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培优专题 07 函数新定义应用问题
参考答案
题型01 函数性质的新定义
1．
【答案】(1)是，理由见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据陪伴函数定义计算得 ，则 ，则确定 的最小值；
（2）通过放缩得 ，再记 ，则
，
则得到 ，即证明原命题.
【详解】（1）假设 是 的“ —陪伴函数”，
则 ，
即 ，
则 ．
因为 且 ，所以 ，则 ，
因此 ，因此 是 的“ －陪伴函数”，且 的最小值是 ．（2）已知 ，
，
.
记 ，则 ．
记 ，取 ，因为 ，故M为正实数，则 ，
即 成立，
因此 是 的“M—陪伴函数”，
即在同一给定闭区间 上的函数 是函数 的“M—陪伴函数”．
2．
【答案】(1)是，证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“余弦周期函数”的定义，直接判断即可；
（2）根据二倍角公式对函数解析式进行化简，再根据二次函数性质，求出函数取 时方程的解，进而根
据余弦周期性判断有 个解时的情况，进而实数 的取值范围；
（3）对 的值进行讨论，再通过设置不同的参数 证明等式成立，进而说明 是周期函数.
【详解】（1）是，证明如下： ，
所以函数 是否为“余弦周期函数”；（2） ，
所以当且仅当 时， ，
所以在区间 上 有2026个不同的解，
因为 ，
所以函数 的一个周期为 ，在1个周期 内， 有2个不同的解，
所以区间 上 有2026个不同的解问题可等价转化为在区间 上方程 有2个不
同的解，
所以 ；
（3）证明：若 ，由 得 为周期函数．
若 ，那么对任意 ，存在正整数 ，使得 且 ．
由 得 ，由函数 是以 为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，
得 ，
因此 ．
由于 在 上严格递减，因此 ，即 ，
因此 恒成立，故函数 是周期函数．
若 ，那么同理可证（取 为负整数即可）．
综上， 是周期函数，得证．
3．
【答案】(1) 是 与 在区间 上的“分割函数”； 不是与 在区间 上的“分割函数”
(2)
(3)
【分析】（1）通过作差法来判断符号，从而确定是不是恒成立问题即可；
（2）利用导数得到 在 处的切线，再结合 在 处与该切线相切的条件列方程，最后
根据不等式恒成立确定参数范围即可求得；
（3）通过联立直线与 的方程求出交点横坐标的距离表达式，再结合之前得到的 的表达式转
化为关于 的函数，最后通过求导判断函数单调性，得出 的最大值.
【详解】（1）因为 恒成立，且 恒成立，
所以当 时， 恒成立，
故 是 与 在区间 上的“分割函数”；
又因为 ，当 与1时，其值分别为1和 ，
所以 与 在 上都不恒成立，
故 不是 与 在区间 上的“分割函数”.
（2）设 是 与 在区间 上的“分割函数”，则
对一切实数 恒成立，
因为 ，当 时，它的值为4，
可知 的图象在 处的切线为直线 ，
它也是 的图象在 处的切线，如图：所以 ，可得 ，
所以 对一切实数 恒成立，
可得 且 ，即 ，
又因为 时， 与 为相同函数，不合题意，
故所求的函数为 .
（3）关于函数 ，令 ，可得 ，
当 与 时， ，
当 与 时， ，
可知 是函数 的极小值点，0是极大值点，
该函数与 的图象如图所示：若函数 是 与 在区间 上的“分割函数”，
故存在 使得 且直线 与 的图象相切，
并且切点横坐标 ，
此时切线方程为 ，即 ，
设直线 与 的图象交于点 ，
则由 ，可得 ，
所以
令 ， ，（当且仅当 时， ），
所以 严格减，故 的最大值为 ，
可知 的最大值为 ，所以 的最大值为 .
4．
【答案】(1) 是， 不是
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“P－可见”定义分别验证即可；
（2）求出 方程，转化为方程 在 有且仅有1解，讨论即可；
（3）任取 得到 在 有且仅有1个零点 ，讨论 的正负，
得出 时 的正负，结合函数单调性的定义即可证明.【详解】（1） ，
由 解得 ，
故A是“P－可见”的.
，
由 解得 或 ，
故B不是“P－可见”的.
