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单元集训卷 12 三角函数与解三角形
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在△ABC中，内角 的对边分别为 ， ，c，且 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】利用正弦定理化边为角即可.
【详解】因为 ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
又A∈(0,π)，所以 或 .
2．若 ，则化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 .
则 .
3．已知 ，β都是锐角， ， ，则 的值是（ ）9
A． B． C． D．
14
【答案】C
【分析】根据 ，结合同角三角函数关系，余弦的差角公式求解即可.
【详解】因为 ，β都是锐角，所以 ,
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 .
4．已知函数 的最小正周期是π， 则下列区间中，函数f(x)单调递
增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由最小正周期求 ，根据 求 ，再结合余弦函数的单调递增区间推导 的增区间，结合选项得
出结果.
【详解】由于函数最小正周期 ，得ω=2，
由 ，且0<φ<π，得 ，因此 ，
令 ，解得： ，
当k=0时，一个递增区间为 ，而 ，
所以函数在 上单调递增.5．在△ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c，若 ，且△ABC的
面积为 ，则△ABC外接圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求得 ，结合面积公式及正弦定理可求外接圆的半径，进而可求周长；
【详解】由 和正弦定理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，又因 ，则 ，
由余弦定理， ，因 ，所以 ， ；
在△ABC中，由 解得a=2，
由正弦定理得△ABC的外接圆的半径为 ，
所以△ABC外接圆的周长 .
6．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，当角 有两解时， 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】法一：根据余弦定理和角C有两解，可得关于c的一元二次方程有两个正根，从而求解.
法二：根据角C有两解可知三角形存在两解的情形，利用其条件即可得出a的范围.
【详解】法一：由余弦定理可得， ，所以 .
因为角C有两解，所以关于c的一元二次方程有两个正根，所以 ，
解得 ，所以a的取值范围为 .法二：因为 ， ，所以 ，
因为角C有两解，A为锐角，所以 ，即 .
所以a的取值范围为 .
7． （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的基本关系将切化弦，二倍角公式及和差角公式，并结合三角变换公式可得；
【详解】
8．已知△ABC中，角 的对边分别为 ，a=3，且 ，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用三角形三边关系确定参数 的取值范围，再结合余弦定理和三角形面积公式，通过二次函数求最值
的方法即可得到面积的最大值.
【详解】因为a=3， ，由余弦定理： ，
即 ，所以 ，因为在△ABC中， ，所以 ，
所以 ，
令 ，因为 ，得 ，即 ，
则 ，
这是关于 的二次函数，开口方向向下，所以当 时，二次函数取到最大值为144，
此时 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列值为 的式子有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用诱导公式可判断A，根据两角和的正切公式可判断B；利用两角差的正弦，余弦，正切公式化简即可
判断C，根据辅助角公式可判断D.
【详解】对于A， ，故A不符合题意；
对于B，因为 ，
所以 ，
所以
，故B符合题意；对于C， ，
由于 ，故C不符合题意；
对于D，
，故D符合题意.
10．在△ABC中，角 的对边分别为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 为边 上的高，且a=2，则 的最大值为
C．若 ，则△ABC有一解
D．若 ，则
【答案】ABD
1
【分析】由正弦定理和三角形的内角的性质，化简得到 ，求得cosA= ，可判定A正确；利用三
2
角形的面积公式，求得 ，结合余弦定理和基本不等式，可判定B正确；根据题意，得到 ，
可判定C错误；由余弦定理得到 ，再列出不等式，求得c的范围，可判定D正确.
