模块六
图形与几何
专题31
平面图形的认识
类型一 线段
1.
2. 5 或6. 5 【解析】(1)如解图①,AC= 9
cm,M 是AC 的中
点,AM= 9÷2 = 4. 5,AB = 4
cm,N 是AB 中点,AN = 4÷2 = 2
cm,MN=AM-AN= 4. 5-2= 2. 5
cm;(2)如解图②,MN = AM
+AN= 4. 5+2= 6. 5
cm。
第1 题解图
2.
41. 6 【解析】图中的线段有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、
CD、CE、DE,且AE 长为8. 9 厘米,BD 长为3 厘米,则线段
AE 上所有线段的长度的总和为AB+AC+AD+AE+BC+BD+
BE+CD+CE+DE= 4AE+2BD= 41. 6(厘米)。
3.
120 或60 【解析】把绳子对折成线段AB,已知AP= 1
2 PB,
即PB= 2AP,从P 处把绳子剪断,各段绳子中最长的一段
为40 米。如果A 处相连,则AP 展开后的长度为2AP=PB,
又因为PB 段被剪断后,分为相等的两个PB,所以从P 处
把绳子剪断,分为相等的三条线段,则绳子的原长为40×
3= 120(米);如果B 处相连,这样PB 段展开后的长度为
2PB,即为最长,则PB = 40÷ 2 = 20( 米),即2 个AP 段是
20 米,则绳子的原长为40 + 20 = 60( 米),则绳子原长为
120 米或60 米。
4.
解:由题可得:AC
AB = 0. 618,因为AB= 12. 94cm,所以AC = AB
×0. 618 = 12. 94× 0. 618≈8. 00( cm),所以BC = AB-AC =
12. 94-8. 00= 4. 94(cm)。
答:BC 的长度是4. 94
cm。
类型二 角
5.
B
6.
丙
【解析】α、β 都是钝角,所以90° < α < 180°,90° < β <
180°,所以180°<α+β<360°,所以36°< 1
5 (α+β)<72°,所以
计算结果正确的同学是丙。
7.
解:因为OD 平分∠AOC,OE 平分∠BOC,所以∠AOD =
∠COD= 1
2 ∠AOC,∠BOE=∠COE= 1
2 ∠BOC,因为∠AOC+
∠BOC= 180°,所以∠DOE = ∠COD+∠COE = 1
2 ∠AOC+
1
2 ∠BOC= 90°,
因为OF 平分∠DOE,所以∠DOF=∠EOF= 45°,
所以∠FOB + ∠DOC = ∠EOF + ∠BOE + ∠COD = ∠EOF +
∠COE+∠COD=∠EOF+∠DOE= 45°+90° = 135°。
类型三 三角形的角和边
8.
A 【解析】根据三角形的三边关系,可知第三边a 的取值
范围是12-9<a<9+12,即3<a<21,所以三角形的周长C 的
取值范围是3+12+9<C<21+12+9,即24<C<42,所以三角
形周长可能的值为30。
9.
7. 2 【解析】三角形的三边长:36×
3
3+4+5 = 9(厘米),36×
4
3+4+5 = 12(厘米),36×
5
3+4+5 = 15(厘米)。直角边分别长
9 厘米和12 厘米,斜边长15 厘米,根据三角形的面积公
式,三角形斜边上的高为(9×12÷2)×2÷15= 7. 2(厘米)。
10.
2 【解析】三角形周长为10,由两边之和大于第三边可
知各边必定小于5,则能取的值为1,2,3,4,符合三边关
系的为3,3,4 与2,4,4,共2 个。
11.
55 【解析】因为不管怎么选都不能拼成三角形,所以可
以让两边之和等于第三边,因为木条根数较多,所以可以
从最小的边开始选起,1+2= 3、2+3 = 5、3+5 = 8、5+8 = 13、
8+13= 21、13+21 = 34、21+34 = 55、34+55 = 89,所以10 根
木条的长度分别为1、2、3、5、8、13、21、34、55、89,第二长
的木条长55。
12.
D
13.
100 【解析】等腰三角形的两个底角相等,等腰三角形的
底角不可能是100°,所以顶角是100°。
14.
40 【解析】三角形BDC 中,∠BDC = 90°,∠1 = 20°,所以
∠B= 180°-20°-90° = 70°,在三角形ABC 中,∠B = 70°,
所以∠ACB= 70°,∠2= 180°-70°-70° = 40°。
15.
80° 【解析】如解图,连接BC,因为∠BDC = 140°,所以
∠DBC+∠DCB= 180°-140° = 40°,因为∠BGC = 110°,所以
∠GBC+∠GCB= 180°- 110°= 70°,所以∠GBD+∠GCD = 70°
-40° = 30°,因为BE 是∠ABD 的平分线,CF 是∠ACD 的
平分线,所以∠ABG + ∠ACG = ∠GBD + ∠GCD = 30°,在
△ABC 中,∠A= 180°-40°-30°-30° = 80°。故∠A 的度数
为80°。
第15 题解图
16.
40° 【解析】因为在△ABC 中,∠B = 40°,∠C = 30°,所以
∠BAC= 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 30° = 110°, 因为
∠BAE= 30°,所以∠EAC = ∠BAC - ∠BAE = 110° - 30° =
80°,由折叠的性质可知∠DAC=∠EAD= 1
2 ∠EAC= 40°。
17.
35° 【解析】如解图,作出镜面A 与镜面B 的法线,交于
点O,因为OA,OB 是法线,所以OA⊥MG,OB⊥GN,根据
光反射定理,可知∠EAO = ∠BAO,∠OBA = ∠OBF,因为
OA⊥MG,OB⊥GN
,所以∠1 = ∠BAG,∠2 = ∠ABG
,在
△AGB 中,∠AGB = 110°, 则∠BAG + ∠ABG = 70°, 所以
∠1+∠2= 70°,因为∠1=∠2,所以∠1= 35°。
第17 题解图
18.
直角 【解析】180°×
5
2+3+5 = 90°,这个三角形是直角三
角形。
19.
60 【解析】如解图,连接BC,由解图知AB = AC = BC,所
以△ABC 为等边三角形,则∠BAC= 60°。
第19 题解图
20.
等腰三角形 【解析】由(a-b)(b-c)(c-a)= 0 可知,a-b =
0 或b-c= 0 或c-a= 0,则a=b 或b=c 或c=a,此三角形一
定是等腰三角形。
21.
150° 【解析】对折前后的图形,对应线段和对应角分别
相等。在△ADE 中,∠A+∠ADE+∠AED = 180°,则∠ADE+
∠AED= 180° - ∠A = 180° - 75° = 105°, 所以∠1 + ∠2 =
(180° - 2 ∠AED ) +
( 180° - 2 ∠ADE )
= 360° - 2 ×
105° = 150°。
22.
108 【解析】如解图所示,∠4=∠9= 60°,∠7= 90°,∠2 =
180°-∠8-∠9,∠3= 180°-∠6-∠7,∠2+∠3 = 180°-∠8
-∠9+180°-∠6-∠7,180° -∠6-∠8 = ∠5 = 180° -∠1-
∠4,所以∠2+∠3= 180°-∠9-∠7+180°-∠1-∠4 = 180°
+180°-60°-90°-42°-60° = 108°。
第22 题解图
23.
180 【解析】如解图,∠1 = ∠C+∠E,∠2 = ∠A+∠D,因
为∠1+∠2+∠B = 180°,所以∠C+∠E+∠A+∠D+∠B =
180°,即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180°。
第23 题解图
24.
B 【解析】一副三角板中各个角的度数分别是30°、60°、
45°、90°。A 选项:90°+30° = 120°;B 选项:30°+45° = 75°;
C 选项:90°+45° = 135°;D 选项:60°+45° = 105°,故选B。
25.
108 【解析】∠DCB = 60°-42° = 18°,∠ACD = 45°-18° =
27°,∠AOC= 180°-45°-27° = 108°。
26.
解:(1) 150
90
【解析】∠ABC+∠ACB = 180° -∠A =
150°,∠XBC+∠XCB= 180°-∠X= 90°。
(2)没有变化。
因为∠A= 30°,所以∠ABC+∠ACB= 150°,
因为∠X= 90°,所以∠XBC+∠XCB= 90°,
所以∠ABX+∠ACX =(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB)=
(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)= 150°-90° = 60°。
类型四 多边形
27.
C
28.
72 【解析】正方形的边长等于长方形的宽,AE+AB = FB+
EF=FG+EF=EG= 16 厘米,长方形ADHE 的周长为(AE+
AB+BD)×2=(16+20)×2= 72(厘米)。
29.
85°
【解析】如解图,连接BD,因为BC = CD,∠BCD =
170°,所以∠CBD=∠CDB = 1
2 ×(180°-170°)= 5°,以AB
为边在四边形内部作等边△ABE,连接CE、DE,则AB =
BE = AE, ∠ABE = ∠BEA = ∠BAE = 60°, 所以∠EBD =
∠ABC-∠ABE-∠CBD = 70°-60°-5° = 5°,所以∠EBD =
∠CBD,又因为BE = AB = BC,所以△BCE 为等腰三角形。
由等腰三角形三线合一可知, BD 垂直平分CE, 所以
△CDE 为等腰三角形,CD = DE,因为AE = AB = CD = DE,
所以△AED 为等腰三角形,因为∠BEC = 90° -∠EBD =
85°,∠DEC = ∠DCE = 90° - ∠CDB = 85°,所以∠AED =
360°- ∠AEB - ∠BEC - ∠DEC = 360° - 60° - 85° - 85° =
130°,所以∠EAD= 1
2 (180°-∠AED)= 1
2 ×(180°-130°)=
25°,所以∠BAD=∠BAE+∠EAD= 60°+25° = 85°。
第29 题解图
1
30.
D
【解析】这个正多边形一个外角的度数是180° -
140° =40°,360°÷40° = 9,故选D。
解题技巧
正多边形的外角有一个特点,所有的外角度
数相加是360°,且每一个外角都相等,可以根据此特点算
出这个正多边形的外角的数量,有几个外角就有几条边。
31.
D 【解析】四边形,截一刀后得到的新多边形可能是三
角形、四边形、五边形,所以新多边形的内角和将不变或
增加180°或减少180°。
32.
114 【解析】如解图,延长图②中AE 到H,由于纸条是长
方形,四个角都是直角,所以EH 与GF 平行,题图①折叠
成图②,即题图①的∠DEF = ∠HEF = 22°,再根据折叠的
性质,解图②的∠HEF = ∠FEG = 22°,即∠AEG = 180° -
22°- 22° = 136°,四边形ABGE 的内角和是360°, 所以
∠EGB= 360°-90°-90°-136° = 44°,即∠EGF = 180°-44°
= 136°。三角形EGF 的内角和是180°,∠GFE = 180° -
22°-136° = 22°,∠FGC = 180°-∠EGF = 180°-136° = 44°,
四边形GFDC 的内角和是360°,即∠GFD = 360° - 44° -
90°-90° = 136°。根据翻折不变性,图②的∠GFD = 图③
的∠GFD = 136°,所以图③的∠EFD = ∠GFD - ∠GFE =
136°-22° = 114°。
第32 题解图
33.
2、5 或9 【解析】原来的多边形可能是四边形,可能是五
边形,也可能是六边形,原多边形内的对角线条数有2、5
或9 条。
34.
6 【解析】设这个多边形的边数为n,则从一个顶点引出
的对角线条数为(n-3)。已知边数是从一个顶点引出对
角线条数的2 倍,则n= 2(n-3),n= 6。
类型五 圆
35.
B
36.
B 【解析】40÷2= 20(cm)。
37.
2 【解析】圆的直径为3×2= 6(cm),宽的方向可以剪6÷
6= 1(个),长的方向可以剪12÷6= 2(个),一共可以剪1×
2= 2(个)。
38.
(1)不公平 (2)B D
B、D 为圆上的点,距离圆心(篮
球筐)距离相等
专题32
分类数图形
类型一 数线段
1.
C
2.
63 【解析】求票价数相当于求线段数,两市之间停靠5 个
站点,即一共7 个站点,则票价种数= 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6 =
21(种),车票种数= 21×2= 42,故m = 21,n = 42,m+n = 21+
42= 63。
类型二 数三角形
3.
10
4.
44 【解析】1 个小三角形的有16 个,由2 个小三角形组成
的三角形有16 个,由4 个小三角形组成的三角形有8 个,
由8 个小三角形组成的三角形有4 个,图中一共有16+16+
8+4= 44(个)三角形。
5.
12 【解析】把包含“★”的三角形按三角形组成的个数进
行分类:(1)由一个三角形组成的有1 个;(2)由两个三角
形组成的有2 个;(3)由三个三角形组成的有1 个;(4)由
四个三角形组成的有3 个;(5) 由六个及以上三角形组成
的有5 个,所以共有12 个。
6.
11 【解析】本题中所有情况的图形如解图所示,则最多有
11 个三角形。
第6 题解图
类型三 数四边形
7.
D 【解析】图中有5 个中正方形、4 个小正方形和1 个大
正方形(4 个中正方形组成),则一共有5+4+1 = 10(个)正
方形。
8.
27 【解析】由2 个三角形构成的平行四边形有12 个,由4
个三角形构成的平行四边形有12 个,由8 个三角形构成
的平行四边形有3 个,共12+12+3= 27(个)。
9.
12 【解析】正六边形里面的梯形的个数有6 个,正六边形
外面3 个三角形组成的梯形有4 个,5 个三角形组成的梯
形有1 个,8 个三角形组成的梯形有1 个,正六边形外面的
梯形的个数有4+1+1= 6(个),一共有6+6= 12(个)梯形。
10.
10 【解析】如解图,大平行四边形被分成4 个小平行四
边形,由1 个小平行四边形组成的平行四边形共4 个;由
2 个小平行四边形组成的平行四边形共3 个;由3 个小平
行四边形组成的平行四边形共2 个;由4 个小平行四边
形组成的平行四边形共1 个。共有4+3+2+1= 10(个)平
行四边形。
第10 题解图
11.
29 【解析】由1 个图形组成的长方形有10 个,由2 个图
形组成的长方形有5 个,由3 个图形组成的长方形有
2 个,由4 个图形组成的长方形有1 个,由5 个图形组成
的长方形有2 个,由6 个图形组成的长方形有3 个,由7
个图形组成的长方形有2 个,由8 个图形组成的长方形
有1 个,由9 个图形组成的长方形有2 个,由10 个图形组
成的长方形有1 个,所以一共有10+5+2+1+2+3+2+1+
2+1= 29(个)长方形。
类型四 格点计数
12.
C 【解析】如解图,最多能套出8 种。
第12 题解图
13.
8 【解析】以AB 为腰时,以A 为顶点的等腰三角形有
5 个,以B 为顶点的等腰三角形有3 个,以AB 为底的符
合题意的等腰三角形不存在。综上所述,共有5 + 3 =
8(个),分别如解图所示:
第13 题解图
14.
4 【解析】如解图所示,直角三角形ABM 的面积为4,分
三种情况:以点B 为直角顶点,AB 为一条直角边时,可得
符合要求的点M1,M2;以点A 为直角顶点,AB 为一条直
角边时,可得符合要求的点M3,M4;以顶点M 为直角顶
点,AB 为一条斜边时,符合要求的点M 不存在,所以这样
的点M 有4 个。
第14 题解图
15.
5 【解析】当公共边是AB 时,如解图①中的△ABC1;当
公共边为BC 时,如解图②中的△A1BC;当公共边为AC
时,如解图③中的△AB1C, △AB2C, △AB3C。所以与
△ABC 面积相等且有一条公共边的格点三角形一共有
5 个。
第15 题解图
类型五 数立体图形
16.
8 16 【解析】这个图形的体积为8 个小正方体的体积
之和,每个小正方体的体积:1×1×1 = 1(cm
3),这个图形
的体积:1×8= 8(cm
3)。观察图形可得:堆成长方体的长、
宽、高最少分别是由4、3、2 个正方体组成,则一共需要:
4×3×2 = 24( 个) 正方体,所以最少还需要添加24- 8 =
16(个)正方体木块。
17.
