第01讲三角函数的概念与诱导公式（复习讲义）（全国通用）（学生版）_数学_一轮复习_2027年高考数学一轮更新中_2027年高考数学一轮复习讲义+练习+课件（新教材新高考）-G55_2027版

第 01 讲 三角函数的概念与诱导公式
内容导航
01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势
02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维
03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 任意角与弧度制 知识点2 三角函数的概念
知识点3 同角三角函数的基本关系式 知识点4 三角函数的诱导公式
题型破译 (含超链接）
题型 1 象限角与弧度制的应用
【方法技巧】
【易错分析】
题型 2 三角函数的定义与坐标运算
【方法技巧】
【易错分析】
题型 3 同角三角函数基本关系的应用
【方法技巧】
【易错分析】
题型 4 诱导公式的化简与求值
【方法技巧】
【易错分析】
题型 5 同角关系与诱导公式的综合应用
【方法技巧】
【易错分析】
题型 6 三角函数的化简与证明
【方法技巧】
【易错分析】
04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向
05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
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学科网（北京）股份有限公司——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
任意角与弧度制 —— —— ——
三角函数的定义 —— —— ——
同角三角函数基本关
—— —— 全国Ⅰ卷T4（5 分）
系
诱导公式化简求值 全国一卷T3（5分） ——
三角函数线与象限符
—— —— ——
号
综合应用（与恒等变
—— —— ——
换结合）
三角函数的概念与诱导公式是高中三角函数模块的核心基础，是后续学习三角恒
等变换、三角函数图象与性质、解三角形的必备工具。新高考弱化纯记忆性考
查，强化定义理解与转化化归思想，突出数学运算与逻辑推理素养。
1、题型：单选 / 多选第 3～8 题（5 分），填空题第 13～14 题（5 分），解
答题常作为第 1 问穿插于三角恒等变换、解三角形中（3～5 分），总分 5～10
分；整体难度中等偏易，属于高频必考基础内容。
考情分析
2、四大考查方向：
 象限角判断、弧度制换算与扇形公式应用；
 三角函数定义及象限符号判断；
 同角三角函数基本关系的求值与变形；
 诱导公式的化简、求值及综合应用。
3、综合融合：常与三角恒等变换、三角函数图象性质、平面向量、解三角形结
合，作为工具性知识考查，也常与集合运算、充分必要条件结合命题。
1、理解任意角的概念，掌握弧度制与角度制的换算，熟练运用弧长与扇形面积
复习目标 公式；
2、掌握三角函数的定义，能准确判断三角函数在各象限的符号，了解三角函数
线；
3、牢记同角三角函数的基本关系式，熟练掌握 “知一求二”、齐次式求值等常
规题型；
4、熟记六组诱导公式，掌握 “奇变偶不变，符号看象限” 的记忆方法，能熟
练进行化简与求值；
5、能综合运用同角关系与诱导公式解决三角式化简、求值、证明问题。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
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学科网（北京）股份有限公司知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
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学科网（北京）股份有限公司知●识●解●构
知识点1 任意角与弧度制
一、角的概念推广
1. 按旋转方向：正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、 （未旋转）。
2. 按终边位置：象限角（终边在象限内）、轴线角（终边在坐标轴上）。
α α
3. 终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同 在内，可构成集合 （角
度制）或 （弧度制）。
二、弧度制换算关系：
π 180 ∘
1. 180∘=πrad，1∘= rad，1rad=( ) 。
180 π
2. 弧长公式：l=|α|⋅r（α为弧度数，r为半径）。
1 1
3. 扇形面积公式：S= lr= |α|r2 。
2 2
自主检测（2026·湖北武汉·三模）平面直角坐标系中，若角 的终边经过点 ，角 的终边经过点
，则 （ ）
24
