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专题2.1 函数定义域
【考点1：具体函数的定义域】...............................................................................................................................2
【考点2：抽象函数的定义域】...............................................................................................................................4
【考点3：复合函数的定义域】...............................................................................................................................5
【考点4：已知函数的定义域求参数】...................................................................................................................8
【考点5：实际问题中的定义域】.........................................................................................................................11
【考点1：具体函数的定义域】
1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）下列函数中，定义域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分母不为0 即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0 即可判断B；根据对数函数真数大
于0 即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D.
【详解】对A，
，由
可知其定义域为
，故A 错误；
对B，
，由
知其定义域为
，故B 错误；
对C，
，由
，解得
，则其定义域为
，故C 错误；
对D，
，显然其定义域为
，故D 正确.
2．（2026 高二下·浙江温州·学业考试）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
的定义域满足
，解得
或
，
则定义域为
．
3．（26-27 高一·全国·初升高衔接）函数
中自变量
的取值范围是__________．
【答案】
且
【详解】由题意得
且
，解得
且
．
4．（25-26 高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数
，则
的定义域为
__________. 用区间表示
【答案】
【详解】要使函数
有意义，
需使
，解得
，
故
的定义域为
.
5．（26-27 高一·全国·暑假作业）求函数
的定义域．
【答案】
【详解】要使函数
有意义，需使
，解得
，
则函数
的定义域是
．
6．（26-27 高一·全国·暑假作业）求下列函数的定义域：
(1)
(2)
；
(3)
(4)
；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式有意义求解即可.
（2）根据分式有意义求解即可.
（3）根据分式及二次根式有意义求解即可.
（4）根据分式及零指数幂有意义求解即可.
【详解】（1）要使函数式有意义，则
，解得
，
所以原函数的定义域为
．
（2）要使函数式有意义，则
，解得
，
所以原函数的定义域为
．
（3）要使函数有意义，则
，解得
且
，
所以函数的定义域为
．
（4）要使函数有意义，则
，解得
且
，
所以函数的定义域是
.
【考点2：抽象函数的定义域】
1．（25-26 高一下·云南昆明·期中）若函数
定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可.
【详解】由题意可得
，解得
，
所以函数的定义域为
.
2．（25-26 高一上·甘肃兰州·期中）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义
域是（ ）
A．
B．
C．[1，3]
D．(1，3]
【答案】B
【详解】因为函数
的定义域为
，所以函数
的定义域为
，
所以
的定义域需满足：
，解得
.
3．（25-26 高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知
定义域为
，则
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可.
【详解】设
，则
可化为
.
因为
定义域为
，即
，则
中的
，
即
，解得
.
所以
的定义域为
.
4．（25-26 高一上·江西吉安·阶段检测）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义
域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解 .
【详解】函数
的定义域为
，则
，所以函数
的定义域为
；
若函数
有意义，则
，解得
．
则函数
的定义域为
.
5．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域是
，则
的定义域为______．
【答案】
【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可.
【详解】由题意得
，则
，即
的定义域为
.
6．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是
__________．
【答案】
【详解】要使函数有意义，则
，解得
，取交集得
．
【考点3：复合函数的定义域】
1．（2026·湖南·一模）设甲：函数
有意义，乙：函数
有意义，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】对于甲，由
得
，对于乙，由
得
，可知甲是乙的充分不必要条件．
2．（2026 高一上·四川眉山·专题练习）函数
的定义域为[1,2]，则函数
的定义域为
（ ）
A．[0,1]
B．[1,2]
C．[2,4]
D．[4,16]
【答案】D
【分析】根据复合函数的性质，即可求解.
【详解】由于
的定义域为[1,2]，故
，则
，
令
，则
，故
，故
，
故
的定义域为
,
故选：D
3．（25-26 高三下·江西宜春·开学考试）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可.
【详解】由函数
的定义域为
，
所以函数
要有意义则：
，解得：
，
所以函数
的定义域为：
.
4．（25-26 高一上·山东枣庄·期中）若函数
的定义域为
，则
的定义域
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出
的定义域为
，再由
求解即可．
【详解】因为函数
的定义域为
，
所以
，所以
的定义域为
，
则函数
有意义，
有
，得
，得
，
则函数
的定义域为：
，
故选：D
5．（25-26 高一上·山东济宁·阶段检测）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
__________.
【答案】
【分析】由
的范围求出
的范围，从而得到函数
的定义域，由
的定义域得到
的范围，
解出
中的
的范围，从而得到函数
的定义域.
【详解】由
，得
，则函数
的定义域为
，
由
，得
，则函数
的定义域为
.