18 【解析】3×3×3 的正方体的体积是27,是个奇数,而
1×1×2,1×2×2 的体积都是偶数,所以需要搭配1×1×3 奇
数数量的木块,且是奇数个,拼法分两种情况:①4 块1×
2×2+3 块1×1×3+1 块1×1×2;②5 块1×2×2+2 块1×1×
2+1 块1×1×3,因为需拼成10 个3×3×3 的正方体,且1×
1×3 只有14 块,因此,其中8 个按情况②拼,2 个按情况
①拼,共需2×8+2= 18(块)。
18.
18 【解析】去掉的小正方体个数如解图,至少去掉4×2+
1×10= 18(个)。
第18 题解图
19.
解:从上往下分层计数,如解图所示:
第19 题解图
2
共有小正方体:13+6+6+13= 38(个)。
答:这个立体图形由38 个小正方体组成。
易错点拨
本题容易忽略中间两层三个方向都有重合,
会造成漏数,计数时最好画出每层示意图,做到不重不
漏。
专题33
平面图形的周长
类型一 周长
1.
A
2.
5
3.
100 【解析】阴影部分的周长=原长方形周长=(30+20)×2
= 100(厘米)。
4.
3 或7
【解析】设腰长为2x,底边长为y,则
2x+x= 9
x+y= 6
{
或
2x+x= 6
x+y= 9
{
,解得
x= 3
y= 3
{
或
x= 2
y= 7
{
,因为3+6>6,4+4>7,所以两
组解均符合条件,所以这个等腰三角形的三条边长分别为
6,6,3 或4,4,7,则底边长为3 或7。
5.
解:由题图②知,大长方形的长是(a+2b) cm,所以大长方
形的宽是(a+2b-6) cm。在题图①中,将阴影区域的边平
移,可知阴影区域的周长等于大长方形的周长。
在题图②中,将阴影区域的边平移,可知阴影区域的周长
比大长方形的周长少2×[2b-(a+2b-6-a)] = 12(cm)。
答:图①中阴影区域的周长大,大12
cm。
6.
D 【解析】假设起点到终点的距离为d,三条路线中圆弧
的直径(或直径的和)都相等,所以圆弧的长也相等。
7.
3. 83 【解析】外道的起点在内道起点前面的距离为两条
半圆弧的弧长差: 1
2 ×(2πR-2πr)= 1
2 ×2π×(R-r)= 3. 14×
1. 22≈3. 83(米)。
8.
314 【解析】阴影部分是由4 段相同的弧组成的,所以关
键是求每一段弧所对的圆心角的度数,如解图,连接FI,
FC,EC,EJ,则∠ECF 即为所求,正八边形的一个内角为
135°,由正八边形的对称性可知,∠CIF= 135°
2 ,又因为FC=
CI,所以∠CFI+∠CIF = 2×135°
2
= 135°,所以∠FCI = 180°-
135° = 45°。同理可得∠JCE = 45°,所以∠ECF = 135°-2×
45° = 45°。阴影部分的弧长为4× 45
180×π×100 = 3. 14×100 =
314(厘米)。
第8 题解图
9.
45. 7 厘米
【解析】根据题意AB 的长度等于圆的直径
5 厘米,弧BC 的长度是1
6 个圆周长,所以橡皮筋的长度为
6 个线段AB 的长度与6 个弧长BC 之和即5×6+3. 14×5 =
45. 7(厘米)。
类型二 周长与面积结合
10.
B 【解析】设大正方形的边长为a 厘米,小正方形的边长
为b 厘米,根据题意可得:4a+4b = 80,a+b = 80÷4 = 20①,
a
2-b
2 = 80,(a+b) ( a-b) = 80,所以a-b = 80÷ 20 = 4②。
①+②可得:2a= 24,则a= 24÷2 = 12,则b = 20-12 = 8,12×
12+8×8= 144+64= 208(平方厘米)。
11.
20 【解析】正方形面积= 边长×边长,10×10 = 100(平方
厘米),则大正方形的边长为10 厘米,而大正方形的边长
恰好是小长方形的长、宽之和,小长方形的周长= ( 长+
宽)×2,所以小长方形的周长为10×2= 20(厘米)。
12.
36 【解析】如解图,连接OA、OB、OC,则S△AOB = 1
2 AB×3;
S△BOC = 1
2 BC × 3;S△AOC = 1
2 AC × 3;S△ABC = S△AOB + S△BOC +
S△AOC = 54,即1
2 ×(AB+BC+AC) ×3 = 54,AB+BC+AC = 36,
所以三角形ABC 的周长为36。
第12 题解图
13.
48 【解析】中间阴影部分正方形的边长是长方形的长减
去长方形的宽,大正方形的边长是长方形的长加长方形
的宽。阴影部分的面积是:正方形ABCD 的面积减去四
个长方形面积和的一半,即20-32÷2 = 4(平方厘米),所
以大正方形EFGH 的面积是:32+4= 36(平方厘米),因为
正方形的面积是边长×边长,所以大正方形的边长是6 厘
米,即:长方形的长+长方形的宽= 6(厘米),所以四个长
方形的周长和是:6×2×4= 48(厘米)。
14.
A
15.
942 平方厘米
157 厘米
【解析】圆的半径为125. 6÷
3. 14÷2= 20(厘米),圆的面积= 长方形的面积= 3. 14×
20
2 = 1256( 平方厘米),所以阴影部分的面积为1256×
3
4 = 942(平方厘米),长方形的长为1256÷20= 62. 8(厘米),
阴影部分的上部分长为62. 8-20 = 42. 8(厘米),所以阴影
部分的周长: 1
4 ×125. 6+62. 8+42. 8+20= 157(厘米)。
16.
314 【解析】设钟面的半径为r,则1
2 πr+2r = 35. 7,解得
r= 10,完整钟面的面积是πr
2 = 314(平方厘米)。
17.
解:能,思考过程:设圆的半径为r,近似三角形的底由4
段圆弧组成,则底为1
4 ×2πr,近似三角形的高由4 个圆半
径组成,则高为4r,圆的面积=近似三角形的面积, 1
2 × 1
4
×2πr×4r=πr
2。
专题34
平面组合图形的
面积———常用方法
方法一 基本公式
1.
B 【解析】因为平行四边形的面积公式是底×高,所以这
四个数里当其中两个数相乘等于另外两个数相乘时,乘积
就是此平行四边形的面积,即20×7 = 4×35 = 140(平方厘
米),故选B。
2.
24 平方厘米 【解析】如果只把长增加2 厘米,那么增加的
是一个以原来的宽为长、2 厘米为宽的小长方形,其面积是
8 平方厘米,则原来长方形的宽为8÷2 = 4(厘米);如果只
把宽增加2 厘米,那么增加的是一个以原来的长为长、2 厘
米为宽的小长方形,其面积是12 平方厘米,则原来长方形
的长为12÷2= 6(厘米),所以这个长方形纸板原来的面积
为6×4= 24(平方厘米)。
3.
15. 7 10 【解析】设大正方形的边长为a 厘米,圆的半径
为a
2 厘米,则a
2 = 20 平方厘米,圆的面积= 3. 14×( a
2 )
2 =
15. 7(平方厘米);圆的直径是小正方形的对角线,小正方
形的面积= a
2 ÷2,因为a
2 = 20 平方厘米,所以小正方形的
面积是20÷2= 10(平方厘米)。
4.
25. 12 【解析】设两个圆的半径为r,由图可得:阴影部分
的面积= r× 2r÷ 2 = r
2 = 8,所以一个圆的面积= 3. 14× 8 =
25. 12(m
2)。
5.
67. 5 【解析】由题得S△DCB = 10×6× 1
2 = 30,所以S△DCE =
30-6= 24,则CE= 24×2÷10 = 4. 8,BF = 6×2÷4. 8 = 2. 5,所
以S四边形ABCD =(10+10+2. 5)×6÷2= 67. 5。
6.
解:正五边形每个角:180°×(5-2)÷5= 108°
如解图,这只羊能吃到草的面积为3×7
2×360°-108°
360°
+3×(7
-3)
2×180°-108°
360°
×2+3×(7-3-3)
2 ×180°-108°
360°
×2 = 123. 3
(平方米)
答:这只羊能吃到草的草地面积可达123. 3 平方米。
第6 题解图
7.
解:如解图,连接EC,S△BCG = 1
2 S正方形BCGF = 1
2 ×30×30= 450,
S△ECG = 1
2 ×30×16= 240,S△ECB = 1
2 ×30×16= 240,
所以三角形BGE 的面积为450+240+240= 930。
答:三角形BGE 的面积为930。
第7 题解图
8.
解:直角梯形ABCD 的面积为(9+12) ×8÷2 = 84,所以三角
形AED、三角形FCD 和四边形EBFD 的面积均为84÷3 =
28,直角梯形EBCD 的面积为28×2 = 56,所以EB = 56×2÷
8-9= 5,在直角三角形FCD 中,FC = 28× 2÷ 9 = 56
9 ,所以
BF= 8-56
9 = 16
9 ,所以直角三角形EBF 的面积为1
2 ×5×16
9 =
40
9 ,故三角形DEF 的面积为28-40
9 = 212
9 。
答:三角形DEF 的面积为212
9 。
方法二 整体减空白
9.
A 【解析】设长方形的长为a,宽为b,则3 个空白直角三
角形的两直角边分别为1
2 a 和1
2 b、1
2 a 和b、1
2 b 和a,阴
影部分的面积是ab- 1
2 a× 1
2 b× 1
2 - 1
2 a×b× 1
2 - 1
2 b×a× 1
2
= 3
8 ab,阴影部分面积是长方形的3
8 ab÷ab= 3
8 。
10.
5
9
【解析】将大正方形的边长看作单位“1”,则直角三
角形的两条直角边长分别为1
1+2 = 1
3 , 2
1+2 = 2
3 。阴影部
分的面积为1×1- 1
3 × 2
3 ÷2×4 = 5
9 ,阴影部分的面积占大
正方形面积的5
9 ÷(1×1)= 5
9 。
11.
6. 28 【解析】阴影部分的面积= 以AB1 为直径的半圆的
面积+扇形B1AB 的面积-以AB 为直径的半圆的面积=
3. 14×(4÷2)
2÷2+ 45
360×3. 14×4
2 -3. 14×(4÷2)
2 ÷2 = 6. 28
(平方厘米)。
12.
24-4. 5π 【解析】如解图,取半圆圆心为0,连接OA,过
点O 作OD⊥AC 于点D,则OB=OD=r,所以6×r÷2+10×r
÷2= 6×8÷2,解得r= 3,阴影部分的面积是6×8÷2-π×3
2÷
3
2= 24-4. 5π。
第12 题解图
13.
解:如解图,图中所有三角形均为等腰直角三角形。
CF=CO= 2 厘米,DE=DF= 7 厘米,BC=AC= 10 厘米
DC=DF-CF=7-2= 5(厘米),DB=BC-DC= 10-5= 5(厘米)
DH=DB= 5 厘米,EH=DE-DH= 7-5= 2(厘米)
S△EHG = 2×(2÷2)÷2= 1(平方厘米)
梯形EDCO 的面积:(2+7)×5÷2= 22. 5(平方厘米)
阴影部分的面积:22. 5-1= 21. 5(平方厘米)
答:阴影部分的面积为21. 5 平方厘米。
第13 题解图
14.
解:由题图可知,扇形EAD 的半径为2
cm,扇形EBF 的半
径为2+2= 4(cm),扇形FCG 的半径为4+2= 6(cm),扇形
GDH 的半径为6+2= 8(cm)
每个弓形的面积都等于所在的1
4 圆的面积减去所在的1
4
圆内的等腰直角三角形的面积,则4 个弓形的面积之和
为( 1
4 ×3. 14×2
2-2×2× 1
2 )+( 1
4 ×3. 14×4
2-4×4× 1
2 )+( 1
4
×3. 14 × 6
2 - 6 × 6 × 1
2 ) + ( 1
4 × 3. 14 × 8
2 - 8 × 8 × 1
2 )
= 34. 2(cm
2)
答:图中4 个弓形面积之和是34. 2 平方厘米。
15.
解:因为在△ABC 中,∠ACB 是直角,AB= 10 厘米,∠ABC=
60°,BC= 5 厘米。
将△ABC 以点B 为中心顺时针旋转120°,使点C 旋转到
AB 延长线上的点D 处。
所以△ABC 与△BDE 面积相等,∠ABE=∠CBD= 120°
由题图可知:S阴影= S扇形ABE +S△BDE -S△ABC -S扇形CBD = S扇形ABE -
S扇形CBD =120
360×3. 14×10
2-
120
360×3. 14×5
2 =78. 5(平方厘米)
或者:3. 14×(10
2-5
2)÷3= 78. 5(平方厘米)
答:AC 边扫过的图形(即阴影部分) 的面积是78. 5 平方
厘米。
方法三 等积转化
16.
C 【解析】因为面积P=面积Q,所以图中长方形的面积
等于两个1
4 圆的面积之和,长方形的面积为1
4 ×π×1
2 ×2
= π
2 ,XY 的长度为π
2 ÷1= π
2 。
17.
78. 5 【解析】如解图,由AC 是圆的直径及AD∥BC,可知
S③=S④,所以平行四边形面积= 2×(S②+S④) = 2×(S①+
S④)= 2×(S①+S③) = 圆的面积,所以平行四边形面积为
3. 14×(10÷2)
2 = 78. 5(平方厘米)。
第17 题解图
18.
32. 5 【解析】由题可知,S△ABC =S△DEF,而S梯形ABEH+S△HEC =
S△ABC,S阴影+S△HEC =S△DEF,所以S阴影= S梯形ABEH = (8-3+8) ×
5÷2= 32. 5。
19.
400
【解析】由题意得S甲+ S空白部分= S乙+ S空白部分,所以
S扇形EAF =S△ABC = 10×10× 1
2 = 50(平方厘米),∠A = 45°,所
以S圆= 50÷ 45
360 = 400(平方厘米)。
20.
解:如解图,连接IC,FC,BF,由正方形的对角线易知点F
在对角线BD 上,因为IC∥BD,所以IC∥DF,由等积变形
可得:三角形DFI 的面积=三角形DFC 的面积= 10×(10-
6)× 1
2 = 20。
答:三角形DFI 的面积为20。
第20 题解图
方法四 割补法
21.
解:如解图,中间阴影部分切割平移,把阴影面积转化为
圆的面积减去正方形的面积。
圆的面积:π×2
2 = 4π,
正方形的面积:(2+2)×(2+2)÷2= 8,
阴影部分面积= 4π-8。
答:阴影部分面积为4π-8。
第21 题解图
22.
解:如解图,两个长方形的面积和为8×6+4×12 = 96(平方
厘米),S甲= 4×8× 1
2 = 16(平方厘米),S乙= 6×12× 1
2 = 36
(平方厘米),S阴影= 96-16-36= 44(平方厘米)。
答:阴影部分的面积是44 平方厘米。
第22 题解图
23.
π
r
2
2
24.
ab 【解析】如解图,从对角线与扇形弧线的交点向下作
垂线段,把左上角的阴影部分沿对角线翻折,两块阴影部
分刚好拼成右下角的长方形,拼成的长方形的长为b,宽
为a,所以阴影部分的面积为ab。
第24 题解图
25.
128. 5
【解析】如解图所示,设圆心为O,连接EO,因为
∠EBF=∠FBD=30°,BA 平分∠FBD,可知阴影部分ABD 的
面积等于空白部分ABF 的面积,所以阴影部分的面积等于
扇形AOE 的面积加上三角形EOB 的面积。因为圆的直径
AB=20 厘米,所以圆的半径为20÷2 = 10(厘米),可得扇形
AOE 的面积是圆O 面积的1
4 ,即10×10×3. 14÷4=78. 5(平方
厘米),三角形EOB 的面积是10×10÷2=50(平方厘米),所以
阴影部分的面积是78. 5+50=128. 5(平方厘米)。
第25 题解图
26.
解:如解图割补,则阴影部分的面积是半径4
cm 的1
4 圆
的面积-梯形BCEF 的面积,4÷2 = 2(cm),3. 14×4
2 × 1
4 -
(2+4)×2÷2= 6. 56(cm
2)。
答:阴影部分的面积是6. 56
cm
2。
第26 题解图
27.
3. 44 【解析】如解图所示进行割补,图中阴影面积= 长
方形面积的一半-圆的面积,4×2 = 8(cm),4÷2 = 2(cm),
8×4÷2-3. 14×2
2 = 3. 44(cm
2)。
第27 题解图
28.
