文档文本内容
第 04 讲 利用导数研究不等式恒成立问题
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................1
第三部分：高频考点一遍过............................................5
高频考点一：分离变量法...........................................5
高频考点二：分类讨论法..........................................14
高频考点三：等价转化法..........................................21
第一部分：基础知识
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若 )对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成立，则只需
．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法( ， 或 ， )求解．
3、等价转化法
当遇到 型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数 ，进而只需满足 ，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·新课标Ⅰ）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论 与 两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为 的恒成立问题，构造函数
，利用导数证得 即可.
方法二：构造函数 ，证得 ，从而得到 ，进而将问题转化为
的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得， ，
要证 ，即证 ，即证 恒成立，
令 ，则 ，令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
方法二：
令 ，则 ，
由于 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以要证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
2．（2023·全国·甲卷文）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】
（1）求导,然后令 ,讨论导数的符号即可;
（2）构造 ,计算 的最大值,然后与0比较大小,得出 的分界点,再对 讨论即可.
【详解】（1）
令 ,则
则
当
当 ,即 .
当 ,即 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减
（2）
设
设
所以 .
若 ,
即 在 上单调递减,所以 .
所以当 ,符合题意.
若当 ,所以 .
.
所以 ,使得 ,即 ,使得 .
当 ,即当 单调递增.
所以当 ,不合题意.
综上, 的取值范围为 .
【点睛】
关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性 在定义域内是减函数,若 ,当
,对应当 .
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离变量法
典型例题
例题1．（2023·全国·模拟预测）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的最大值为
（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
将题干不等式变形为 ，构造函数 ，利用函数 的单调性将问题转
化为 恒成立问题，令 ，利用导数研究函数 最值即可求解.
【详解】
由题意得， ，即 ，
令 ，因为 ，，所以函数 在 上单调递增，则不等式转化为 ，所以 ，则 .
令 ，则 ，
则当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 有最小值，即 ，则 的最大值为 .
故选：B
例题2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知定义在 上的函数 关于 轴对称，其导函数为 ，当
时，不等式 ．若对 ，不等式 恒成立，则 的取值范
围是 .
【答案】
【分析】
构造函数 ，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为 恒成立,分离参数求最值即
可求解.
【详解】
定义在 上的函数 关于 轴对称， 函数 为 上的偶函数．
令 ，则 , 为奇函数．
．
当 时，不等式 ．
， 在 单调递增．
函数 在 上单调递增．
对 ，不等式 恒成立，
,
即
．
当 时， ，
则 ，
则 ； ；
故 在 单调递减，在 单调递增；可得 时，函数 取得极小值即最小值，
．
当 时， ，则 ，则
则 的取值范围是 .
故答案为： .
例题3．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）已知函数 ，
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程：
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜率式方程可得切线的方程；
（2）按照 、 和 讨论，分离参数，构造函数 ，借助导数，得到 在的最
值，得到答案.
【详解】（1）当 时， ， ，
，所以 ，
所以 在 处的切线方程 ，即
（2） 时， 恒成立，即 恒成立
① 时， ，恒成立
② 时， 恒成立，即
令
令 时， ，即 恒成立，
则 在 单调递增， ，所以 时，
时， ，所以 恒成立，即
在 单调递减， ，所以 ，所以 ；③ 时， 恒成立，即 ，
由②可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ；
综上， .
例题4．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）设函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，
（2）分离参数，将问题转化为 对于 恒成立，构造函数 利用导
数求解函数的最值即可求解.
【详解】（1） 时， ，则 ，
，故 ，
所以直线方程为 ，即 ；
（2） ， 当 时， 的最大值为 ，
对于 恒成立，则 ，
即 ， ，当 时，不等式成立，
当 ，即 对于 恒成立，
令 ，则 ，
于是当 时， ， 递增；在 ， ， 递减，， 因此
的取值范围为
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问
题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)
值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这
种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
例题5．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)
【分析】（1）求得 ，得出函数 的单调性，结合极值的概念，即可求解；
（2）根据题意，转化为任意 ，不等式 恒成立，设 ，求得
，得出函数 的单调性，求得 的最小值，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 ，可得 ，
令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以函数 在区间 单调递减， 单调递增，
当 时， 取得极小值，极小值为 ，无极大值.
（2）解：由不等式 恒成立，即 恒成立，
即对于任意 ，不等式 恒成立，
设 ，可得 ，
令 ，即 ，解得 ；令 ，即 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
所以，当 时，函数 取得极小值，同时也时最小值， ，
所以 ，即 ，所以实数 的取值范围为 .
练透核心考点
1．（2023·四川成都·一模）若 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】D
【分析】
先确定 时的情况，在当 时，参变分离可得 ，构造函数 ，求出函数
的最小值即可.
