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专题12 三角函数与解三角形大题归类
目录
题型一：图像求解析式及性质.............................................................................................................................................1
题型二：“零点”求参.........................................................................................................................................................3
题型三：“零点”和型性质.................................................................................................................................................5
题型四：解三角形：正弦定理边化角型求角.....................................................................................................................6
题型五：解三角形：角化边型余弦定理求角.....................................................................................................................7
题型六：最值：不对称型最值.............................................................................................................................................8
题型七：最值：比值型最值.................................................................................................................................................9
题型八：最值：三角函数角度型最值...............................................................................................................................10
题型九：三大线：中点与中线...........................................................................................................................................11
题型十：三大线：角平分线型...........................................................................................................................................12
题型十一：三大线：三角形高型.......................................................................................................................................13
题型十二：定比分点双三角形...........................................................................................................................................14
题型十三：定比分点最值范围型.......................................................................................................................................15
题型十四：四边形中解三角形...........................................................................................................................................16
题型十五：四边形最值与范围...........................................................................................................................................17
题型十六：解三角形中的压轴证明题（19 题）..............................................................................................................18
题型一：图像求解析式及性质
1．（2024·北京东城·二模）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求
的值；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在，并求函数
在
上的最大值和最小值.
已知
的部分图象求其解析式时
比较容易看图得出，困难的是求待定系数
和
，常用如下两种方法：
(1)由
即可求出
；确定
时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标
，
则令
(或
)，即可求出
.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出
和
，
若对
，
的符号或对
的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
1
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条件①：函数
是奇函数；
条件②：将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到
的图象；
条件③：
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
2．（2024·甘肃·一模）如图，角
的始边为
轴非负半轴，终边与单位圆交于点
，过点
作
轴
的垂线，垂足为
到直线
的距离为|MN|.若将|MN|关于角
的函数关系记为y = f (x).
(1)求y = f (x)的解析式；
(2)将
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），再将所得图象向左平移
个单位长度，
得到函数
的图象，求
在
的单调递增区间.
3．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不
变，得到函数
的图象，求函数
在
上的值域.
2
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4．（2023·山西·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求
的解析式；
(2)将
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，求
在
上的值域.
题型二：“零点”求参
1．（23-24 广东深圳·阶段练习）函数
的部分图象如图所示．
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象先向右平移
个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），得到
函数
的图象，求
在
上的最大值和最小值；
零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，或者cos(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝++kπ 可求得对称中心的
横坐标；
正弦“第一零点”：
；
正弦“第二零点”：
余弦“第一零点”：
；
余弦“第二零点”：
3
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(3)若关于
的方程
在
上有两个不等实根，求实数
的取值范围．
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数
.
(1)若
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)将函数
的图象的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，再将其向右平移
个单位，得到函数
的图象.若
，函数
有且仅有4 个零点，求实数的取值范围.
3．（23-24·安徽蚌埠·期末）已知函数
.
(1)求
的单调递减区间；
(2)将y = f (x)的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移
个单位得到
y = g(x)的图象，当
时，方程
有解，求实数
的取值范围.
4．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，若方程
在
上有解，求实数
的取值范围.
4
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题型三：“零点”和型性质
1．（21-22 广东佛山·阶段练习）已知数
的相邻两对称轴
间的距离为
.
(1)求
的解析式；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的
（纵坐标不变），得到
函数
的图象，当
时，求函数
的值域；
(3)对于第（2）问中的函数
，记方程
在
上的根从小到大依次为
，若
，试求
与
的值.
2．（22-23 江西萍乡·期中）函数
的部分图象如图所示．
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象先向右平移
个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），得到
函数
的图象，若关于
的方程
在
上有两个不等实根
，求实数
的取值范围，
并求
的值．
零点求和型，多利用三角函数对称轴对称性求解
对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x 中的“x”，采用整体代入求解．
对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；
5
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3．（2023·陕西安康·一模）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
图象上所有的点向右平移
个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的
2 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象.当
时，方程
恰有三个不相等的实数
根，
，求实数a 的取值范围以及
的值.
4．（23-24 高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数
为奇函数，且
图象的相邻两条对称轴间的距离为
.
(1)求
的解析式与单调递减区间；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位长度，再把横坐标缩小为原来的
（纵坐标不变），得到函数
的图象，当
时，求方程
的所有根的和.
题型四：解三角形：正弦定理边化角型求角
6
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1．（2024·陕西安康·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，且
(1)求
；
(2)设
为边
的中点，
，求线段
长度的最大值.
2．（2024·四川南充·模拟预测）在
中，
.
(1)求
；
(2)若
，求
周长的最大值.
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
为锐角三角形，点F 为
的垂心，
，求
的取值范围.
4．（23-24·天津·阶段练习）在
中，内角
所对的边分别为
，已知
.
(1)求
的值；(2)若
.
（i）求
的面积；（ii）求
的值.