45 【解析】如解图所示,将原图进行割补,阴影部分的面
积等于正方形ABCD 面积的1
5 。则S阴影= 1
5 S正方形ABCD =
1
5 ×(15×15)= 45(平方米)。
第28 题解图
29.
解:如解图,S阴影= 1
2 S正方形= 1
2 ×8×8= 32。
答:阴影部分面积为32。
第29 题解图
30.
解:如解图所示,图中弓形旋转后阴影部分的面积= 扇形
的面积, 其它两块同理, 所以阴影部分的面积= 60
360 ×
3. 14×2
2×3= 6. 28(平方厘米)。
答:阴影部分的面积是6. 28 平方厘米。
第30 题解图
方法五 平移、旋转法
31.
960 【解析】利用平移法可知,草坪是一个长为42-2 =
40(米),宽为25-1 = 24(米)的长方形,那么种植草坪的
面积为40×24= 960(平方米)。
32.
旋转 5. 13 【解析】通过旋转图①右边的扇形可得到图
③;染色部分的面积=半圆面积-2 个正方形的面积,如解
图所示,把两个正方形平均分为两份,则三角形AOB 是直
角三角形,两个正方形的面积= 2 个三角形AOB 的面积=
4
2×3×3÷ 2 = 9(平方厘米)。半圆的面积= 3. 14× 3
2 ÷ 2 =
14. 13( 平方厘米),所以涂色部分的面积= 14. 13- 9 =
5. 13(平方厘米)。
第32 题解图
33.
解:如解图进行变换后,阴影部分的面积为7 × 4 ÷ 2 =
14(cm
2)。
答:阴影部分的面积是14
cm
2。
第33 题解图
34.
解:12×12= 144。
答:四边形的面积是144。
35.
解:如解图,将△OAB 绕着点O 逆时针旋转90°,到达
△OCF 的位置, 由于∠ABC = 90°, ∠AOC = 90°, 所以
∠OAB+ ∠OCB = 180°,而∠OCF = ∠OAB,所以∠OCF +
∠OCB = 180°,那么B,C,F 三点在一条直线上,由于OB=
OF,∠BOF = ∠AOC = 90°,所以△BOF 是等腰直角三角
形,且斜边BF 为5 + 3 = 8,所以S△BOF = 8 × 4 × 1
2 = 16,
△OBC 的面积为16× 5
8 = 10。
答:△OBC 的面积为10。
第35 题解图
方法六 容斥原理求面积
36.
64 【解析】盖住桌面的部分等于两个正方形的面积减去
阴影部分的面积,两个正方形盖住桌面的面积为7×7+5×
5-2×5= 64。
37.
3. 85 【解析】大半圆半径为4÷2= 2(cm),小半圆半径为
2÷2= 1(cm), 1
2 ×3. 14×2
2+ 1
2 ×3. 14×1
2 = 7. 85(cm
2),直
角三角形ABC 面积为1
2 ×4×2= 4(cm
2),阴影部分面积之
和= 两个半圆面积和- 三角形面积= 7. 85 - 4 =
3. 85(cm
2)。
38.
5 【解析】如解图,连接AF,在正方形AEFG 中,∠EAF =
45°,∠DAE= 45°,所以∠FAD = 90°,所以A、B、F 在同一
条直线上。根据容斥原理:三角形BOC 的面积-三角形
EOF 的面积= 三角形BCF 的面积-三角形BEF 的面积,
过点E 作EH 垂直AF 交AF 于点H,在正方形AEFG 中:
2FH= 2AH= 2EH=AF,正方形AEFG 面积= 2×三角形AEF
的面积= 2× 1
2 ×AF×EH= 2× 1
2 ×2×EH×EH= 18,所以EH=
3,则AF= 6,由于正方形ABCD 的面积为16,则AB = BC =
4。三角形BCF 的面积-三角形BEF 的面积= 1
2 ×(6+
4)×4- 1
2 ×(6+4)×3= 5。
第38 题解图
39.
15 【解析】根据题意得,S矩形ABCD = 6×8 = 48(平方厘米),
由四边形的一半模型可知,S△HBC = 48÷2÷2 = 12(平方厘
米),S△BDC =S△BEC =S△ABC = 48÷2= 24(平方厘米)。S△BDC -
S△BGC =S△BEC-S△BGC,即S△DGC = S△BEG;S△ABC -S△BFC = S△BEC -
S△BFC, 即S△ABF = S△FCE。所以S阴影部分= S△BEC - S△HBC +
S四边形EFHG = 24-12+3= 15(平方厘米)。
40.
10
【解析】如解图,三角形的面积+圆形的面积= 50+
50= 100(平方厘米);又因为三张纸板盖住的总面积也是
100 平方厘米(包括正方形的面积),由此可得A 的面积=
B 的面积;又因为阴影部分的总面积是30 平方厘米,所
以用50 减去30 就是A、B 部分的面积和;然后再除以2
就是A 的面积。即(50-30)÷2= 10(平方厘米)。
第40 题解图
41.
5. 83
cm
2 【解析】S平行四边形ABCD = 10×4= 40(cm
2),S扇形EAB =
π×10
2× 30
360 = 25
3 π(cm
2),S扇形DAM =π×8
2× 30
360 = 16
3 π(cm
2),
S阴影=(2S扇形EAB -S平行四边形ABCD) -(S平行四边形ABCD - 2S扇形DAM) =
2(S扇形EAB+S扇形DAM-S平行四边形ABCD ) = ( 25
3 π+ 16
3 π- 40) × 2 =
( 41
3 π-40)×2= 82
3 π-80≈5. 83(cm
2)。
42.
解:阴影部分的面积为S扇形DAE +S扇形DCF -S平行四边形ABCD = π×
6
2× 50
360+π×8
2× 50
360-8×5= 125
9 π-40≈3. 6(平方厘米)。
答:图中阴影部分的面积为3. 6 平方厘米。
43.
解:大圆的半径:4÷2= 2(厘米)
小半圆的半径:4÷2÷2= 1(厘米)
大圆的面积:2×2×3. 14= 12. 56(平方厘米)
2 个小半圆的面积:1×1×3. 14= 3. 14(平方厘米)
三角形的面积:4×4÷2= 8(平方厘米)
阴影部分的面积:12. 56+3. 14-8= 7. 7(平方厘米)
答:阴影部分的面积为7. 7 平方厘米
44.
解:设AO=a,则a
2 = 1
2 ,阴影部分的面积为πa
2-1= 1
2 π-
1= 1
2 ×3. 14-1= 0. 57。
答:阴影部分的面积为0. 57。
45.
解:如解图,①+③=长方形面积,②+③= 大扇形的面积-
小扇形的面积,②-①=大扇形的面积-小扇形的面积-长
方形面积= 1
4 × 3. 14 × 8
2 - 1
4 × 3. 14 × 3
2 - 8 × ( 8 - 3) =
3. 175(平方厘米)。
答:涂色部分②和涂色部分①的面积相差3. 175 平方厘米。
第45 题解图
46.
解:如解图,将各部分进行命名。S扇形ABC = ①+ ②+ ③;
S扇形ABD =②+③+④,S正方形ABCD = ①+②+③+④+⑤,S扇形ABC +
S扇形ABD-S正方形ABCD =②+③-⑤,所以③-⑤= S扇形ABC +S扇形ABD
-S正方形ABCD-②= 3. 14×300
2 ÷4+3. 14×300
2 ÷4-300×300-
3. 14×(300÷2)
2÷2= 15975(平方厘米)。
答:两块阴影部分的面积差是15975 平方厘米。
第46 题解图
47.
解:由题意可得4S-7= 4S-S1-S2-S3,则S1+S2+S3 = 7①,
再由S3 = 1
3 S1 = 1
3 S2 可得S1 =S2 = 3S3②,
将②代入①,得3S3+3S3+S3 = 7,解得S3 = 1,
所以S1 =S2 = 3。
又因为2S- 1
2 S1-S2- 1
2 S3 = 8,即2S- 3
2 -3- 1
2 = 8,
解得S= 13
2 。
答:S 的值为13
2 。
方法七 做辅助线
48.
16 【解析】连接AC,如解图,四边形AFCE 的面积= 三角
形AFC 的面积+三角形AEC 的面积= 2× 6÷ 2+ 5× 4÷ 2
= 16。
第48 题解图
49.
29. 5 【解析】如解图,延长CB,CD,分别交直线AE 于点
F,点G,过点A 向BF 作垂线,垂足为H,由题知,∠AED=
135°,则∠DEG= 180°-135° = 45°,又因为∠EDG = 90°,故
三角形DEG 为等腰直角三角形,∠G = 45°。在三角形
CFG 中,∠G = 45°,∠C = 90°,故三角形CFG 为等腰直角
三角形,再根据∠F = 45°,∠BAF = 90°,可知三角形ABF
为等腰直角三角形,则CF=CG=CD+DG=CD+DE = 7+2 =
9,故BF=CF-BC= 9-3 = 6,AH = 1
2 BF = 3,故S五边形ABCDE =
S△CFG-S△DEG-S△ABF = 9×9÷2-2×2÷2-6×3÷2= 29. 5。
第49 题解图
50.
7. 5 【解析】如解图,过点G 作DA 边上的高,与DA 的延
长线交于点H。因为∠EAB + ∠BAG = ∠BAG + ∠GAH =
90°, 所以∠EAB = ∠GAH。正方形AEFG 的面积是
25
cm
2,所以AE=AG= 5
cm,所以可将三角形AHG 看作由
三角形ABE 旋转得到的。BE
2 = AE
2 -AB
2 = 25-16 = 9,9 =
3×3,BE= 3
cm,HG= 3
cm,所以三角形ADG 的面积为5×
3÷2= 7. 5(cm
2)。
第50 题解图
5
51.
解:如解图,延长BA,GH 交于点O,
第51 题解图
因为EF= 4,并且D 是EF 的中点,
所以DF=ED= 4÷2= 2,
所以AE=AD-ED= 6-2= 4,
易得四边形AEHO 是正方形,
则BO= 6+4= 10,GO= 4+4= 8,
所以阴影部分的总面积为8×10× 1
2 -4×4= 24。
答:阴影部分的总面积是24。
52.
解:D 是BC 的中点,所以BD=DC。E 是AB 的三等分点,
所以AB= 3BE,如解图所示,连接AD。
S阴影= 1
3 S△ABD = 1
3 × 1
2 S△ABC = 1
6 S△ABC,
S空白=S△ABC-S△BED = 5
6 S△ABC,
1
6 S△ABC÷ 5
6 S△ABC = 1
6 ÷ 5
6 = 1
5 。
答:阴影部分面积是空白部分面积的1
5 。
第52 题解图
53.
解:如解图,延长FG 交BC 于点H, 1
4 圆的面积为2
2 ×
3. 14× 1
4 = 3. 14(平方厘米),阴影部分的面积为2× 4+
3. 14-(4+2)×2÷2= 5. 14(平方厘米)。
答:图中阴影部分的面积为5. 14 平方厘米。
第53 题解图
方法八 结合方程
54.
32 【解析】正方形周长之比等于边长之比,设正方形甲、
乙、丙的边长分别为4a,5a,7a;由丙区域面积为48 可得:
49a
2-25a
2 = 48,解得a
2 = 2,所以甲的面积是16a
2 = 32。
55.
280 【解析】设BC=x 厘米,则CD=( 75
2 -x)厘米,根据题
意得14x=( 75
2 -x)×16,解得x = 20,平行四边形ABCD 的
面积为20×14= 280(平方厘米)。
56.
解: 如解图, 连接AE, BE, CE, 则S△ABC = S△AEC + S△ABE
+S△BEC,
所以1
2 ×AB×BC= 1
2 ×AC×ED+ 1
2 ×AB×EF+ 1
2 ×BC×EH,
即7×24= 25×1. 76+7×EF+24×EH,
整理得7×EF+24×EH= 124,
因为四边形EFBH 是正方形,所以EF=EH,
则31×EF= 124,所以EF= 4(厘米),
所以正方形EFBH 的面积为4×4= 16(平方厘米)。
答:正方形EFBH 的面积为16 平方厘米。
第56 题解图
57.
50π 【解析】设大圆的半径为R,小圆的半径r,则阴影部分
的面积= 1
2 ×R
2-
1
2 ×r
2 =25(平方厘米),则(R
2-r
2)= 50,圆
环的面积=π×R
2-π×r
2 =π(R
2-r
2)= 50π(平方厘米)。
58.
16 【解析】设AB=x
cm,AD=y
cm,所以xy= 48,S三角形EFG =
S长方形ABCD - S梯形AEGD - S三角形EBF - S三角形FCG = xy - 1
2 × ( 1
4 x+
1
2 x)×y- 1
2 × 3
4 x× 1
3 y- 1
2 × 1
2 x× 2
3 y= 16(cm
2)。
59.
92 【解析】如解图,连接CF,BG,设S△CGD =x。因为CD=
BE= 1
4 BC,所以DE = 2CD = 2BE,所以S△DEG = 2x,S△BEG =
x,所以S△DEF = 24 + 3x - ( 22 + x) = 2 + 2x, 所以S△EBF =
1
2 S△EDF =x+1,所以S△CDF =S△BEF =x+1,所以S△CGF = S△DGF +
S△CGD-S△DCF = 22 + x - ( x + 1) = 21, 所以S△BFG = S△EGF +
S△BEF-S△BEG = 24+x+1-x = 25,因为AF = BF,所以S△AFG =
S△BFG = 25,所以S△AFC = S△AFG + S△CGF = 25 + 21 = 46,所以
S△ABC = 2S△AFC = 92。
第59 题解图
60.
53 【解析】设BM 长为a,CN 长为b(a>0,b>0),FB = b,
AE=a,所以在△AEF 中,AF = 10-b;AE = a,在△FBG 中,
BG = a+2;在△EDH 中,ED = 10-a,DH = 10-3-b = 7-b;在
△HGC 中,HC= 3+b,GC= 10-2-a= 8-a;所以S△AEF+S△FBG
+S△EDH+S△HGC = 1
2 [a×(10-b)+b×(a+2)+(10-a)×(7-b)
+(3+b)×(8-a)] = 47(平方厘米),所以四边形EFGH 面
积为10×10-47= 53(平方厘米)。
61.
解:如解图,根据题意,等腰直角三角形ABC 绕点C 顺时
针旋转90 度后的三角形为三角形DAC,
因为AB 边在旋转时所扫过的面积为BE、FD、弧EF、弧
BAD 所围成的图形面积,
所以AB 边在旋转时所扫过的面积= S半圆-S△CBE -S△CFD
-S扇形ECF,
设AC= BC = a,则AB =
2 a,BE = CE =
2
2 a,则3. 14×a
2
2
-
1
2 a
2-
3. 14×( 2
2 a)
2
4
= 14. 13,解得a
2 = 5652
271 ,
所以原来等腰直角三角形的面积为1
2 ×5652
271 = 2826
271 (平方
厘米)。
答:原来等腰直角三角形的面积为2826
271 平方厘米。
第61 题解图
62.
解:设上底长为2a,下底长为3a,三角形AOD 的高为h,
三角形BCO 的高为x。
由题意可列方程(2a×h) ∶(3a×x)= 10 ∶12,解得x= 4
5 h,
所以梯形的高为h+ 4
5 h = 9
5 h。又因为三角形AOD 面积
为10,可得1
2 ×2a×h= 10,
所以ah=10,梯形面积为(2a+3a)× 9
5 h÷2= 9
2 ah = 9
2 ×10=
45(平方厘米),
所以阴影部分的面积为45-10-12= 23(平方厘米)。
答:阴影部分的面积是23 平方厘米。
63.
解:△PAB 以AB 为底时,高为7×2
AB = 14
AB;
△PCD 以CD 为底时,高为3×2
CD = 6
CD。
因为AB=CD,
所以平行四边形ABCD 以AB 为底时,
高为14
AB- 6
CD = 8
AB,面积为AB× 8
AB = 8(平方厘米)。
答:平行四边形ABCD 的面积为8 平方厘米。
方法九 巧分图形
64.
8 【解析】如解图,添加辅助线,可将正方形的一半(一个
大三角形)平均分成8 个面积相等的等底等高的三角形,
阴影部分面积占正方形一半面积的2
8 ,所以阴影部分的
面积为8×8÷2× 2
8 = 8(平方厘米)。
第64 题解图
65.