A． B． C．0 D．
25
知识点2 三角函数的概念
1. 坐标定义
设角α终边上任意一点P(x,y)（不与原点重合），r=|OP|=❑√x2+ y2>0，则：
y x y
sin⁡α= ,cos⁡α= ,tan⁡α= (x≠0)
r r x
2. 单位圆定义
y
角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则sin⁡α= y，cos⁡α=x，tan⁡α= (x≠0)。
x
3. 三角函数在各象限的符号
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
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学科网（北京）股份有限公司y x
叫做α的正切，记作tanα
r r
叫做α的正弦，记作sinα 叫做α的余弦，记作cosα
各 Ⅰ ＋ ＋ ＋
象 Ⅱ ＋ － －
限 Ⅲ － － ＋
符
号 Ⅳ － ＋ －
口诀 Ⅰ全（Q），Ⅱ正弦（s），Ⅲ正切（t），Ⅳ余弦(c)
补充：只需要了解的其他三角函数。
r r x
y 叫做α 的正割，记作scsα x 叫做α 的余割，记作secα y 叫做α 的余切，记作 cotα
4. 特殊角的三角函数值
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 15° 75°
π π π π 2π 3π 5π π 5π
弧度 0 π
6 4 3 2 3 4 6 12 12
1 2 3 2 6 2 6 2
sinα 0
0 2 2 2 2 4 4
3 2 1 1 √2 √3 6 2 6 2
cosα 0 − − − －1
1 2 2 2 2 2 2 4 4
tanα 3 1 3 −√3 - − √3 0 3 3
0 3 1 3 2- 2+
自主检测（多选题）（2026·辽宁·模拟预测）下列结论正确的是（ ）
A．若 为第一象限角，则 B．若 ，则
C． D．
知识点3 同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系：sin2α+cos2α=1
sinα π
2. 商数关系：tan⁡α= (α≠ +kπ,k∈Z)
cosα 2
• sin2⁡α=1-cos2⁡α，cos2⁡α=1-sin2⁡α；
• (sin⁡α±cos⁡α) 2=1±2sin⁡αcos⁡α；
• sin⁡α=tan⁡α⋅cos⁡α。
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学科网（北京）股份有限公司自主检测（2026·安徽合肥·模拟预测）已知 ， 都是锐角， ， ，则 的值
是（ ）
9
A． B． C． D．
14
知识点4 三角函数的诱导公式
1. 六组核心诱导公式
组数 角的形式 正弦 余弦 正切
一 α+2kπ(k∈Z) sin⁡α cos⁡α tan⁡α
二 π+α -sin⁡α -cos⁡α tan⁡α
三 -α -sin⁡α cos⁡α
四 π-α sin⁡α -cos⁡α -tan⁡α
五 π cos⁡α sin⁡α —
-α
2
六 π cos⁡α -sin⁡α —
+α
2
2. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限
π
• 奇变偶不变： 的奇数倍加α，函数名变名（正弦↔余弦）；偶数倍加α，函数名不变。
2
• 符号看象限：将α视为锐角，判断原角所在象限，确定原三角函数值的符号。
3. 化简原则
负角化正角，大角化小角，化到锐角再求值。
自主检测（2026·江苏泰州·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度后所得图象的解
析式为（ ）
A． B．
C． D．
题●型●破●译
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学科网（北京）股份有限公司题型1 象限角与弧度制的应用
例1-1（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合 ， 是第一象限角 ，则 元
素的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例1-2（2026·天津·模拟预测）“角β与30°终边相同”是“角 是第三象限角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
方法技巧
α
1. 判断 所在象限：先写出α的范围，再除以n，对k分n类讨论；
n
2. 扇形问题抓住两个核心公式：弧长 l=θr，面积S= ；
3. 终边相同角问题，统一表示为 ，再根据范围确定k值。
易错分析
1. 混淆角度制与弧度制，公式混用导致计算错误；
2. 判断象限角时忽略轴线角的特殊情况；