（2） , ，
则 在 有且仅有1解，
整理得 ， 为此方程的解，
则 在 无解，
设 ，
对称轴 ，
当 时， 在 单调递增，
由于 ， ，则此时不符合题意，
当 时， 在 单调递减，
由于 ， ，则此时不符合题意，
当 时，
由于 ，则需 ，解得 ，
综上 .
（3）任取 ， ，则 ，
设 ， ，
则 ，
由于函数 的图像是一条连续不断的曲线，则函数 的图像是一条连续不断的曲线.
必要性：若函数 的图像上任意一点都是‘ 可见’的，
则 在 有且仅有1个零点 ，
则 时， 恒正或恒负，
若 恒正，即任取 ， ，
则 ，
则 ，
则函数 在 上严格增，
同理若 恒负，可得函数 在 上严格减.
充分性：
若函数 在 上严格增，
则任取 ，有 ，
则 ，
即 ，
则 在 有且仅有1个零点 ，
则函数 的图像上任意一点都是‘ 可见’的，若函数 在 上严格减同理.
5．
【答案】(1)没有，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可；
（2）根据一次函数的单调性，结合“性质 ”的特性进行求解即可；
（3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质 ”的特性进行运算证明即可.
【详解】（1）函数 不具有“性质 ”，理由如下：
例如当 时，显然 成立，
，根据指数函数的单调性可知 ，
所以有 ，这与“性质 ”矛盾，故函数 不具有“性质 ”；
（2）因为函数 具有“性质 ”，所以取 ，有 ，
于是有 ，
当 时，由 ，
当 时，由 ，
若 ，若 ，则有 ，
取 ，
此时 ，但是 ，不符合“性质 ”，所以 不符合题意，
故 ，此时 ，
若 时，则 ，由 ，
若 时，则 ，
由 ，
因此 ，
综上所述：当且仅当 时，满足条件；
（3）充分性：若 具有“性质 ”，则 是偶函数.
若存在 ， ，不妨设 ，
记 ，即 ，
因为函数 的值域为 ，
所以 ，
若 ，则有 ，
若 ，则有 ，
故对任意 ， ，这与 的值域为 矛盾，
所以 不成立，则有 ，因此函数 是偶函数；
必要性：若 是偶函数，则 具有“性质 ”.
当 时，因为 在 上是严格增函数，
所以 ，
又因为函数 是偶函数，
所以由 ，因此 具有“性质 ”.所以 是偶函数的充要条件是： 具有“性质 ”.
题型02 函数与集合的新定义
1．
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解；
（2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性；
（3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解.
【详解】（1）由定义得， .
（2）证明：
必要性：因为函数 是偶函数，所以对任意 ， ，
对任意 ，若 ，即 ，则 ，
所以 ，所以对任意 ， 是对称集.
充分性：若对任意 ， 是对称集，
因为对任意 ， ，所以 ，即 ①，
又 ，所以 ，即 ②.
由①②得，对任意 ， ，
所以函数 是偶函数.
综上，“函数 是偶函数”的充要条件是“对任意 ， 是对称集”，得证.（3）因为对于任意 ，都有 ，
所以若 ，则 ，即若 ，则 ，
所以 ，所以 在 上单调不减，
所以对任意 ， 恒成立.
当 时，显然成立， ；
当 时， 恒成立，令 ， ，
所以 在 单调递减， 单调递增，所以 ；
当 时， 恒成立，此时
因为 在 上单调递减，当 时， ，
时， ，
所以 ；
综上， .
【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立.
2．
【答案】(1)不是；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）直接代入计算 和 即可；
（2）法一：转化为在实数 使得 ，分析得 ，再计算得 ，最后根据 的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线 与该函数有两个交点，将 用
表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出 时解析式，再分析出 ，最后对 的范围
进行分类讨论即可.
【详解】（1）（1） ， ，则 不是 中的元素.
（2）法一：因为 ，则存在实数 使得 ，且 ，
当 时， ，其在 上严格单调递增，
当 时， ，其在 上也严格单调递增，
则 ，则 ，
令 ，解得 ，则 ，
则 .
法二：作出该函数图象，则由题意知直线 与该函数有两个交点，
由图知 ，假设交点分别为 ， ，
联立方程组 得
（3）（3）对任意 ，因为其是偶函数，则 ，而 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以当 时， ， ，则 ，
，则 ，
而 ， ，
则 ，则 ，
所以当 时， ，而 为偶函数，画出函数图象如下：
其中 ，但其对应的 值均未知.