题型五：解三角形：角化边型余弦定理求角
1．（2025·广东·一模）在△
中，角
的对边分别为
，已知
(1)求
;
对于sin（α+β ）与cos（α+β ） 简称为“正余余正，余余正正”
恒等变形和化简求角中，有如下经验：
1、SinC=Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；见A 与B 的正余或者余正，不够，找
sinC 拆
2、边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；
3、cosC=-cos(A+B)=-[cosAcosB-sinAsinC]
余弦定理：
1.若式子含有
的2 次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”
2.面积和
2 次齐次式，可构造余弦定理
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(2)若
分别为边
上的中点，
为
的重心，求
的余弦值.
2．（23-24·陕西咸阳·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，
，求
的面积；
(3)若
，
，D 为BC 的中点，求AD 的长．
3．（2024·江西·模拟预测）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且b 是a，c 的等比中项．
(1)求B 的最大值：
(2)若C 为钝角，求
的取值范围．
4．（2024·江苏盐城·模拟预测）在
中，已知角
，
，
所对的边分别为
，
，，
．
(1)求角
的大小；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围．
题型六：最值：不对称型最值
1．（13-14 高三下·山东东营·阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
，且满足
(1)求角B 的值；
(2)若
且
，求
的取值范围.
非对称型结构
结构特征：
“非齐次或者不对称结构”，用正弦定理消角化一，角度范围是否受限，是关键计算点
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2．（2024·广东湛江·一模）已知在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若
外接圆的直径为
，求
的取值范围．
3．（22-23 河南省直辖县级单位）已知
为锐角三角形，角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的取值范围.
4．（2021·江苏南通·一模）在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若
，求
的取值范围．
题型七：最值：比值型最值
1．（2023·全国·模拟预测）已知
的内角
所对的边分别为
．
(1)求角
的大小；
(2)求
的最小值．
2．（2023·全国·模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，设
的面积为S，
．
(1)当
时，若
，求角A；
(2)当
时，求
的最大值.
最值范围：分式比值型
化边为角型
1. 通过正余弦定理，把边转化为角。
2. 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式
3. 对单变量（单角）求最值。
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3．（2023·浙江·模拟预测）已知
中，内角
所对的边分别为
，且满足
.
(1)若
，求
；
(2)求
的取值范围.
4．（22-23 安徽六安 ）从条件①
；②
中任选一个，补
充在下面问题中，并加以解答.在
中：内角
的对边分别为
，______.
(1)求角
的大小；
(2)设
为边
的中点，求
的最大值.
题型八：最值：三角函数角度型最值
1．（2023·安徽·二模）在
中，
．
(1)若
，判断
的形状；
(2)求
的最大值．
2．（2023·陕西榆林·三模）已知
分别为
的内角
所对的边，
，且
．
(1)求
；
(2)求
的取值范围．
3．（2023·浙江嘉兴·二模）在
中，角
所对的边分别是
.已知
.
锐钝角限制型
注意锐角三角形，或者钝角三角形对角的范围的限制，如果有这样限制，要对每个角都要用不等式范
围求解
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(1)若
，求
；
(2)求
的取值范围.
4．（2023·云南红河·二模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)证明：
；
(2)求
的最大值．
题型九：三大线：中点与中线
1．（2023·全国·模拟预测）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，且满足______．
请从以下三个条件中选择一个作为已知条件补充在题目上，并完成下面问题：
①外接圆半径
；
②
；
③
．
(1)求锐角
；
(2)求
的BC 边上的中线的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
中线的处理方法
1.向量法：
2. 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
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2．（2023·湖北·模拟预测）在
中，
，点D 在边
上，
.
(1)若
，求
的值，
(2)若
，且点D 是边
的中点，求
的值.
3．（22-23 高三上·湖北十堰·阶段练习）在
中，内角
的对边分别是
，且
.
(1)求
；
(2)若
是边
的中点，且
，求
面积的最大值.
4．（2022·全国·模拟预测）在①
，②
，③
且
这三个
条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，______.
(1)求证：△ABC 是等腰三角形；
(2)若D 为边BC 的中点，且
，求△ABC 周长的最大值.
题型十：三大线：角平分线型
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1．（2022·四川绵阳·二模）在
中，角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若角
的平分线交
于
且
，求
的最小值.
2．（22-23 高三上·山西吕梁·期末）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且满足：
(1)求角
的大小；
(2)若
，角
与角
的内角平分线相交于点
，求
面积的取值范围．
3．（2023·云南曲靖·一模）在△ABC 中，角A，B，C 的对边长依次是a，b，c，
，
．
(1)求角B 的大小；
(2)当△ABC 面积最大时，求∠BAC 的平分线AD 的长．
4．（2023·山东·模拟预测）已知
的内角
的对边分别为
，
，，
，且
．
(1)求
的大小；
(2)若
的平分线交
于点
，且
，求
的取值范围．
题型十一：三大线：三角形高型
三角形角平分线的处理方法：
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
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1．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形
中，
，
．
(1)求
．
(2)求
边上的高的取值范围．
2．（2023·山西大同·模拟预测）记锐角△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)证明：
；
(2)若AD 是BC 边上的高，且
，求
的取值范围．
3．（2020·辽宁·一模）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，
.
