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培优专题 06 三角函数与解三角形
题型01 三角函数的值域（最值）问题
抓关键 · 破难点
1、三角函数求值域的方法：
（1）利用诱导公式、三角恒等变换化简三角函数，若化简后是单一的三角函数，可以根据给定的定义域
来求最值，注意最大值跟最小值是否在给定的区间内。
（2）若化简后的式子是关于三角函数的复合形式，则考虑需不需要换元来求最值，换元后要注意新的定
义域。
（3）遇到sinα±cosα与sinαcosα的时候，可以利用(sinα±cosα) 2=1±2sinαcosα的关系进化互化，然
后通过换元求最值
（4）遇到齐次式的分式可以化成正切求最值
2、根据最值求参数ω，题目给出是否有最值或者有几个最值来讨论参数ω，通常根据最值个数等情况来
讨论周期，然后根据周期来讨论参数ω。
3、讨论定义域或值域中的参数。根据函数的单调性讨论定义域或值域中最值的取得位置来求参数刷经典 · 通方法
1．（2025·上海长宁·一模）已知函数 ．
(1)若函数 的最小正周期为 ，求 的值及 的单调递减区间；
(2)设 ，求函数 在区间 上的值域．
2．（2025·上海·模拟预测）已知 ， .
(1)若函数 的最小正周期为 ，求 的值；
(2)当 时，设 .若函数 和 在 上有相同的最大值，求 的取值范围.
3．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知函数 ，其中 .
(1)求函数 的最小正周期及单调减区间.
(2)求函数 ， 的最大值，并求出取得最大值时 的值.
4．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数 .
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)当 时，求函数 的最值（最大值与最小值）及相应 的值.
5．（25-26高三上·上海松江·期中）已知 .
(1) 的周期是 ，求 ，并求此时 的解集；
(2)已知 ， ， ，求 的值域.题型02 三角函数的极值（点）问题
抓关键 · 破难点
π
1 、 对 于 正 弦 函 数 y=Asin(ωx+ϕ)， 当 ωx +ϕ=2kπ+ (k∈Z) 函 数 取 得 最 大 值 A, 当
0 2
π
ωx +ϕ=2kπ- (k∈Z)，函数取得最小值-A
0 2
2 、 对 于 y=Acos(ωx+ϕ)， 当 ωx +ϕ=2kπ (k∈Z) 函 数 取 得 最 大 值 A, 当
0
ωx +ϕ=2kπ+π (k∈Z) 函数取得最小值-A
0
3、根据给出区间(a,b)里的最值个数或有没有最值的方法讨论ω的范围与零点个数讨论的方法类似。讨
论(ωa+φ,ωb+φ)与最值间的关系，从而求得ω的范围
刷经典 · 通方法
1．（2026·上海闵行·二模）已知 .
(1)当 时，解方程 ；
(2)若函数 在 上有唯一的极值点，求 的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小
值点.
2．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数 的表达式为 .
(1)若将函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函数 的图像关于直线 对称，
求 的最小值；
(2)若函数 在区间 上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围.
3．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设 ， ，其中 .
(1)若函数 的最小正周期为 ，求 的值和函数 的图象对称中心的坐标；(2)是否存在 ，使得函数 在区间 上恰有 个极值点?若存在，求出 的取值范围；若不存
在，说明理由.
4．（25-26高三上·上海·月考）已知函数 （ ）的最小正周期为 .
(1)求 的单调递减区间；
(2)若 ，对于任意 ，总存在 ，使得 成立，求a的
取值范围；
(3)把曲线 向左平移 个单位，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到曲线
.设函数 （ ），将 在区间 上的极值点按从小到大的顺序排列
成数列 .若 ，求实数k的值.
题型03 三角函数的零点（解）问题
抓关键 · 破难点
1、零点的个数问题可以转化为根的个数问题。
函数y=f (x)有零点⟺方程f (x)=0有实数根⇔函数y=f (x)的图像与x轴有交点
2、对三角函数而言，在给定的区间内讨论零点个数问题，就要了解三角函数零点的位置。
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海长宁·二模）已知向量 ．
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)若函数 在区间 上恰有2个零点，求实数a的取值范围．2．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知 ，其中 .
(1)若 ，求函数 的最小正周期及严格增区间；
(2)若关于 的方程 在 上至少存在2026个解，且 的最小值不小于2026，求 的取值范
围.
3．（25-26高三上·上海·期中）已知 ，
(1)若 ，求函数 的值域；
(2)已知 ，若函数 的最小正周期为 ，且函数 在 上恰有2个零点，求实数
的取值范围.
4．（25-26高三上·上海·期中）已知向量 ， ，记函数
.
(1)若 为偶函数，求 的最小值；
(2)把 图象向右平移 个单位长度，得到函数 图象.若函数 在区间 内恰有20
个零点，求 的最小值.
5．（25-26高三上·上海·期中）已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期与值域；
(2)若 ，且 是函数 的一个零点，直线 是曲线 的一条对称轴，求
的最大值.