9 ∶8 【解析】将图形分割如解图,等腰直角三角形1、2
的面积都是小正方形乙的1
2 ,等腰直角三角形5 的面积
是正方形乙的1
4 ,若设正方形乙面积为1,则大三角形的
面积是1+ 1
2 + 1
2 + 1
4 = 9
4 ,正方形乙的面积占大三角形的
4
9 ;等腰直角三角形3、4 的面积都是小正方形甲的1
2 ,正
方形甲的面积占大三角形的1
2 ,那么正方形甲和正方形
乙的面积比为1
2 ∶4
9 = 9 ∶8。
第65 题解图
66.
解:如解图,将正六边形分成六个面积为1 平方厘米的正
三角形,再取它们各边的中点将每个正三角形分为4 个
小正三角形,于是正六边形ABCDEF 被分成了24 个小正
三角形,每个小正三角形的面积是6÷24 = 0. 25(平方厘
米),三角形MNP 由9 个小正三角形组成,
所以三角形MNP 的面积= 0. 25×9= 2. 25(平方厘米)。
答:三角形MNP 的面积是2. 25 平方厘米。
第66 题解图
6
专题35
平面组合图形的面
积———常用模型
模型一 底高模型
1.
C
2.
C
【解析】因为点E 是线段AD 的中点, 所以S△ABE =
S△BDE = 1
2 S△ABD,S△ACE =S△CDE = 1
2 S△ACD,则S△BCE = 1
2 S△ABC =
1
2 ×12= 6,因为点F 为CE 的中点,所以S△BEF = 1
2 S△BCE =
1
2 ×6= 3。
3.
33. 5 【解析】如解图,连接OB,将阴影部分分成三角形
AOB,三角形OBC,三角形AOC 三部分。根据底高模型,三
角形AOB 的面积是甲的面积的一半,三角形OBC 的面积
是丁的面积的一半,三角形AOC 的面积是乙的面积的一
半,将甲、乙、丁的面积加起来就是阴影部分的面积的2
倍,所以阴影三角形的面积是(12+22+33)÷2= 33. 5。
第3 题解图
4.
96 【解析】如解图,连接FC,CI。DF 和CI 都是正方形的
对角线上的线段,所以DF 和CI 平行,所以三角形DFI 与
三角形DFC 是等底等高的三角形,即面积相等,所以S△DFI =
S△DFC = 1
2 DC·CE= 1
2 ×24×(24-16)= 96。
第4 题解图
5.
解:如解图, 设AC 与EF 的交点为O, 连接FB 和FC,
△FOD 和△FOC 是同底等高的三角形,则面积相等,S阴影=
S△AFO+S△FOD = S△AFC,△AFC 和△AFB 是同底等高的三角
形,所以这两个三角形面积相等, 所以S阴影部分= S△AFC =
S△AFB = 1
2 S长方形ABEF = 30÷2= 15(平方厘米)。
答:阴影部分的面积是15 平方厘米。
第5 题解图
6.
解:如解图,连接AO,AC,易得A,O,E 三点共线,根据底高
模型,得S△BOD = S△AOD,S阴影= S△BOD +S△DOE = S△AOD +S△DOE =
S△ADE,根据底高模型,得S△ADE = S△ACD,所以S阴影= S△ACD =
1
2 AD×DC= 1
2 ×13×13= 84. 5(平方厘米)。
答:阴影部分的面积是84. 5 平方厘米。
第6 题解图
7.
解:(1)因为AE=ED,所以S△ABE =S△BDE,S△ACE =S△CDE,所以
S△ABE + S△ACE = S△BDE + S△CDE, 即S四边形ABEC = S△BEC =
1
2 S△ABC = 1
2 。
答:三角形BEC 的面积是1
2 ;
(2) 根据底高模型可得,AF ∶BF = S△ACF ∶S△BCF = ( 1
2 -
1
10) ∶( 1
2 + 1
10)= 2 ∶3,故S△AEF = 1
10÷3×2= 1
15。
答:三角形AEF 的面积是1
15。
8.
解:如解图,设AE 交BG 于点P,AD 交BG 于点N,连接
CP,CN,点D,E 是BC 边的三等分点,点F,G 是AC 边的三
等分点,所以S△AEC =S△BCG = 1
3 S△ABC,
设S△PCE =x,S△PCG =y,则
x+3y= 1
3 ×84
3x+y= 1
3 ×84
ì
î
í
ï
ï
ïï
,
解得x+y= 14,即S四边形PECG = 14。
设S△BDN =a,S△CGN =b,则S△NDC = 2a,S△NGA = 2b,
则
3a+b= 1
3 ×84
2a+3b= 2
3 ×84
ì
î
í
ï
ï
ïï
,解得a= 4,b= 16。
故S阴影部分= S△BCG - S△BDN - S四边形PECG =
1
3 × 84-4-14=
10(cm
2)。
答:阴影部分的面积是10 cm
2。
第8 题解图
9.
6 【解析】如解图所示,过点H 分别作HM⊥CD 于点M,
HN⊥AD 于点N,过点G 分别作GO⊥BC 于点O,GQ⊥AB
于点Q。设BE = a,因为正方形ABCD 中,CE = 2BE,DF =
2CF,所以CE=DF= 2a,CF=BE=a,AB=BC=CD= DA = 3a,
所以S正方形ABCD = 3a×3a= 9a
2,S△ADF = 1
2 AD×DF = 1
2 ×3a×2a
= 3a
2,S△ABE = 1
2 AB×BE = 1
2 ×3a×a = 3
2 a
2。因为BD 是正
方形ABCD 的对角线,即BD 是正方形ABCD 的对称轴,所
以HM = HN, GO = GQ, 所以S△ADH ∶S△DFH = AD ∶DF =
3a ∶2a= 3 ∶2,S△ABG ∶S△BEG =AB ∶BE= 3a ∶a= 3 ∶1。因为
S△ADF = S△ADH + S△DFH, S△ABE = S△ABG + S△BEG, 所以S△DFH =
2
5 S△ADF = 2
5 ×3a
2 = 6
5 a
2,S△BEG = 1
4 S△ABE = 1
4 × 3
2 a
2 = 3
8 a
2。
因为S△BCD = 1
2 S正方形ABCD = 1
2 ×9a
2 = 9
2 a
2,所以S五边形ECFHG =
S△BCD-S△DFH-S△BEG = 9
2 a
2 - 6
5 a
2- 3
8 a
2 = 117
40 a
2 = 11. 7,解得
a= 2,正方形ABCD 的边长是3a= 3×2= 6。
第9 题解图
10.
解:如解图①,连接BE,由于AE∥BD,把△ABD 作等积变
换,变成△BDE,此时△BDE 以DE 为底边,以BG 为高,
且面积是75,此时,△BDE,△ADE,△DEC 有相同的底边
DE,由于四边形ABCD 是等腰梯形,
如解图②所示, 分别过点A, D 作与BC 垂直的垂线
AH,DG。
易得BH=GC,AD=HG,
因此BG=BH+HG=GC+AD,
在等式两边同时乘以DE÷2,
可得BG×DE÷2=(GC+AD)×DE÷2,
用乘法分配律得BG×DE÷2=GC×DE÷2+AD×DE÷2,
而S△BDE = BG × DE ÷ 2, S△DEC = CG × DE ÷ 2, S△AED = AD ×
DE÷2,
因此所求的三角形AED 的面积就是75-45= 30。
答:三角形AED 的面积是30。
第10 题解图
11.
A 【解析】40÷5 = 8(厘米),即长方形的长、三角形的高、
平行四边形的高以及圆的直径都是8 厘米,三角形的面
积为10×8÷2= 40(平方厘米),平行四边形的面积为4×8
= 32(平方厘米),圆的面积为3. 14×(8÷2)
2 = 50. 24(平
方厘米)。①②③说法都正确。
12.
24
【解析】因为D 是边AB 的中点, 所以S△BCD =
1
2 S△ABC,又因为EC
AC = 1
3 , 所以S△BCE = 1
3 S△ABC, S阴影差=
S△BCD-S△BCE = 1
2 S△ABC - 1
3 S△ABC = 1
6 S△ABC = 4,所以S△ABC
= 24。
13.
24
7 【解析】如解图,连接AE,CD,因为AD= 1
2 AB,所以
S△BDE = 1
2 S△ABE,S△ADC = 1
2 S△ABC,又因为BE = 1
3 BC,所以
S△ABE = 1
3 S△ABC, S△AEC = 2
3 S△ABC, 所以S△BDE = 1
2 × 1
3 ×
S△ABC = 1
6 S△ABC。因为CF = 1
4 AC,所以S△ADF = 3
4 S△ADC =
3
4 × 1
2 S△ABC = 3
8 S△ABC,S△EFC = 1
4 S△AEC = 1
4 × 2
3 ×S△ABC =
1
6 S△ABC,所以S△DEF =(1- 1
6 - 3
8 - 1
6 )×S△ABC = 7
24S△ABC,又
因为S△DEF = 1,所以S△ABC = 1÷ 7
24 = 24
7 。
第13 题解图
14.
224
【解析】因为D 为BC 的中点,所以S△BDE = S△CDE,
S△ACD = S△ABD = 1
2 S△ABC,又因为BE = 1
4 AB,所以S△BCE =
1
4 S△ABC,S△BDE = 1
4 S△ABD = 1
8 S△ABC,所以S△ADE = 1
2 S△ABC -
1
8 S△ABC = 3
8 S△ABC, 又因为EF ∶CF = S△ADE ∶S△ACD =
3
8 S△ABC ∶1
2 S△ABC = 3 ∶4,所以S△DEF ∶S△DCF = EF ∶CF =
3 ∶4,因为S△DEF = 12 平方厘米,所以S△CDE = 12÷ 3×(3+
4)= 28(平方厘米),所以S△BCE = 2S△CDE = 28×2 = 56(平方
厘米),所以S△ABC = 56×4= 224(平方厘米)。
15.
解:因为BD= 1
2 DC,则BD ∶DC= 1 ∶2,S△ACD = 2
1+2S△ABC =
2
3 ×36= 24。因为AF = 1
2 FD,则AF ∶FD = 1 ∶2,S△CDF =
2
1+2S△ACD = 2
3 × 24 = 16。因为CE = 1
2 EF,则CE ∶EF =
7
1 ∶2,S△DEF = 2
1+2S△CDF = 2
3 ×16= 32
3 。
答:三角形DEF 的面积是32
3 。
16.
解:因为S△CGD ∶S△AGD = 1 ∶2,所以CD ∶AD = 1 ∶2,又因
为AC= 48,所以CD = 48÷(1+ 2) × 1 = 16。因为S△BEH ∶
S△CEH = 1 ∶1,所以BE ∶CE = 1 ∶1,又因为BC = 40,所以
BE = CE = 40 ÷ 2 = 20。因为S△ACG ∶S△ABC = 1 ∶2,所以
AG ∶AB= 1 ∶2,又因为AB = 60,所以AG = 60÷2 = 30。因
为S△ADF ∶S△ADG = 1 ∶2,所以AF ∶AG = 1 ∶2,又因为AG =
30,所以AF= 30÷2 = 15。所以AF+BE+CD = 15+20+16 =
51 答:AF+BE+CD 的长度之和为51。
模型二 一半模型
17.
B 【解析】因为等底等高的平行四边形的面积是三角形
面积的2 倍,所以这两个三角形(阴影部分) 的面积和等
于平行四边形的面积,也就是长方形的面积等于平行四
边形的面积。
18.
5
【解析】如解图,连接BF,根据一半模型,得S△BEF =
S△CEF = 1,则S△ABF = 2S△BCF = 2×(1+1)= 4,所以阴影部分
的面积=S△ABF+S△BEF = 4+1= 5。
第18 题解图
19.
31. 5
【解析】如解图,连接ED,FD,S△EDF = S正方形ABCD -
S△AED-S△EBF-S△FCD = 6×6- 1
2 × 1. 5× 6- 1
2 ×(6- 3) ×(6-
1. 5)- 1
2 × 3× 6 = 15. 75,S长方形EFGH = 2×S△EDF = 2× 15. 75 =
31. 5。
第19 题解图
20.
100
【解析】如解图,连接AC,AF,CE,DE,则S△AEG =
S△DEG,S△BEG =S△CEG,所以S△ABG+S△CDG = S△CDE。因为S△BEC
= 1
2 S△ABC, S△AED = S△AFD = 1
2 S△ADC, 所以S△BEC + S△AED =
1
2 S△ABC+ 1
2 S△ADC = 1
2 S梯形ABCD,所以S△CDE = 1
2 S梯形ABCD,即
S△ABG+S△CDG = S△CDE = 1
2 S梯形ABCD,所以△ADG 的面积占梯
形ABCD 面积的1- 1
2 - 7
20 = 3
20,梯形ABCD 的面积是15÷
3
20 = 100(cm
2)。
第20 题解图
21.
解:如解图,连接AE,因为AB 和EF 平行,所以S△ABE =
S△ABF = 20 平方分米,
根据一半模型,可得平行四边形ABCD 的面积是( 20 +
24)×2= 88(平方分米)。
答:平行四边形ABCD 的面积是88 平方分米。
第21 题解图
22.
解:由一半模型可得,S△ABC = 1
2 S长方形,S△DCE = 1
2 S长方形,所
以S△ABC+S△DCE =S长方形。因为S△ABC+S△DCE-S阴影部分= S长方形
-(14+37+48),所以S阴影部分= 14+37+48= 99。
答:图中阴影部分的面积是99。
23.
解:如解图,连接AE,AD,BD。
第23 题解图
因为M 为AB 的中点,N 为CD 的中
点,P 为DE 的中点,Q 为FA 的中点,
根据一半模型设S△EFQ =S△AQE =a,
S△AEP =S△APD =b,
S△ADM =S△BDM =c,
S△BDN =S△BCN =d。
因为游览区APEQ 与BNDM 的面积和是900 平方米,中
间的湖水AMDP 的面积是361 平方米,
即a+b+c+d= 900(平方米),b+c= 361(平方米)
所以a+d= 900-361= 539(平方米)
答:草地的总面积是539 平方米。
模型三 蝴蝶模型
24.
A
【解析】如解图, 连接EF, 则S△ABP = S△EPF, S△EFQ =
S△CDQ,即S阴影部分=S△ABP+S△CDQ =a+b。
第24 题解图
25.
6
【解析】根据蝴蝶模型可知, S△AOB × S△COD = S△AOD ×
S△BOC,所以S△AOB = 1×2÷3 = 2
3 (平方千米),所以陆地面
积= 1+2+3+ 2
3 - 2
3 = 6(平方千米)。
26.
50 【解析】设左下角长方形面积为S,由蝴蝶模型可得
120 ∶90=S ∶75,解得S= 100,阴影部分面积为其一半,即
100÷2= 50。
27.
720 【解析】如解图,连接AE,EF,因为BE ∶EC = 2 ∶3,
DF ∶FC= 1 ∶2,所以DF= 1
3 DC,EC = 3
5 BC,所以S△ADF =
AD· DF × 1
2 = AD · 1
3 DC × 1
2 = 1
6 S长方形ABCD, S△ADE =
AD·DC× 1
2 = 1
2 S长方形ABCD,S△FDE = DF·EC× 1
2 = 1
3 DC·
3
5 BC× 1
2 = 1
10S长方形ABCD,在四边形AEFD 中,根据蝴蝶模
型可得,AG ∶GF= S△ADE ∶S△FDE = 1
2 ∶1
10 = 5 ∶1,所以AF
∶GF=6 ∶1,因为S△DFG = 20 平方厘米,所以S△ADF = 20×6 =
120(平方厘米),所以S长方形ABCD =120÷ 1
6 =720(平方厘米)。
第27 题解图
28.
解:如解图,连接,AC、BF,因为四边形ABCD 和四边形
BGFE 为正方形,所以AC∥BF,由蝴蝶模型可得,图中①
的面积等于②的面积,所以阴影部分的面积为扇形ABC
的面积,
即S阴影部分= 1
4 ×3. 14×6
2 = 28. 26。
答:图中阴影部分的面积是28. 26。
第28 题解图
29.