故答案为：
.
6．（25-26 高一下·全国·课堂例题）求下列函数的定义域：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦函数结合根式的性质，结合正弦型函数图象求解；
（2）利用正弦函数结合根式的性质求出各自定义域，再利用数轴法求交集．
【详解】（1）由
，得
，把
当作整体t，作
的图象如下：
在
内，满足
，得
，
．
∴在
上
满足
，
，
即
，
，
∴定义域为
．
（2）根据函数表达式可得
，
在数轴上表示如下：
由图示可得，函数定义域为
．
【考点4：已知函数的定义域求参数】
1．（25-26 高二下·重庆江津·期中）函数
的定义域为R 的充要条件是（ ）
A．
B．
且
C．
D．
【答案】D
【分析】讨论t的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解.
【详解】由题意得
恒成立，
，
当
时，由二次函数的性质可得t >0且
，解得
，
当
时，一次函数
不恒成立，
综上，
.
2．（25-26 高一上·甘肃天水·阶段检测）（多选）若函数
的定义域为
，则（ ）
A．
B．
C．函数
的定义域为
D．函数
的定义域为
【答案】ACD
【分析】利用函数
的定义域可求出b的值和
的取值范围，即可判断A，B 选项；由
可得
的定义域，判断C 选项；由
可得
的定义域，判断D 选项.
【详解】要使
有意义，则有
，因为
的定义域为
，
可得
，
，故A 正确，B 错误；
由
，得
，所以
的定义域为
，故C 正确；
由
，得
，所以
的定义域为
，故D 正确.
故选：ACD.
3．（25-26 高一上·辽宁·期末）已知函数
的定义域为
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
的定义域可知不等式
在
上恒成立，令判别式小于
解出
的范围即
可.
【详解】因为函数
的定义域为
，
所以不等式
在
上恒成立，
所以
，解得
，
故选：A
4．（25-26 高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数
的定义域为R，则
m=______________．
【答案】1
【分析】根据幂函数的定义，可得m 值，代入检验，结合定义域，即可得答案.
【详解】因为
为幂函数，所以
，解得
或
，
当
时，
，定义域为R，符合题意；
当
时，
，定义域为
，不符合题意.
故
5．（25-26 高一上·浙江杭州·期中）若函数
的定义域为
，则实数m 的取值范围
为______．
【答案】
【分析】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照
和m≠0分类讨论求解即可.
【详解】要使
有意义，则有
，
因为函数
的定义域为
，故
在
上恒成立，
当
时，
，恒成立；
当m≠0时，则有
，解得
；
综上，实数
的取值范围为
.
6．（25-26 高一上·江苏徐州·期末）已知
.
(1)若
定义域为
，求实数
的取值范围；
(2)若
定义域为
，求实数
的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若
定义域为
，由
恒成立求解；
（2）若
定义域为
，则-6，2 是一元二次方程
的两根，由韦达定理求解；
【详解】（1）若
定义域为
，则
恒成立，
则
，或
，
解得：
；
（2）若
定义域为
，
则-6，2 是一元二次方程
的两根，
由韦达定理得
，解得：
；
【考点5：实际问题中的定义域】
1．（25-26 高一上·安徽六安·期中）为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会
要求，设计一个长为y米，宽为
米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为
米，宽为1 米的矩形的面积.
(1)求y关于
的函数；
(2)若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？
【答案】(1)
(2)小王设计的广告牌是长为10 米，宽为5
2米的矩形，满足村委会要求
【分析】（1）根据题意得到
，再结合
求得
的范围即可；
（2）根据基本不等式求
的最小值即可得答案.
【详解】（1）解：由题意可知，
，
所以
，所以
，
又
，
，所以x>1，
因为
，所以
，即
，解得
，
所以
.
（2）解：法一：由
，得
，
解得
（或
，舍去），
所以
，当且仅当
，
时，取得等号.
故小王设计的广告牌是长为10 米，宽为5
2米的矩形，满足村委会要求.
法二：
，
当且仅当
，即
时等号成立，此时
，
故小王设计的广告牌是长为10 米，宽为5
2米的矩形，满足村委会要求.