【详解】当 时， ，不等式成立；
当 时， 恒成立，即 ，
令 ，则 ，
因为 时， （后证）
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递减，
故 ，
所以 ，即实数 的最大值为 .
证明当 时， ，
令 ， ，则 ，
则 在 上单调递增，所以 ，即 .
故选：D.
2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数 在 处的切线与直线
平行．
(1)求 的单调区间；(2)当 时，恒有 成立，求k的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
【分析】
（1）借助导数的几何意义计算可得 ，借助导数的正负即可得函数的单调性；
（2）通过变形，可将原问题转化为在 上， 恒成立，从而构造函数，借助导数求出
在 上的范围即可得.
【详解】（1）
由已知可得 的定义域为 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）
将不等式整理得： ，可化为 ，
问题转化为在 上， 恒成立，
令 ， ，
则 ，
令 ，
则 ， ，
所以 在 上单调递减，
，即 ，
所以 在 上单调递减，，所以 ，
所以 的取值范围是 ．
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于将原问题通过变形参变分离，转化为在 上，
恒成立，从而构造对应函数，借助导数求取 在 上的范围即可得.
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若函数 在 处取得极值，且对 ， 恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】
（1）先求出函数 的导函数 ，进而得出 ， ；再根据点斜式方程即可求解.
（2）先求出函数 的导函数 ；再分 和 两种情况，在每一种情况中借助导数即可解答.
（3）先根据函数 在 处取得极值得出 ；再将问题“对 ， 恒成立”
转化为“对 ， 恒成立”；最后构造函数 ，并利用导数求出
即可解答.
【详解】（1）当 时， ， ，
则 ， .
所以 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由 可得：函数定义域为 ， .
当 时， ，此时函数 在定义域 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，此时函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
综上可得：当 时，函数 在定义域 上单调递减；
当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（3）因为函数 在 处取得极值，
所以 ，即 ，解得 .
此时 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以函数 在 处取得极值，
故 .
所以 .
因为对 ， 恒成立，
所以对 ， 恒成立.
令 ，
则 .
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 .
则 ，解得： .
所以实数b的取值范围为
4．（2024高二下·上海·专题练习）已知函数 （其中 为自然对数的底数）.
(1)当 时，试求函数在 上的最值；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）求导得函数单调区间，进一步比较端点即可得最大值，由此即可得解；
（2）由题意 时， 恒成立，且当 时，对 分类讨论即可求解.
【详解】（1）当 时， ， ，
当 时， ；当 时， .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取得最小值 ，
易知 ，则最大值 .
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，即： 恒成立
当 时， 恒成立.
令 ，则 .
当 ， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 时， 取最小值 ，所以 .
当 时，若 时， 恒成立；
若 ，取 ，则 显然不满足题意，所以 ，
综上， .
5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)记 为 的导函数，若对 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出 表达式，当 时代入即可求解；
（2）原不等式等价于 ，据此分情况利用导数求解即可.【详解】（1）由题知， ，当 时， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ；
（2）由题意，原不等式等价于 ，
即 ，
当 时，对任意 ，不等式恒成立，
当 时，原不等式等价于 ，
设 ，则 ，
设 ，因为 ，
所以存在唯一 ，使得 ，即 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
故 ，即 ．
综上所述， 的取值范围为 ．
高频考点二：分类讨论法
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 的零点也是其极值点，求 ；
(2)若 对所有 成立，求 的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】
（1）求导，分类讨论判断函数单调性求得极值点即可求解；
（2）注意到 ，讨论 ， 及 三种情况，说明函数值与0的大小关系即可求解.【详解】（1）
， ，
若 ，则 ， 在 单调递减，无极值点，不合题意；
若 ， ，则
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故
因为 的零点也是其极值点，则 ，
设 ， ，
则 故 在 上单调递增，在 上单调递减，
且易知 ，故 有唯一解 .
此时 的零点和极值点均为0，符合题意；故 .
（2）
首先注意到 ，
， ，
①若 ，则 在 时恒成立，故 单调递减，
则对所有 ， ，不满足题意，故舍去；
②若 ，则
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，不满足题意，故舍去；
③若 ，则 在 时恒成立
所以 在 上单调递增，则对所有 ， ，
符合题意，该情况成立．
综上所述， 的取值范围是 ．例题2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)若 在区间 上恒成立，求a的最小值．
【答案】(1) ；
(2)答案见解析；
(3)
【分析】
（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）含参分类讨论计算导函数的符号确定单调区间即可；
（3）利用（2）的结论，分类讨论计算函数的最值即可.