首先说明 ，
若 ，则 ，易知此时 ，
则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时，即使让 ，此时最多7个零点，当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当 时，若 ，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当 时，若 ，此时有3个零点，
若 ，则 ，易知此时 ，
则 ，所以 ，而 时， ，
所以 ，与 矛盾，所以 ，
则最多在 之间取得6个零点，
以及在 处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
3．
【答案】(1)是，(2)当 时， ，当 时；
(3)证明见解析
【分析】（1）先计算二次函数在闭区间上的最值，再根据题中所给的定义判断计算可得；
（2）先由函数最值之差为1可得 ，再通过不等式两边夹逼求得函数解析式；
（3）必要性：分单调递增和单调递减结合函数的最值分别证明可得；充分性：采用反证法，如果函数不
单调，则函数在局部的上最值差大于整体上函数最值差，出现矛盾，得证充分性.
【详解】（1）对任意 ，所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，故函数 属于集合 ．
由 ， ，由二次函数的性质可知 ， ．
故 .
（2）由 可知，存在 满足 ．
又 ，故必有 ．
因此必有 ，且 ，所以 ，
又 ， ，所以 或
当 时，由题意，对任意 ， ， ，即 .
又因为 ，即 ，故 ．
故 .
当 时，由题意，对任意 ， ， ，即 ，
又因为 ， ，即 ，故
．
综上，当 时， ；当 时； .（3）先证必要性：若 是定义在 上的增函数，
设任意正实数 、 满足 ，
则 ， ， ．
因此 ，得证．
若 是定义在 上的减函数，
设任意正实数 、 满足 ，
则 ， ， ．
因此 ，得证．
综上，必要性得证.
再证充分性：（反证法）假设函数 在 上不单调，
则必存在 ，使得 或 ．
不妨设 ，且 是函数 在区间 上的最大值．
设函数 在区间 上的最小值为 ，在区间 上的最小值为
由题， ， ，
故 ，又 ，
故
即 ，
即 ，即 ，
，矛盾．
因此假设不成立. 是 上的单调函数．因此， 是单调函数的充要条件是：对任意正实数 ，
恒成立
4．
【答案】(1)
(2) ；
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）将 和 代入定义，计算出 与 的表达式，代入不等
式化简后解出 的范围；
（2）等价转化为 ，再根据二次函数性质得到最值，从而得到不等式，解出即可；
（3）根据反证法和连续函数的保号性即可得到证明.
【详解】（1）已知函数 ， ，
首先计算：
代入不等式：
因为 ，两边同除以 得：
利用平方差公式：
所以：
又 ，故： .
因此， .（2）
即 ，设 ，
对称轴 ，
故 有最大值 ，故 ，即 .
（3）假设存在连续函数 ，使得 ，
，
由于 连续，则 也连续，
即 ，
否则，由保号性可知与 矛盾.
同理，由 ，
可知 ，即 .
当 时，可得 ， .
，
因为 ，由连续函数保号性，
可得 且 ，
同理 ，
因为 ，由连续函数保号性，
可得 且 ，
即 ，
，
即 ，
使得 ，
此时有 ，这与 矛盾.
当 时，同理可得矛盾.
综上，故不存在连续函数 使之成立.
5．
【答案】(1)0 ，正确； 不正确；
(2)证明见解析
(3) ．【分析】（1）由题意可知，当 时， ，根据“ 点”的定义即可判断；
（2）分别从充分性和必要性讨论 ， 的情况即可得证；
（3）分类讨论 ， 下的 不存在“ 点”，得出 ，再分类讨论， ， ， 下
的 的“ 点”的情况，得出 ，求出 ，从而求出 ，即可求出
，从而求出 的取值范围．
【详解】（1）由题意可知，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，所以 ，正确；
由 ，故 ，即1 不正确；
（2）充分性：因为 ，
故当 时， ，当 时， ，所以 ；
必要性：当 时，
由 得 ；
由 得 ；
所以 时， 恒成立；
综上，命题得证；
（3）当 时， ， ； ， ，此时 不存在 点；
当 时， ， ； ， ，
此时 不存在“ 点”；所以 ；
所以， ，
①当 时， ，不存在“ 点”；
②当 时， ，不存在“ 点”；
③当 时， ， ，
此时 ，
故 ，
ⅰ．当 时， ，此时 在R上单调递增，故 与 矛盾；
ⅱ．当 时，由 0得 ，
由 得
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
此时
所以 或 ，解得 ；ⅲ．当 时，由 0得 ，
由 ，得 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
此时 ，
所以 或 ，解得 ，
所以 ；
综上， 的取值范围 ．
题型03 函数与数列的新定义
1．
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）首先求 的导数，再根据等比数列的定义，即可证明；
（2）首先求 和集合 ，再利用导数讨论函数 的单调性，由
，讨论 得到取值范围；
（3）首先证明必要性，若函数 为偶函数，根据偶函数的性质，证明 ，再证明充分性，
若对于任意正实数 ，均有 ，分 和 两种情况证明 .【详解】（1） ，因为 ，
所以 是以 为公比的等比数列；
（2） ，所以
且
令
则 得： 在 严格增，在 严格减
①当 时， ，所以 与 矛盾；
②当 时， ，所以 ]
令
则 ，所以 在 上严格减，所以 ，
而当 时， ,从而 矛盾，综上，不存在正数 ，使得 .