2．（25-26 高一上·湖南·阶段检测）如图，互相垂直的两条小路AM，AN 旁有一长方形花坛ABCD，其中
m，
m．现欲经过点C 修一条直路l，l 交小路AM，AN 分别为点P，Q．计划准备将长方
形花坛ABCD 扩建成一个更大的三角形花坛APQ，要求AP 的长不小于50m 且不大于100m．记三角形花
坛APQ 的面积为
．
(1)设
m，试用x 表示AP，并求x 的取值范围；
(2)当DQ 的长度是多少时，S 取最小值？最小值是多少？
【答案】(1)
，
(2)
m 时，S 取得最小值，最小值为2400m2
【分析】（1）根据题意，由两三角形相似求出
，即得
，由
得范围求出x 的范围即可；
（2）依题列出S 的表达式，整理后利用基本不等式即可求得其最小值.
【详解】（1）依题意可得
，则有
，
即
，可得
，因此
．
又要求AP 的长不小于50m 且不大于100m，即
，
解得
，即
，
；
（2）由图易知
，
所以
由基本不等式可得
；
当且仅当
时，即
时，等号成立，此时S 取得最小值2400，
因此当
m 时，S 取得最小值，最小值为2400
．
3．（25-26 高一上·贵州遵义·阶段检测）某人准备在一块占地面积为1200 平方米的矩形地块中间建三个矩
形温室大棚，大棚周围均是宽为1 米的小路（如图所示），大棚占地面积为
平方米，其中
(1)试用
表示
，并标明
的取值范围；
(2)求
的最大值，并求出
取最大值时
的值.
【答案】(1)
（
）
(2)
的最大值为
，此时
.
【分析】（1）结合图形，明确
的关系，可以表示大棚的面积
.
（2）利用基本（均值）不等式，可求大棚面积的最大值.
【详解】（1）由题意：
，
，
，
，
.
所以
，
，
，
.
所以
（
）
（2）因为
（当且仅当
即
时取“
）
”
.
所以
的最大值为
，此时
.
4．（25-26 高一上·安徽宿州·阶段检测）某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示的总面积为
的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m 的小路，中间
，B，C三个矩形区域将种植三种不
同的花（其中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为
，鲜花种植的总面积为
.
(1)用含有
的代数式表示下图中的
，并写出
的取值范围：
(2)当
的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)
的值为20，最大面积是
【分析】（1）根据面积表达出
，并根据
和
得到
的取值范围；
（2）表达出
，利用基本不等式求出最大值及此时
的值.
【详解】（1）设矩形花园的一条边长为
，面积为
，则另一边为
，
，即
，
，
，即
，
又
，
，
；
（2）
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
∴当
的值为20 时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积是
.
5．（25-26 高一上·浙江宁波·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期
调研，获得该产品的销售量
万件与投入的促销费用
万元
满足关系式
（
为常数），
而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4 万件.已知该产品每一万件需要投入成本20 万元，厂家将每件
产品的销售价格定为
元，设该产品的利润为y万元.（注：利润
销售收入
投入成本
促销费
用）
(1)求出
的值，并将y表示为
的函数；
(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
【答案】(1)
，
(2)当促销费用为7 万元时，该产品的利润最大，最大利润为123 万元
【分析】（1）先由已知条件求出待定系数
，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利
润即可；
（2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值.
【详解】（1）由题知，
时，
，
于是，
，解得
.
所以，
.根据题意，
即
所以
（2）
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以当促销费用为7 万元时，该产品的利润最大，最大利润为123 万元.
6．（25-26 高一上·上海黄浦·阶段检测）一日，龟兔约定赛跑．已知赛程为
米，它们从同一起点同时出
发，乌龟速度为
米/秒，兔子速度为2 米/秒．太阳当头照，
秒后，骄傲的兔子回头，不见乌龟的影
子，擦了把汗，倚着大树做起了美梦．乌龟依旧前行，又过了
分钟，刚睡醒的兔子还是没见乌龟的影子，
跑到了终点，却发现乌龟已在那儿……
(1)试建立乌龟所经路程
（米）与时间t（秒）的函数关系式，并写出定义域；
(2)当乌龟遇到正在睡觉的兔子时，兔子已经睡了多少秒？
(3)兔子到终点时总用时多少秒？
【答案】(1)
，
(2)
（秒）
(3)
（秒）
【分析】分析乌龟的运动过程建立函数关系式，再结合路程、速度、时间的关系求解具体问题.
【详解】（1）依题意得函数关系式为：
，
乌龟到达终点的时间为
（秒），故定义域为
.
（2）兔子前
秒跑的路程为
（米），
当乌龟遇到正在睡觉的兔子时，设此时时间为t，则
，解得
（秒），
兔子睡觉的时间为总时间减去前
秒，即
（秒）.
（3）兔子前
（秒）跑，然后睡觉
分钟
（秒），最后跑剩余路程的时间为
（秒），
因此，兔子到终点的总用时为
（秒）.