(1)求
及
；
(2)若
，求
边上的高.
4．（2023·安徽·模拟预测）在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，且满足
．
(1)求
；
(2)若
，
是
边上的高，求
的最大值．
题型十二：定比分点双三角形
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
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1．（22-23 高三下·河北衡水·阶段练习）记
的内角
的对边分别为
，已知
，
是边
上的一点，且
.
(1)证明：
；
(2)若
，求
.
2．（2023·全国·模拟预测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
，
为
上一点，
．
(1)求
的值．
(2)若
，求
与
的大小．
3．（2024·重庆·三模）已知
分别为
的内角A、B、C 的对边，为
的面积，且满足
.
(1)求
；
(2)若
，且
，求
的余弦值.
三大线型引申：定比分点型
如图，若BD=tBC 型，称D 为定比分点，可以从以下思维入手：
1. 双三角形余弦定理：
（1）
ABD 中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcos
（2）
ACD 中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcos(Π-
）
2.向量法：
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4．（2023·广东汕头·一模）如图，在
中，D 是
边上的一点，
，
．
(1)证明：
；
(2)若D 为靠近B 的三等分点，
，
，
，
为钝角，求
．
题型十三：定比分点最值范围型
1．（2023·全国·模拟预测）在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在锐角
中，内角
的对边分别为
，且______．
(1)求
；
(2)若
，
，求线段
长的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，且
．
(1)求
；
(2)若
是线段
上靠近
的三等分点，
，求
的最大值．
3．（2023·青海西宁·二模）在
中，内角
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
是边
上的一点，且
，求线段
的最大值.
4．（2024·河北衡水·一模）在
中，内角
所对的边分别是
，三角形面积为，若
为
面积最值，一般符合“齐次对称结构”，可以直接用余弦定理加均值不等式。
“齐次对称结构”，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，计算量稍大
用正线定理，要注意角度的范围。
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边上一点，满足
，且
.
(1)求角
；
(2)求
的取值范围.
题型十四：四边形中解三角形
1．（23-24 高三下·北京海淀·开学考试）如图，在平面四边形
中，
，
，
，
.
(1)求线段
的长度；
(2)求
的值.
2．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）如图，平面四边形
的对角线分别为
，
，其中
，
，
．
(1)若
，
的面积为
，求
的面积；
(2)若
，
，求
的值．
3．（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）在平面四边形ABCD 中，
(1)若
，求
；
(2)若
求
.
四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补
这个隐形条件
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4．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2023 年8 月27 日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊
鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求
，
，
(1)若
，
，求
的值；
(2)若
，四边形ABCD 面积为4，求
的值．
题型十五：四边形最值与范围
1．（2023·广东惠州·一模）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四
边形
的顶点在同一平面上，已知
．
(1)当
长度变化时，
是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
(2)记
与
的面积分别为
和
，请求出
的最大值．
2．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)记
与
的面积分别记为
和
，求
的最大值．
3．（23-24 高三上·上海杨浦·期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里
玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我.”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将
自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块平面四边形
的麦田里成为守望者.如图
所示，为了分割麦田，他将B、D 连接，经测量知
，
.
18
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(1)霍尔顿发现无论
多长，
都为一个定值.请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系.记
与
的面积分别为
和
，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出
的最大值.
4．（2024·四川自贡·一模）如图，在平面四边形
中，角
.设
.
(1)用
表示四边形
对角线
的长；
(2)是否存在
使四边形
对角线
最长，若存在求出
及四边形对角线
最长的值，若不存在
请说明理由.
题型十六：解三角形中的压轴证明题（19 题）
1．（2024·河北·二模）若
内一点
满足
，则称点
为
的布洛卡点，
为
的布洛卡角．如图，已知
中，
，
，
，点
为的布洛卡点，
为
的布洛卡角．
(1)若
，且满足
，求
的大小．
(2)若
为锐角三角形．
（ⅰ）证明：
．
（ⅱ）若
平分
，证明：
．
2．（2023·全国·模拟预测）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
19
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(1)求
的最大值；
(2)求证：在线段
上恒存在点
，使得
.
3．（23-24 高三下·重庆·开学考试）如果函数
的导数
，可记为
．若
，则
表示曲线
，直线
以及
轴围成的“曲边梯形”的
面积．
(1)若
，且
，求
；
(2)已知
，证明：
，并解释其几何意义；
(3)证明：
，
．
4．（2024·浙江舟山·模拟预测）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐
标系xOy 中，螺线与坐标轴依次交于点
，
并按这样的规律继续下去．
(1)求
．
(2)求证：不存在正整数
，使得三角形
的面积为2022;
(3)求证：对于任意正整数
，三角形
为锐角三角形．
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