（3）必要性：若 为偶函数，则
，
当 ，因为 ，故 ；
同理可证 ，故 .
充分性：若对于任意正实数 ，均有 ，其中
，因为 有最小值，不妨设 ，
由于 任意，令 ，则 ，
故 最小元素为 中最小元素为 ，
又 ，则 对任意 成立，
则 ，
若 ，则 对任意 成立 是偶函数，
若 ，此后取 ，
最小元素是 ，且 最小元素是 ，
则
综上，任意 ，即 是偶函数.
故“ 是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数 ，均有 ”.
2．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)对于 ，当 ， ；当 ， ；当 ，
【分析】（1）根据导数的几何意义建立切线方程，直接代入 即可.
（2）根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简即可证明.
（3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，通过求导分析函数单调性，最后确定零点，可
判断大小.
【详解】（1）已知 ， ，当 ， ，设切线斜率为 ，
则 ，直线 为 ，
令 ， .
（2）设 ， ， ， ，所以 ，
，
则直线 为 .
令 ，则 .
，
因为 ，且 ，
所以 ，
所以数列 是严格递减数列.
（3）当 时， ， ，令 ，
则 ，
令 .
所以 .
构造函数，令 ， ，
求导 ，
构造函数 ， ，所以 单调递增，且 ，
所以 ，所以函数 在 上单调递增，当 ， ，
根据零点存在定理，存在唯一的 使得 ，
所以结合数列 的单调递减性，
当 ， ，此时 ；
当 ， ，此时 ；
当 ， ，此时 .
3．
【答案】(1)函数 为“ 函数”，函数 不是“ 函数”
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“ 函数”的定义判断即可；
（2）要证 ，即证 ，构造函数
，其中 ，利用“ 函数”的定义结合导数分析函数 在 上的单调性，
即可得出结论；
（3）利用反证法，假设 不是减函数，分两种情况讨论， 为增函数、 不单调，结合“ 函
数”的定义分析函数 的单调性，分析函数 的函数值变化，对不等式 的解集进行分析，
推出矛盾，即可证得结论成立.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，其导函数 在 上为减函数，
函数 的定义域为 ，其导函数 在 上为增函数，
故函数 为“ 函数”，函数 不是“ 函数”.（2）因为数列 是公差为 的等差数列，
所以 ， ， ，
要证 ，即证 ，
设函数 ，其中 ，则 ，
因为函数 为“ 函数”，则函数 在 上为减函数，且 ，
所以 ，故 对任意的 恒成立，
故函数 在 上为减函数，
又因为对任意的 ， ，所以 ，
即 ，故 .
（3）假设 不是严格减，
的解集为 ，
不可能严格增，否则解集中必包含正无穷大，
只能有增有减，
使得 ，
严格减，
当 时， 严格增，
∴
当 时， 严格减，
取 ，求 处切线方程，
,即 ，
令 ,得 ，构造函数 ，
严格减，
当 时， 严格增，
当 时， 严格减，
，即 ，即 （当 时，取等），
而 ，结合 ，得 严格增，
当 时, ，
∴
与 的解集为 矛盾，
假设不成立，即 严格减.
∴4．
【答案】(1) 不是“整数等差函数”， 是“整数等差函数”
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）设公差为 ，根据所给定义及导数的几何意义得到 ，即可判断；
（2）设公差为 ，则 且 ，由 得到 从而确定 的最小值；
（3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为 ，结合所给定义得到
，令 ，结合 推
出 为常值函数.