解:因为△ABC 的面积为96,D,E 分别是AB,AC 的中点,
所以梯形BCED 的面积为96×(1- 1
4 )= 72,因为F,G 分
别为BE,CD 的中点,假设FG 的长度是1 份,则DE 的长
度是2 份,BC 的长度是4 份,根据多次蝴蝶定理可知:梯
形FGED 的面积占9 份,梯形BCED 的面积占36 份,梯形
BCED 各部分面积、梯形FGED 各部分面积所对应的份数
如解图:
第29 题解图
所以阴影部分的面积为5 份,S阴影部分= 72× 5
36 = 10。
答:阴影五边形的面积是10。
30.
解:如解图,连接EF,FG,GH,EH,因为正方形ABCD 的边
长为12,AH=HD,DG= 2GC,CF = 2FB,BE = EA,所以AH =
HD= 6,DG= 8,GC= 4,CF= 8,BF = 4,BE = EA = 6。根据蝴
蝶模型可得, EO
OG =
S△EFO+S△EHO
S△GFO+S△GHO
=
S△EFH
S△GFH
, 因为S△EFH =
S梯形ABFH-S△AEH-S△BEF = (6+4) ×12÷2- 6× 6÷ 2- 4× 6÷ 2 =
30,S△GFH =S梯形DCFH-S△DGH-S△CGF = (6+8) ×12÷2-6×8÷2-
4×8÷2= 44,所以EO
OG = 30
44 = 15
22,即EO ∶OG= 15 ∶22。
答:EO ∶OG= 15 ∶22。
第30 题解图
模型四 金字塔模型
31.
C 【解析】因为点O,E 分别是BD 和CD 的中点,所以由
金字塔模型可知,OE ∶BC = DE ∶DC = 1 ∶2,所以BC =
2OE= 6。因为四边形ABCD 是菱形,所以AB = BC = CD =
AD,所以菱形ABCD 的周长为6×4= 24。
32.
1 ∶5 【解析】因为AE= CG = 1
3 AC,AD = BF = 1
3 AB,所以
AE=EG=CG= 1
3 AC,AD = DF = BF = 1
3 AB,S△ADE ∶S△AGF =
AE
2 ∶AG
2 =AD
2 ∶AF
2 = 1 ∶4,设S△ADE = 1,由金字塔模型
可知,S四边形DEGF = 3,S△ADE ∶S△ABC = AE
2 ∶AC
2 = AD
2 ∶AB
2 =
1
2 ∶3
2 = 1 ∶9,即S△ABC = 9,故S四边形BCGF = 9 - 1 - 3 = 5,
S△ADE ∶S四边形BCGF = 1 ∶5。
33.
证明:如解图,过点A 作AM∥A′C′,交CC′于点M,交BB′于
点N,连接CN 和BM。因为AM∥A′C′,且AA′∥BB′∥CC′,
8
所以AN=A′B′,NM=B′C′,
S△ABM
S△BCM
= AB
BC,
S△ACN
S△NCM
= AN
NM。
因为BB′∥CC′,△BCM 和△NCM 同底等高,
所以S△BCM =S△NCM,S△ACM-S△BCM =S△ACM-S△NCM,
所以S△ABM =S△ACN,
根据金字塔模型可得AB
BC = AN
NM = A′B′
B′C′,
所以AB
BC = A′B′
B′C′。
第33 题解图
34.
解:如解图,过点G 作GH∥BC 交AD 于点H,交AF 于点
I,连接CN 和FG。因为G 是AC 的中点,所以AG= 1
2 AC,
根据金字塔模型可得GH = 1
2 CD,GI = 1
2 CF,由题意得
BD= 1
3 CD,CF = 1
3 BF,则GH = 3
2 BD,GI = 1
6 BF,所以
GM ∶BM= 3 ∶2,GN ∶NB = 1 ∶6,所以BM = 2
5 BG,BN =
6
7 BG,所以S△ABM = 2
5 S△ABG = 2
5 × 1
2 S△ABC = 1
5 S△ABC,S△BNF =
6
7 S△BFG, 因为BF = 3
4 BC, 所以S△BFG = 3
4 S△BCG, 所以
S△BNF = 6
7 × 3
4 S△BCG = 9
14S△BCG,S四边形FCGN = (1- 9
14) S△BCG =
5
14S△BCG = 5
14 × 1
2 S△ABC = 5
28 S△ABC。因为△ABM 的面积比
四边形FCGN 的面积大6 平方厘米, 所以1
5 S△ABC -
5
28S△ABC = 6,所以S△ABC = 6÷( 1
5 - 5
28)= 280(平方厘米)。
答:△ABC 的面积是280 平方厘米。
第34 题解图
模型五 沙漏模型
35.
3. 15 【解析】如解图,连接OC,由沙漏模型可得AO
FO =AD
BF =
3
3+4 = 3
7 ,所以AO
AF = 3
10,由底高模型可得
S△AOB
S△ABF
= 3
10,而
S△ABF = 1
2 ×3×(3+4)= 21
2 ,所以S△AOB =S△ABF× 3
10 = 3. 15。
第35 题解图
36.
198 【解析】如解图,延长BE 交CD 于点F,因为S△BEC =
15
cm
2,BE= 10
cm,所以CF= 15×2÷10= 3(cm),在△ABE
和△EFC 中,根据沙漏模型AB
CF =BE
EF,即15
3 = 10
EF,解得EF =
2,梯形ABCD 的面积为(15+ 15+ 3) ×(10+ 2) ÷ 2 = 198
(cm
2)。
第36 题解图
37.
解:如解图,延长AF,BC 交于点M,△ADF 和△FCM 构成
沙漏模型,则AD ∶CM=DF ∶FC= 1 ∶1,
△ADO 和△OEM 构成沙漏模型,则DO ∶OE = AD ∶EM =
2 ∶3,因为S△DEF = 1
8 S长方形ABCD = 1
8 ,所以S△OEF = 3
2+3S△DEF
= 3
40。
答:三角形OEF 的面积为3
40。
第37 题解图
38.
解:因为AB∥CD,AD∥BC,所以四边形ABCD 为平行四
边形,
所以S平行四边形ABCD = 2S△ADC = 2S△ABC = 2 × 36 = 72 ( 平方厘
米),
由沙漏模型可得AE
CD = AO
CO = 1
2 ,FC
AD =CM
AM = 1
2 ,
因此点O,M 为AC 的三等分点,
所以S△ODM = 1
3 S△ACD = 1
3 × 36 = 12( 平方厘米),S△AEO =
1
4 S△OCD = 1
4 ×12×2 = 6(平方厘米),同理S△FMC = 6(平方
厘米)。
因为点E,F 分别为AB,BC 的中点,
所以S△BEF = 1
4 S△ABC = 1
4 ×36= 9(平方厘米),
则S阴影= 72-12-6-6-9= 39(平方厘米)。
答:图中阴影部分的面积是39 平方厘米。
39.
解:因为P,Q 为长方形ABCD 的三等分点,所以PQ =
1
3 AD,三角形ADE 中阴影部分的面积= 1
3 S△ADE。如解图
所示,将AC 和BE 的交点记作点M,将AC 和BD 的交点
记作点O,将BD 和CE 的交点记作点N,由△APM 和
△BMC 构成沙漏模型,可得AM ∶MC=AP ∶BC= 1 ∶3,所
以M 是AC 的四等分点,也是AO 的中点,所以S△BOM =
S△BAM,同理可得S△CON = S△CDN,所以四边形ABCD 中阴影
部分的面积= S△ABP + S△DCQ = 1
2 × 2
3 × S四边形ABCD = 1
3 ×
S四边形ABCD。综上, 阴影部分面积= 1
3 × S五边形ABCDE = 1
3 ×
24= 8。
答:阴影部分的面积为8。
第39 题解图
40.
解:如解图,取BC 的中点G,连接EG,交AF 于点H,
设AB=a,平行四边形ABGE 的EG 边上的高为h,
因为EH∥AB,△EPH 与△BPA 构成为沙漏模型,
所以EH
BA =△EPH 在EH 边上的高
△BPA 在BA 边上的高。
因为EH∥CD,E 为AD 的中点,F 为CD 的中点,根据金字
塔模型得EH= 1
2 DF= 1
2 × 1
2 a = 1
4 a,所以EH
BA =
1
4 a
a = 1
4 ,
所以△EPH 在EH 边上的高
△BPA 在BA 边上的高= 1
4 ,
所以在△PHE 中,EH 边上的高= 1
1+4×h= 1
5 h,
在△PBA 中,BA 边上的高= 4
1+4×h= 4
5 h。
所以S△PEH = 1
2 EH·EH 边上的高= 1
2 × 1
4 a× 1
5 h= 1
40ah。
因为S平行四边形ABGE =ah。所以S平行四边形ABCD =a×2h= 2ah。
又因为EH∥DC,△EHQ 与△CFQ 构成沙漏模型,
所以EH
CF =△EHQ 在EH 边上的高
△CFQ 在CF 边上的高=
1
4 a
1
2 a
= 1
2 ,
所以在△EHQ 中,EH 边上的高= 1
1+2×h= 1
3 h,
在△CFQ 中,CF 边上的高= 2
1+2×h= 2
3 h,
所以S△EHQ = 1
2 × 1
4 a× 1
3 h= 1
24ah,
所以S△EPQ =S△PEH+S△EHQ = 1
40ah+ 1
24ah= 1
15ah,
所以
S△EPQ
S平行四边形ABCD
=
1
15ah
2ah = 1
30。
答:△EPQ 与平行四边形ABCD 的面积比是1 ∶30。
第40 题解图
模型六 燕尾模型
41.
10 ∶9 【解析】因为BD ∶CD = 3 ∶4,所以根据燕尾模型
得S△AOB ∶S△AOC = 3 ∶4= 15 ∶20。因为AE ∶CE= 5 ∶6,所
以S△AOB ∶S△BOC = 5 ∶6 = 15 ∶18,所以S△AOB ∶S△AOC ∶
S△BOC = 15 ∶20 ∶18,所以S△AOC ∶S△BOC = 20 ∶18 = 10 ∶9,
即AF ∶FB= 10 ∶9。
42.
解:延长AP 交BC 于点N,如解图所示。
因为S△ABP ∶S△APC = 9 ∶3= 3 ∶1,
由燕尾模型得,BN ∶NC= 3 ∶1,
设BN= 9a,则NC= 3a,则BC = 12a。因为M 是BC 中点,
所以BM=MC= 6a,
可得MN=BN-BM= 3a,所以点M,C 到点N 的距离相等,
即MN ∶NC= 1 ∶1,所以S△APM =S△APC = 3。
答:△APM 的面积是3。
第42 题解图
43.
解:如解图,连接FC,
第43 题解图
9
设S△DEF = 1 份。
因为EC=2
DE,则S△ECF =2
S△DEF =2 份。
因为G 是BC 的中点,所以BG=GC。
由燕尾模型,得S△DFB ∶S△DFC =BG ∶GC= 1 ∶1,
那么S△DFB = 1+2= 3(份),
同理可得,S△DFB ∶S△BFC =DE ∶EC= 1 ∶2,
那么S△BFC = 3×2= 6(份),S△FGC = 6× 1
1+1 = 3(份),
则阴影部分的面积为3× 1
2 ×
2+3
1+2+3+6 = 0. 625( 平方厘
米)。
答:阴影部分的面积为0. 625 平方厘米。
44.
解:如解图,连接AO,BD,根据燕尾定理得出S△AOB ∶S△BOD =
AF ∶DF= 1 ∶2,S△AOD ∶S△BOD = AE ∶BE = 2 ∶1,由底高模
型得出S△AOE ∶S△BEO = 2 ∶1,S△AOF ∶S△DOF = 1 ∶2,可以得
到S△AOE = 1
3 S△BOD,S△AOF =
2
3 S△BOD。又因为S△BOD = 48÷
2= 24(平方厘米),所以S四边形AEOF =S△AOE+S△AOF = 1
3 S△BOD+
2
3 S△BOD =S△BOD = 24(平方厘米)。
答:四边形AEOF 的面积是24 平方厘米。
第44 题解图
45.
解:如解图,连接AI,根据燕尾模型,
得S△BCI ∶S△ACI = BD ∶AD = 2 ∶1,S△BCI ∶S△ABI = CF ∶AF =
1 ∶2,所以S△BCI ∶S△ABI ∶S△ACI = 2 ∶4 ∶1。又因为S△BCI +
S△ABI+S△ACI = S△ABC,所以S△BCI = 2
7 S△ABC,同理可求,S△ACG
=S△ABH = 2
7 S△ABC。所以S阴影= S△ABC -S△BCI -S△ACG -S△ABH =
1
7 S△ABC,即△ABC 的面积是阴影△HGI 面积的7 倍。
答:△ABC 的面积是阴影△HGI 面积的7 倍。
第45 题解图
模型七 鸟头模型
46.
解:因为AF ∶FC= 2 ∶1,EF∥BC,
所以AF ∶AC= 2 ∶3,AE
AB =AF
AC = 2
3 ,
根据鸟头模型可得
S△AEF
S△ABC
=AE×AF
AB×AC = 4
9 ,
又因为点E 是BD 的中点,AE
AB =EF
BC = 2
3 ,
所以EG
BC =DE
DB = 1
2 ,EG
EF = 3
4 ,GF
EF = 1
4 ,
所以再次用鸟头模型可得
S△GFC
S△AEF
=GF×FC
EF×AF = 1
8 ,
所以S△GFC = 1
8 S△AEF = 1
18S△ABC = 1
18a。
答:阴影部分的面积是1
18a。
47.
解:因为AE ∶EB = 1 ∶2,所以BE ∶AB = 2 ∶(2 + 1) =
2 ∶3,即BG ∶AD = 2 ∶3,在△AMD 和△BMG 中,根据沙
漏模型得,MA
MB = AD
BG = 3
2 ,即MA
AB = 3
5 ,在△ADN 和△CGN
中,根据沙漏模型得, NA
NC = AD
CG =
AD
BG+BC = 3
5 , 即NA
AC =
NA
AN+NC = 3
8 。在△ABC 中,根据鸟头模型得,
S△AMN
S△ABC
= AM
AB ×
AN
AC = 3
5 × 3
8 = 9
40, 所以S△AMN = 9
40 × S△ABC = 9
40 × 1
2 ×
S正方形ABCD = 9
80。
答:三角形AMN 的面积是9
80。
48.
解:如解图,连接CD。
因为AE ∶EC= 3 ∶2,
所以AE ∶AC= 3 ∶(3+2)= 3 ∶5,
根据鸟头模型可得,
S△AED ∶S△ABC =AE×AD
AB×AC = 3×2
5×5 = 6
25,
所以△ABC 的面积为12÷ 6
25 = 50(平方厘米)。
答:△ABC 的面积是50 平方厘米。
第48 题解图
49.
解:如解图,连接BD,根据鸟头模型可得
第49 题解图
S△ABD
S△AEH
=AB×AD
AE×AH = 1×1
2×3 = 1
6 ,
S△BCD
S△CFG
=BC×CD
CF×CG = 1×1
3×2 = 1
6 ,
S△AEH+S△CFG = 6S四边形ABCD,
同理连接AC,可得S△BEF+S△DGH = 6S四边形ABCD,
所以S四边形EFGH =(6+6+1)S四边形ABCD =13×5=65(平方厘米)。
答:四边形EFGH 的面积是65 平方厘米。
50.
解:因为∠ADC+∠ADG+∠CDE+∠EDG = 360°,∠ADC =
∠EDG= 90°,
所以∠ADG+∠CDE= 180°,
即∠ADG 和∠CDE 互补,
根据鸟头模型,可得S△CDE ∶S△ADG = ( ED×DC) ∶( AD×
DG)。
因为四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形,
所以DG=DE,AD=DC,
所以S△CDE ∶S△ADG = 1 ∶1,
所以S△CDE =S△ADG = 10 平方厘米。
答:△CDE 的面积为10 平方厘米。
51.
解:根据鸟头模型可得,
S△ADE
S△ABC
=AD×AE
AB×AC =
5×4
13×(19-4)= 4
39,
故S△ADE = 39× 4
39 = 4。
答:三角形ADE 的面积是4。
52.