一、单选题
1．（2026·贵州贵阳·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】集合
，
由
，解得
且
，所以
，
所以
.
2．（25-26 高一下·湖南益阳·期中）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
由
，解得
，所以
，
所以
.
3．（2026·重庆渝中·模拟预测）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由于偶次根号下的被开方数非负，则
，即
，
因为
是增函数，解得
；
另外，由分母不为零得
，解得
.
综上，定义域为
4．（25-26 高三下·浙江杭州·阶段检测）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，得
，解得
，
所以函数
的定义域是
.
5．（25-26 高一下·云南昆明·期中）若函数
定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可.
【详解】由题意可得
，解得
，
所以函数的定义域为
.
6．（25-26 高二下·重庆江津·期中）函数
的定义域为R 的充要条件是（ ）
A．
B．
且
C．
D．
【答案】D
【分析】讨论的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解.
【详解】由题意得
恒成立，
，
当
时，由二次函数的性质可得
且
，解得
，
当
时，一次函数
不恒成立，
综上，
.
二、多选题
7．（25-26 高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数
的定义域为
，则（ ）
A．
B．
C．函数
的定义域为
D．函数
的定义域为
【答案】ACD
【分析】利用函数
的定义域可求出
的值和
的取值范围，即可判断A，B 选项；由
可得
的定义域，判断C 选项；由
可得
的定义域，判断D 选项.
【详解】要使
有意义，则有
，因为
的定义域为
，
可得
，
，故A 正确，B 错误；
由
，得
，所以
的定义域为
，故C 正确；
由
，得
，所以
的定义域为
，故D 正确.
故选：ACD.
8．（25-26 高一上·贵州毕节·期末）给出下列结论，其中正确的结论有（ ）
A．函数
的定义域为
B．若函数
，不存在实数
，使
的定义域为
C．若
的定义域为
，则
的定义域为
D．若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
【答案】BD
【分析】对于A，考察函数定义域的求法；对于B，根据对数型复合函数的单调性求解即可；对于C，根据
抽象函数的定义域和对数运算计算即可；对于D，根据已知条件列出不等式，结合二次函数的性质计算即
可.
【详解】对于A：
不符合正切函数定义域，A 错误；
对于B:函数
的定义域为
时，
对
恒成立，所以
，无解，正确；
对于C:因为
的定义域为
，所以
，所以
，
所以
的定义域为
，要求
的定义域，则
，解得
，所以
的
定义域为
，C 错误；
对于D:因为函数
的值域为
，所以内函数
的值域必须包含
，
当
时，
的值域为
，符合题意.
当
时，
为开口向上的抛物线，其值域为
，若要包含
，则其最小值需满足
，解得
.
当
时，
为开口向下的抛物线，值域不包含
，不合题意.综上所述，实数
的取值范围是
，D 正确.
故选：BD.
三、填空题
9．（24-25 高一上·天津·期末）函数
的定义域为___________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式
，利用正切函数的图象和性质即可求出定
义域.
【详解】由函数
，得
，即
，
由
的定义域为
，
函数
在每个区间
内单调递增，且当
时，解得
.
故
可解得
.
故答案为：
.
10．（25-26 高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数
.若
的定义域为
，则实数
k的取值范围为______.
【答案】
【分析】将问题转化为
在
上恒成立，分
、
讨论，并结合一元二次函数的性质
求解.
【详解】由题意可知，
在
上恒成立，
若
，则
，符合题意；
若
，则
，解得
，
综上，实数k的取值范围为
.
故答案为：
四、解答题
11．（25-26 高一下·全国·课堂例题）求下列函数的定义域：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦函数结合根式的性质，结合正弦型函数图象求解；
（2）利用正弦函数结合根式的性质求出各自定义域，再利用数轴法求交集．
【详解】（1）由
，得
，把
当作整体t，作
的图象如下：
在
内，满足
，得
，
．
∴在
上
满足
，
，
即
，
，
∴定义域为
．
（2）根据函数表达式可得
，
在数轴上表示如下：
由图示可得，函数定义域为
．
12．（25-26 高一上·江苏徐州·期末）已知
.
(1)若
定义域为
，求实数k的取值范围；
(2)若
定义域为
，求实数k的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若
定义域为
，由
恒成立求解；
（2）若
定义域为
，则-6，2 是一元二次方程
的两根，由韦达定理求解；
【详解】（1）若
定义域为
，则
恒成立，
则
，或
，
解得：
；
（2）若
定义域为
，
则-6，2 是一元二次方程
的两根，
由韦达定理得
，解得：
；