3. 扇形周长遗漏两条半径，仅计算弧长。
【变式训练1-1】（多选题）（2025·江西赣州·一模）设D是含数1的有限实数集， 是定义在D上的函
数，若 的图像绕原点逆时针 旋转后与原图像重合，则下列选项中 的取值可能为（ ）
❑√3
A． B．1 C． D．2
3
【变式训练1-2】（2026·江苏南通·三模）已知三个扇形的半径均为2，①扇形1的弧长为2；②扇形2的
面积为4；③扇形3卷成的圆锥底面周长为6.设三个扇形的圆心角分别为α，β，γ，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3·变载体】（多选题）（2026·辽宁大连·二模）随着市民健康意识的提升，越来越多的人走
出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所.如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为 ，
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学科网（北京）股份有限公司圆心角为 的扇形人工湖OAB，OM、ON分别是由OA、OB延伸而成的两条健身步道.为进一步完善全民
健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增设三条健身步道，其中一条与 相切于点F，且与 、
ON分别相交于C、D，另两条分别是和湖岸OA、OB垂直的 、 （垂足均不与O重合），在
△OCD区域以内，扇形人工湖OAB以外的空地铺上草坪，则（ ）
A． 的范围是
B．新增步道CD的长度可以为
C．新增步道FG、FH长度之和不可能为
D．当点F为 的中点时，草坪的面积为
对于选项D，点F为 的中点时，则 ，则
题型2 三角函数的定义与坐标运算
例2-1已知角 的终边经过点 ，则 ______．
例2-2已知角 的顶点在坐标原点，始边为 轴正半轴，终边经过点 ，则 ______．
方法技巧
1. 已知终边上一点坐标，直接用定义求三角函数值，注意r>0恒成立；
2. 终边在某条直线上时，需分两种象限情况讨论，避免漏解；
3. 已知一个三角函数值求参数，代入定义列方程求解，结合象限符号取舍。
易错分析
1. 忽略终边的两种方向，只计算一种象限的情况；
2. 定义中分子分母记反，导致结果错误；
3. 忽略三角函数定义域，正切值存在的条件遗漏。
【变式训练2-1·变载体】在平面直角坐标系 中，以 轴的非负半轴为始边，角 ， 的终边分别经过
点 和点 ．向量 ， ，则 的最小值为_____．
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练2-2】已知角 的顶点与坐标原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，角 的终边与圆
交于点 ．动点 以 为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点 ，点 运动的轨迹长为 ，当角
的终边为射线OB时， （ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】（多选题）函数f(x)的定义域为 ，f(x)在区间 上单调递增，且满足
，函数 为奇函数，下列结论正确的是（ ）（注 ）
A． B．
C． D．
题型3 同角三角函数基本关系的应用
例3-1（2026·江苏扬州·模拟预测）已知 ，则 的值为（ ）
13
A． B． C． D．
10
例3-2（2026·江苏无锡·三模）若 ，且 为锐角，则 （ ）
1 1
A．2 B．3 C． D．
2 3
方法技巧
1. 齐次式求值：分子分母同除以cosn⁡α，化为tan⁡α的表达式；
2. 知一求二：利用平方关系和商数关系，结合象限符号确定结果；
3. sin⁡α±cos⁡α与sin⁡αcos⁡α的转化：平方后建立联系，注意根据角的范围判断符号。
易错分析
1. 开平方时忽略象限符号，导致多解错误；
2. 二次齐次式漏算常数项的次数（常数视为 0 次，需补sin2⁡α+cos2⁡α）；
3. 平方后扩大取值范围，未结合角的范围回代检验。
【变式训练3-1】（2026·江苏连云港·模拟预测）在△ABC中，已知 ，
，则 （ ）
1
A． B． C．2 D．4
2
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练3-2】（2026·河北承德·模拟预测）已知 ， ，且 ，
，则 的值为_______．
【变式训练3-3·变载体】（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置
在桌面上，水面高度 .将此正方体放在坡角为 的斜坡上，此时水面 恰好与点A齐平，其主
视图如图2所示，则 = __________.