解:由鸟头模型可得,
S△CEF ∶S△ABC =(CE×CF) ∶(CA×CB)= (1+2) ×(1+3) ∶
(1×1)= (3×4) ∶(1×1)= 12 ∶1,
所以S△CEF = 1×12= 12(平方厘米),
S△ADE ∶S△ABC =(AD×AE) ∶(AB×AC) = (1× 2) ∶(1× 1)
= 2 ∶1,
所以S△ADE = 1×2= 2(平方厘米),
S△BDF ∶S△ABC =(BF×BD) ∶(BC×BA)= (3×2) ∶(1×1)=
6 ∶1,
所以S△BDF = 1×6= 6(平方厘米),
所以S△DEF = S△CEF + S△ADE - S△ABC - S△BDF = 12 + 2 - 1 - 6
= 7(平方厘米)。
答:△DEF 的面积是7 平方厘米。
模型八 多个模型结合
53.
36
【解析】根据底高模型,S△DEC ∶S△DEA = CE ∶AE =
1 ∶2,则S△DEA = 6× 2 = 12( 平方厘米),S△ADC = 12+ 6 = 18
(平方厘米),所以长方形ABCD 的面积= 2S△ADC = 18×2 =
36(平方厘米)。
54.
45 【解析】如解图,连接GE,BF,FC,BE,设正方形ABCD
的面积为1 份,则三角形BCE 的面积为1
4 份,三角形EFG
的面积为1
8 份,三角形DEF 的面积为3
16 份,三角形ABF
的面积为1
8 份,三角形EFC 的面积为3
16份。利用蝴蝶模
型可得,GH ∶HB=S△EFG ∶S△EFB = 1
8 ∶(1- 1
4 - 3
16 - 1
8 )=
2 ∶7,同理可得,GI ∶IC = S△EFG ∶S△EFC = 1
8 ∶3
16 = 2 ∶3。
在三角形GBC 中,利用鸟头模型可得,S△GIH ∶S△GBC = (GI
×GH) ∶(GC×GB)= 4 ∶45,即SGIH = 4
45S△GBC,所以S△GIH =
2
45S正方形△ABCD = 2 平方厘米,那么正方形ABCD 的面积是
2÷ 2
45 = 45(平方厘米)。
第54 题解图
55.
解:根据一半模型可知,三角形ACE 的面积是正方形
ABCD 面积的一半,因为四边形ABDC 是正方形,所以
AC∥BD,AC=BD,在四边形ABEC 中,根据沙漏模型可知,
BE ∶AC=EF ∶AF。因为E 是BD 的中点,所以BE = 1
2 BD =
1
2 AC,所以EF ∶AF= 1 ∶2,由底高模型得S△CEF = 1
1+2S△ACE =
1
3 × 1
2 S正方形ABDC = 1
6 ×12= 2。
答:三角形CEF 的面积为2。
56.
解:因为AE= 2BE,
所以S△CAE = 2
3 S△ABC = 2
3 ×120= 80。
0
1
因为D、G 分别为AC、EC 的中点
如解图,连接DG,根据鸟头模型得,
S△CDG ∶S△AEC =(1×1) ∶(2×2)= 1 ∶4,
则S△CDG = 80÷4= 20,
又因为D 为AC 的中点,
所以AD ∶CD = 1 ∶1,所以S△ADG = S△CDG = 20,△AEC 和
△DGC 构成金字塔模型,AE ∶DG=AC ∶DC= 2 ∶1,
由于AE∥DG,△ABM 和△DGM 构成沙漏模型,
所以DM ∶BM=DG ∶AB= 1 ∶3,
又因为F 为BD 的中点,可知DM ∶MF= 1 ∶1,
所以S△ADG ∶S△AFG = 1 ∶1,所以S△AFG = 20。
答:△AFG 的面积为20。
第56 题解图
57.
解:在长方形ABCD 中,AB∥DF,
由沙漏模型:DF
AB =HF
AH = 3
5 ,
因为E 为AD 中点,
OE⊥AD,由金字塔模型:OE
DF = AE
AD =AO
AF = 1
2 ,
所以AO= 1
2 AF= 1
2 ×(5+3)= 4(cm),OE
AB = 3
10,
由沙漏模型得:GO
AG =OE
AB = 3
10,
因为GO=AO-AG,所以AG= 4×10
13 = 40
13(cm)。
答:AG 的长度为40
13
cm。
58.
解:(1)6
2+8
2 = 10
2,即CE
2+CD
2 =DE
2,由勾股定理的逆定
理可知△CDE 为直角三角形,故S△CDE = 6×8÷2= 24。
答:三角形CDE 的面积是24。
(2)如解图,连接AC,可得S△ACE = 6×8÷2= 24,
S△ADE = 8×8÷2= 32,根据风筝模型可得:
S△ADE ∶S△ACE =DG ∶CG= 32 ∶24= 4 ∶3,
即S△CEG = 3
4+3S△CDE = 3
7 ×24= 72
7 。
答:三角形CEG 的面积是72
7 。
(3)如解图,延长CD、CE 作一个正方形,连接GI,三角形
CIG 的底CG= 3
4+3CD= 24
7 ,由解图可知高为8+6= 14,
即S△CGI = 24
7 ×14÷2 = 24,三角形CEI 的底CE = 6,由解图
可知高为6,即S△CEI = 6×6÷2= 18,
根据风筝模型可得GO ∶OE= 24 ∶18= 4 ∶3,
所以S阴影部分= 72
7 × 4
4+3 = 288
49 。
答:图中阴影部分的面积是288
49 。
第58 题解图
59.
解:如解图,连接HG、DG、IF、ID,HF 与IG 交于点O,HD
与IG 交于点K,根据金字塔模型得,S△AHG = S△BDI =
1
1+2+1
×
1
1+2+1×S△ABC = 1
16,S△CDG =S△AIF = 1+2
1+2+1× 1+2
1+2+1×S△ABC =
9
16,根据鸟头模型得,S△AIG =
(2+1)×1
(1+2+1)×(1+2+1) ×S△ABC =
3
16;所以S梯形HGFI =S△AIF-S△AHG = 1
2 ,S梯形HIDG =S△ABC-S△CDG-
S△AHG-S△BDI = 5
16;根据蝴蝶模型得,S△HGO =
1
2
(1+1+2)
2 ×
S梯形HGFI = 1
32,S△HIK =
2
2
(1+2+2)
2×S梯形HGDI = 1
20,
所以S△HOK =S△AIG-S△AHG-S△HGO-S△HIK = 7
160,
6 个阴影部分面积的计算方法相同,面积也相同,
S阴影部分= 7
160×6= 21
80
答:阴影部分的面积为21
80。
第59 题解图
专题36
方向与位置
三视图
染色问题
类型一 方向与位置
1.
7 1 6 5 4 7 【解析】如解图,点(5,3)东偏南45°方
向100
m 处是点(7,1),点(9,8)西偏南45°方向150
m 处
是点(6,5),点(5,6)西偏北45°方向50
m 处是点(4,7)。
第1 题解图
类型二 三视图
2.
C 3.
6 9 4.
9
类型三 染色问题
5.
132 【解析】从正面能看到1+2+3= 6(个)正方形,从左面
能看到1+2+3= 6(个)正方形,从上面能看到9 个正方形,
故共能看到6×2+6×2+9= 33(个)正方形,每个正方形的面
积为2×2= 4,故表面被染成红色的面积为33×4= 132。
6.
244
【解析】第一层涂红色不考虑;第二层:去掉第一层
后,剩下的正方体的每条棱上排列9-2 = 7(个)小正方体,
这一层涂黄色;第三层:去掉第二层后,剩下的正方体的每
条棱上排列7- 2 = 5( 个) 小正方体,这一层涂红色;第四
层:去掉第三层后,剩下的正方体的每条棱上排列5-2 = 3
(个)小正方体,这一层涂黄色;第五层:去掉第四层后,剩
下3-2= 1(个) 正方体,涂红色。涂有黄色的小正方体共
有7×7×7-5×5×5+3×3×3-1= 244(个)。
专题37
立体图形—长方体、正方体
类型一 长方体、正方体的棱长
1.
A
类型二 长方体、正方体表面积
2.
50 【解析】拼在一起后,表面积减少了2 个正方形的面
积,即5×5×2= 50(平方厘米)。
3.
208 【解析】72÷4 = 18(厘米),18×
4
4+3+2 = 8(厘米),18×
3
4+3+2 = 6(厘米),18×
2
4+3+2 = 4(厘米),表面积为(8×6+
8×4+6×4)×2= 208(平方厘米)。
4.
28 【解析】3×8+4×8+3×4÷2×2-5×8= 28(平方厘米)。
5.
212 【解析】本题考查的是长方体表面积的计算,沿平行
于长为7、宽为5 的面的方向切一刀而成的表面积之和最
大,可以把这个长方体截成长、宽分别为7,5,高为3÷2 =
1. 5 的两个长方体,根据长方体表面积计算公式(长×宽+
长×高+宽×高)×2 可知,这两个长方体的表面积之和最大
是(7×5+7×1. 5+5×1. 5)×2×2= 212。
6.
2008 【解析】五个正方体不计重叠时的总面积:(2×2+4×
4+6×6+10×10+16×16)×6= 2472(平方厘米),重叠部分面
积:2×2×6+4×4×6+6×6×4+10×10×2 = 464(平方厘米),多
面体的表面积:2472-464= 2008(平方厘米);
一题多解前面面积:6×6+10×10+16×16 = 392(平方厘
米),右面面积:10×10+16×16 = 356(平方厘米),上面面
积:16×16= 256(平方厘米),多面体的表面积:(392+356+
256) ×2= 2008(平方厘米),所以这个多面体的表面积是
2008 平方厘米。
类型三 长方体、正方体体积
7.
0. 5 【解析】缸内的水会升高(10×10×10)÷(40×50)= 0. 5
(cm)。
8.
2 【解析】设水面高为x 分米,则8×6x+6×4x = 8×6×3,解
得x= 2,所以水面高为2 分米。
9.
288 【解析】由题可得,正八面体分为2 个四棱锥,四棱锥
的高是正方体棱长的一半,即12÷2 = 6(cm),四棱锥的底
面积是边长为12
cm 的正方形的面积的一半,即12×12÷2
= 72(cm
2),所以正八面体的体积: 1
3 × 72 × 6 × 2 = 288
(cm
3)。(四棱锥体积= 1
3 ×底面积×高)
类型四 表面积与体积综合
10.
290 【解析】由题意可得,宽×高= 48÷2= 24(平方厘米),
长×高= 99÷3= 33(平方厘米),长×宽= 352÷4 = 88(平方
厘米),原长方体的表面积= (88+33+24) ×2 = 290(平方
厘米)。
11.
1105 【解析】切面与前面、后面平行,表面积增加130
cm
2,即长×高= 130÷2= 65(cm
2);切面与左面、右面平行,
表面积增加442
cm
2,即宽×高= 442÷2 = 221(cm
2);切面
与上面、下面平行,表面积增加170
cm
2,即长×宽= 170÷2
= 85(cm
2)。65= 5×13,85= 5×17,221 = 13×17,长方体的
长、宽高分别是5、17、13,所以原来这个长方体的体积是
5×17×13= 1105(cm
3)。
专题38
立体图形———圆柱圆锥
类型一 圆柱表面积
1.
B 【解析】圆柱体的侧面积= 底面周长×高,因为2× 2 =
4(平方分米),所以圆柱体的底面周长是2 分米,所以这个
圆柱体的表面积为4 + π × ( 2
2π)
2 × 2 = 4 + π × 4
4π
2 × 2 = 2
π
1
1
+4(平方分米)。
2.
30. 144 【解析】滚动1 周压路面积为3. 14×0. 8×1. 2 = 3.
0144(平方米),滚动10 周压路面积为3. 0144×10 = 30. 144
(平方米)。
3.
226. 08
【解析】底面直径:80÷2÷5 = 8(厘米),圆柱表面
积:3. 14×(8÷2)
2×2+3. 14×8×5= 226. 08(平方厘米)。
4.
4710
【解析】这个物体的表面积等于底面半径为20
cm
的2 个圆的面积+三个圆柱的侧面积,即:3. 14×20
2 ×2+2×
3. 14 × 20 × 10 + 2 × 3. 14 × 10 × 10 + 2 × 3. 14 × 5 × 10
= 4710(cm
2)。
5.
4 【解析】25. 12÷1÷3. 14÷2= 4(厘米)。
6.
1884 【解析】设原圆柱体的底面半径为r,则此圆柱体的
高h = 2r,圆柱的侧面积:S侧面积= 2πrh = 4πr
2,圆柱的表面
积:S表面积=S侧面积+S底面积= 4πr
2+2πr
2 = 6πr
2,则
S表面积
S侧面积
= 6πr
2
4πr
2 =
3
2 ,又因为圆柱截去圆锥后的表面积与圆锥表面积差即圆
柱的侧面积,所以S侧面积= 1256 平方厘米,则S表面积= 3
2 ×
1256= 1884( 平方厘米),即圆柱的表面积为1884 平方
厘米。
7.
122. 8 【解析】如解图为捆成一捆的圆柱的截面图,需要
的纸张的长为1 个圆的周长再加3 个直径,需要纸张的宽
为圆柱的长,从而可以求出这个长方形的面积,也就是需
要的纸张的最少面积,即(2×3+3. 14×2) ×10 = (6+6. 28) ×
10= 12. 28×10= 122. 8(平方厘米)。
第8 题解图
类型二 圆柱、圆锥体积
8.
B 【解析】1
3 ×3. 14×(8÷2)
2×15×2= 502. 4(立方厘米)。
9.
B 【解析】圆柱A 底面半径为18. 84÷3. 14÷2 = 3(cm),体
积为3. 14×3
2×25. 12= 709. 8912(cm
3);圆柱B 底面半径为
25. 12 ÷ 3. 14 ÷ 2 = 4 ( cm), 体积为3. 14 × 4
2 × 18. 84 =
946. 5216(cm
3),709. 8912<946. 5216,即VA<VB。
10.
216 56. 52 【解析】将正方体铁块熔铸成圆柱,体积不
变,所以圆柱体积等于正方体体积。6×6×6= 216(立方分
米);在正方体中削成最大的圆锥,圆锥的底面直径和高
都等于正方体的棱长。圆锥底面半径:6÷2= 3(分米);圆
锥底面积:3. 14 × 3 × 3 = 28. 26( 平方分米),圆锥体积:
28. 26×6× 1
3 = 56. 52(立方分米)。
11.
28. 26
【解析】3. 14 × ( 12. 56 ÷ 3. 14 ÷ 2)
2 × 3 × 750 =
28260(千克),28260 千克= 28. 26 吨。
12.
502. 4 【解析】增加的表面积是长方体左、右两个长方形
的面积,所以一个长方形的面积为80÷2 = 40(cm
2),圆柱
的底面半径为40 ÷ 10 = 4 ( cm), 底面积为3. 14 × 4
2 =
50. 24(cm
2),长方体和圆柱的体积相等,即体积为50. 24
×10= 502. 4(cm
3)。
13.
29233 1
3 【解析】由三视图可得:上面是一个圆锥,底面
直径是20,高是50,下面是一个长方体,长、宽、高分别为
60、40、10。故该几何体的体积是60×40×10+ 1
3 ×3. 14×
(20÷2)
2×50= 29233 1
3 。
14.
23550 【解析】该零件的体积大约是3. 14×[(40÷2)
2 -
(20÷2)
2]×50÷2= 23550(cm
3)。
15.
24 2 【解析】一个圆柱和一个圆锥的高相等,圆柱与圆
锥的底面半径比是2 ∶1,则它们的体积比是(2
2 ×3) ∶1 =
12 ∶1,又因为它们的体积之和是26
cm
3,所以圆柱的体积
是26÷(12+1)×12= 24(cm
3),圆锥的体积是26÷(12+1)
×1= 2(cm
3)。
16.
3768 【解析】3 米= 300 厘米,截成4 段需要切3 刀,增加
2×3= 6(个)底面,圆柱底面积为75. 36÷6= 12. 56(平方厘
米),这根钢材的体积是12. 56×300= 3768(立方厘米)。
17.
0. 019
【解析】1 克煤油的体积:1÷ 0. 8 = 1. 25( 立方厘
米),油膜的厚度:1. 25÷(30÷2)
2 ÷ 3≈0. 0019( 厘米),
0. 0019 厘米= 0. 019 毫米。
18.
9. 42 【解析】等底等高的圆柱体和圆锥体,圆柱体体积
是圆锥体体积的3 倍,因此圆锥形铁块的体积:15. 7÷(1+
1+3)= 3. 14(立方分米),则圆柱形铁块的体积:3. 14×3 =
9. 42(立方分米)。
19.