【详解】（1）若 ，则 ，
所以 ，
故函数 在 处的切线方程为： ；
（2）由 ，
若 ，则 恒成立，即 在 上单调递增；
若 ，则 ，
所以 时， ， 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增；
（3）由（2）可知，若 ， 在 上单调递增，
此时 ，符合题意；
当 时，
（i）若 ，即 时，此时仍有 在 上单调递增，
所以 ，符合题意；
（ii）若 ，即 时，此时有 在 上单调递减，
所以 ，不符合题意，综上 满足题意.
故a的最小值为 .
例题3．（23-24高三上·上海徐汇·期中）已知函数 ，其中 是自然对数的底
数．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求 在 的最值；
(3)若函数 在 上是严格递增函数，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】(1)求出函数的导函数，计算 ，又 ，由导数的几何意义求解；
(2)利用导数判断函数 的单调性，求出端点值和极值即可求解；
(3)依题意，转化为 在区间 上恒成立，即可求解.
【详解】（1）(1)当 时， ，所以 ，
故 ，又 ，
由导数的几何意义知,曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）（2）当 时， ，
所以 ，
因为 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ， ，
， ，故 .
（3）（3）因为 ，
所以 ，
因为函数 在 上是严格递增函数,所以 在区间 上恒成立，
又因为 恒成立，即 在区间 上恒成立，
令 ，
当 时， ，显然在 上 恒成立；
当 时，则 的对称轴 ，
当 ，即 时， 在区间 上单调递增，
所以 的最小值为 ，故 满足题意；
当 ，即 时， 在区间 上恒成立，
则 ,即 ，解得 ，
又 ，所以 ，
综上所述： 的取值范围为 ，即 .
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）
(1)讨论函数的单调性
(2) 时， 与 总是前者小于后者，求a的范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)a 1.
【分析】（1）利用导数分类讨论求解函数 的单调性.
（2）根据给定条件，得到恒成立的不等式，再构造函数，再利用导数分类讨论求解即得.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， 恒成立，即函数 在 上单调递增；当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）依题意， ， ，
令 ，则 ，而 ，
当 时，恒有 ，函数 在 上单调递增， ，不符合题意；
当 时，函数 在 上单调递增， ，
于是 恒成立，函数 在 上单调递减， ，符合题意，则 ；
当 时，函数 在 上单调递增，而 ，
因此存在 ，使得 ，当 时， ， ，
函数 在 上单调递增，当 时， ，不符合题意，
所以 .
2．（21-22高三上·河南·期末）已知函数 ．
(1)若 的图象在点 处的切线平行于 轴，求 的单调区间；
(2)若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）对函数 求导，根据 在点 处的切线平行于 轴求出 的值，得出原函数的
解析式，然后对函数 的导数进行分析求出函数 的单调区间即可；
（2）由 时， 恒成立，等价出不等式，对 进行分类讨论分析求出即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
因为 在点 处的切线平行于 轴，所以 ，
解得 ，
所以
所以 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
即 在 上单调递减，
又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2） 等价于 ．
当 时， 式恒成立，
当 时， 式即 ．
设 ，
则 ．
若 ，因为 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ．
若 ，令 ，得 ．
若 ，即 ，则 在 上单调递增，
则 ，解得 ．
若 ，即 ，
则当 时， ，故 在 上为减函数，当 时， ，故 在 为增函数，
所以 在 处取得最小值，
且 ，
解得 ．
综上所述，所求的 的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：函数导数问题，通常有以下几类考法
（1）利用函数导数求函数在某点处的切线方程
（2）利用函数导数求函数（含参）的单调区间或判断函数的单调性
（3）证明不等式成立
（4）求极值、最值等
方法：对函数求导利用函数导数进行分析求解，遇到含参数的函数需要对其进行分类讨论，有时候还需要
进行二次求导.
高频考点三：等价转化法
典型例题
例题1．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）已知函数 ， .
(1)若 的最大值是0，求m的值；
(2)若对于定义域内任意x， 恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）求导，分类讨论函数的单调性，即可根据最值求解，
（2）分离参数得 ，构造函数 ，利用导数求解函数的单调性，即可根据
最值求解.
【详解】（1） 的定义域 ， .
若 ， ， 在定义域内单调递增，无最大值；若 ，当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
所以当 时， 取得最大值 ，所以 .
（2）对于定义域内任意x， 恒成立，即 在 恒成立.
设 ，则 .
设 ，则 ，
所以 在其定义域内单调递增，且 ， ，所以 有唯一零点 ，且
，所以 .