【详解】（1）假设 成等差数列，得 ，
设公差为 ，则 ，对于 ：直线 的斜率 ，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意， 恒成立，
取 ， ，则 成等差数列且均为整数，故 是“整数等差函数”．
对于 ，直线 的斜率 ，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意 ，
若 ，则 ，
令 ， ，则 恒成立，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 在 上恒成立，
即 恒成立，所以 无解，
故 不是“整数等差函数”．
（2）因为 为“整数等差函数”，所以 成等差数列且 均为整数，
设公差为 ，则 ，且 ，
直线 的斜率 ，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，由题意， ，
又 的定义域为 ，有 ，
当 时, ,此时 ,无最小值；
当 时,因为 ， ，
所以
，
则 ，可取 使等号成立，故 的最小值为 ;
综上，实数 无最小值；
（3）充分性，因为 为常值函数，所以 ，
任意取等差数列 ，则直线 的斜率 ，
曲线 在点 处的切线斜率为 ，
因为 ，所以 为“等差函数”．
必要性，因为 为“等差函数”，所以 成等差数列，
设公差为 ，则 ，
直线 的斜率 ，
曲线 在点 处的切线斜率为 ，由题意， ,
，
令 ，
则
，
令 ，
则 ，
因为 在 上为增函数，所以 ， 在 上为增函数，
因为 ，所以 ， 在 上为增函数，
因为 ，所以 在 上恒成立，
又 ，由 的单调性知 ，
故 ， ，
， 为常数，
，
，
，
接下来，一方面，因为 ，且 在 上为增函数，
所以 在 上为增函数，故 ， ，由 ，可得 ，
另一方面，因为 ，
所以 ，可得 ，
以此类推， 在 上恒成立，即 为常值函数．
命题得证！
题型04 函数与导数的新定义
1．
【答案】(1) ；
(2)2；
(3)充要条件，理由见解析
【分析】（1）根据“零二值”的定义求出所有“零二值”的取值，再由子集定义即可求解；
（2）分 和 两种情况求解方程 即可得解；
（3）分别求证充分性和必要性即可得解.
【详解】（1）由题 ，
令 即 ，解得 或 ，
所以 与自身所有“零二值”的取值共有3个，构成的集合为 ，
所以 与自身所有“零二值”的取值集合的子集为
.
（2）由题 和 ，令 ，则当 时， ，即 ，解得 （舍去）或
；
当 时， 即 即，解得 （舍去）或 .
所以 和 的“一一值”的个数为2个.
（3）对于定义域为 的函数 ，大于1的正数a满足：“任意x均为 和 的‘一
一值’和‘零二值’”是命题“ ”的充要条件，
理由如下：任意x均为 和 的‘一一值’和‘零二值’，
则任意x均满足 且 ，又 ，
则 （c为常数），
所以 ，所以 ，充分性成立；
当 时，对任意x均有 且 ，
所以任意x均为 和 的‘一一值’和‘零二值’必要性成立.
所以对于定义域为 的函数 和 ，大于1的正数a满足：“任意x均为 和 的‘一
一值’和‘零二值’”是命题“ ”的充要条件.
2．
【答案】(1)函数 与 是“局部相等”，理由见解析(2) ；
(3)
【分析】（1）求出两函数的导函数，根据题意列方程解出值，即可得出答案；
（2）求出两函数的导函数，根据题意列方程解出值，即可得出答案；
（3）求出两函数的导函数，根据题意列方程，消去n可得关于 的不等式 有解，设
，求导研究单调性，画出图象，即得答案.
【详解】（1） ，
根据题意可令 ，解得 ，
所以函数 与 是“局部相等”；
（2） ，
若函数 与 “局部相等”，
则 ，解得 ， ；
（3）
根据题意可得关于m的不等式： 有解，
消去n可得关于 的不等式 有解，设 ，所以 ，
所以 的符号为：
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，且 时， ； 时， ，
所以
所以
3．
【答案】(1)函数 具有性质，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，将问题转化为函数 的零点问题，进而结合单调性
与零点存在性定理求解即可；
（2）根据 函数定义，将问题转化为存在实数 ，使得 有三个实数根问题，再构造函数
求解即可.