题型4 诱导公式的化简与求值
例4-1（2026·湖南长沙·模拟预测） 的值为（ ）
❑√2
A． B． C． D．
2
例4-2（2026·吉林延边·二模）在 中，角 、B、C的对边分别为 、 、 ，满足
，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
1. 诱导公式应用步骤：负角化正→大角化小→锐角求值；
π
2. 互余、互补角的转化：若α+β= ，则sin⁡α=cos⁡β；若α+β=π，则sin⁡α=sin⁡β，
2
；
3. 整体代换思想：将已知角视为整体，寻找所求角与已知角的和差关系。
易错分析
1. “奇变偶不变” 中奇偶判断错误，函数名变错；
2. 符号判断时，未将α视为锐角，导致符号错误；
3. 化简时遗漏负号，或多次变号时计算失误。
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练4-1】（多选题）（2026·河北雄安·三模）已知 ，且 ，则 的取值
可能在以下哪个区间（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2·变题型】（2026·广西桂林·模拟预测）已知 ， 为曲线
上的两点，则 ______．当 时， ，则
______；
【变式训练4-3·变载体】（2026·辽宁大连·模拟预测）设 ，{a }是公差为 的等差数列，
n
且 ，则 ______．
题型5 同角关系与诱导公式的综合应用
π
例5-1（2026·广西桂林·模拟预测）已知函数 的一个中心坐标是
(-
,0
)
，
12
则 的值等于____________．
例5-2（2026·山东烟台·模拟预测）若 ， ，则 的值为______．
方法技巧
1. 综合题解题思路：先用诱导公式化简，再用同角关系求值；
2. 已知条件和所求式子分别化简，寻找二者关联；
3. 含参数的角，先利用诱导公式消去周期，再结合范围计算。
易错分析
1. 诱导公式化简过程中符号连续出错；
2. 忽略角的象限，开方时符号判断错误；
3. 大角化小角时，周期计算错误导致角度化简偏差。
【变式训练5-1】（2026·河南周口·模拟预测）已知 ， 均为锐角，且满足 ，
，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】（2026·山东临沂·一模）已知锐角 ， 满足 ，则 的
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学科网（北京）股份有限公司最大值是（ ）
1
A． B． C． D．
3
【变式训练5-3】（多选题）（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，
以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点 ， ，定义 ，则
（ ）
A． B． 的最大值为2 C． D．
题型6 三角函数的化简与证明
例6-1（2026·山东济南·模拟预测）已知 ，则 的值为（ ）
2
A． B． C． D．
5
例6-2（2026·福建泉州·模拟预测）若 ， ，则
（ ）
1
A．- B． C． D．
2
方法技巧
1. 化简原则：切割化弦、异名化同名、异角化同角、高次降幂；
2. 证明常用方法：从繁到简、左右归一、变更命题；
3. 常用技巧：1 的代换（1=sin2⁡α+cos2⁡α）、因式分解、配方。若无法分离参数，可结合二次函数图
象分析。
易错分析
1. 变形过程中改变原式定义域，导致不等价变形；
2. 公式记错，平方差、完全平方公式应用错误；
3. 切割化弦时，正切换算遗漏分母。。
【变式训练6-1】（多选题）（2026·安徽滁州·三模）已知 ， ，且 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-2】（2026·湖南怀化·三模）已知 ， ，则
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学科网（北京）股份有限公司__________．
【变式训练6-3】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知 ， ，则cosα=
______.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
一、单选题
1．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知 ， ，则 （ ）
❑√2 7❑√2
A． B． C． D．
10 10
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知 ，则 （ ）
❑√3
A． B． C． D．
2
二、填空题
5．（2026·天津·高考真题）在 中，BC=4，AC=3， ，则 __________．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
一、解答题
1．（19-20高一·全国·课后作业）在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象
限角：
(1) ；
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学科网（北京）股份有限公司(2) ；
(3) .
2．（21-22高一上·全国·课后作业）利用三角函数定义，求 的三个三角函数值．
3．（22-23高一·全国·课堂例题）利用公式求下列三角函数值：
(1) ：
(2) ；
(3) ；
(4) .
4．（22-23高一·全国·课堂例题）求下列三角函数值：
(1) （精确到0.001）；
(2) ；
5．（19-20高一·全国·课后作业）在△ABC中， ， ，求 的值.
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学科网（北京）股份有限公司6．（19-20高一·全国·课后作业）已知 ， 是第三象限角，求
的值.
7．（19-20高一·全国·课后作业）（1）分别计算 和 的值，你有什么发现？
（2）任取一个 的值，分别计算 ，你又有什么发现？
（3）证明： .
8．（19-20高一·全国·课后作业）化简 ，其中 为第二象限角.
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