【详解】对于A，在△ABC中，因为 ，
由正弦定理得 ，
又因为 ，可得 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
两边平方得 ，
1
由 ，得 ，解得cosA= ，即 ，故A正确；
2
对于B，由 ，因为a=2，所以 ，
由余弦定理 ，可得 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 的最大值为 ，故B正确；
对于C，当 且 时，可得 ，
满足 ，所以△ABC有两解，故C错误；
对于D，由余弦定理得 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，由余弦定理得 ，解得 或 ，
所以 ，故D正确．
11．下列关于函数 的说法正确的是（）
A．直线 是函数y=f (x)图象的一条对称轴
B． 在区间 上单调递增
C． 的图象可通过 的图象上所有点向左平移 个单位长度得到D．若函数y=f (x)在区间 上恰有三个零点，则实数m的取值范围为
【答案】AB
【分析】先把 通过三角恒等变换化简为 ,再分别对选项A利用对称轴方程求解验证 符合
条件,对选项B求出函数单调递增区间并判断给定区间为其子集从而确定递增,对选项C依据三角函数平移规则验证
平移结果与原式不符,对选项D求出零点表达式后列出 内三个零点,进而确定 的取值范围,最终判断各选项正
误。
【详解】
选项A：令 ，解得 ，当 时， ，A正确.
选项B： 即 ，令k=0，
因为 ，所以 在区间 上单调递增，B正确.
选项C： 左移 得 ，C错误.
选项D：令 ，得 ，函数在区间 上恰有三个零点，
则三个零点只能为： ，故 ，D错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
π
12．已知函数
的最小正周期为π，其图象关于直线x=
对称，且 ，
6
则 ____， ____．
【答案】 /
【分析】根据函数的最小正周期得到ω=2，利用对称轴得到 ，然后代入计算即可求解.【详解】函数 的最小正周期为 ．解得ω=2，
π
又图象关于直线x=
对称，则有 ．
6
解得 ．
因 ，则得 或 ．
又由 ， ．
13．如图， 两点都在河对岸（不可到达），某测量队测得 米， ， ，
，求 两点的距离__________.
【答案】
【分析】在△BCD中，先利用正弦定理求出BD，然后在 中，利用余弦定理求得结果.
【详解】在△BCD中， ，
所以 .
所以根据正弦定理得 ，即 ，解得 .
因为 ，所以△ACD是等边三角形，所以AD=CD.
在 中， ，
根据余弦定理得 ，代入数据得
，解得 ，即 .
14．在锐角△ABC中，角 的对边分别是 ，若 ，则 的取值范围是
_________．
【答案】
【分析】由正余弦定理与和角的正弦公式化简计算得到 ，利用三角形内角范围推得 ，由锐
角三角形求出 ，将所求式进行恒等变换为 ，利用正弦函数的性质与对勾函数的单调性即可求
得其范围.
【详解】解：由余弦定理， 和 ，
可得 ，化简得 ，
因 ，即 ，由正弦定理， （*），
因 ，
代入（*）化简得： ，即 ，
因 ，则 ，所以 ，即 ，
因△ABC是锐角三角形，故 ，解得 ，
由
，
令 ，因函数 在 上单调递增，
则 ，故 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知在△ABC中，内角 ， ， 对应的边分别是 ， ，c， ， ．
(1)求 的大小；
(2)已知△ABC的周长为 ，求BC边上的中线的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据三角函数值求角；
（2）利用正弦定理和三角形的周长求出外接圆半径和 ，再利用余弦定理求解.
【详解】（1） ，由正弦定理可得 ，
∴ ，∵ ，∴ ， ，
∴ ，解得 ；
（2）由（1）可得 ，
设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得 ， ，
则周长 ，解得 ，则a=2， ，
由余弦定理可得BC边上的中线的长度为： .
16．已知函数 ．
(1)若 ，求 及 的单调递增区间；
(2)已知 在区间 上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在且唯一确定，求 的最小正周期．
条件①： ；条件②： 是 的一个极值点；条件③： 是 的一个零点．注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
【答案】(1) ， ， ．
(2)条件③不符合题目要求，选①或②时 的最小正周期均为π．
【分析】（1）利用三角函数恒等式化简函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数单调性以及复合函数单调性，
可得答案；
（2）根据正弦型函数的单调性以及周期内的零点，可得参数的范围，再根据所给条件，结合三角函数的周期性与
对称性，可得答案.