25 【解析】1
cm = 10
mm,牙膏出口处的半径为5÷ 2 =
2. 5(mm),新包装出口处的半径为6÷2 = 3(mm),所以只
能用3. 14×2. 5
2×10×36÷(3. 14×3
2×10)= 25(次)。
20.
50
9 【解析】如解图,
第20 题解图
根据水盆底面所在平面与侧边的夹角为45°,可得出底面
直径为40 厘米的圆锥的高为20 厘米,底面直径为60 厘
米的圆锥的高为30 厘米,故水盆体积等于V大圆锥-V小圆锥=
1
3 π× [ (60÷2)
2 × 30 - (40÷2)
2 × 20] = 19000π
3
( 立方厘
米)。水龙头的出水口直径是20 毫米,即2 厘米,水龙头
每分钟出水(2÷2)
2π×19×60 = 1140π(立方厘米),注满
水盆需要的时间为19000
3
π÷(1140π)= 50
9 (分)。
21.
解:4÷2 = 2(厘米),4+6 = 10(厘米),π×2
2 ×10+ 1
2 ×(π×
2
2×10)= 60π(立方厘米)。
答:该新几何体的体积是60π 立方厘米。
易错警示
新几何体的体积可以看作拼成的完整的圆柱
的体积+拼成的完整的圆柱的体积的一半,注意拼成的完
整的圆柱的高是(4+6)厘米。
专题39
立体图形综合
类型一 平面图形与立体图形的转化
1.
C
2.
81 【解析】a= 1×3= 3,b= 2×3= 6,c= 3×3= 9,所以(a+b)×
c=(3+6)×9= 81。
3.
432 【解析】设长方体纸盒的长、宽、高分别为a、b、h,则V
=abh, a
2 + b
2 +2h = 18,当a
2 = b
2 = 2h = 6 即,a = b = 4h = 12
时容积最大,最大是12×12×3= 432(立方厘米)。
4.
4 【解析】如解图所示,故共有4 种不同的拼法。
第4 题解图
5.
A 32 【解析】如果E 面是长方体底面,那么A 面是长方
体上面。(36-2×2) ÷2÷2 = 8(cm),这个长方体的体积是
8×2×2= 32(cm
3)。
6.
25 【解析】如解图,将长方体的正面和右面展开后,正面
和右面合起来变成了一个大长方形,连接EC,则线段EC
的长就是最短路线。此时EB= 12+8 = 20,BC = 1
2 AB = 1
2 ×
30= 15,根据勾股定理可得,EB
2 + BC
2 = 20
2 + 15
2 = 625 =
EC
2,25
2 = 625,即EC= 25。
第6 题解图
7.
解:点P 在EF 边上,点Q 在GF 边上,线段AC 在面ABCD
上,线段AP 在面ABFE 上,线段QC 在面BCGF 上,线段
PQ 在面EFGH 上。连好线的图形如解图所示。
第7 题解图
8.
B
9.
C 【解析】由圆柱A 的侧面展开图为长方形,圆柱A 底面
周长为长方形的长4π,圆柱A 的高为长方形的宽,圆柱B
底面周长为6,设圆柱B 底面半径为r,则2πr = 6,解得r =
3
π ,底面面积为π( 3
π )
2 = 9
π ,又由圆柱B 的高为4π,圆柱
B 的体积为9
π ×4π= 36。
10.
正方 【解析】当圆柱的底面周长与它的高相等时,沿着
高将圆柱的侧面展开得到的是正方形。
11.
D
12.
C 和E 【解析】根据展开图可以看出此立体图形是一个
四棱锥,底面是正方形EFGD,图中与点A 重合的有C
和E。
13.
(1)三棱柱
(2)42 36 【解析】所有棱长的和为(3+4+5) ×2+6×3 =
42(cm),体积为3×4÷2×6= 36(cm
3)。
14.
226. 08 【解析】如解图,最大的等腰直角三角形的腰长
为6 厘米,旋转一周形成圆锥,底面圆半径为6 厘米,高
为6 厘米,则体积为1
3 ×6
2×π×6= 226. 08(立方厘米)。
第14 题解图
15.
解:以BC 为半径、AB 为高的圆锥的体积: 1
3 ×3. 14×6
2 ×
10= 376. 8(cm
3),2 个以BC 为直径,以1
2 AB 为高的圆锥
的体积:2× 1
3 ×3. 14×(6÷2)
2×(10÷2)= 94. 2(cm
3),涂色
立体图形的体积:(376. 8-94. 2)×2= 565. 2(cm
3)。
答:涂色部分扫出的立体图形的体积是565. 2 立方厘米。
16.
解:第一个图形旋转得到一个圆柱:3. 14×2
2 ×4 = 50. 24,
第二个图形旋转得到两个圆锥,体积为: 1
3 ×3. 14×3
2×3×
2= 56. 52,50. 24 ∶56. 52= 8 ∶9。
答:得到的两个旋转体的体积之比是8 ∶9。
2
1
17.
解:(1)这句话是正确的。验证如下:(3×9
2 ×6) ∶(3×6
2 ×
9) = 3 ∶2,[3×(9÷3÷2)
2×6] ∶[3×(6÷3÷2)
2×9] = 3 ∶2,所
以这句话是正确的。
(2)原来长方形的长与宽的比是9 ∶6= 3 ∶2。
答:这两个比与原来长方形纸的长与宽的比值相等。
类型二 等体积转换
18.
25. 12
【解析】圆锥的体积是1
3 × 3. 14×(8÷ 2)
2 × 12 =
200. 96(立方分米),长方体的高为200. 96÷4÷2 = 25. 12
(分米)。
19.
D 【解析】设容器底面圆的面积为S,容器中水的体积占
容器容积的
10S
10S+(20-16)S = 5
7 。
20.
解:正放和倒放时水的体积是不变的,也就是容器中空的
部分体积是一样的,从倒放图中可以求出空的部分的体
积是3. 14×(12÷2)
2×5= 565. 2(立方厘米),假设正放时,
空的部分恰好是圆锥,体积为1
3 × 3. 14×(12÷2)
2 × 11 =
414. 48(立方厘米),因为565. 2 立方厘米>414. 48 立方
厘米,所以假设不成立,也就是说正放时,圆柱有部分是
空的。设圆锥高为x 厘米,以两种情况下空的体积相等
为等量关系列方程:5×3. 14×6
2 = (11-x) ×3. 14×6
2 + 1
3 ×
3. 14×6
2×x,解得x = 9。所以这个容器的体积为3. 14×
6
2×12+ 1
3 ×3. 14×6
2×9= 1695. 6(立方厘米)。
答:这个容器的体积是1695. 6 立方厘米。
类型三 挖洞问题
21.
A 【解析】挖掉一个小正方体,露出了藏起来的左、右两
个面,所以表面积变大了,选A。
22.
120 【解析】此题图的表面积为4×4×6+1×1×6×4 = 120
(平方厘米)。
23.
116 【解析】棱长为4 厘米的正方体表面积:4× 4× 6 =
96(平方厘米),棱长为2 厘米的正方体侧面积:2×2×4 =
16(平方厘米),棱长为1 厘米的正方体侧面积:1×1×4 =
4(平方厘米),立方体的表面积:96+16+4 = 116(平方厘
米)。所以最后得到的立方体的表面积是116 平方厘米。
24.
解:(1)打孔后的表面积= 原正方体的表面积-2 个小正
方形的面积+孔中4 个长方形的面积,即4×4×6-1×1×2+
1×4×4= 110(cm
2)。
答:打孔后的橡皮泥块的表面积是110
cm
2。
(2)打孔后的表面积=图①的表面积-4 个小正方形孔的
面积+新打的孔中的八个小长方形的面积,即110-4×1×
1+8×1×[(4-1)÷2] = 118(cm
2)。
答:打孔后的橡皮泥块的表面积是118
cm
2。
25.
解:大圆柱的体积:3. 14×(12÷2)
2×10= 1130. 4(cm
3)
中间大圆柱的体积:3. 14×(4÷2)
2×10= 125. 6(cm
3)
中间每个小圆柱的体积:3. 14×(2÷2)
2×10= 31. 4(cm
3)
零件体积:1130. 4-125. 6-31. 4×8= 753. 6(cm
3)
753. 6
cm
3 = 0. 7536
dm
3≈0. 75
dm
3
答:这个零件的金属用量大约是0. 75 立方分米。
26.
解:(1)开了3×1×5 的孔,挖去3×1×5 = 15 个小立方体,
开了1×1×5 的孔,挖去1×1×5-1= 4 个小立方体,开了2×
1×5 的孔,挖去2×1×5-(2+2)= 6 个小立方体,
剩余部分的体积是:5×5×5-(15+4+6)= 100。
答:剩余部分的体积是100。
(2)表面积可以看成外部和内部两部分,外部的表面积为
5×5×6-12= 138,内部的面积可以分为前后、左右、上下三
个方向,面积分别为2×(2×5+1×5-1×2-1×3) = 20,2×
(1×5+3×5-1×3-1)= 32,2×(1×5+1×5-1×1-2)= 14,
所以剩余部分的表面积为138+20+32+14= 204。
答:剩余部分的表面积为204。
类型四 浸水问题
27.
0. 18 【解析】容器的水面上升了3. 14×0. 3
2×0. 5÷(3. 14
×0. 5
2)= 0. 18(米),1. 3+0. 18 = 1. 48(米),1. 48<1. 5,故
成立。
28.
0. 24 【解析】12000 立方厘米= 12 立方分米,放入铁块
后水面上升高度为10. 8-10 = 0. 8(分米),木桶底面积为
12÷0. 8= 15(平方分米),木桶容积为15×16 = 240(立方
分米),240 立方分米= 0. 24 立方米。
29.
5 【解析】设小石头的体积为a,第二次溢出水的体积为
2a,则中石头的体积为2a+a= 3a,第三次溢出水的体积为
3a,则大石头的体积为3a+3a-a= 5a,所以5a÷a = 5,所以
大石头的体积是小石头的5 倍。
30.
解:(1)12× 3
4 = 9(分米),9<11,330÷11= 30(平方分米),
30×9÷(30×10-30)+9= 10(分米)。
答:水面的高度变为10 分米。
(2)330×2÷(30×10)+9= 11. 2(分米)。
答:水面的高度又变成了11. 2 分米。
(3)330×3÷(30×10)+9= 12. 3(分米),12. 3>12,
此时水会溢出,所以水面高度是12 分米。
答:水面的高度又变成了12 分米。
31.
1. 6 或1 【解析】情况一:若把长方体铁块的15×10 作为
底面放入正方体容器,则水面上升的高度为15× 10× 8÷
(30×30-15×10)= 1. 6(cm),因为1. 6+8<10,所以水未浸
没长方体铁块,容器内水面升高1. 6
cm;情况二:若把长
方体铁块的10×10 作为底面放入正方体容器,则水面上
升的高度为10×10×8÷(30×30-10×10)= 1(cm),因为1+
8<15,所以水未浸没长方体铁块,容器内水面升高1
cm。
综上所述, 容器内的水面将上升的高度为1. 6
cm 或
1
cm。
32.
40 【解析】题目右图中露出的铁块的体积:12×5×2-5×4×
5. 5=10(立方厘米),铁块的总体积:10÷ 1
4 =40(立方厘米)。
33.
7 【解析】水高= 16×12×6÷(16×12-8×8)= 9(厘米),设
油层高x 厘米,油层的体积V= 16×12×6 = (12-9) ×(16×
12-8×8)+(x-3)×16×12,解得x= 7。
34.
解:原来水的体积为12×12×11= 1584(立方厘米),
插入圆棒后,如解图所示,A 部分水的体积为(12×12-24)
×12= 1440(立方厘米),
B 部分水的体积为1584-1440= 144(立方厘米),
144÷(8×8-24)= 3. 6(厘米),
12+3. 6-11= 4. 6(厘米),
故水面上升了4. 6 厘米。
答:此时水面上升了4. 6 厘米。
第34 题解图
类型五 立体图形综合题
35.
解:(1)因为a
2 = 175÷(10-3)= 25,所以a= 5。
答:图中a 的值是5。
(2)3×(8÷2)
2×(15+3)-5×5×15= 489(立方厘米)。
答:这个模具需要用489 立方厘米的陶土才能做成。
(3)3×8×(15+3)+3×(8÷2)
2×2+5×15×2×2= 828(平方厘
米)。
答:这个模具的表面积是828 平方厘米。
专题40
图形的操作与变换
类型一 图形的平移、旋转、
缩放与对称(折叠)
1.
A 2.
B 3.
B
4.
B 【解析】A、D 选项对应的图形均有1 条对称轴,B 选项
对应的图形有2 条对称轴, C 选项对应的图形没有对
称轴。
5.
3:40
6.
B
7.
8 【解析】由折叠的性及可知CE = CF = 10-6 = 4(cm),所
以△CEF 的面积是4×4÷2= 8(cm
2)。
8.
16 【解析】图②空白部分的面积∶阴影部分的面积∶原
三角形的面积=(4-3) ∶[3-(4-3)] ∶4 = 1 ∶2 ∶4,原三
角形的面积为8÷2×4= 16(平方厘米)。
9.
129 【解析】设AB=x
cm,根据折叠的性质,得图②右图中
BF=DE= 43÷ 2-x = (21. 5-x) cm,根据题意可列方程2×
(21. 5-x)+x= 40,解得x = 3,所以原纸片的面积是43×3 =
129(cm
2)。
10.
100 【解析】根据折叠可得,两个三角形面积和的一半是
20÷2= 10(平方厘米),图①的面积是10÷(1- 5
6 )= 60(平
方厘米),图②的面积是60× 5
6 = 50(平方厘米),这张梯
形纸的面积是50×2= 100(平方厘米)。
11.
180°-2α 【解析】因为在△ABC 中,AB = AC,∠BAC 的度
数为α,所以∠C=∠ABC= 180°-∠BAC
2
= 90°- 1
2 α。因为
BC= BD, 所以∠BDC = ∠C = 90° -
1
2 α, 所以∠ABD =
∠BDC-∠BAC = 90°- 3
2 α。由折叠的性质可得∠BDE =
∠BDC=90°-
1
2 α,所以∠BFE=∠ABD+∠BDF=180°-2α。
12.
C
13.
C
14.
60° 【解析】由旋转可知,∠C=∠A=120°,∠D=∠B=40°,所
以∠COD=180°-∠C-∠D=20°,∠α=80°-∠COD=60°。
15.
C
16.
4 9 ∶1 【解析】按1 ∶3 缩小后,底为2
cm,高为4
cm,缩小
后面积:2×4÷2= 4(cm
2),缩小前面积:6×12÷2= 36(cm
2),缩
小前后面积比为36 ∶4=9 ∶1。
17.
225 【解析】放大后的面积:(3×5)×(3×5)= 225(平方厘米)。
18.
解:(1)右 7; (2)旋转后的图形如解图所示,13 4;
(3)如解图所示(缩小后图形位置不唯一)。
第18 题解图
19.
解:(1)如解图所示;
(2)扫过的面积如解图所示。
第19 题解图
3
1
根据勾三股四弦五可知,斜边AC 是5 格,也就是5 厘米,
线段BC 所扫过的面积为3×5
2× 1
4 +4×3÷2-3×4
2× 1
4 -4×
3÷2= 6. 75(平方厘米)。
答:旋转过程中线段BC 所扫过的面积是6. 75 平方厘米。
20.
解:作图如解图。(答案不唯一,注意顶点必须在圆上)
第20 题解图
21.
解:(1)画出三角形A1B1C1 如解图①所示;
(2)画出两个面积不等的等腰三角形如解图②所示,(画
法不唯一);
三角形ADE 的面积:2×3÷2= 3
三角形ACE 的面积:2×3-1×2÷2-1×2÷2-1×3÷2= 2. 5
答:较小三角形ACE 的面积是2. 5。
第21 题解图
22.
解:(1)(3,1);
(2)作出线段CD 如解图;【作图提示】沿着直线MN 作对
称,对应点连接后一定垂直对称轴,而且对应点到对称轴
的距离相等。
(3)4. 5。 【解析】3×3-(1×1÷2+1×2÷2+2×2÷2+1×2÷
2)= 4. 5。
第22 题解图
23.
4 【解析】如解图所示,一共有4 种不同的补法。
第23 题解图
24.