（3）由题将问题转化为 存在实数根的充要条件为 充分性的证明方面，先验证
当 时，函数 具有性质 ，再讨论当 且 时，结合函数隐零点得存在 满足，即 成立；再证必要性：先说明 不成立，再研究 的性质得函数 在
严格减函数， 严格增函数，进而得 得矛盾即可证明.
【详解】（1）解：由 得，
设 ，
当 时， ，
又
则存在 ，使得 ，即
故函数 具有性质
（2）解：由 得， ，
因为函数 具有性质 ，
所以存在实数 ，使得 ，
即 ，即 ，
即存在实数 ，使得 有三个实数根
设 ，则 ，
令 ，解得 或 ，列表如下：
0
0 + 0
↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘因为函数 具有性质 时， 的值恰有三个，
所以满足条件的 的取值范围是 ．
（3）证明：由 得， ，
由 得， ，
设 ，
先证充分性：当 时， ，
考虑函数 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上严格单调递减，在 上严格单调递增，在 时有极小值 ，
所以，当 时， ，函数 具有性质 ，
当 且 时， ，
且当 时， ，则 ，
则存在 满足 ，即 成立，
所以函数 具有性质
再证必要性：即证函数 具有性质 ，则
由 得 ，
若 ，则 ，与已知矛盾；
若 ，设 ，则 ，即函数 是严格减函数，所以函数 是严格增函数，
又 ， ，
则存在 使得 ，即 ，
当 时， ，即函数 严格减函数，
当 时， ，即函数 严格增函数，
所以 ，
需证 ，
令 ，则 ， 在 单调递增，
所以 ，
所以 ，
则不存在 ，使得 成立，与 具有性质 矛盾；
综上，函数 具有性质 的充要条件为 .
4．
【答案】(1)
(2)
(3) .
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；
（2）求出函数的导函数，依题意 在 上恒成立，分 ，
， ， 三种情况讨论，求出参数的取值范围，即可得解；
（3）首先说明 时函数 ， 都不具有性质 ，当 时说明 对任意的 且都成立，两边取对数得 恒成立，即可求出参数的值.
【详解】（1）因为 ，则 ，所以 ，
所以曲线 在点 处切线的方程为 ，即 ；
（2）因为 ，所以 ，
因为函数 ， 满足“性质 ”，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
当 时 ，此时 ，不符合题意；
当 时 ，
函数 开口向上，当 时 ，
则 ，不符合题意；
当 时 ，此时由 ，解得 ，
所以当 时 恒成立，即 符合题意；
当 时 ，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
若 在 上恒成立，
令 ，则 ，解得 ，所以当 时 恒成立，
综上所述， 的取值范围为 .
（3）①当 时， 在 上是增函数.
由于 ， 满足性质 ，
即 ，与 在 上是增函数矛盾，
故 时函数 ， 都不具有性质 .
②当 时，若函数 ， 具有性质 ，则不等式
即 对任意 恒成立，整理得 .
当 时， ，不满足 ；
说明 对任意的 且 都成立，
两边取对数得 恒成立.
令 ，则 ，说明 是 的极大值点.
而 ，所以 解得 .
当 时， ，
当 时 ，则 在 上严格增，
当 时 ，则 在 上严格减，
所以 恒成立.
所以 的取值集合为 .
5．【答案】(1)不是
(2)
(3) 或
【分析】（1）结合定义，找出使得 的 即可得；
（2）结合定义计算可得 ，构造函数计算即可得；
（3）结合定义，构造函数 ，可得其单调性，则可得 ，再构造函数
，结合导数分类讨论其单调性，结合零点存在性定理得其零点个数即可得解.
【详解】（1） ，
则 ，
则当 时，有 ，
故 不是“卓越函数”；
（2） ，
则 ，
故 在 上恒成立，
即有 在 上恒成立，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，故 ；
（3）由 为“卓越函数”，则 定义域为 ，
且对任意 ，有 ，
则 ，有则 ，
设函数 ，则 ，
，
故 在 上单调递增，故 ，
即存在唯一正实数 ，使得 ，
令 ， ， ，
当 时， ，故 在 上单调递增，
又 时， ， 时， ，
故存在唯一正实数 ，使得 ，符合题意；
当 时，当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，又 时， ， 时， ，
故当 时， 有唯一正实数解，
由关于 的函数 在 上单调递增，
且当 时，有 ，
故当 时， 有唯一正实数解；
综上所述：实数 的取值范围为 或 .
