定义，换元令 转化函数式得 ，再结合
与 的单调性计算即可；
（2）假设存在 满足题意，分离参数得 ，然后分类讨论 为奇数
或偶数，结合 的取值范围计算即可.
【详解】（1）令 ， ，则 ，
由题意可得， 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，
∴ ，即 ，
易知 在 上单调递减，则 ，
根据对勾函数的性质可知： 在 上单调递增，则 ，
综上： ．
（2）假设存在 满足题意，
当 为正偶数时， ，即
设 ，易知 ，
则 ， ，
∴ ；
当 为正奇数时， ，即同理设 ，易知 ，
则 ， ，
∴ ；
若 存在，则 且 ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
4．（2024上·安徽·高一校联考期末）对于函数 ， 为函数定义域，若存在正常
数 ，使得对任意的 ，都有 成立，我们称函数 为“ 同比不增函
数”.
(1)若函数 是“ 同比不增函数”，求 的取值范围；
(2)是否存在正常数 ，使得函数 为“ 同比不增函数”，若存在，
求 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，且
【分析】（1）由 恒成立，分离常数 ，结合三角函数的最值来求得 的取
值范围.
（2）结合 的图象以及图象变换的知识求得 的取值范围.
【详解】（1）因为函数 是“ 同比不增函数”，则 恒成
立，
所以 恒成立，所以 ，
即 ，由于 ，所以 .
所以 的取值范围是 .（2）存在，理由如下：
，画出 的图象如下图所示，
的图象是由 的图象向左平移 个单位所得，
由图可知，当 时，对任意的 ，都有 成立，
所以存在正常数 ，使得函数 为“ 同比不增函数”，且 .
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的理解和应用，解题的关键在于利用题中的定义，
将问题转化为恒成立问题，本题第（2）问利用数形结合思想求解比较直观简单.
5．（2024上·江苏常州·高一统考期末）中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称
的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点. 类
比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数 的定义域为 ，若对
，都有 ，则称函数 为中心对称函数，其中 为函数
的对称中心. 比如，函数 就是中心对称函数，其对称中心为 .
(1)判断 是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请写对称中心；
(2)若定义在 上的函数 为中心对称函数，求 的值；
(3)判断函数 是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明
理由.
【答案】(1) 是中心对称函数，对称中心为
(2)
(3) 是中心对称函数，对称中心为 .
【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得 ，即可得结论；
（2）若定义在 上的函数 为中心对称函数，其对称中心的横坐标必为 ， 由 可知， ，即可得出 的值；
（3）根据题意，由函数的解析式可得 ，即可得结论．
【详解】（1）根据题意， 的定义域为 ，
，若对 ，
都有 ，
所以 中心对称函数，对称中心为 ；
（2）若定义在 上的函数 为中心对称函数，
明显定义域仅关于点 对称，其对称中心的横坐标必为 ，
则
，
因为 为中心对称函数，
则 为定值，则 ，即 ，
所以 关于点 对称.
（3）函数 的图象是中心对称图形，其对称中心为点
解方程 得 ，所以函数 的定义域为
明显定义域仅关于点 对称
所以若函数 的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为
设其对称中心为点 ， 则由题意可知有 ，
令 ，可得 ， 所以
所以若函数 为中心对称图形，其对称中心必定为点
下面论证函数 的图象关于点 成中心对称图形：
即只需证明 ，，得证.
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
（1）若 ，则函数 关于 中心对称；
（2）若 ，则函数 关于 对称.
6．（2024上·山东济宁·高一统考期末）已知函数 ．
(1)求函数 的定义域；
(2)试判断 的单调性，并说明理由；
(3)定义：若函数 在区间 上的值域为 ，则称区间 是函数 的“完
美区间”．若函数 存在“完美区间”，求实数b的取值范围．
【答案】(1)
(2)单调递增，理由见解析
(3)
【分析】（1）由函数解析式直接求定义域；
（2）法一：利用复合函数单调性判定；
法二：定义法证明单调性；
（3）由题意可知方程 在 上至少存在两个不同的实数解，即 在
上至少存在两个不同的实数解，所以 与 在 上至少存在两
个不同的交点．再利用基本不等式求出函数 的值域即可.
【详解】（1）要使函数 的表达式有意义，须使 ，解得 ，
所以函数 的定义域是 ．
（2） 在 上单调递增．
理由如下：法一：因为 ，
又 在 上为增函数， 在 上为减函数，
在 上为增函数， 在 上为增函数，
故 在 上单调递增．
法二：
因为 ，
对任意 ， ，且 ，可知 ，则
，
又 ，
可知 ，所以 ，
即 ．故 在 上单调递增，
（3）由（2）可知 在 上单调递增，
设区间 是函数 的“完美区间”．则 ， ．
可知方程 在 上至少存在两个不同的实数解，
即 在 上至少存在两个不同的实数解，
所以 与 在 上至少存在两个不同的交点．
令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号．
又 在 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ；当 时， ．
所以 ．故实数b的取值范围为 ．【点睛】思路点睛：第三问由题意，可将问题转化为方程 在 上至少存在两
个不同的实数解，即 在 上至少存在两个不同的实数解，所以 与
在 上至少存在两个不同的交点．接下来利用换元法求出函数
的值域即可.