【详解】（1）因为
，
当 时， ，
所以 ．
令 ， ，
解得 ， ．
所以 的单调递增区间为 ， ．
（2）因为 ， 在区间 上单调递增，且 ，
所以 ，解得 ．
若选①：因为 ，又 在区间 上单调递增，
所以曲线 关于 对称．所以 ，所以 ， ．
解得 ， ．
又 ，所以 ．
所以 的最小正周期为 ．
若选②： 是 的一个极值点，又 在区间 上单调递增，
所以 在 处取得最大值．
所以 ．
所以 ， ．解得 ， ．
又 ，所以 ．
所以 的最小正周期为 ．
若选③：因为 ， ，则 ，
由于 在区间 上单调递增，所以 ，
解得 .
因为 是 的一个零点，所以 ，
解得 ，
又 ，所以 或 ，
所以函数 不唯一确定，故条件③不符合题目要求
17．已知 ， ，c分别为△ABC三个内角 ， ， 的对边，且 ．
(1)求 ．
(2)若 ，且 ，求 ．
(3)若△ABC为锐角三角形，且BC边上的高 ，求△ABC面积的取值范围．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可求 .
（2）根据正弦定理结合（1）结合可判断△ABC为等边三角形，再根据数量积可求 ；
（3）设BC边上的高为 ，结合两角差的正切可求BC的范围，从而可求面积的范围.
【详解】（1）因为 ，结合正弦定理可得 ，
而 为三角形内角，故 ，故 ，
因 为三角形内角，故 ，故 ，故 .
（2）因为 ，结合正弦定理得 ，
故 ，而 为三角形内角，故 ，
π
故C= 即△ABC为等边三角形.
3
因为 ，故 ，
故 ，故 即 .
（3）
设BC边上的高为 ，则 ，
因△ABC为锐角三角形，故 在BC上（不含端点），设∠BAE=α，则 ，其中 ，
故 ，
故
设 ，
因为 在 上为减函数，在 为增函数，
故 ，故 ，
故 .
18．已知函数 ．
(1)求f (x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若任意的 ，均满足 ，求a的取值范围；
(3)设函数 ，求证：函数g(x)有且只有一个零点．
【答案】(1)最小正周期为π，单调递增区间为
(2)(3) ，x∈(0,+∞)，
当 时，g(x)单调递增， ， ，
所以g(x)在 上有唯一零点；
当 时， ， ，所以 ，无零点；
当 时， ， ，所以 ，无零点．
综上，函数g(x)有且只有一个零点．
【分析】（1）先利用三角恒等变换将 化为 ，再根据正弦型函数的周期公式和单调性求解.
（2）先求出 时 的值域，再将不等式 转化为关于 的不等式组求解.
（3）先化简 ，再分区间讨论 的符号与单调性，结合零点存在性定理证明其仅有一个零点.
【详解】（1）由题意知
，
2π
所以f (x)的最小正周期T= =π．
2
令 ， ，
解得 ， ，
即f (x)的单调递增区间为 ．（2）因为 ，所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
即a的取值范围是 ．
（3）略
19．已知△ABC的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，c，且 ．
(1)若 ， ．
①求 ；
②角 的内角平分线交BC于 ，求线段 的长；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)① ；②
(2)
【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得 ，得解；
②由正弦定理求得AC，再由 求得答案；
（2）由 结合内角和定理可得 ， ，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化
简得 ，令 ，利用函数单调性求解.
【详解】（1）① ，，即得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 或 ，即 或 ，
因为 ，所以 ，即 ，故 ，
因为 ，所以 .
②由①得 .
在△ABC中，由正弦定理 ，得 ，
因为 ，所以
所以 ，
.
（2） ， ， ，
、B、C为△ABC的内角， ，
由正弦定理得
令 ， ，
， 在 单调递增，所以 .
