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第四章 三角函数与解三角形
§4.9 解三角形中的最值与范围问题
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
考点1 求边长、周
长的值及范围或最值
2024·全国新Ⅱ卷
2024·全国新Ⅰ卷
2023·全国新Ⅱ卷
2022·全国新Ⅱ卷
2022·全国乙卷
2022·北京卷
2022·全国新Ⅰ卷
命题规律：是新高考卷的常考内容，
设题稳定，难度中等偏上，分值为
13 - 15 分。
命题形式：一般以大题形式命题，主
要考查正余弦定理和三角形面积公式
在解三角形中的应用，同时结合基本
不等式、三角函数性质等知识点来求
解范围及最值。
常见题型：包括面积类、周长类、边
长类、边长和差类、边长积商类、中
线类、角平分线类、高线类及其他线
段类的最值与范围问题。
考点2 求角和三角
函数的值及范围或最
值
2024·天津卷
2023·天津卷
2022·全国甲卷
2022·天津卷
2021·天津卷
2021·全国新Ⅰ卷
【名师点拨】
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积
有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用
三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决
此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
【必练核心题型】
题型一 利用基本不等式求最值(范围)
【典例】1.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
a
cos A ＝
❑√3b
sin B .
(1)求角A；
(2)若a＝2，求△ABC 面积的最大值.
【变式训练】
变式1.已知在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋sin
Bsin C＝sin2A.
(1)求角A 的大小；
(2)若a＝❑√3，求△ABC 周长的最大值.
题型二 转化为三角函数求最值(范围)
【典例】2.如图，在平面内，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形内部，AB＝
3，BC＝7，△ACD 为正三角形.
(1)求AC 的取值范围；
(2)设∠ABC＝α，当α 变化时，求四边形ABCD 面积的最大值.
【变式训练】
变式2.在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且bsin B－asin A
＝[2bsin(A ＋π
6)−c]sin C.
(1)求角A 的大小；
(2)求sin Ccos B 的取值范围.
题型三 转化为其他函数求最值(范围)
【典例】3.在△ABC 中，AB＝5，D 在边AB 上，且2BD＝3AD，BC＝2CD.
(1)若CD＝2，求△ABC 的周长；
(2)求△ACD 周长的最大值.
【变式训练】
变式3.已知△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
sin A
sin B＋sinC ＝c−b
b
.
(1)若C＝π
2 ，求B；
(2)求a＋c
b
的取值范围.
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.在锐角△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且a＝3，A＝π
6 ，则b 的
取值范围是( )
A.(0，6)
B.(0，2❑√3)
C.(❑√3，2❑√3)
D.(3❑√3，6)
2.在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－1，b＝c＋1，若
△ABC 为钝角三角形，则c 的取值范围为( )
A.(2，4)
B.(1，3)
C.(0，3)
D.(3，4)
3.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a2＝3(b＋c)，A＝π
3 ，则
△ABC 周长的最大值为( )
A.6
B.12
C.18
D.24
4.(2025·泰州模拟)已知在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，C＝
60°，B>90°，则b
a的取值范围为( )
A.(
1
2 ，＋∞)
B.(❑√3，＋∞)
C.(2，＋∞)
D.(3，＋∞)
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知B＝π
3 ，b＝4❑√3，则下列说
法正确的是( )
A.若A＝π
4 ，则a＝4❑√2
B.若a＝1，则c＝7＋3 ❑√5
2
C.△ABC 周长的最大值为12❑√3
D.△ABC 面积的最大值12❑√3
6.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且3bcos C＋3ccos B＝a2，则下
列说法正确的是( )
A.若B＋C＝2A，则△ABC 的外接圆的面积为3π
B.若A＝π
4 ，且△ABC 有两解，则b 的取值范围为[3，3❑√2]
C.若C＝2A，且△ABC 为锐角三角形，则c 的取值范围为(3❑√2，3❑√3)
D.若A＝2C，且sin B＝2sin C，O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为3 ❑√3−3
4
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.(2024·辽阳模拟)在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a2＋4b2＝
6c2，则
sin
2C
sin A sin B 的最小值为 .
8.如图所示，在△ABC 中，已知A＝π
3 ，C＝π
2 ，AC＝4，D，E，F 分别在边AC，
BC，AB 上，且△DEF 为等边三角形.则△DEF 的面积的最小值是 .
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)已知在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，tan Atan B＋tan
Atan C＝3tan Btan C.
(1)证明：3b2＋3c2＝5a2；(6 分)
(2)若a＝❑√15，当A 取最大值时，求△ABC 的面积.(7 分)
10.(15 分)(2025·郑州模拟)已知在△ABC 中，❑√3sin(A＋B)＝1＋2sin2C
2 .
(1)求角C 的大小；(6 分)
(2)如图，若∠BAC 与∠ABC 的平分线交于点I，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周
长的最大值.(9 分)