构造函数 ，则 ，
又函数 在 是增函数，故 ， ，
由于当 ， ，
所以由 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
，
故 ，
于是m的取值范围是
【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
例题2．（2024·广西南宁·一模）已知函数 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)当 时，证明： ．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论a的取值，结合函数的单调性判断 是否成立，即可求得
答案；
（2）根据要证明的 ，构造函数 ，利用导数判断 ，使得
，结合单调性确定 ，继而令 ，
利用导数证明 ，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
而 ，当 时， ，与题意不符；
当 时， ，
由 可得 ， 在 上单调递增，
此时 ，不符合题意；
当 时，由 可得 ， 在 上单调递增，
由 可得 ， 在 上单调递减，
故对于任意的 恒成立，符合题意；
当 时， ，
由 可得 ， 在 上单调递减，
此时 ，不符合题意；
综合上述， ；
（2）证明：要证 ，即证 ；
即 ，
则 ，
令 ，则 ，则 ，即 在 上单调递增，
又 ， ，
故 ，使得 ，即 ，
则 ，
则当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，
故 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
由于 ，故 时， ，
故 ，即 ，
即当 时， 成立.
【点睛】难点点睛：本题考查了根据不等式恒成立求参数范围以及不等式的证明问题，综合性强，计算量
大，解答时要注意导数知识的综合应用，难点在于（2）中要结合要证明的不等式，构造函数，将问题转
化为求解函数的最值问题，期间要注意多次构造函数，多次求导，利用导数解决问题.
例题3．（23-24高三上·山东枣庄·期中）已知函数 ， ．
(1)若 的最大值是0，求 的值；
(2)若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)-1
(2)【分析】（1）利用导数分 和 讨论函数最大值，从而求解；
（2）分离参数得 ，设 ，利用导数求函数 的最小值，可得 的取值
范围．
【详解】（1） 的定义域为 ， ．
若 ，则 ， 在定义域内单调递增，无最大值；
若 ，则当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以当 时， 取得极大值，也是最大值，
为 ，解得 ，
显然 符合题意，所以 的值为
（2）对任意 恒成立，
即 在 上恒成立．
设 ，则 ．
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且 ， ，
所以 有唯一零点 ，且 ，
所以 ．
构造函数 ，则 .
又函数 在 上是增函数，所以 ．
由 在 上单调递减，在 上单调递增，得 ，
所以 ，所以 的取值范围是
【点睛】由不等式恒成立问题求参数思路点睛：分离参数；构造函数；求函数的最值（利用导数或函数的
单调性等）练透核心考点
1．（23-24高二上·江苏南通·期末）设 ，函数 ， ．
(1)若 ，求 的最小值与 的最大值；
(2)若 在 上恒成立，求 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）分别求导，再利用导数分别求出最值即可；
（2）令 ，则 在 上恒成立，只要 恒成
立，分类讨论，利用导数求出 的最小值即可得解.
【详解】（1）若 ， ， ，
，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
，当 时， ，当 时， ，
所以函数函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ；
（2）令 ，则 在 上恒成立，
，
当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，而 ，
所以当 时， 在 上不恒成立，
当 时，若 ，则 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，
综上，只需 ，得 ，
综上所述， .
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和
放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)已知 ，当 时，证明： ．
【答案】(1) 在区间 上单调递减，在 上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导函数的符号确定原函数的单调性即得；
（2）先将求证式进行等价转化成 （对数单身狗，指数找朋友），再构造函数
，证明 在 上恒成立即得.
【详解】（1）依题， 的定义域为 .
，
由 得 ，
列表如下，
0↘ ↗
由表知， 在区间 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时， .
要证明 ，即证 ，只需证 .
令 ，则 .
再令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
即 在 上恒成立，故由 可得 ，
列表如下，
↘ ↗
由表知， 的最小值为 ，
所以 在 上恒成立，故 .
【点睛】思路点睛：本题主要考查利用不等式恒成立证明不等式的问题，属于较难题.
证明不等式成立，一般思路是先将求证式进行等价转化，其中若有指数和对数式，常使对数式单独放在不
等式的一边再移项构造函数，再证明该函数恒成立即可.
3．（23-24高三上·天津·期末）已知函数 ， .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： ；
(3)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)【分析】（1）分别求得 即可得解.
（2）构造函数 ，连续求导得 的单调性，结
合 ，即可得 的单调性，由此即可得解.
（3）构造函数 ，连续求导来判断单调性，结合 与0的大小关系
来进行分类讨论.
【详解】（1） ，
所以 ，
所以切线方程为 .
（2）设 ，
，
令 ，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
所以 ，即 .
（3）令 ，
则 ，且 ，
令 ，则 ，
因为 在 单调递减，
令 ，则 在 单调递减，且 ，
情形一：
当 ，即 时，因为 ，则 ，可得 ，
则 在 上是减函数，可得 ，即 ，
所以 在 上是减函数，则 恒成立，
即 恒成立，满足题意；
情形二：
当 ，即 时， 在 上是减函数，
且 ，当 时， ，
则存在 ，使得 ，
当 时， ， 在 上是增函数，此时 ，
所以当 时， ，此时 在 上是增函数，
所以 ，即 ，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围是.