题型04 三角函数与数列抓关键 · 破难点
这类题本质是“双模块交汇”——利用三角函数的周期性、有界性为数列提供递推关系或放缩依据，或
将数列的通项公式嵌入三角表达式中，通过三角恒等变换简化求和或证明。常见考法包括：三角递推数
列求通项、三角函数值作为数列项、数列求和与三角公式逆用结合。
解题策略：若数列由三角函数递推定义，优先从三角函数的周期入手，通过计算前几项寻找数列的周期
规律，再利用周期性求通项或前n项和；若涉及三角公式的数列求和，关键是将和式中的每一项用两角差
的正切公式裂项，实现求和过程中的项间抵消；若数列通项含三角函数，常通过恒等变换统一角度，再
结合有界性进行放缩或最值分析。
上海卷特点：上海卷常在大题位置考查此类综合题，强调知识的“跨模块迁移”能力。命题设计往往从
具体数值计算入手（如递推前几项），引导考生发现周期性规律后逐步抽象论证。解题需“化归思想”
——将三角部分的周期性、有界性转化为数列的单调性、有界性判断，或将数列求和问题转化为三角公
式的逆用
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海松江·二模）已知函数 ，当 时函数取得最大值4，记
.
(1)求函数 的表达式；
(2)若数列 为等差数列， ，记 ，求数列 的前 项和 .
2．（2026·上海奉贤·二模）已知函数 的表达式为 ， ．
(1) ，求 的值；
(2)若 ， ， 依次成等比数列，求 的值．
3．（25-26高三上·上海金山·月考）已知函数 的定义域为 ，且 ，
．
(1) ，求A与 ；(2)证明：函数 是偶函数且是周期函数；
(3)若 的周期为T，在 上是减函数，记 的正的零点从小到大依次为 ， ， ，…，证明
在区间 上有 个零点，且 是等差数列．
4．（25-26高三上·上海松江·期末）已知函数 （ 、 ， ）的周期为 ，在
时取到最大值 ，记 ．
(1)求函数 的表达式；
(2)若数列 为等差数列， ， ，记 ，求数列 的前 项和 ．
题型05 解三角形中的求周长或边长
抓关键 · 破难点
求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。
其问题的本质为a+b(周长相关),ab(面积相关),a2+b2 （余弦相关）这三者之间的关系，知二求
一。
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海金山·三模）已知 ，函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中，若 ，且 的面积为 ，求 ．
2．（2025·上海奉贤·一模）已知函数 ．(1)当 时，求函数 的值域；
(2)在 中，角 、 及 所对边的边长分别为 、 及 ，若 ， ， ，求 ．
3．（2025·上海松江·三模）已知函数 的图像相邻两个零点之间的距离为 .
(1)求 的值及 的解集；
(2)在 中， 为 的一个内角，若满足 ， ，且 ，求 周长.
4．（25-26高三下·上海·月考）已知函数 ．
(1)写出函数 的极大值点构成的集合，以及 内所有的严格增区间；
(2)在 中角 所对的边分别是 若 ，且 ，求 的周长．
5．（25-26高三上·月考）已知函数 （其中 ）的最小正周期为 ．
(1)求ω的值及函数 图象的对称轴方程；
(2)设 的内角A，B，C的对边分别为a，b， ，且角C满足 ，若 ，求
的周长．
题型06 解三角形中的求面积问题
抓关键 · 破难点
1 1 1
通常根据面积公式S ABC= absinC= bcsinA= acsinB来求值。
Δ 2 2 2
1、利用正余弦定理求边长，然后求得面积
2、结合余弦定理与面积公式也可求得面积。
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海杨浦·一模）已知函数 ， .(1)记 ，求证：函数 为偶函数；
(2)在 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ， ，求 的
面积.
2．（25-26高三上·上海·开学考试）在 中，角 、 、 对应边为 、 、 ，其中 ．
(1)若 ，且 ，求边长 的值；
(2)若 ，求 的面积．
3．（2025·上海普陀·二模）设 ，函数 的表达式为 .
(1)若 ，设 的内角 的对边分别为 ， ，且 ，求 的面
积.
(2)对任意的 ，皆有 成立，且该函数在区间 上不存在最小值，求函数
在 的单调区间.
4．（25-26高三上·月考）如图，已知函数 的图象与 轴交于点
，与 轴交于点 和点 是点 关于点 的对称点，已知点 的横坐标分别为 ．
(1)求 的值，曲线 的对称轴方程以及函数 的单调递减区间；(2)已知 ，求此时 的值和 的面积．
题型07 解三角形中的求最值或范围
抓关键 · 破难点
关于面积的最值问题，通常有以下两种方法
1、利用基本不等式a+b≥2❑√ab或a2+b2≥2ab可以求面积的最大值。
2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来
解决
若周长的最值或两边和的最值问题，通常有以下两种方法
1、若已知面积，则可利用基本不等式a+b≥2❑√ab可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式
时，看是否满足取等条件。
a+b √a2+b2
2、若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 ≤❑ 把周长的最大值与余弦值挂钩。
2 2
3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函
数求范围问题来解决
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海闵行·二模）已知 ，函数 的部分图像如图所示，
图中最高点 ，最低点 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若 的内角 所对的边分别为 ，若 ， ，求 面积的取值范
围．2．（2025高三上·上海·专题练习）已知函数 在 上单调.
(1)求 的单调区间；
(2)若 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ，求 周长的最大值.
3．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数 （ ）的最小正周期为 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中，若 ，边长 ，求 面积的最大值．
4．（25-26高三上·上海·期中）在 中，角 所对边的边长分别为 ，且满足
．
(1)求角 的值；
(2)若 外接圆的直径等于4，求 面积的最大值．
5．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知 .
(1)若将函数 的图象向左平移 得到函数 的图象，求函数 的解析式，并求出函数 的零
点；
(2)在 中，角 的对边分别为 .若 ， ，求 面积的最大值.