7．（2024·云南昆明·统考模拟预测）我们把 （其中 ，
）称为一元n次多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元 次多项式方
程（即 ， ， ，…， 为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系
数一元 次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．那么
我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 次多项式在复数集内一定可以分解因
式，转化为n个一元一次多项式的积．即
，其中k， ，
， ， ，……， 为方程 的根．进
一步可以推出：在实系数范围内（即 ， ， ，…， 为实数），方程
的有实数根，则多项式 必可分解因
式．例如：观察可知， 是方程 的一个根，则 一定是多项式 的一个
因式，即 ，由待定系数法可知， ．
(1)解方程： ；
(2)设 ，其中 ， ， ， ，且 ．
（i）分解因式： ；
（ii）记点 是 的图象与直线 在第一象限内离原点最近的交点．求
证：当 时， ．
【答案】(1) ， ，
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【分析】（1）观察得到 是方程 的一个根，从而设
，对照系数得到 ， ， ，得到，求出方程的根；
（2）（i） 是方程 的一个根，设
，对照系数得到 ， ，
，从而得到答案；
（ii）令 ，故 是方程 的最小正实根，由（i）
知： ，设
，根据 的开口方向，结合 ，则 一定有一正一负两个实根，设正实
根为t，结合 得到 ，故 ，得到 .
【详解】（1）观察可知： 是方程 的一个根；
所以 ，
由待定系数法可知， ，解得 ， ， ；
所以 ，即 或 ，
则方程的根为 ， ， ．
（2）（i）由 可知， 是方程 的一个根；
所以 ，
即 ，
对照系数得 ， ， ， ，
故 ， ， ；
所以
．
（ii）令 ，即 ，
点 是 的图象与直线 在第一象限内离原点最近的交点，
等价于 是方程 的最小正实根；
由（i）知： 是方程 的一个正实根，
且 ，设 ，由 ， ， ， 可知 为开口向上的二次函数；
又因为 ，则 一定有一正一负两个实根，设正实根为t；
又 ，可得 ，
所以 ；
当 时， ，
由二次函数单调性可知 ，即 是方程 的最小正实根．
【点睛】方法点睛：三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数理解到位，求解三
次函数的零点，常常需要先观察函数，直接法得到其中一个零点，将三次函数转化为二次
函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质.
8．（2024上·江苏苏州·高一校考期末）已知函数 和 的定义域分别为 和 ，
若对任意 ，恰好存在 个不同的实数 ， ， ， ，使得
（其中 ， ， ， ， ），则称 为 的“ 重覆盖函数” .
(1)判断 是否为 的“ 重覆盖函数”，如果是，
求出 的值；如果不是，说明理由．
(2)若 为 的“2重覆盖函数”，求实数 的
取值范围.
【答案】(1)是，
(2)
【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；
（2）先求出 的值域，然后将问题转化为 的图象与直线 有两个交点的问
题，然后对a进行分类讨论可得；
【详解】（1）由定义可得，对任意 ，恰好存在 个不同的实数
，
使得 （其中 ），
即 ，
由 ，
故当 时， ，此时不存在 使 成立，当 时， ，且 在 上单调递增，
故对于任意 ，都有唯一一个 ，使得 ，
综上所述，对于任意 ，都有唯一一个 ，使得 ，
是 的“ 重覆盖函数”，且 ；
（2）由 可得 ，故 ，
，
即 ，存在2个不同的实数 ，使得 ，其中 ，
由 时， ，故 ，即 ，
故 ，故对任意 ， ，
，
即对任意 ， 都有2个实根，
当 时， ，且 在 上递增，
故 时， 都有唯一确定的实根，
故当 时， 亦有且有一个实根，
当 时， ，且 在 上单调递减，符合题意，
当 时， 为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去。
当 时，则需对称轴 ，且 ，
即 ，且 ，即 ，
综上，实数 的取值范围是 .
9．（2024上·广东·高一统考期末）定义：函数 若存在正常数 ，使得
， 为常数，对任意 恒成；则称函数 为“ 代 阶函
数”．
(1)判断下列函数是否为“ 代 阶函数”？并说明理由．
① ，② .(2)设函数 为“ 代 阶函数”，其中 是奇函数， 是偶函数.
若 ，求 的值．
【答案】(1)① 是 代 阶函数，② 不是 代 阶函数，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用“ 代 阶函数”的定义判断即可；
（2）根据“ 代 阶函数”的定义，结合函数的奇偶性变形，得到 ，
求解即可.