解:若要使图形的面积等于9,就是涂9 个方格,涂法如解
图所示。(答案不唯一)
第24 题解图
25.
解:如解图所示。
第25 题解图
26.
解:(1)如解图①所示,CD 不动,平移AB 和EF,或者EF
不动,平移AB 和CD;(画法不唯一,任选1 个即可)
(2)3. 5【解析】3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2 = 9-1-1. 5-3
= 3. 5。
(3)如解图②所示,PE⊥AB,CD∥AB;
(4)如解图③所示,△ABC、△DEF 都是满足条件的三角
形。(画法不唯一,任选1 个即可)
图①
图②
图③
第26 题解图
27.
解:(1)如解图,△A1B1C1 即为所求;
(2)如解图,点P 即为所求;
(3)如解图,点Q 即为所求。
第27 题解图
28.
解:如解图所示。(答案不唯一)
第28 题解图
类型二 分割与拼接
29.
解:如解图所示。
第29 题解图
30.
(1)如解图;
(2)如解图:A、B、C、D 是长方形的四个顶点,根据数对的
意义表示:A(1,4),B(8,4),C(8,2),D(1,2)。
第30 题解图
31.
解:本题需要尽可能“不合理”利用空间,使用尽可能少的
“四连方”占据空间,使余下的空白方格不能容下任何一
个“四连方”,如解图所示,放入3 个之后,再没有空间放
任何一个“四连方”,而如果只放2 个的话,还余下25-2×
4= 17(块),必然会存在连续的空间可以放下“四连方”。
所以最少放3 个“四连方”就不能再放了。(摆放方式不
唯一,任选1 个即可)
第31 题解图
32.
解:(画法不唯一) 如解图。方法一:取各边中点顺次连
接,依据三角形中位线定理可得所画图形符合条件;
方法二:将一边四等分,把等分点与这边相对的顶点连接,根
据等底同高的三角形的面积相等可得所画图形符合条件;
方法三:将一边二等分,分成两个三角形,再把两个三角
形分别二等分即可;
方法四:将一边二等分,分成两个三角形,再把两个三角
形分别二等分(与方法三不相同)即可;
方法五:将一边二等分,分成两个三角形,再把两个三角
形分别二等分(与方法三、方法四不相同)即可;
方法六:先把一边的1
4 处与这边相对的顶点连接,再将所
连线段三等分,连接等分点与相对的顶点即可。
第32 题解图
33.
解:由图可得梯形的面积为:(2+4)×4÷2= 12(平方厘米),
a 的面积:12×
1
1+2+3=2(平方厘米),b 的面积:12×
2
1+2+3 =
4(平方厘米),c 的面积:12×
3
1+2+3 = 6(平方厘米)。
答:三个三角形的面积分别为2 平方厘米、4 平方厘米、
6 平方厘米。
画图如解图(画法不唯一)。
第33 题解图
类型三 根据新定义按要求作图
34.
解:作图如解图所示:
第34 题解图
周长约为:2×3. 14×3× 60
360×3
= 18. 84× 1
6 ×3
= 9. 42(厘米)。
答:这个莱洛三角形的周长是9. 42 厘米。
35.
解:(1)4,画出裁剪线如解图①;
第35 题解图①
(2)长方形ABCD 的一边长是20,另一边长为a 的三元理
4
1
想长方形有以下四种,如解图②。
第35 题解图②
专题41
图形运动问题
类型一 动点问题
1.
解:(1)作图如解图所示,三角形ABC1 和三角形ABC2 是直
角三角形。
(2)在三角形ABC2 中,∠A= 45°,∠ABC2 = 90°,AB= 4
cm,
所以BC2 = AB = 4
cm,三角形ABC2 的面积为1
2 × 4× 4 =
8(cm
2);在三角形ABC1 中,∠AC1B = 90°,由解图可知,三
角形ABC1 的面积为三角形ABC2 面积的一半,即三角形
ABC1 的面积为4
cm
2。
第1 题解图
答:(1)中三角形ABC 的面积为8
cm
2 或4
cm
2。
2.
解:(1)如解图①,当点A 与点E 重合时,
第2 题解图①
因为四边形ABC′D′为矩形,所以∠ABC′= 90°,
由折叠可知,∠EBP=∠C′BP,
因为∠EBP+∠C′BP=∠ABC′= 90°,所以∠EBP= 45°。
答:当∠CBP 为45°时,点E 与点A 重合。
(2)当AP= 8 时,△BEP 的面积最大,最大值为10,
如解图②:
第2 题解图②
由折叠知,∠CBP=∠C′BP,因为AD∥BC′,
所以∠EPB=∠C′BP,即∠EPB=∠EBP,所以BE=PE,
因为S△BEP = 1
2 PE·AB,而AB 的长度不变,
所以当PE 最长时,△BEP 的面积最大,
又因为PE=BE,
所以当BE 最长时,△BEP 的面积最大,
而在△ABE 中,只要当AE 最长时,BE 就最长,
所以当AE 最长时,AP 最长=AD= 8,
设PE=BE=x,则AE= 8-x,
在Rt△ABE 中,AB = 4,AB
2 +AE
2 = BE
2,所以4
2 +(8-x)
2 =
x
2,解得x= 5,所以PE= 5,
所以S△BEP = 1
2 PE·AB= 1
2 ×5×4= 10。
答:当AP= 8 时,△BEP 的面积最大,最大值为10。
3.
解:(1)4 秒到9 秒时,P 点在DC 上,△PAB 的面积是平行
四边形面积的一半,平行四边形的面积是7. 5×2= 15(平方
厘米),AD = 1×4 = 4(厘米),DC = 1×(9-4)= 5(厘米),平
行四边形的周长是(4+5)×2= 18(厘米)。
答:这个平行四边形的面积是15 平方厘米, 周长是
18 厘米。
(2)有两种情况:①如解图①,点P 在DC 上,S△PBM ∶S△ABM =
PM ∶AM= 3 ∶5,DP∥AB,根据沙漏模型,PM ∶AM = DP ∶AB =
3 ∶5,AB=DC = 5 厘米,所以DP = 3 厘米,此时点P 运动了
(4+3)÷1= 7(秒);②如解图②,点P 在BC 上,S△PBM ∶S△ABM
=PM ∶AM= 3 ∶5,BP∥AD,根据沙漏模型,PM ∶AM = BP ∶AD =
3 ∶5,AD= 4 厘米,则BP = 3×4÷5 = 2. 4(厘米),CP = 4-2. 4
= 1. 6(厘米),此时点P 运动了(9+1. 6)÷1= 10. 6(秒)。
图①
图②
第3 题解图
答:点P 的运动时间是7 秒或10. 6 秒。
4.
解:点P,Q 只能在直线AB 上相遇,则点P 旋转到直线AB
上的时间为60° ÷ 30° / s = 2 ( s) 或( 60° + 180°) ÷ 30° / s =
8(s),设点Q 运动的速度为y
cm/ s,则有2y = 20-(2×2),
解得y= 8;或8y= 20,解得y= 2. 5。
答:点Q 运动的速度为8
cm/ s 或2. 5
cm/ s。
5.
解:(1)如解图①,四边形PQCD 是平行四边形,所以PD =
QC,即24-t= 3t,解得t= 6。
答:当t 为6
s 时,四边形PQCD 是平行四边形。
(2)如解图②,过点D 作DE 垂直BC 于点E,则EC = 26-
24= 2(cm),四边形PQCD 是等腰梯形,过点P 作PF 垂直
BC 于点F,则QF= 2
cm,QC-PD = 4(cm),即3t-(24-t)=
4,解得t= 7
s。
答:当t 为7
s 时,四边形PQCD 是等腰梯形。
(3)如解图③,AB 垂直于BC,且四边形PQCD 是直角梯
形,则PQ∥AB,则点P 走过的路程= 点Q 剩下的路程。所
以AP=BQ,即t= 26-3t,解得t= 6. 5。
答:当t 为6. 5s 时,四边形PQCD 是直角梯形。
图①
图②
图③
第5 题解图
6.
解:(1)当橡皮筋刚好触及钉子时,PQ 为一条过对称中心
O 的线段,其中点P 位于BC 边上,点Q 位于AD 边上,此
时PQ 将正方形ABCD 分为两个完全一样的梯形,则PC =
AQ,即2+2-2x=x,解得x= 4
3 。
答:当橡皮筋刚好触及钉子时,x 的值为4
3 。
(2)当x= 5
3 时,BP = 2x-2 = 4
3 (cm),AQ = x = 5
3 (cm),y =
S五边形AQOPB =[(1+ 4
3 )×1÷2]+[(1+ 5
3 )×1÷2] = 5
2 (cm
2)。
答:当x= 5
3 时,y 的值为5
2 。
(3)∠POQ 为直角时,x 的值为2。
【解析】点P 运动到
点C,点Q 运动到点D,两点运动的时间相同,∠POQ 也就
是∠COD 为直角,此时点P 运动了2+2 = 4(cm),点Q 运
动了2
cm,因此x 的值为2。
7.
解:(1)32-3×2×2= 20(个)
答:当t= 3 时,M 和N 两点在数轴上相距20 个单位长度。
(2)由题可知第4 秒时,N 点到B 点,开始上行,且速度为
1 单位/ 秒,此时M 点坐标为-4,还未到0。
当M 到O 时,还需要4÷2= 2(秒),此时N 的位置为12-2×
1= 10,这时M 下行,N 继续上行,相遇前速度不会再变化,
10÷(1+3)= 2. 5(秒),t= 4+2+2. 5= 8. 5(秒)。
答:当M、N 两点相遇时,运动时间t 的值为8. 5 秒。
(3)6. 5 或10 2
3 【解析】因为“折线数轴”定点P 与O、B
两点相距的长度相等,所以点P 表示0+12
2
= 6。因为从点
O 到点B 下行用时12÷3= 4(秒),从点B 到点O 上行用时
12÷1= 12(秒),所以从点A 到点B 用时6+4 = 10(秒),从
点C 到点O 用时4+12= 16(秒),所以当6<t≤10 时,点M
表示3t-18,点N 表示16-t,所以LPM = | (3t-18)-6| = | 3t-
24| ,LPN = |16-t-6 | = | 10-t | ,根据题意得|3t-24 | + | 10-t |
= 8,解得t= 6. 5 或t= 11(舍);当t>10 时,点M 在BC 段,
点N 在OP 段,点M 表示12+2(t-10)= 2t-8,点N 表示12
-(t-4)= 16-t,所以PM+PN=MN= 8,即2t-8-(16-t)= 8,
解得t= 10 2
3 ,综上所述,t 的值为6. 5 或10 2
3 。
8.
解:(1) 由图象可知,点M 从点C 到点D 耗时:36- 20 =
16(秒),即CD= 16,此时S= 1
2 ×CD×AD = 1
2 ×16×AD = 96,
解得AD= 12,所以AD= 12,CD= 16。
答:AD、CD 的长分别为12、16。
(2)由(1)可知AD+CD= 28,由题意得,当点Q 运动到A 停
止的时间为28
5 秒,而点P 运动到D 的时间为12
2 = 6 秒,当
点P,Q 都在AD 边上,此时有以PQ 为底边,CD 为高的
△CPQ,AP= 2t,DQ= 5t-16,而16
5 ≤t<14。
分以下三种情况讨论:
情况一:点P,Q 都在AD 边上,当点P 在点Q 上方时,则
PQ=AD-AP-QD= 12-2t-5t+16= 28-7t,
S△CPQ = 1
2 ×PQ×CD= 1
2 ×(28-7t)×16 = 8,解得t = 27
7 (满足
条件);
情况二:点P,Q 都在AD 边上,当点P 在点Q 下方时,PQ=
DQ-(AD-AP)= 5t-16-(12-2t)= 7t-28,
S△CPQ = 1
2 ×PQ×CD= 1
2 ×(7t-28)×16 = 8,解得t = 29
7 (满足
条件);
情况三:当点P 在CD 边上,点Q 运动到点A 时,S△CPQ =
1
2 ×(28-2t)×12= 8,解得t= 40
3 (满足条件)。
综上所述,t= 27
7 或29
7 或40
3 。
答:当△CPQ 的面积为8 时,t 的值为27
7 或29
7 或40
3 。
类型二 动图问题
9.
3 【解析】60×6+120×6= 1
080(度),1080÷360= 3(圈)。
10.
27 【解析】直角三角形面积为1
2 ×9×12 = 54,当圆半径
等于三角形内切圆半径时,圆只能固定在内切圆位置,直
角三角形内切圆半径为9+12-15
2
= 3,3 = 3,所以无法接触
5
1
区域面积=三角形面积-内切圆面积= 54-3×3
2 = 27。
11.
解:如解图,由分析可得:第1 段是弧AA1,它的长度是(2×
π×4× 1
4 )cm;
第2 段是弧A1A2,它的长度是(2×π×5× 1
4 )cm;
第3 段是弧A2E,它的长度是(2×π×3× 1
4 )cm;
A 点走过的路程长为:2×π×4× 1
4 +2×π×5× 1
4 +2×π×3×
1
4 = 6π= 18(cm)。
第11 题解图
答:点A 走过的路程的长为18
cm。
12.
解:根据解图可以得到硬币刚好转动了三周,所以硬币回
到原来的位置后与A 点重合的点仍然是A 点,而硬币圆
心的运动轨迹是三个半径为2 厘米的半圆,故硬币圆心
运动轨迹的周长为1
2 ×2π×2×3= 6π(厘米)。
第12 题解图
答:与原A 点重合的点是A 点,硬币圆心运动轨迹的周长
是6π 厘米。
13.
解:( 1) 如解图①, 正方形6 秒钟移动的距离2 × 6 =
12(厘米),正方形与三角形EFG 重叠的一条边长为12-
10= 2(厘米),
由于三角形FEG 是等腰直角三角形,所以∠EFG= 45°,
所以,重叠的小三角形也是一个等腰直角三角形,
即它的高也是2 厘米,所以重叠部分的面积:2× 2÷ 2 =
2(平方厘米)。
答:第6 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积是2 平方
厘米。
(2)正方形的面积为8 × 8 = 64 ( 平方厘米),64 - 62 =
2(平方厘米),所以当正方形漏出部分的面积是2 平方厘
米时满足条件,因为2×2÷2 = 2,所以正方形漏出部分三
角形的边长是2 厘米。
如解图②,正方形运动过程中存在如下两种情况,
第一种情况:正方形即将完全进入三角形时,两个图形重
叠的面积是62 平方厘米,8-2= 6(厘米),
正方形一共走了:10 + 6 + 8 = 24 ( 厘米), 走了24 ÷ 2 =
12(秒);
第二种情况:正方形开始离开三角形时,两个图形重叠部
分的面积是62 平方厘米,正方形一共走了:10+(26-6)=
30(厘米),走了30÷2= 15(秒)。
答:第12 秒和第15 秒时,三角形和正方形重叠部分的面
积是62 平方厘米。
图①
图②
第13 题解图
14.
解:(1)点B 与点O 的距离为8÷(1+ 1
3 )= 8÷ 4
3 = 6(米),
S1 = 90
360×π×6×6= 9π(平方米)。
答:S1 的值为9π 平方米。
(2)如解图:
图①
图②
第14 题解图
由题意可知BP ∶PO= 2 ∶1,当点P 在点O 左侧时,如解
图①,
因为BO= 6 米,所以BP = 4 米,A、B 两点间的距离为8-
6= 2(米),
点P 运动了AP= 2+4= 6(米),运动时长为6÷2= 3(秒);
当点P 运动到点O 右侧时,如解图②,BP ∶PO= 2 ∶1,
即BO=PO= 6 米,点P 运动了AP= 2+6+6= 14(米),运动
时长为14÷2= 7(秒)。
答:当点P 运动3 秒或7 秒时,点P 到点B 的距离与点P
到点O 的距离的比为2 ∶1。
(3)当点P 运动3 秒时,S2 = 4×6÷2= 12(平方米),不重合
部分的面积为S1-S2 =(9π-12)平方米;
当点P 运动7 秒时,因为S△COP =S△COB = 6×6÷2 = 18(平方
米),
所以不重合部分的面积为S1 -S△COB +S△COP = 9π-18+18 =
9π(平方米)。
答:S1 与S2 不重合部分的面积是( 9π - 12) 平方米或
9π 平方米。
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