【详解】（1）① 是 代 阶函数，
因为 ，此时 ， ，
所以 为 代 阶函数；
② 不是 代 阶函数，
因为 ，所以 不是 代 阶函数；
（2）由已知存在常数 满足 ，
即 ，
令 ，则 ①，
令 ，则 ②，
因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ， ， ， ，
① ②，整理得 ，
令 ，则 ，又因为 ，
且 ，可得 ，所以 ，
所以
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点：通过给定一个新的概念，根据题目提供的信息，
结合所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义的题目，要
耐心读题，分析新定义的特点和性质，按新定义的要求求解.
10．（2024上·上海·高一上海市洋泾中学校考期末）对于定义在区间 上的函数 ，
若 ．
(1)已知 ， ， 试写出 、 的表达式；(2)设 且 ，函数 ， ，如果 与 恰好为同
一函数，求 的取值范围；
(3)若 ，存在最小正整数 ，使得
对任意的 成立，则称函数 为 上的“ 阶收缩函
数”，已知函数 ， ，试判断 是否为 上的“ 阶收缩函
数”，如果是，求出对应的 ，如果不是，请说明理由．
【答案】(1) 、
(2)
(3)是，
【分析】（1）根据函数 、 在 上的单调性可得出 、 的表达式；
（2）若 与 恰好为同一函数，只须 在 上是单
调递减，讨论 的取值由复合函数的单调性即可求解；
（3）根据函数 在 上的值域，写出 、 的解析式，再由
求出 的范围得到答案．
【详解】（1）解：因为函数 在 上单调递减，
则 ，
因为函数 在 上单调递增，则 .
（2）解：若 与 恰好为同一函数，只须 在 上
是单调递增，
当 时，令 ，则 ，
由 ，则 ，对称轴 ，
根据复合函数的单调性，函数 显然在 为单调递减，故 成立．
当 时，令 ，由 ，则 ，只需 ，
化简得 ，解得 ，综上所述 的取值范围为
（3）解：因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ， ，
所以， ，
当 时， ， ， ；
当 时， ， ，
因为函数 在 上单调递减，所以， ；
当 时， ， ，
因为函数 在 上单调递增，
所以， .
综上所述：
故 是 上的“ 阶收缩函数”，且小正整数 .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，
根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解.
11．（2024上·广东肇庆·高一统考期末）对于函数 ，若定义域内存在实数 ，满足
，则称 为“ 函数”.
(1)已知函数 ，试判断 是否为“ 函数”，并说明理由；
(2)已知函数 为 上的奇函数，函数
，为其定义域上的“ 函数”，求实数 的取值
范围.
【答案】(1) 是“ 函数”，理由见解析(2)
【分析】（1）直接由新定义判断方程 是否有解即可.
（2）由题意得首先得 ，然后对 分类讨论，将问题转换为
方程有解求参数范围即可.
【详解】（1）由题意，若函数 在定义域内存在实数 ，满足 ，
可得 ，即 .
当 时，上式成立，所以存在 ，满足 ，
所以函数 是“ 函数”.
（2）因为函数 为 上的奇函数，
所以 ，所以 ，经检验 满足条件，
所以 ，所以 ，
所以 ，定义域为 .
①当在区间 上存在 ，满足 时，
则 ，即 .
令 ，则 ，当且仅当 时取等号.
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
②当在区间 上存在 ，满足 时，
则 ，即 有解.因为 在区间 上单调递减，所以 .
③当在区间 上存在 ，满足 时，
则 ，即 有解.
因为 在区间 上单调递增，所以 .
综上所述，实数m的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：第二问的关键是首先求得 表达式，结合分类讨论以及方程有解即
可顺利得解.
12．（2024上·北京顺义·高一统考期末）对于定义域为I的函数 ，如果存在区间
，使得 在区间 上是单调函数，且函数 ， 的值域是
，则称区间 是函数 的一个“优美区间”.
(1)判断函数 和函数 是否存在“优美区间”?（直接写出结论，
不要求证明）
(2)如果函数 在R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围.
【答案】(1) 存在优美区间是 ， 不存在优美区间
(2) 或
【分析】（1）由函数的单调性及值域及新定义求解；
（2）由函数的单调性，分类讨论 ， ，确定函数的最大值和最小值，转化为一元
二次方程的根的分布，可得结论．
【详解】（1） ， 在 上单调递增，
由 得 或1，所以存在优美区间 ，
是增函数，若存在优美区间 ，则 ，无解，
即函数不存在优美区间；
（2）函数 在 上存在“优美区间”，设 是一个优美区间，
在 上递减，在 上递增，若 ，则 ，即 有两个不等的非负根，
即 ，可得 ，当 ，即 时，
设方程两根分别为 ，
则 ，则 ，所以 ；
若 ，则 ，即 ，
两式相减得 ，即 ，
所以 ，所以方程 有两个不等的非正根，
方程整理为 ，
由 ，解得 ，
又 满足题意，由 ，解得 ，
所以 ；
综上， 的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查函数的新定义，解题关键是理解新定义，解题难点是新定义的应用，解
题方法是利用新定义把问题转化为一元二次方程根的分布，注意分类讨论的应用．对学生
的逻辑思维能力运算求解能力要求较高，属于难题．
